文档内容
2021 年普通高等学校招生全国统一考试
数 学
本试卷共4页，22小题，满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在
答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴
在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案
信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷
上。
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指
定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准
使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。
1.设集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
2.已知 ，则 （ ）
A. B. C. D.
3.已知圆锥的底面半径为 ，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（ ）
A.2 B. C.4 D.
4.下列区间中，函数 单调递增的区间是（ ）
A. B. C. D.
5.已知 ， 是椭圆 ： 的两个焦点，点 在 上，则 的最大值
为（ ）
A.13B.12C.9 D.66.若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
7.若过点 可以作曲线 的两条切线，则（ ）
A. B. C. D.
8.有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取 1
个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是
2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和
是7”，则（ ）
A.甲与丙相互独立 B.甲与丁相互独立
C.乙与丙相互独立 D.丙与丁相互独立
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.有一组样本数据 ， ，…， ，由这组数据得到新样本数据 ， ，…， ，其中
（ ），c为非零常数，则（ ）
A.两组样本数据的样本平均数相同
B.两组样本数据的样本中位数相同
C.两组样本数据的样本标准差相同
D.两组样数据的样本极差相同
10. 已 知 为 坐 标 原 点 ， 点 ， ，
， ，则（ ）
A. B.
C. D.
11.已知点 在圆 上，点 ， ，则（ ）
A.点 到直线 的距离小于10
B.点 到直线 的距离大于2
C.当 最小时，D.当 最大时，
12.在正三棱柱 中， ，点 满足 ，其中
， ，则（ ）
A.当 时， 的周长为定值
B.当 时，三棱锥 的体积为定值
C.当 时，有且仅有一个点 ，使得
D.当 时，有且仅有一个点 ，使得 平面
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知函数 是偶函数，则 ______.
14.已知 为坐标原点，抛物线 ： （ ）的焦点为 ， 为 上一点，
与 轴垂直， 为 轴上一点，且 .若 ，则 的准线方程为______.
15.函数 的最小值为______.
16.某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折.规格为
的长方形纸，对折1次共可以得到 ， 两种规格的图
形，它们的面积之和 ，对折 2 次共可以得到 ， ，
三种规格的图形，它们的面积之和 ，以此类推.则对折4次共可以
得到不同规格图形的种数为______；如果对折 次，那么 ______ .
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（10分）
已知数列 满足 ，（1）记 ，写出 ， ，并求数列 的通项公式；
（2）求 的前20项和.
18.（12分）
某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题.每位参加比赛的同学先在两类问题中
选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另
一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每
个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分.
己知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回
答问题的概率与回答次序无关.
（1）若小明先回答A类问题，记 为小明的累计得分，求 的分布列；
（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.
19.（12分）
记 是内角 ， ， 的对边分别为 ， ， .已知 ，点 在边 上，
.
（1）证明： ；
（2）若 ，求 .
20.（12分）
如图，在三棱锥 中，平面 平面 ， ， 为 的中点.（1）证明： ；
（2）若 是边长为 1 的等边三角形，点 在棱 上， ，且二面角
的大小为 ，求三棱锥 的体积.
21.（12分）
在平面直角坐标系 中，已知点 ， ，点 满足 .
记 的轨迹为 .
（1）求 的方程；
（2）设点 在直线 上，过 的两条直线分别交 于 ， 两点和 ， 两点，且
，求直线 的斜率与直线 的斜率之和.
22.（12分）
已知函数 .
（1）讨论 的单调性；
（2）设 ， 为两个不相等的正数，且 ，证明： .
