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2017 年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）
文科数学
一、选择题
1．(2017·山东文，1)设集合M＝{x||x－1|<1}，N＝{x|x<2}，则M∩N等于( )
A．(－1,1) B．(－1,2) C．(0,2) D．(1,2)
2．(2017·山东文，2)已知i是虚数单位，若复数z满足zi＝1＋i，则z2等于( )
A．－2i B．2i C．－2 D．2
3．(2017·山东文，3)已知x，y满足约束条件
则z＝x＋2y的最大值是( )
A．－3 B．－1 C．1 D．3
4．(2017·山东文，4)已知cos x＝，则cos 2x等于( )
A．－ B． C．－ D．
5．(2017·山东文，5)已知命题p：∃x∈R，x2－x＋1≥0；命题q：若a2<b2，则a<b.下列命题
为真命题的是( )
A．p∧q B．p∧綈q
C．綈p∧q D．綈p∧綈q
6．(2017·山东文，6)执行下侧的程序框图，当输入的x值为4时，输出的y的值为2，则空
白判断框中的条件可能为( )
A．x>3
B．x>4
C．x≤4
D．x≤5
7．(2017·山东文，7)函数y＝sin 2x＋cos 2x的最小正周期为( )
A． B． C．π D．2π
8．(2017·山东文，8)如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据(单位：
件)．若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x和y的值分别为( )A．3,5 B．5,5 C．3,7 D．5,7
9．(2017·山东文，9)设f(x)＝若f(a)＝f(a＋1)，则f等于( )
A．2 B．4 C．6 D．8
10．(2017·山东文，10)若函数exf(x)(e＝2.718 28…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调
递增，则称函数f(x)具有M性质，下列函数中具有M性质的是( )
A．f(x)＝2－x B．f(x)＝x2
C．f(x)＝3－x D．f(x)＝cos x
二、填空题
11．(2017·山东文，11)已知向量a＝(2,6)，b＝(－1，λ)，若a∥b，则λ＝________.
12．(2017·山东文，12)若直线＋＝1(a>0，b>0)过点(1,2)，则2a＋b的最小值为________．
13．(2017·山东文，13)由一个长方体和两个圆柱构成的几何体的三视图如图，则该几何体
的体积为________．
14．(2017·山东文，14)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋4)＝f(x－2)．若当x∈[－
3,0]时，f(x)＝6－x，则f(919)＝________.
15．(2017·山东文，15)在平面直角坐标系xOy中，双曲线－＝1(a>0，b>0)的右支与焦点为
F的抛物线x2＝2py(p>0)交于A，B两点，若|AF|＋|BF|＝4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为
________．
三、解答题
16．(2017·山东文，16)某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A，A，A 和3个欧洲国家B，
1 2 3 1
B，B 中选择2个国家去旅游．
2 3
(1)若从这6个国家中任选2个 ，求这2个国家都是亚洲国家的概率；
(2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括A 但不包括B 的概率．
1 117．(2017·山东文，17)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝3，·＝－
6，S ＝3，求A和a.
ABC
△
18．(2017·山东文，18)由四棱柱ABCD－ABC D 截去三棱锥C －BCD 后得到的几何体如
1 1 1 1 1 1 1
图所示．四边形ABCD为正方形，O为AC与BD的交点，E为AD的中点，AE⊥平面
1
ABCD.
(1)证明：AO∥平面BCD；
1 1 1
(2)设M是OD的中点，证明：平面AEM⊥平面BCD.
1 1 1
19．(2017·山东文，19)已知{a}是各项均为正数的等比数列，且a＋a＝6，aa＝a.
n 1 2 1 2 3
(1)求数列{a}的通项公式；
n
(2){b}为各项非零的等差数列，其前n项和为S，已知S ＝bb ，求数列的前n项和T.
n n 2n＋1 n n＋1 n
20．(2017·山东文，20)已知函数f(x)＝x3－ax2，a∈R.
