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9．已知曲线C：mx2＋ny2＝1.( )
2020 年普通高等学校招生全国统一考试 新高考全国Ⅰ
A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B．若m＝n>0，则C是圆，其半径为
一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
C．若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为y＝±x
1．设集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|20，则C是两条直线
A．{x|20，b>0，且a＋b＝1，则( )
OA垂直的平面．在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40°，则晷针与点
A．a2＋b2≥ B．2a－b>
A处的水平面所成角为( )
C．log a＋log b≥－2 D.＋≤
2 2
12．信息熵是信息论中的一个重要概念．设随机变量 X所有可能的取值为1,2，…，n，且P(X＝i)＝p>0(i＝
i
1,2，…，n)，＝1，定义X的信息熵H(X)＝－log p.( )
i i 2 i
A．若n＝1，则H(X)＝0
A．20° B．40° C．50° D．90° B．若n＝2，则H(X)随着p的增大而增大
i
5．某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜 C．若p＝(i＝1,2，…，n)，则H(X)随着n的增大而增大
i
欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是( ) D．若 n＝2m，随机变量 Y 所有可能的取值为 1,2，…，m，且 P(Y＝j)＝p＋p (j＝1,2，…，m)，则
j 2m＋1－j
A．62% B．56% C．46% D．42% H(X)≤H(Y)
6．基本再生数R 0 与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世 三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)
代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I(t)＝ert描述累计感染
13．斜率为的直线过抛物线C：y2＝4x的焦点，且与C交于A，B两点，则|AB|＝________.
病例数I(t)随时间t(单位：天)的变化规律，指数增长率r与R ，T近似满足R ＝1＋rT.有学者基于已有数据估计
0 0 14．将数列{2n－1}与{3n－2}的公共项从小到大排列得到数列{a}，则{a}的前n项和为________．
n n
出R＝3.28，T＝6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln 2≈0.69)( )
0 答案 3n2－2n
A．1.2天 B．1.8天 C．2.5天 D．3.5天
15.某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心，A
7．已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则AP·AB 的取值范围是( )
是圆弧AB与直线AG的切点，B是圆弧AB与直线BC的切点，四边形DEFG为矩形，BC⊥DG，垂足为C，
A．(－2,6) B．(－6,2) C．(－2,4) D．(－4,6)
tan∠ODC＝，BH∥DG，EF＝12 cm，DE＝2 cm，A到直线DE和EF的距离均为7 cm，圆孔半径为1 cm，则图
8．若定义在R上的奇函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，且f(2)＝0，则满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是( )
中阴影部分的面积为________ cm2.
A．[－1,1]∪[3，＋∞) B．[－3，－1]∪[0,1]
C．[－1,0]∪[1，＋∞) D．[－1,0]∪[1,3]
二、选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的
得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分)(3)根据(2)中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO 浓度有关？
2
四、解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 附：K2＝，
17．在①ac＝，②csin A＝3，③c＝b这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在， P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001
求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由． k 3.841 6.635 10.828
问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin A＝sin B，C＝，________？
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
18．已知公比大于1的等比数列{a}满足a＋a＝20，a＝8.
n 2 4 3
(1)求{a}的通项公式；
n
(2)记b 为{a}在区间(0，m](m∈N*)中的项的个数，求数列{b }的前100项和S .
m n m 100
20.如图，四棱锥P－ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD.设平面PAD与平面PBC的交线为l.
(1)证明：l⊥平面PDC；
(2)已知PD＝AD＝1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值．
19．为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了 100天空气中的
PM2.5和SO 浓度(单位：μg/m3)，得下表：
2
SO
2
[0,50] (50,150] (150,475]
PM2.5
21．已知函数f(x)＝aex－1－ln x＋ln a.
[0,35] 32 18 4
(1)当a＝e时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
(35,75] 6 8 12
(2)若f(x)≥1，求a的取值范围．
(75,115] 3 7 10
(1)估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且SO 浓度不超过150”的概率；
2
(2)根据所给数据，完成下面的2×2列联表：
SO
2
[0,150] (150,475]
PM2.5
[0,75]
(75,115]22．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，且过点A(2,1)．
(1)求C的方程；
(2)点M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D为垂足．证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值．
