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A． B．
2008年普通高等学校招生全国统一考试山东文科数学试题及答案
C． D．
第Ⅰ卷（共60分） 7．不等式 的解集是（ ）
参考公式：
锥体的体积公式： ，其中 是锥体的底面积， 是锥体的高． A． B． C． D．
球的表面积公式： ，其中 是球的半径．
8．已知 为 的三个内角 的对边，向量 ．若 ，
如果事件 互斥，那么 ．
且 ，则角 的大小分别为（ ）
A． B． C． D．
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的． 9．从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如表，则这100人成绩的标准差为（ ）
1．满足 ，且 的集合 的个数是（ ） 分数 5 4 3 2 1
人数 20 10 30 30 10
A．1 B．2 C．3 D．4
A． B． C．3 D．
2．设 的共轭复数是 ，若 ， ，则 等于（ ）
A． B． C． D． 10．已知 ，则 的值是（ ）
3．函数 的图象是（ ）
A． B． C． D．
y y y y
11．若圆 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线 和 轴相切，则该圆的标准方程是（ ）
x x x x
π O π π O π π O π π O π
2 2 2 2 2 2 2 2
A． B．
A． B． C． D．
4．给出命题：若函数 是幂函数，则函数 的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆
C． D．
否命题三个命题中，真命题的个数是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
12．已知函数 的图象如图所示，则 满足的关系是（ ）
5．设函数 则 的值为（ ）
A． B．
y
x
A． B． C． D． C． D． O
1
6．右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，
2
可得该几何体的表面积是（ ）
3
2 2
俯视图 正(主)视图侧(左)视图（Ⅰ）求 被选中的概率；
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分． （Ⅱ）求 和 不全被选中的概率．
13．已知圆 ．以圆 与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则适合
上述条件的双曲线的标准方程为 ．
开始
14．执行右边的程序框图，若 ，
输入p 19．（本小题满分12分）
则输出的 ． 如图，在四棱锥 中，平面 平面 ， ， 是等边三角形，已知
15．已知 ， n 1，S 0 ， ．
P
则 的 ? 否 （Ⅰ）设 是 上的一点，证明：平面 平面 ；
M
（Ⅱ）求四棱锥 的体积．
是 D C
值等于 ．
1 A
输出 B
S S
2n
16．设 满足约束条件 结束
nn1
则 的最大值为 ．
20．（本小题满分12分）
三、解答题：本大题共6小题，共74分． 将数列 中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：
17．（本小题满分12分）
已知函数 （ ， ）为偶函数，且函数 图象的两相
邻对称轴间的距离为 ．
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）将函数 的图象向右平移 个单位后，得到函数 的图象，求 的单调递减区间．
记表中的第一列数 构成的数列为 ， ． 为数列 的前 项和，且满足
．
（Ⅰ）证明数列 成等差数列，并求数列 的通项公式；
18．（本小题满分12分）
现有8名奥运会志愿者，其中志愿者 通晓日语， 通晓俄语， 通晓韩语．从中选
（Ⅱ）上表中，若从第三行起，第一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数．当
出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组．
时，求上表中第 行所有项的和．得 选D.
21．（本小题满分12分）
设函数 ，已知 和 为 的极值点． 3．A 解析：本小题主要考查复合函数的图像识别。 是偶函数，
（Ⅰ）求 和 的值； 可排除B、D，由 的值域可以确定.选A.
（Ⅱ）讨论 的单调性； 4．C 解析：本小题主要考查四种命题的真假。易知原命题是真命题,则其逆否命题也是真命题,
而逆命题、否命题是假命题.故它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中, 真命题
有一个。选C.
（Ⅲ）设 ，试比较 与 的大小．
5．A 解析：本小题主要考查分段函数问题。正确利用分段函数来进行分段求值。
选A.
22．（本小题满分14分） 6．D 解析：本小题主要考查三视图与几何体的表面积。从三视图可以看出该几何体是由一个球和一个圆柱组
合而成的，其表面及为 选D。
已知曲线 所围成的封闭图形的面积为 ，曲线 的内切圆半径为 ．记 为
7．D解析：本小题主要考查分式不等式的解法。易知 排除B;由 符合可排除C;
以曲线 与坐标轴的交点为顶点的椭圆．
由 排除A, 故选D。也可用分式不等式的解法,将2移到左边直接求解。
（Ⅰ）求椭圆 的标准方程；
8．C 解析：本小题主要考查解三角形问题。
（Ⅱ）设 是过椭圆 中心的任意弦， 是线段 的垂直平分线． 是 上异于椭圆中心的点．
（1）若 （ 为坐标原点），当点 在椭圆 上运动时，求点 的轨迹方程；
（2）若 是 与椭圆 的交点，求 的面积的最小值．
，
.选C. 本题在求角B时,也可用验证法.
2008年普通高等学校招生全国统一考试答案
9．B 解析：本小题主要考查平均数、方差、标准差的概念及其运算。
1．B 解析：本小题主要考查集合子集的概念及交集运算。集合 中必含有 ,
则 或 .选B.
