文档内容
2009 年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)
理 科 数 学
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,共4页，满分150分，考试时间120分钟。考试结束
后,将本试卷和答题卡一并交回.
注意事项：
1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、县区和科类
填写在答题卡和试卷规定的位置上.，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置。
2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上。
3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔在答题卡各题的答题区域内作答;不能写在试题卷上;
如需改动，先画掉原来的答案,然后再写上新的答案;不能使用涂改液、胶带纸,修正带,
不按以上要求作答的答案无效。
4．填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明,证明过程或演算步骤.。
参考公式：
柱体的体积公式V=Sh，其中S是柱体的底面积，h是锥体的高。
锥体的体积公式V= ，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高。
如果事件A,B互斥,那么P(A+B)=P(A)+P(B);R如果事件A,B独立,那么P(AB)=P(A)P(B).
事件A在一次试验中发生的概率是 ,那么 次独立重复试验中事件A
恰好发生 次的概率: .
第Ⅰ卷(共60分)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。
（1）集合 , ,若 ,则 的值为
（A）0 （B）1 （C）2 （D）4
（2）复数 等于
（A） B） C） D）（3）将函数 的图象向左平移 个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数
解析式是
（A） （B）
（C） （D）
（4） 一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为
（A） （B）
2
2
（C） （D）
2
2
2
侧(左)视图
正(主)视图
（5） 已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一 条 直 线 ， 则 “ ”是“
”的
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
（6） 函数 的图像大致为
y y y
y
1 1
1 1
O 1 x O 1 x O 1 x
O 1
B
x
(7）设P是△A A BC 所 在平面内的一点 ，B ，则C D
A P C
第7 题 图(A） (B）
(C） (D）
(８）某工厂对一批产品进行了抽样检测.有图是根据抽样检测
频率/组距
后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中
0.150
产品净重的范围是[96，106]，样本数据分组为[96，98），
[98，100), [100，102)，[102，104),[104，106],已知样本
0.125
中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等
0.100
于98克并且小于104克的产品的个数是
(A）90 (B）75 (C） 60 (D）45
96 98 100 102 104克
0.075
(9） 设双曲线 的一条渐近线与抛物线 y=x +1 106 第 8 题 图
0.050
只有一个公共点，则双曲线的离心率为
(A） (B） 5 (C） (D）
(10） 定义在R上的函数f(x)满足f(x)= ，则f（2009）的
值为
(A）-1 (B） 0 (C）1 (D） 2
（11）在区间[-1，1]上随机取一个数x， 的值介于0到 之间的概率为( ).
（A） （B） （C）
（D）
y
x-y+2=0
z=ax+by
（12） 设x，y满足约束条件
2
，
-2 O 2 x
若目标函数z=ax+by（a>0，b>0）的是最大值为
3x-y-6=012，则 的最小值为( ).
（A） （B） （C） （D） 4
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。
（13）不等式 的解集为 .
（14）若函数f(x)=a -x-a(a>0且a 1)有两个零
开始
点，则实数a的取值范围是 .
（ 15 ） 执 行 右 边 的 程 序 框 图 ， 输 入 的 T=
S=0,T=0,n=0
.
（16）已知定义在 R 上的奇函数 ，满足
是
T>S
,且在区间[0,2]上是增函数,若
否
S=S+5
方程f(x)=m(m>0)在区间 上有四个不同的根 输出T
n=n+2
, 则 结束
T=T+n
三、解答题：本大题共6分，共74分。
（17）(本小题满分12分)设函数f(x)=cos(2x+ )+sin x.
(1)求函数f(x)的最大值和最小正周期.(2)设A,B,C为 ABC的三个内角，若cosB= ，f( )=－ ，且C为锐角，求sinA.
（18）（本小题满分12分）
如图，在直四棱柱 ABCD-A B C D 中，底面 ABCD 为等腰梯形，AB//CD，AB=4,
BC=CD=2, AA =2, E、E 、F分别是棱AD、AA 、AB的中点。
D C
1 1
（1） 证明：直线EE //平面FCC ；
A
1 B
1
（2） 求二面角B-FC -C的余弦值。
E
1
D C
E
A F B
(19)(本小题满分12分)
在某校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投3次；在A处每投进一球得
3分，在B处每投进一球得2分；如果前两次得分之和超过3分即停止投篮，否则投第三次，
某同学在A处的命中率q 为0.25，在B处的命中率为q ，该同学选择先在A处投一球，
以后都在B处投，用 表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为
0 2 3 4 5
p 0.03 P P P P
1 2 3 4（1） 求q 的值；
（2） 求随机变量 的数学期望E ;
（3） 试比较该同学选择都在B处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分的
概率的大小。
（20）（本小题满分12分）
等比数列{ }的前 n 项和为 ，已知对任意的 ，点 ，均在函数
且 均为常数)的图像上.