(1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点(3，f(3))处的切线方程；
(2)设函数g(x)＝f(x)＋(x－a)cos x－sin x，讨论g(x)的单调性并判断有无极值，有极值时求
出极值．21．(2017·山东文，21)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，
椭圆C截直线y＝1所得线段的长度为2.
(1)求椭圆C的方程；
(2)动直线l：y＝kx＋m(m≠0)交椭圆C于A，B两点，交y轴于点M.点N是M关于O的对称
点，⊙N的半径为|NO|.设D为AB的中点，DE，DF与⊙N分别相切于点E，F，求∠EDF
的最小值．
参考答案
一、选择题
1．【答案】C
【解析】∵M＝{x|0<x<2}，N＝{x|x<2}，
∴M∩N＝{x|0＜x＜2}∩{x|x＜2}＝{x|0＜x＜2}．
故选C.
2．【答案】A
【解析】方法一 z＝＝＝1－i，
z2＝(1－i)2＝－2i.
方法二 (zi)2＝(1＋i)2，－z2＝2i，z2＝－2i.故选A.
3．【答案】D
【解析】画出可行域(如图阴影部分所示)．
画直线l：x＋2y＝0，平移直线l 到直线l的位置，直线l过点M.
0 0解方程组得点M(－1,2)，
∴当x＝－1，y＝2时，z取得最大值，且z ＝－1＋2×2＝3.
max
故选D.
4．【答案】D
【解析】cos 2x＝2cos2x－1＝2×2－1＝.
故选D.
5．【答案】B
【解析】∵一元二次方程x2－x＋1＝0的判别式Δ＝(－1)2－4×1×1＜0，
∴x2－x＋1＞0恒成立，
∴p为真命题，綈p为假命题．
∵当a＝－1，b＝－2时，(－1)2＜(－2)2，但－1＞－2，
∴q为假命题，綈q为真命题．
根据真值表可知p∧綈q为真命题，p∧q，綈p∧q，綈p∧綈q为假命题．
故选B.
6．【答案】B
【解析】输入x＝4，若满足条件，则y＝4＋2＝6，不符合题意；若不满足条件，则y＝
log 4＝2，符合题意，结合选项可知应填x＞4.
2
故选B.
7．【答案】C
【解析】y＝sin 2x＋cos 2x＝2sin，T＝＝π.
故选C.
8．【答案】A
【解析】甲组数据的中位数为65，由甲、乙两组数据的中位数相等得y＝5.又甲、乙两组
数据的平均值相等，
∴×(56＋65＋62＋74＋70＋x)＝×(59＋61＋67＋65＋78)，∴x＝3.故选A.
9．【答案】C
【解析】若0＜a＜1，由f(a)＝f(a＋1)，
得＝2(a＋1－1)，
∴a＝，∴f＝f(4)＝2×(4－1)＝6.
若a≥1，由f(a)＝f(a＋1)，
得2(a－1)＝2(a＋1－1)，无解．
综上，f＝6.
故选C.
10．【答案】A
【解析】若f(x)具有性质M，则[exf(x)]′＝ex[f(x)＋f′(x)]＞0在f(x)的定义域上恒成立，即f(x)
＋f′(x)＞0在f(x)的定义域上恒成立．对于选项A，f(x)＋f′(x)＝2－x－2－xln 2＝2－x(1－ln 2)＞0，符合题意．
经验证，选项B，C，D均不符合题意．
故选A.
二、填空题
11．【答案】－3
【解析】∵a∥b，∴2λ－6×(－1)＝0，解得λ＝－3.
12．【答案】8
【解析】∵直线＋＝1(a＞0，b＞0)过点(1,2)，
∴＋＝1，
∴2a＋b＝(2a＋b)＝4＋＋
≥4＋2＝8，
当且仅当＝，即a＝2，b＝4时，等号成立．
故2a＋b的最小值为8.
13．【答案】2＋
【解析】该几何体由一个长、宽、高分别为2,1,1的长方体和两个半径为1，高为1的圆柱
体构成，
∴V＝2×1×1＋2××π×12×1＝2＋.