选B.
2．D 解析：本小题主要考查共轭复数的概念、复数的运算。可设 ，由17．解：（Ⅰ）
10．C 解 析 主 要 考 查 三 角 函 数 变 换 与 求 值 。
， 选C.
．
11．B 解析：本小题主要考查圆与直线相切问题。
设圆心为 由已知得 选B. 因为 为偶函数，
12．A 解析：本小题主要考查正确利用对数函数的图象来比较大小。 所以对 ， 恒成立，
由图易得 取特殊点
因此 ．
.选A.
即 ，
二、填空题
13． 解析：本小题主要考查圆、双曲线的性质。圆
整理得 ．
得圆 与坐标轴的交点分别为
因为 ，且 ，
所以 ．
则 所以双曲线的标准方程为
14． 解析：本小题主要考查程序框图。 又因为 ，
，因此输出
故 ．
所以 ．
15．2008 解析：本小题主要考查对数函数问题。
由题意得 ，所以 ．
故 ．
因此 ．
16．11 解析：本小题主要考查线性规划问题。作图(略)易知可行域为一个四角形,其四个顶点
分别为 验证知在点 时取得最大值11.
（Ⅱ）将 的图象向右平移 个单位后，得到 的图象，
三、解答题所以 平面 ，
所以 ．
又 平面 ，
故平面 平面 ．
（Ⅱ）解：过 作 交 于 ，
当 （ ），
由于平面 平面 ，
所以 平面 ．
即 （ ）时， 单调递减，
因此 为四棱锥 的高，
又 是边长为4的等边三角形．
因此 的单调递减区间为 （ ）．
因此 ．
18．解：（Ⅰ）从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，其一切可能的结果组成的基本事件空间
{ ， ， 在底面四边形 中， ， ，
所以四边形 是梯形，在 中，斜边 边上的高为 ，
， ， ，
， ， ， 此即为梯形 的高，
所以四边形 的面积为 ．
}
由18个基本事件组成．由于每一个基本事件被抽取的机会均等，因此这些基本事件的发生是等可能的．
故 ．
用 表示“ 恰被选中”这一事件，则
20．（Ⅰ）证明：由已知，当 时， ，
{ ，
} 又 ，
事件 由6个基本事件组成，
所以 ，
因而 ．
（Ⅱ）用 表示“ 不全被选中”这一事件，则其对立事件 表示“ 全被选中”这一事件，
即 ，
由于 { }，事件 有3个基本事件组成，
所以 ，
所以 ，由对立事件的概率公式得 ．
19．（Ⅰ）证明：在 中， 又 ．
由于 ， ， ，
所以数列 是首项为1，公差为 的等差数列．
所以 ． P
故 ．
又平面 平面 ，平面 平面 ， M
D C
平面 ，
O
A
B由上可知 ， （Ⅱ）因为 ， ，
所以 ，
即 ．
令 ，解得 ， ， ．
所以当 时， ．
因为当 时， ；
当 时， ．
因此
所以 在 和 上是单调递增的；
（Ⅱ）解：设上表中从第三行起，每行的公比都为 ，且 ． 在 和 上是单调递减的．
因为 ， （Ⅲ）由（Ⅰ）可知 ，
所以表中第1行至第12行共含有数列 的前78项， 故 ，
故 在表中第13行第三列， 令 ，
则 ．
因此 ．
令 ，得 ，
又 ，
所以 ． 因为 时， ，
记表中第 行所有项的和为 ， 所以 在 上单调递减．
故 时， ；
则 ．
因为 时， ，
21．解：（Ⅰ）因为
所以 在 上单调递增．
，
故 时， ．
又 和 为 的极值点，所以 ，
所以对任意 ，恒有 ，又 ，
因此
因此 ，
故对任意 ，恒有 ．
解方程组得 ， ．故 ．
22．解：（Ⅰ）由题意得
又当 或不存在时，上式仍然成立．
又 ，
综上所述， 的轨迹方程为 ．
解得 ， ．
因此所求椭圆的标准方程为 ． （2）当 存在且 时，由（1）得 ， ，
（Ⅱ）（1）假设 所在的直线斜率存在且不为零，设 所在直线方程为 ，
由 解得 ， ，
．
解方程组 得 ， ，
所以 ， ， ．
所以 ． 解法一：由于
设 ，由题意知 ，
所以 ，即 ，
因为 是 的垂直平分线，
所以直线 的方程为 ，
即 ，
，
当且仅当 时等号成立，即 时等号成立，此时 面积的最小值是 ．
因此 ，
当 ， ．
又 ，
当 不存在时， ．
所以 ，
综上所述， 的面积的最小值为 ．解法二：因为 ，
又 ， ，
当且仅当 时等号成立，即 时等号成立，
此时 面积的最小值是 ．
当 ， ．
当 不存在时， ．
综上所述， 的面积的最小值为 ．
