文档内容
2012 年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）
理科数学
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共 4页.满分150分.考试用时120分钟.考试结束后，务
必将本试卷和答题卡一并交回.
注意事项：
1.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、县区和科
类填写在答题卡上和试卷规定的位置上.
2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上.
3.第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的
位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用
涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效.
4.填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
参考公式：
锥体的体积公式： ，其中 是锥体的底面积， 是锥体的高.
如 果 事 件 互 斥 ， 那 么 ； 如 果 事 件 独 立 ， 那 么
.
第I卷（共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的.
（1）若复数 满足 （ 为虚数单位），则 为
（A） （B） （C） （D）
（2）已知全集 ，集合 ，则 为
（A） （B） （C） （D）
（ 3 ） 设 且 ， 则 “ 函 数 在 上 是 减 函 数 ” ， 是 “ 函 数
在 上是增函数”的
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
（4）采用系统抽样方法从 960 人中抽取 32 人做问卷调查，为此将他们随机编号为
1,2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为 9.抽到的32人中，
编号落入区间 的人做问卷 ，编号落入区间 的人做问卷 ，其余的人
做问卷 .则抽到的人中，做问卷 的人数为
（A）7 （B） 9 （C） 10 （D）15（5）已知变量 满足约束条件 ，则目标函数
的取值范围是
（A） （B）
（C） （D）
（6）执行下面的程序图，如果输入 ，那么输出的
的值为
（A）2 （B）3
（C）4 （D）5
（7）若 ， ，则
sin
（A） （B） （C） （D）
（8）定义在 上的函数 满足 .当 时， ，
当 时， 。则
（A）335 （B）338 （C）1678 （D）2012
(9)函数 的图像大致为
（10）已知椭圆 的离心学率为 .双曲线 的渐近线
与椭圆 有四个交点，以这四个焦点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆 的方程为
（A） （B） （C） （D）
（11）现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各 4张.从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张.不同取法的种数为
（A）232 (B)252 (C)472 (D)484
(12)设函数 ，若 的图象与 图
象有且仅有两个不同的公共点 ,则下列判断正确的是
A.当 时，
B. 当 时，
C. 当 时，
D. 当 时，
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.
（13）若不等式 的解集为 ，则实数 __________.
（14）如图，正方体 的棱长为 1， 分别为线段
上的点，则三棱锥 的体积为____________.
（15）设 .若曲线 与直线 所围成封闭图形的面积为 ，则
______.
（16）如图，在平面直角坐标系 中，一单位圆的圆心的初
始位置在 ，此时圆上一点 的位置在 ，圆在 轴上
沿正向滚动。当圆滚动到圆心位于 时， 的坐标为
______________.
三、解答题：本大题共6小题，共74分.
（17）（本小题满分12分）
已知向量 ，函数 的最大
值为6.
（Ⅰ）求 ；
（Ⅱ）将函数 的图象向左平移 个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的 倍，纵坐标不变，得到函数 的图象.求 在 上的值域.
（18）（本小题满分12分）
在如图所示的几何体中，四边形 是等腰梯形，
∥ ， 平 面
.
（Ⅰ）求证： 平面 ；
（Ⅱ）求二面角 的余弦值.
（19）（本小题满分12分）
先在甲、乙两个靶.某射手向甲靶射击一次，命中的概率为 ，命中得1分，没有命中得
0分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为 ,每命中一次得2分，没有命中得0分.该射
手每次射击的结果相互独立.假设该射手完成以上三次射击.
（Ⅰ）求该射手恰好命中一次得的概率；
（Ⅱ）求该射手的总得分 的分布列及数学期望 .（20）（本小题满分12分）
在等差数列 中， .
（Ⅰ）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）对任意 ，将数列 中落入区间 内的项的个数记为 ，求数列
的前 项和 .
（21）（本小题满分13分）
在平面直角坐标系 中， 是抛物线 的焦点， 是抛物线 上位
于第一象限内的任意一点，过 三点的圆的圆心为 ，点 到抛物线 的准线的距
离为 .
（Ⅰ）求抛物线 的方程；
（Ⅱ）是否存在点 ，使得直线 与抛物线 相切于点 ？若存在，求出点 的坐
标；若不存在，说明理由；
（Ⅲ）若点 的横坐标为 ，直线 与抛物线 有两个不同的交点 ，
与圆 有两个不同的交点 ，求当 时， 的最小值.22(本小题满分13分)
已知函数 （ 为常数， 是自然对数的底数），曲线
在点 处的切线与 轴平行.
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）求 的单调区间；
（ Ⅲ ） 设 , 其 中 为 的 导 函 数 . 证 明 ： 对 任 意
.
