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2020 年普通高等学校招生全国统一考试 新高考全国Ⅰ
一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的)
1．设集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|20时，要满足xf(x－1)≥0，则f(x－1)≥0，
得1≤x≤3.
故满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是[－1,0]∪[1,3]．
二、选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分)
9．已知曲线C：mx2＋ny2＝1.( )
A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B．若m＝n>0，则C是圆，其半径为
C．若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为y＝±x
D．若m＝0，n>0，则C是两条直线
答案 ACD解析 对于A，当m>n>0时，有>>0，方程化为＋＝1，表示焦点在y轴上的椭圆，故A正
确．
对于B，当m＝n>0时，方程化为x2＋y2＝，表示半径为的圆，故B错误．
对于C，当m>0，n<0时，方程化为－＝1，表示焦点在x轴上的双曲线，其中a＝，b＝，
渐近线方程为y＝±x；当m<0，n>0时，方程化为－＝1，表示焦点在y轴上的双曲线，其
中a＝，b＝，渐近线方程为y＝±x，故C正确．
对于D，当m＝0，n>0时，方程化为y＝±，表示两条平行于x轴的直线，故D正确．
10．如图是函数y＝sin(ωx＋φ)的部分图象，则sin(ωx＋φ)等于( )
A．sin B．sin
C．cos D．cos
答案 BC
解析 由图象知＝－＝，得T＝π，
所以ω＝＝2.
又图象过点，
由“五点法”，结合图象可得φ＋＝π，即φ＝，
所以sin(ωx＋φ)＝sin，故A错误；
由sin＝sin＝sin知B正确；
由sin＝sin＝cos知C正确；
由sin＝cos＝cos
＝－cos知D错误．
11．已知a>0，b>0，且a＋b＝1，则( )
A．a2＋b2≥ B．2a－b>
C．log a＋log b≥－2 D.＋≤
2 2
答案 ABD
解析 因为a>0，b>0，a＋b＝1，
所以a＋b≥2，
当且仅当a＝b＝时，等号成立，即有ab≤.
对于A，a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab≥1－2×＝，故A正确；
对于B,2a－b＝22a－1＝×22a，
因为a>0，所以22a>1，即2a－b>，故B正确；
对于C，log a＋log b＝log ab≤log ＝－2，故C错误；
2 2 2 2对于D，由(＋)2＝a＋b＋2＝1＋2≤2，
得＋≤，故D正确．
12．信息熵是信息论中的一个重要概念．设随机变量X所有可能的取值为1,2，…，n，且
P(X＝i)＝p>0(i＝1,2，…，n)，＝1，定义X的信息熵H(X)＝－log p.( )
i i i 2 i
A．若n＝1，则H(X)＝0
B．若n＝2，则H(X)随着p的增大而增大
i
C．若p＝(i＝1,2，…，n)，则H(X)随着n的增大而增大
i
D．若n＝2m，随机变量Y所有可能的取值为 1,2，…，m，且P(Y＝j)＝p＋p (j＝
j 2m＋1－j
1,2，…，m)，则H(X)≤H(Y)
答案 AC
解析 对于A，当n＝1时，p＝1，H(X)＝－1×log 1＝0，故A正确；
1 2
对于B，当n＝2时，有p＋p＝1，此时，若p＝或都有H(X)＝－，故B错误；
1 2 1
对于C，当p＝(i＝1,2，…，n)时，
i
H(X)＝－log ＝－n×log ＝log n.
2 2 2
显然H(X)随n的增大而增大，故C正确；
对于D，方法一 当n＝2m时，
H(X)＝－(plog p＋plog p＋…＋p log p ＋p log p )
1 2 1 2 2 2 2m－1 2 2m－1 2m 2 2m
＝－[(plog p＋p log p )＋(plog p＋p log p )＋…＋(p log p ＋p log p )]，
1 2 1 2m 2 2m 2 2 2 2m－1 2 2m－1 m 2 m m＋1 2 m＋1
H(Y)＝－[(p ＋p )log (p ＋p )＋(p ＋p )·log (p ＋p )＋…＋(p ＋p )log (p ＋p
1 2m 2 1 2m 2 2m－1 2 2 2m－1 m m＋1 2 m m＋
)]，
1
由于plog p＋p log p ＝log ( · )H(Y)．
方法二 (特值法)
令m＝1，则n＝2，p＝，p＝.
