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2012年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)
文科数学
第Ⅰ卷(共 60 分)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
(1)若复数z满足 为虚数单位)，则 为
(A)3+5i (B)3－5i (C)－3+5i (D)－3－5i
(2)已知全集 ，集合 ， ，则 为
(A){1,2,4} (B){2,3,4} (C){0,2,4} (D){0,2,3,4}
(3)函数 的定义域为
(A) (B) (C) (D)
(4)在某次测量中得到的A样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88.若B
样本数据恰好是A样本数据都加2后所得数据，则A，B两样本的下列数字特征对应相
同的是
(A)众数 (B)平均数 (C)中位数 (D)标准差
(5)设命题p：函数 的最小正周期为 ；命题q：函数 的图象关于直线
对称.则下列判断正确的是
(A)p为真 (B) 为假 (C) 为假 (D) 为真
(6)设变量 满足约束条件 则目标函数 的取值范围是
(A) (B) (C) (D)
(7)执行右面的程序框图，如果输入 ＝4，那么输出的n的值为
(A)2 (B)3 (C)4 (D)5
(8)函数 的最大值与最小值之和为
(A) (B)0 (C)－1 (D)
(9)圆 与圆 的位置关系为
(A)内切 (B)相交 (C)外切 (D)相离(10)函数 的图象大致为
(11)已知双曲线 ： 的离心率为2.若抛物线 的焦
点到双曲线 的渐近线的距离为2，则抛物线 的方程为
16 3
(A) (B) x2 y (C) (D)
3 [来源:Z_xx_k.Com]
(12)设函数 ， .若 的图象与 的图象有且仅有两个不
同的公共点 ，则下列判断正确的是
(A) (B)
(C) (D)x x 0,y y 0
1 2 1 2
第Ⅱ卷(共 90 分)
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.
(13)如图，正方体 的棱长为1，E为线段 上的一
点，则三棱锥 的体积为＿＿＿＿＿.
(14)右图是根据部分城市某年6月份的平均气温(单位：℃)数据
得到的样本频率分布直方图，其中平均气温的范围是
［20.5，26.5］，样本数据的分组为 ， ，
， ， ， .已知样本
中平均气温低于22.5℃的城市个数为11，则样本中平均气温
不低于25.5℃的城市个数为＿＿＿＿.
(15)若函数 在［－1，2］上的最大值为 4，最小值为 m，且函数
在 上是增函数，则a＝＿＿＿＿.
(16)如图，在平面直角坐标系 中，一单位圆的圆心的初始
位置在(0，1)，此时圆上一点P的位置在(0，0)，圆在x轴
上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于(2，1)时， 的坐标为
＿＿＿＿.
三、解答题：本大题共6小题，共74分.
(17)(本小题满分12分)在△ABC中，内角 所对的边分别为 ，已知 .
(Ⅰ)求证： 成等比数列；
(Ⅱ)若 ，求△ 的面积S.
(18)(本小题满分12分)
袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1，2，3；蓝色卡片两张，标号分
别为1，2.
(Ⅰ)从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率；
(Ⅱ)现袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡
片颜色不同且标号之和小于4的概率.
(19) (本小题满分12分)
如图，几何体 是四棱锥，△ 为正三角形，
.
(Ⅰ)求证： ；
(Ⅱ)若∠ ，M为线段AE的中点，
求证： ∥平面 .
(20) (本小题满分12分)
已知等差数列 的前5项和为105，且 .
(Ⅰ)求数列 的通项公式；
(Ⅱ)对任意 ，将数列 中不大于 的项的个数记为 .求数列 的前m项
和 .
(21) (本小题满分13分)如图，椭圆 的离心率为 ，直线 和 所围成的矩
形ABCD的面积为8.
(Ⅰ)求椭圆M的标准方程；
(Ⅱ) 设直线 与椭圆M有两个不同的交
点 与矩形ABCD有两个不同的交点 .求
的最大值及取得最大值时m的值.