（1）求r的值；
（11）当b=2时，记
证明：对任意的 ，不等式 成立
（21）（本小题满分12分）
两县城A和B相距20km，现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧 上选择一点C建造垃
圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关，对城A和城B的总影响度
为城A与城B的影响度之和，记C点到城A的距离为x km，建在C处的垃圾处理厂对城A
和城B的总影响度为y,统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距
离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k ,当垃圾处理厂建在 的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065.
（I）将y表示成x的函数；
（Ⅱ）讨论（I）中函数的单调性，并判断弧 上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理
厂对城A和城B的总影响度最小？若存在，求出该点到城A的距离;若不存在，说明理由。
（22）（本小题满分14分）
设椭圆E: （a,b>0）过M（2， ） ，N( ,1)两点，O为坐标原点，
（I）求椭圆E的方程；
（II）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且
？若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，若不存在说明理由。2009年高考数学山东理科解析
一、选择题
1．
【答案】D
【解题关键点】因为 .所以 ,选D.
2．
【答案】C
【解题关键点】因为 ，故选C.
3．
【答案】B
【 解 题 关 键 点 】 由 题 意 知 ： 平 移 后 的 函 数 解 析 式 为
，
，选B.
4．
【答案】C
【解题关键点】由题意可知该几何体为一正四棱锥与一圆柱拼接而成的，所以改几何体的
体积为这个圆柱的体积与这个正四棱锥的体积之和，其中圆柱的底面园直径为 2，高为2，所以圆柱的体积为 ，正四棱锥的测棱长为2，底面正方形的对角线为2，所以此正四棱
锥的体积 ,为故选C.
5．
【答案】B
【解题关键点】由 为平面 内的一条直线且 得出 ；但是，反过来，若
且 为平面 内的一条直线，则不一定有 ，还可能有 与平面 相交但
不垂直、 、 .故选B.
6．
【答案】A
【解题关键点】排除法：因为当 时，函数 无意义，故排除 ,故选
A.
7．
【答案】B
【解题关键点】因为 ，所以点 为 的中点，.即有 ，故
选B.
8．
【答案】A
【解题关键点】因为样品中产品净重小于100克的个数为36，所以样本容量为
，所以样本中产品净重大于或等于 98克并且小于104克的个数为
，故选A.
9．
【答案】D
【解题关键点】由题意知：双曲线 的一条渐近线为 ，由方程组
消去y，得 有唯一解，所以 ，所以，故选D.
10．
【答案】C
【解题关键点】由已知得
所以函数 的值以6为周期重复性出现，所以 ，故选C
11．
【答案】A
【解题关键点】当 时，在区间 上，只有 或
，即 ，根据几何概型的计算方法，这个概率值是 .
12．
【答案】A
【解题关键点】不等式表示的平面区域如图所示的阴影部分，由题意知：
当直线 过直线 与直线
的交点 时，目标函数
取最大值12，即 ，即 ，而 ，当且仅
当 时取等号，故选A .
二、填空题
13．
【答案】
【解题关键点】原不等式等价于 ，两边平方并整理得： ，解得
.
14．
【答案】
【 解 题 关 键 点 】 函 数 = ( 且 ) 有 两 个 零 点 ， 方 程
有两个不相等的实数根，即两个函数 与 的图像有两个不同
的交点，当 时，两个函数的图像有且仅有一个交点，不合题意；当 时，两
个函数的图像有两个交点，满足题意.
15．
【答案】30
【解题关键点】由框图知，S=5,n=2,T=2;
S=10,n=4,T=2+4=6;S=15,n=6,T=6+6=12;
S=20.n=8,T=12+8=20;S=25,n=10,T=20+10=30>S,输出T=30.
16．
【答案】
【 解 题 关 键 点 】 因 为 定 义 在 上 的 奇 函 数 ， 满 足 ， 所 以
，所以，由 为奇函数，所以函数图像关于直线 对称且
，由 知 ，所以函数是以8为周期的周期函数，
又因为 在区间 上是增函数，所以 在区间 上也是增函数，如下图所
示，那么方程 在区间 上有四个不同的根 ，不妨设，由对称性知，
， ，所以 .