1 2
P(Y＝1)＝1，H(Y)＝－log 1＝0，
2
H(X)＝－>0，
∴H(X)>H(Y)．
三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)
13．斜率为的直线过抛物线C：y2＝4x的焦点，且与C交于A，B两点，则|AB|＝________.答案
解析 如图，由题意得，抛物线焦点为F(1,0)，
设直线AB的方程为y＝(x－1)．
由
得3x2－10x＋3＝0.
设A(x，y)，B(x，y)，
1 1 2 2
则x＋x＝，
1 2
所以|AB|＝x＋x＋2＝.
1 2
14．将数列{2n－1}与{3n－2}的公共项从小到大排列得到数列{a}，则{a}的前n项和为
n n
________．
答案 3n2－2n
解析 方法一 (观察归纳法)
数列{2n－1}的各项为1,3,5,7,9,11,13，…；
数列{3n－2}的各项为1,4,7,10,13，….
观察归纳可知，两个数列的公共项为1,7,13，…，是首项为1，公差为6的等差数列，
则a＝1＋6(n－1)＝6n－5.
n
故前n项和为S＝＝
n
＝3n2－2n.
方法二 (引入参变量法)
令b＝2n－1，c ＝3m－2，b＝c ，
n m n m
则2n－1＝3m－2，即3m＝2n＋1，m必为奇数．
令m＝2t－1，则n＝3t－2(t＝1,2,3，…)．
a＝b ＝c ＝6t－5，即a＝6n－5.
t 3t－2 2t－1 n
以下同方法一．
15.某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O为圆孔及轮廓圆弧
AB所在圆的圆心，A是圆弧AB与直线AG的切点，B是圆弧AB与直线BC的切点，四边
形DEFG为矩形，BC⊥DG，垂足为C，tan∠ODC＝，BH∥DG，EF＝12 cm，DE＝2 cm，
A到直线DE和EF的距离均为7 cm，圆孔半径为1 cm，则图中阴影部分的面积为________
cm2.答案 4＋
解析 如图，连接OA，过A作AP⊥EF，
分别交EF，DG，OH于点P，Q，R.
由题意知AP＝EP＝7，
又DE＝2，EF＝12，
所以AQ＝QG＝5，
所以∠AHO＝∠AGQ＝.
因为OA⊥AH，所以∠AOH＝，∠AOB＝.
设AR＝x，则OR＝x，RQ＝5－x.
因为tan∠ODC＝，
所以tan∠ODC＝＝，
解得x＝2，则OA＝2.
所以S＝S ＋S －S
扇形AOB △AOH 小半圆
＝××(2)2＋×4×2－π×12
＝cm2.
16．已知直四棱柱ABCD－ABC D 的棱长均为2，∠BAD＝60°.以D 为球心，为半径的球
1 1 1 1 1
面与侧面BCC B 的交线长为________．
1 1
答案
解析 如图，设BC 的中点为E，
1 1
球面与棱BB，CC 的交点分别为P，Q，
1 1
连接DB，DB，DP，DE，EP，EQ，
1 1 1 1
由∠BAD＝60°，AB＝AD，知△ABD为等边三角形，
∴DB＝DB＝2，
1 1
∴△DBC 为等边三角形，
1 1 1则DE＝且DE⊥平面BCC B，
1 1 1 1
∴E为球面截侧面BCC B 所得截面圆的圆心，
1 1
设截面圆的半径为r，
则r＝＝＝.
又由题意可得EP＝EQ＝，
∴球面与侧面BCC B 的交线为以E为圆心的圆弧PQ.
1 1
又DP＝，
1
∴BP＝＝1，
1
同理C Q＝1，
1
∴P，Q分别为BB，CC 的中点，
1 1
∴∠PEQ＝，
知 的长为×＝，即交线长为.