14．【答案】6
【解析】∵f(x＋4)＝f(x－2)，
∴f((x＋2)＋4)＝f((x＋2)－2)，即f(x＋6)＝f(x)，
∴f(x)是周期为6的周期函数，
∴f(919)＝f(153×6＋1)＝f(1)．
又f(x)是定义在R上的偶函数，
∴f(1)＝f(－1)＝6，即f(919)＝6.
15．【答案】y＝±x
【解析】设A(x，y)，B(x，y)．
1 1 2 2
由得a2y2－2pb2y＋a2b2＝0，
∴y＋y＝.
1 2
又∵|AF|＋|BF|＝4|OF|，
∴y＋＋y＋＝4×，∴y＋y＝p，
1 2 1 2
∴＝p，即＝，∴＝，
∴双曲线的渐近线方程为y＝±x.
三、解答题
16．解 (1)由题意知，从6个国家中任选两个国家，其一切可能的结果组成的基本事件有：
{A，A}，{A，A}，{A，B}，{A，B}，{A，B}，{A，A}，{A，B}，{A，B}，
1 2 1 3 1 1 1 2 1 3 2 3 2 1 2 2
{A，B}，{A，B}，{A，B}，{A，B}，{B，B}，{B，B}，{B，B}，共15个．
2 3 3 1 3 2 3 3 1 2 1 3 2 3所选两个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有：{A，A}，{A，A}，{A，A}，
1 2 1 3 2 3
共3个，
则所求事件的概率为P＝＝.
(2)从亚洲国家和欧洲国家中各任选一个，其一切可能的结果组成的基本事件有：{A，
1
B}，{A，B}，{A，B}，{A，B}，{A，B}，{A，B}，{A，B}，{A，B}，{A，
1 1 2 1 3 2 1 2 2 2 3 3 1 3 2 3
B}，共9个．
3
包括A 但不包括B 的事件所包含的基本事件有：
1 1
{A，B}，{A，B}，共2个，
1 2 1 3
则所求事件的概率为P＝.
17．解 因为·＝－6，所以bccos A＝－6.
又S ＝3，所以bcsin A＝6.
ABC
因此△tan A＝－1.
又0<A<π，所以A＝.
又b＝3，所以c＝2.
由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，
得a2＝9＋8－2×3×2×＝29，
所以a＝.
18．证明 (1)取BD 的中点O，连接CO，AO，
1 1 1 1 1 1
由于ABCD－ABC D 是四棱柱，
1 1 1 1
所以AO∥OC，AO＝OC，
1 1 1 1
因此四边形AOCO 为平行四边形，所以AO∥OC.
1 1 1 1
又OC 平面BCD，AO 平面BCD，
1 1 1 1 1 1
所以AO∥平面BCD.
1⊂ 1 1 ⊄
(2)因为AC⊥BD，E，M分别为AD和OD的中点，
所以EM⊥BD.
又AE⊥平面ABCD，BD 平面ABCD，
1
所以AE⊥BD.
1 ⊂
因为BD∥BD，所以EM⊥BD，AE⊥BD.
1 1 1 1 1 1 1
又AE，EM 平面AEM，AE∩EM＝E，
1 1 1
所以BD⊥平面AEM.
1 1 ⊂ 1
又BD 平面BCD，
1 1 1 1
所以平面AEM⊥平面BCD.
⊂ 1 1 1
19．解 (1)设{a}的公比为q，
n由题意知a(1＋q)＝6，aq＝aq2，
1 1
又a>0，由以上两式联立方程组解得a＝2，q＝2，
n 1
所以a＝2n.
n
(2)由题意知S ＝
2n＋1
＝(2n＋1)b ，
n＋1
又S ＝bb ，b ≠0，
2n＋1 n n＋1 n＋1
所以b＝2n＋1.
n
令c＝，则c＝，
n n
因此T＝c＋c＋…＋c
n 1 2 n
＝＋＋＋…＋＋，
又T＝＋＋＋…＋＋，
n
两式相减得T＝＋－，
n
所以T＝5－.
n
20．解 (1)由题意f′(x)＝x2－ax，
所以当a＝2时，f(3)＝0，f′(x)＝x2－2x，
所以f′(3)＝3，
因此曲线y＝f(x)在点(3，f(3))处的切线方程是
y＝3(x－3)，即3x－y－9＝0.