(22) (本小题满分13分)
已知函数 为常数，e=2.71828…是自然对数的底数)，曲线 在
点 处的切线与x轴平行.
(Ⅰ)求k的值；
(Ⅱ)求 的单调区间；
(Ⅲ)设 ，其中 为 的导函数.证明：对任意 .
[来源:学科网ZXXK]参考答案：
一、选择题：
(1)A (2)C (3)B (4)D (5)C (6)A (7)B (8)A (9)B (10)D (11)D (12)B
(12)解：设 ，则方程 与 同解，故其有且仅有两个不
同零点 .由 得 或 .这样，必须且只须 或 ，因
为 ，故必有 由此得 .不妨设 ，则 .所以
，比较系数得 ，故 . ，由此
知 ，故答案为B.
二、填空题
(13) 以△ 为底面，则易知三棱锥的高为1，故 .
[来源:Zxxk.Com]
(14)9 最左边两个矩形面积之和为0.10×1+0.12×1＝0.22，总城市数为11÷0.22＝50，最右
面矩形面积为0.18×1＝0.18，50×0.18＝9.
(15) 当 时，有 ，此时 ，此时 为减函数，不合
题意.若 ，则 ，故 ，检验知符合题意.
(16)
三、解答题
(17)(I)由已知得：
，
，
，
再由正弦定理可得： ，
所以 成等比数列.
(II)若 ，则 ，
∴ ，
，
∴△ 的面积 .(18)(I)从五张卡片中任取两张的所有可能情况有如下10种：红 红 ，红 红 ，红 蓝 ，红
1 2 1 3 1 1
蓝 ，红 红 ，红 蓝 ，红 蓝 ，红 蓝 ，红 蓝 ，蓝 蓝 .其中两张卡片的颜色不同
1 2 2 3 2 1 2 2 3 1 3 2 1 2
且标号之和小于4的有3种情况，故所求的概率为 .
(II)加入一张标号为0的绿色卡片后，从六张卡片中任取两张，除上面的10种情况外，
多出5种情况：红 绿 ，红 绿 ，红 绿 ，蓝 绿 ，蓝 绿 ，即共有15种情况，其中
1 0 2 0 3 0 1 0 2 0
颜色不同且标号之和小于4的有8种情况，所以概率为 .
(19)(I)设 中点为O，连接OC，OE，则由 知， ，
又已知 ，所以 平面OCE.
所以 ，即OE是BD的垂直平分线，
所以 .
(II)取AB中点N，连接 ，
∵M是AE的中点，∴ ∥ ，
∵△ 是等边三角形，∴ .
由∠BCD＝120°知，∠CBD＝30°，所以∠ABC＝60°+30°＝90°，即 ，
所以ND∥BC，
所以平面MND∥平面BEC，故DM∥平面BEC.
(20)(I)由已知得：
解得 ,
所以通项公式为 .
(II)由 ，得 ，
即 .
∵ ，
∴ 是公比为49的等比数列，
∴ .
(21)(I) ……①
矩形ABCD面积为8，即 ……②
由①②解得： ，
∴椭圆M的标准方程是 .(II) ，
设 ，则 ，
由 得 .
.
当 过 点时， ，当 过 点时， .
①当 时，有 ，
[来源:学科网]
，
其中 ，由此知当 ，即 时， 取得最大值 .
②由对称性，可知若 ，则当 时， 取得最大值 .
③当 时， ， ，
由此知，当 时， 取得最大值 .
综上可知，当 和0时， 取得最大值 .
(22)(I) ，
由已知， ，∴ .
(II)由(I)知， .
设 ，则 ，即 在 上是减函数，
由 知，当 时 ，从而 ，
当 时 ，从而 .
综上可知， 的单调递增区间是 ，单调递减区间是 .
(III)由(II)可知，当 时， ≤0＜1+ ，故只需证明 在
时成立.当 时， ＞1，且 ，∴ .
设 ， ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
所以当 时， 取得最大值 .
所以 .
综上，对任意 ， .
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