四、解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．在①ac＝，②csin A＝3，③c＝b这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问
题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin A＝sin B，C
＝，________？
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
解 方案一：选条件①.
由C＝和余弦定理得＝.
由sin A＝sin B及正弦定理得a＝b.
于是＝，
由此可得b＝c.
由①ac＝，解得a＝，b＝c＝1.
因此，选条件①时问题中的三角形存在，此时c＝1.
方案二：选条件②.
由C＝和余弦定理得＝.
由sin A＝sin B及正弦定理得a＝b.
于是＝，
由此可得b＝c，B＝C＝，A＝.
由②csin A＝3，所以c＝b＝2，a＝6.
因此，选条件②时问题中的三角形存在，此时c＝2.
方案三：选条件③.由C＝和余弦定理得＝.
由sin A＝sin B及正弦定理得a＝b.
于是＝，
由此可得b＝c.
由③c＝b，与b＝c矛盾．
因此，选条件③时问题中的三角形不存在．
18．已知公比大于1的等比数列{a}满足a＋a＝20，a＝8.
n 2 4 3
(1)求{a}的通项公式；
n
(2)记b 为{a}在区间(0，m](m∈N*)中的项的个数，求数列{b }的前100项和S .
m n m 100
解 (1)由于数列{a}是公比大于1的等比数列，
n
设首项为a，公比为q，
1
依题意有解得或(舍)
所以{a}的通项公式为a＝2n，n∈N*.
n n
(2)由于21＝2,22＝4,23＝8,24＝16,25＝32,26＝64，27＝128，
所以b 对应的区间为(0,1]，则b＝0；
1 1
b，b 对应的区间分别为(0,2]，(0,3]，
2 3
则b＝b＝1，即有2个1；
2 3
b，b，b，b 对应的区间分别为
4 5 6 7
(0,4]，(0,5]，(0,6]，(0,7]，
则b＝b＝b＝b＝2，
4 5 6 7
即有22个2；
b，b，…，b 对应的区间分别为(0,8]，(0,9]，…，(0,15]，则b＝b＝…＝b ＝3，
8 9 15 8 9 15
即有23个3；
b ，b ，…，b 对应的区间分别为(0,16]，(0,17]，…，(0,31]，
16 17 31
则b ＝b ＝…＝b ＝4，即有24个4；
16 17 31
b ，b ，…，b 对应的区间分别为(0,32]，(0,33]，…，(0,63]，
32 33 63
则b ＝b ＝…＝b ＝5，即有25个5；
32 33 63
b ，b ，…，b 对应的区间分别为(0,64]，(0,65]，…，(0,100]，
64 65 100
则b ＝b ＝…＝b ＝6，即有37个6.
64 65 100
所以S ＝1×2＋2×22＋3×23＋4×24＋5×25＋6×37＝480.
100
19．为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查
了100天空气中的PM2.5和SO 浓度(单位：μg/m3)，得下表：
2
SO
2
[0,50] (50,150] (150,475]
PM2.5[0,35] 32 18 4
(35,75] 6 8 12
(75,115] 3 7 10
(1)估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且SO 浓度不超过150”的概率；
2
(2)根据所给数据，完成下面的2×2列联表：
SO
2
[0,150] (150,475]
PM2.5
[0,75]
(75,115]
(3)根据(2)中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO 浓度
2
有关？
附：K2＝，
P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
解 (1)由表格可知，该市100天中，空气中的PM2.5浓度不超过75，且SO 浓度不超过
2
150的天数为32＋6＋18＋8＝64，
所以该市一天中，空气中的PM2.5浓度不超过75，且SO 浓度不超过150的概率的估计值
2
为＝0.64.
