文档内容
2020 年普通高等学校招生全国统一考试 新高考全国Ⅰ
一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的)
1．设集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B．若m＝n>0，则C是圆，其半径为
C．若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为y＝±x
D．若m＝0，n>0，则C是两条直线
10．如图是函数y＝sin(ωx＋φ)的部分图象，则sin(ωx＋φ)等于( )
A．sin B．sin
C．cos D．cos
11．已知a>0，b>0，且a＋b＝1，则( )
A．a2＋b2≥ B．2a－b>
C．log a＋log b≥－2 D.＋≤
2 2
12．信息熵是信息论中的一个重要概念．设随机变量X所有可能的取值为1,2，…，n，且
P(X＝i)＝p>0(i＝1,2，…，n)，＝1，定义X的信息熵H(X)＝－log p.( )
i i i 2 i
A．若n＝1，则H(X)＝0
B．若n＝2，则H(X)随着p的增大而增大
i
C．若p＝(i＝1,2，…，n)，则H(X)随着n的增大而增大
i
D．若n＝2m，随机变量Y所有可能的取值为 1,2，…，m，且P(Y＝j)＝p＋p (j＝
j 2m＋1－j
1,2，…，m)，则H(X)≤H(Y)
三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)
13．斜率为的直线过抛物线C：y2＝4x的焦点，且与C交于A，B两点，则|AB|＝________.
14．将数列{2n－1}与{3n－2}的公共项从小到大排列得到数列{a}，则{a}的前n项和为
n n
________．
答案 3n2－2n
15.某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O为圆孔及轮廓圆弧
AB所在圆的圆心，A是圆弧AB与直线AG的切点，B是圆弧AB与直线BC的切点，四边
形DEFG为矩形，BC⊥DG，垂足为C，tan∠ODC＝，BH∥DG，EF＝12 cm，DE＝2 cm，
A到直线DE和EF的距离均为7 cm，圆孔半径为1 cm，则图中阴影部分的面积为________
cm2.四、解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．在①ac＝，②csin A＝3，③c＝b这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问
题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin A＝sin B，C
＝，________？
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
18．已知公比大于1的等比数列{a}满足a＋a＝20，a＝8.
n 2 4 3
(1)求{a}的通项公式；
n
(2)记b 为{a}在区间(0，m](m∈N*)中的项的个数，求数列{b }的前100项和S .
m n m 100
19．为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查
了100天空气中的PM2.5和SO 浓度(单位：μg/m3)，得下表：
2
SO
2
[0,50] (50,150] (150,475]
PM2.5
[0,35] 32 18 4
(35,75] 6 8 12
(75,115] 3 7 10
(1)估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且SO 浓度不超过150”的概率；
2
(2)根据所给数据，完成下面的2×2列联表：
SO [0,150] (150,475]
2PM2.5
[0,75]
(75,115]
(3)根据(2)中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO 浓度
2
有关？
附：K2＝，
P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
20.如图，四棱锥P－ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD.设平面PAD与平面PBC的
交线为l.
(1)证明：l⊥平面PDC；
(2)已知PD＝AD＝1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值．
21．已知函数f(x)＝aex－1－ln x＋ln a.
(1)当a＝e时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
(2)若f(x)≥1，求a的取值范围．22．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，且过点A(2,1)．
(1)求C的方程；
(2)点M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D为垂足．证明：存在定点Q，使得|DQ|为定
值．