(2)因为g(x)＝f(x)＋(x－a)cos x－sin x，
所以g′(x)＝f′(x)＋cos x－(x－a)sin x－cos x
＝x(x－a)－(x－a)sin x＝(x－a)(x－sin x)．
令h(x)＝x－sin x，
则h′(x)＝1－cos x≥0，
所以h(x)在R上单调递增．
因为h(0)＝0，所以当x>0时，h(x)>0；
当x<0时，h(x)<0.
①当a<0时，g′(x)＝(x－a)(x－sin x)，
当x∈(－∞，a)时，x－a<0，g′(x)>0，g(x)单调递增；
当x∈(a,0)时，x－a>0，g′(x)<0，g(x)单调递减；
当x∈(0，＋∞)时，x－a>0，g′(x)>0，g(x)单调递增．
所以当x＝a时，g(x)取到极大值，
极大值是g(a)＝－a3－sin a；
当x＝0时，g(x)取到极小值，极小值是g(0)＝－a.
②当a＝0时，g′(x)＝x(x－sin x)，
当x∈(－∞，＋∞)时，g′(x)≥0，g(x)单调递增；
所以g(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，g(x)无极大值也无极小值．③当a>0时，g′(x)＝(x－a)(x－sin x)，
当x∈(－∞，0)时，x－a<0，g′(x)>0，g(x)单调递增；
当x∈(0，a)时，x－a<0，g′(x)<0，g(x)单调递减；
当x∈(a，＋∞)时，x－a>0，g′(x)>0，g(x)单调递增．
所以当x＝0时，g(x)取到极大值，
极大值是g(0)＝－a；
当x＝a时，g(x)取到极小值，
极小值是g(a)＝－a3－sin a.
综上所述：
当a<0时，函数g(x)在(－∞，a)和(0，＋∞)上单调递增，在(a,0)上单调递减，函数既有极
大值，又有极小值，极大值是g(a)＝－a3－sin a，极小值是g(0)＝－a；
当a＝0时，函数g(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，无极值；
当a>0时，函数g(x)在(－∞，0)和(a，＋∞)上单调递增，在(0，a)上单调递减，函数既有
极大值，又有极小值，极大值是g(0)＝－a，极小值是g(a)＝－a3－sin a.
21．解 (1)由椭圆的离心率为，得a2＝2(a2－b2)，
又当y＝1时，x2＝a2－，得a2－＝2，
所以a2＝4，b2＝2.
因此椭圆方程为＋＝1.
(2)设A(x，y)，B(x，y)．
1 1 2 2
联立方程，得
得(2k2＋1)x2＋4kmx＋2m2－4＝0.
由Δ>0，得m2<4k2＋2，(*)
且x＋x＝－，
1 2
因此y＋y＝，
1 2
所以D.
又N(0，－m)，
所以|ND|2＝2＋2，
整理得|ND|2＝.
因为|NF|＝|m|，
所以＝＝1＋.
令t＝8k2＋3，t≥3，
故2k2＋1＝.
所以＝1＋＝1＋.
令y＝t＋，所以y′＝1－.
当t≥3时，y′>0，
从而y＝t＋在[3，＋∞)上单调递增，因此t＋≥，
当且仅当t＝3时等号成立，此时k＝0，
所以≤1＋3＝4.
由(*)得－<m<且m≠0，
故≥.
设∠EDF＝2θ，则sin θ＝≥，
所以θ的最小值为，
从而∠EDF的最小值为，
此时直线l的斜率是0.
综上所述，当k＝0，m∈(－，0)∪(0，)时，∠EDF取到最小值.