(2)由所给数据，可得2×2列联表：
SO
2
[0,150] (150,475]
PM2.5
[0,75] 64 16
(75,115] 10 10
(3)根据2×2列联表中的数据可得
K2＝
＝
≈7.484>6.635，
故有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO 浓度有关．
2
20.如图，四棱锥P－ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD.设平面PAD与平面PBC的
交线为l.(1)证明：l⊥平面PDC；
(2)已知PD＝AD＝1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值．
(1)证明 在正方形ABCD中，AD∥BC，
因为AD⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，
所以AD∥平面PBC，
又因为AD⊂平面PAD，平面PAD∩平面PBC＝l，
所以AD∥l，
因为在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，
所以AD⊥DC，所以l⊥DC，
且PD⊥平面ABCD，所以AD⊥PD，所以l⊥PD，
因为DC∩PD＝D，
所以l⊥平面PDC.
(2)解 以D为坐标原点，DA的方向为x轴正方向，如图建立空间直角坐标系D－xyz，
因为PD＝AD＝1，则有D(0,0,0)，C(0,1,0)，A(1,0,0)，P(0,0,1)，B(1，1,0)，
设Q(m,0,1)，
则有DC＝(0,1,0)，DQ＝(m,0,1)，PB＝(1,1，－1)，
设平面QCD的法向量为n＝(x，y，z)，
则即
令x＝1，则z＝－m，
所以平面QCD的一个法向量为n＝(1,0，－m)，
则cos〈n，PB〉＝＝.
根据直线的方向向量与平面法向量所成角的余弦值的绝对值即为直线与平面所成角的正弦
值，
所以直线PB与平面QCD所成角的正弦值等于
|cos〈n，PB〉|＝
＝·＝·≤·≤·＝，
当且仅当m＝1时取等号，
所以直线PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值为.
21．已知函数f(x)＝aex－1－ln x＋ln a.
(1)当a＝e时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
(2)若f(x)≥1，求a的取值范围．
解 f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝aex－1－.
(1)当a＝e时，f(x)＝ex－ln x＋1，f′(x)＝ex－，
所以f(1)＝e＋1，f′(1)＝e－1，
曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－(e＋1)＝(e－1)(x－1)，
即y＝(e－1)x＋2.
直线y＝(e－1)x＋2在x轴，y轴上的截距分别为－，2.
因此所求三角形的面积为.
(2)当00.
所以当x＝1时，f(x)取得最小值，最小值为f(1)＝1，
从而f(x)≥1.
当a>1时，f(x)＝aex－1－ln x＋ln a≥ex－1－ln x≥1.
综上，a的取值范围是[1，＋∞)．
22．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，且过点A(2,1)．
(1)求C的方程；
(2)点M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D为垂足．证明：存在定点Q，使得|DQ|为定
值．
(1)解 由题设得＋＝1，＝，
解得a2＝6，b2＝3.
所以C的方程为＋＝1.
(2)证明 设M(x，y)，N(x，y)．
1 1 2 2
若直线MN与x轴不垂直，
设直线MN的方程为y＝kx＋m，代入＋＝1，
得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－6＝0.
于是x＋x＝－，xx＝.①
1 2 1 2
由AM⊥AN，得AM·AN＝0，故(x－2)(x－2)＋(y－1)(y－1)＝0，
1 2 1 2
整理得(k2＋1)xx＋(km－k－2)(x＋x)＋(m－1)2＋4＝0.
1 2 1 2
将①代入上式，可得(k2＋1)－(km－k－2)·＋(m－1)2＋4＝0，
整理得(2k＋3m＋1)(2k＋m－1)＝0.
因为A(2,1)不在直线MN上，
所以2k＋m－1≠0，所以2k＋3m＋1＝0，k≠1.
所以直线MN的方程为y＝k－(k≠1)．
所以直线MN过点P.
若直线MN与x轴垂直，可得N(x，－y)．
1 1
由AM·AN＝0，
得(x－2)(x－2)＋(y－1)(－y－1)＝0.
1 1 1 1
又＋＝1，所以3x－8x＋4＝0.
1
解得x＝2(舍去)，x＝.
1 1
此时直线MN过点P.
令Q为AP的中点，即Q.
若D与P不重合，则由题设知AP是Rt△ADP的斜边，
故|DQ|＝|AP|＝.
若D与P重合，则|DQ|＝|AP|.
综上，存在点Q，使得|DQ|为定值．
