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2012年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)
(10)函数 的图象大致为
文科数学
第Ⅰ卷(共 60 分)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求
的.
(11)已知双曲线 ： 的离心率为2.若抛物线 的焦点到双曲线 的渐近
(1)若复数z满足 为虚数单位)，则 为
线的距离为2，则抛物线 的方程为
(A)3+5i (B)3－5i (C)－3+5i (D)－3－5i
(2)已知全集 ，集合 ， ，则 为 (A) (B) (C) (D)
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(A){1,2,4} (B){2,3,4} (C){0,2,4} (D){0,2,3,4}
(12)设函数 ， .若 的图象与 的图象有且仅有两个不同的公共点
(3)函数 的定义域为
，则下列判断正确的是
(A) (B) (C) (D)
(A) (B)
(4)在某次测量中得到的A样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88.若B样本数据恰好是A样
(C) (D)
本数据都加2后所得数据，则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是
(A)众数 (B)平均数 (C)中位数 (D)标准差 第Ⅱ卷(共 90 分)
(5)设命题p：函数 的最小正周期为 ；命题q：函数 的图象关于直线 对称.则下列判断
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.
正确的是 (13)如图，正方体 的棱长为 1，E 为线段 上的一点，则三棱锥
(A)p为真 (B) 为假 (C) 为假 (D) 为真
的体积为＿＿＿＿＿.
(14)右图是根据部分城市某年6月份的平均气温(单位：℃)数据
(6)设变量 满足约束条件 则目标函数 的取值范围是
得到的样本频率分布直方图，其中平均气温的范围是 ［20.5，26.5］，
样本数据的分组为 ， ， ， ，
(A) (B) (C) (D)
， .已知样本中平均气温低于22.5℃的 城市个数为11，则
(7)执行右面的程序框图，如果输入 ＝4，那么输出的n的值为 样本中平均气温不低于25.5℃的城市个数为＿＿＿＿.
(A)2 (B)3 (C)4 (D)5 (15)若函数 在［－1，2］上的最大值为4， 最小值为m，且函
(8)函数 的最大值与最小值之和为 数 在 上是增函数，则a＝＿＿＿＿.
(16)如图，在平面直角坐标系 中，一单位圆的圆心的初始位置在(0，1)，此时圆
(A) (B)0 (C)－1 (D)
上一点P的位置在(0，0)，圆在x轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于(2，1)时，
(9)圆 与圆 的位置关系为
的坐标为＿＿＿＿.
(A)内切 (B)相交 (C)外切 (D)相离
三、解答题：本大题共6小题，共74分.(17)(本小题满分12分)
如图，椭圆 的离心率为 ，直线 和 所围成的矩形ABCD的面积为8.
在△ABC中，内角 所对的边分别为 ，已知 .
(Ⅰ)求椭圆M的标准方程；
(Ⅰ)求证： 成等比数列；
(Ⅱ) 设直线 与椭圆M有两个不同的交点 与矩形ABCD
(Ⅱ)若 ，求△ 的面积S.
有两个不同的交点 .求 的最大值及取得最大值时m的值.
(18)(本小题满分12分)
袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1，2，3；蓝色卡片两张，标号分别为1，2.
(Ⅰ)从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率；
(Ⅱ)现袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和
小于4的概率.
(22) (本小题满分13分)
已知函数 为常数，e=2.71828…是自然对数的底数)，曲线 在点 处的切线与
x轴平行.
(19) (本小题满分12分)
(Ⅰ)求k的值；
如图，几何体 是四棱锥，△ 为正三角形， .
(Ⅱ)求 的单调区间；
(Ⅰ)求证： ；
(Ⅲ)设 ，其中 为 的导函数.证明：对任意 .
(Ⅱ)若∠ ，M为线段AE的中点， [来源:学科网ZXXK]
求证： ∥平面 .
(20) (本小题满分12分)
已知等差数列 的前5项和为105，且 .
(Ⅰ)求数列 的通项公式；
(Ⅱ)对任意 ，将数列 中不大于 的项的个数记为 .求数列 的前m项和 .
(21) (本小题满分13分)参考答案： (18)(I)从五张卡片中任取两张的所有可能情况有如下10种：红 红 ，红 红 ，红 蓝 ，红 蓝 ，红 红 ，红
1 2 1 3 1 1 1 2 2 3 2
蓝 ，红 蓝 ，红 蓝 ，红 蓝 ，蓝 蓝 .其中两张卡片的颜色不同且标号之和小于4的有3种情况，故所求
1 2 2 3 1 3 2 1 2
一、选择题：
的概率为 .
(1)A (2)C (3)B (4)D (5)C (6)A (7)B (8)A (9)B (10)D (11)D (12)B
(II)加入一张标号为0的绿色卡片后，从六张卡片中任取两张，除上面的10种情况外，多出5种情况：红 绿
(12)解： 设 ，则方程 与 同解，故其有且仅有两个不同零点 .由 1
，红 绿 ，红 绿 ，蓝 绿 ，蓝 绿 ，即共有15种情况，其中颜色不同且标号之和小于4的有8种情况，
0 2 0 3 0 1 0 2 0
得 或 .这样，必须且只须 或 ，因为 ，故必有 由此
所以概率为 .
得 .不妨设 ，则 .所以 ，比较系数得 ，故
(19)(I)设 中点为O，连接OC，OE，则由 知， ，
又已知 ，所以 平面OCE.
. ，由此知 ，故答案为B.
所以 ，即OE是BD的垂直平分线，
二、填空题 所以 .
(II)取AB中点N，连接 ，
(13) 以△ 为底面，则易知三棱锥的高为1，故 .
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∵M是AE的中点，∴ ∥ ，
(14)9 最左边两个矩形面积之和为0.10×1+0.12×1＝0.22，总城市数为11÷0.22＝50，最右面矩形面积为0.18×1
∵△ 是等边三角形，∴ .
＝0.18，50×0.18＝9.
由∠BCD＝120°知，∠CBD＝30°，所以∠ABC＝60°+30°＝90°，即 ，
(15) 当 时，有 ，此时 ，此时 为减函数，不合题意.若 ，则 所以ND∥BC，
所以平面MND∥平面BEC，故DM∥平面BEC.
，故 ，检验知符合题意.
(20)(I)由已知得：
(16)
三、解答题 解得 ,
(17)(I)由已知得：
所以通项公式为 .
，
(II)由 ，得 ，
，
即 .
，
再由正弦定理可得： ， ∵ ，
所以 成等比数列.
∴ 是公比为49的等比数列，
(II)若 ，则 ，
∴ .
∴ ，
(21)(I) ……①
，
矩形ABCD面积为8，即 ……②
∴△ 的面积 . 由①②解得： ，综上可知， 的单调递增区间是 ，单调递减区间是 .
∴椭圆M的标准方程是 .
(III)由(II)可知，当 时， ≤0＜1+ ，故只需证明 在 时成立.
(II) ，
当 时， ＞1，且 ，∴ .
设 ， ，则 ，
设 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
由 得 .
所以当 时， 取得最大值 .
. 所以 .
综上，对任意 ， .
当 过 点时， ，当 过 点时， .
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①当 时，有 ，
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，
其中 ，由此知当 ，即 时， 取得最大值 .
②由对称性，可知若 ，则当 时， 取得最大值 .
③当 时， ， ，
由此知，当 时， 取得最大值 .
综上可知，当 和0时， 取得最大值 .
(22)(I) ，
由已知， ，∴ .
(II)由(I)知， .
设 ，则 ，即 在 上是减函数，
由 知，当 时 ，从而 ，
当 时 ，从而 .