三、解答题
17．
【 答 案 】 （ I ）
，
当 时，函数 的最大值为 ，最小正周期为 .
（II） = =－ ，得到 ，又 为锐角，故 ，
故 .
18．
【答案】解法一：（I）在在直四棱柱
中，取 的中点 ，连结 ， 由于
，所以 平面 ，因此平面 即为平面 ，连结 ，
，由于 ，
所以四边形 为平行四边形，因此 ，又因为 、 分别是棱 、
的中点，所以 ，所以 ，又因为 平面 ， 平面
，所以直线 平面 .（II）因为 是棱 的中点，所以 为正
三角形，取 的中点 ，则 ，又因为直四棱柱 中，
平面 ，所以 ，所以 ，过 在平面 内作
，垂足为 ，连接 ，则为 二面角 的一个平面角，在
为正三角形中， ，在 中， ～ ，∵
∴ ，在 中， ，
，所以二面角 的余弦值为 .
解法二:（I）因为 是棱 的中点
所以 ，为正三角形，因为 为
等腰梯形,所以 ,取 的中点 ,
连接 ,则 ,所以 ，以 为 轴, 为 轴, 为 轴建立空间直
角坐标系如图所示,
则 （0,0,0）， ， ， ，
， ， ，所以
, , 设平面 的法
向 量 为 则 所 以 取 , 则
,所以 ,所以直线 平面 .
（II） ,设平面 的法向量为 ,则 所以
，取 ，则
，
, ，
所以 ,由图可知二面角 为锐角,所以二
面角 的余弦值为 .
19．
【答案】（I）设该同学在 处投中为事件 ,在 处投中为事件 ,则事件 , 相互独立,
且 , , , .
根据分布列知: =0时 =0.03,所以 ,
.（ II ） 当 =2 时 , =
， ( ) ，
( )
当 =3时, = ；
当 =4时, = ；
当 =5时, =
所以随机变量 的分布列为
随机变量 的数学期望
.
（III）该同学选择都在 处投篮得分超过3分的概率为
；
该同学选择（I）中方式投篮得分超过3分的概率为0.48+0.24=0.72.
因此该同学选择都在 处投篮得分超过3分的概率大于该同学选择第一次在 处投以后都
在 处投得分超过3分的概率.
20．
【答案】（I）由题意知： .当 时，
，由于 且 ，所以当
时，{ }是以 为公比的等比数列，又 ，，即
，解得 .（II） 当 时， ，
又 当 时 ， ， 适 合 上 式 ， ，
，
下面有数学归纳法来证明不等式：
证明：（1）当 时，左边 右边，不等式成立.
（2）假设当 时，不等式成立，即
， 当 时 ， 左 边
，
所以当 时,不等式也成立.
由（1）、（2）可得当 时，不等式 恒成立，所以
对任意的 ，不等式 成立.
21．
【答案】（I）如右图,由题意知
, ,
当垃圾处理厂建在弧 的中点时，垃圾处理厂到 、 的距离都相等，且为 ，所以有 ，
解得 ，
（II） ,
令 ，得 ，解得 ，即 ，
又因为 ，所以函数 在 上是减函数，在
上是增函数，
当 时，y取得最小值，
所以在弧 上存在一点，且此点到城市 的距离为 ，使建在此处的垃圾
处理厂对城市 、 的总影响度最小.
【解题关键点】
【结束】
22．
【答案】（I） 椭圆 : 过 （2， ）， ( ,1)两点，
，解得 ，所以椭圆 的方程为 .
（II）假设存在该圆，满足条件，则要使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点，
只该圆在椭圆内部，设该圆的方程为 ，则当直线 的斜率存在时，
设该圆的切线方程为 ，解方程组 得,即 ,
则 ,即
,
要使 ,需使 ,即 ,所以 ,
所以 又 ,所以 ,所以 ,即 或
，因为直线 为圆心在原点的圆的一条切线，所以圆的半径为
, , ,所求的圆为 ,此时圆的切
线 都满足 或 ,而当切线的斜率不存在时切线为
与椭圆 的两个交点为 或 满足 ,
，
当 时, ，
当 时 ，因为 所以 ,故
当AB的斜率不存在时, .
综上，存在圆心在原点的圆 ，使得该圆的任意一条切线与椭圆 恒有两个交
点 , 且 的取值范围是 .
