2014年高考真题数学文（山东卷）（解析版）_全国卷+地方卷_2.数学_1.数学高考真题试卷_2008-2020年_地方卷_山东高考数学08-22_A3版

2014 年普通高等学校招生全国统一考试文科数学山东卷 频率/组距 0.36 第Ｉ卷（共 50 分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 0.24 (1) 已知 是虚数单位. 若 ＝ ，则 (A) (B) (C) (D) 0.16 (2) 设集合 ，则 0.08 (A) (B) (C) (D) (3) 函数 的定义域为 12 13 14 15 16 17 舒张压/kPa (A) (B) (C) (D) (A) 6 (B) 8 (4) 用反证法证明命题：“设 为实数，则方程 至少有一个实根”时，要做的假设是 (C) 12 (A) 方程 没有实根 (B) 方程 至多有一个实根 (D) 18 (C) 方程 至多有两个实根 (D) 方程 恰好有两个实根 (9) 对于函数 ，若存在常数 ，使得 取定义域内的每一个值，都有 ，则称 为 (5) 已知实数 满足 ，则下列关系式恒成立的是 准偶函数，下列函数中是准偶函数的是 (A) (B) (A) (B) (C) (D) (C) (D) (10) 已知 满足约束条件 当目标函数 在该约束条件下取到最小值 (6) 已知函数 的图象如右图，则下列结论成立的是 时， 的最小值为 E (A) 5 (B) 4 (C) (D) 2 第 II 卷（共 100 分） 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. O x (11) 执行右面的程序框图，若输入的 的值为1，则输出的 的值为 . 开始 (A) (B) (12) 函数 的最小正周期为 . (C) (D) 输入 (13) 一个六棱锥的体积为 ，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长 x 都相等， (7) 已知向量 . 若向量 的夹角为 ，则实数 则该六棱锥的侧面积为 。 n0 (14) 圆心在直线 上的圆 与 轴的正半轴相切，圆 截 轴 所得弦 (A) (B) (C) 0 (D) 的长为 ，则圆 的标准方程为 。 否 (8) 为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa）的分组 x34x30 区间为 ，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，……，第 (15) 已知双曲线 的焦距为 ，右顶点为A，抛 是 物线 五组，右图是根据试验数据制成的频率分布直方图。已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6 人，则第三组中有疗效的人数为 的焦点为F，若双曲线截抛物线的准线所得线段长为 ， xx1 输入 且 x ，则双曲线的渐近线方程为 。 三、解答题：本大题共6小题，共75分. nn1 结束 (16)（本小题满分12分） 海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量（单位： 件）如右表所示. 工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测. 地区 A B C 数量 50 150 100 （Ｉ）求这6件样品中来自A，B，C各地区商品的数量； （II）若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率. (17) （本小题满分12分）中，角A，B，C所对的边分别为 . 已知 . （Ｉ）求 的值； （II）求 的面积. 2014年高考山东卷文科数学真题及参考答案 (18)（本小题满分12分） 一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，选择符合 如图，四棱锥 中， 题目要求的选项。 （1）已知 是虚数单位，若 ，则 P （A） （B） （C） （D） 分别为线段 【解析】由 得， ， 的中点. F 故答案选A （Ｉ）求证： ； （2）设集合 则 D （II）求证： . A E （A）(0,2] （B） (1,2) （C） [1,2) （D）(1,4) (19) （本小题满分12分） 【解析】 ，数轴上表示出来得到 [1,2) C 在等差数列 中，已知公差 ， 是 与 的等比中项. B 故答案为C （Ｉ）求数列 的通项公式； （3）函数 的定义域为 （II）设 ，记 ，求 . （A） （B） （C） （D） (20) （本小题满分13分） 【解析】 故 。选D （4）用反证法证明命题“设 则方程 至少有一个实根”时要做的假设是 设函数 ，其中 为常数. （A）方程 没有实根 （B）方程 至多有一个实根 （Ｉ）若 ，求曲线 在点 处的切线方程； （C）方程 至多有两个实根 （D）方程 恰好有两个实根 【解析】答案选A，解析略。 （II）讨论函数 的单调性. （5）已知实数 满足 ，则下列关系式恒成龙的是 (21)（本小题满分14分） （A） （B） 在平面直角坐标系 中，椭圆 的离心率为 ，直线 被椭圆 截得的线段 （C） （D） 长为 . 【解析】由 得， ，但是不可以确定 与 的大小关系，故C、D排除，而 本身 是一个周期函数，故B也不对， 正确。 （Ｉ）求椭圆 的方程； （6）已知函数 的图像如右图，则下列结论成立的是 （II）过原点的直线与椭圆C交于A，B两点（A，B不是椭圆C的顶点）. 点D在椭圆C上，且 ，直线 （A） （B） BD与 轴、 轴分别交于M，N两点. （i）设直线BD，AM的斜率分别为 ，证明存在常数 使得 ，并求出 的值； （C） （D） （ii）求 面积的最大值. 【解析】 由图象单调递减的性质可得 ，向左平移小于1个单位，故 答案选C （7）已知向量 .若向量 的夹角为 ，则实数 = （A） （B） （C） （D） 【解析】： 答案：B （8）为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床实验。所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa）的分 组区间为[12,13）, [13,14）,[14,15）,[15,16].将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，……，第五组。右图是根据试验数据制成的频率分布直方图。已知第一组和第二组共有 20人，第三组中没有疗效的有6人，则 第三组中有疗效的人数为 侧面积为 . （A） （B） （C） （D） 答案：12 【解析】：第一组与第二组频率之和为0.24+0.16=0.4 14．圆心在直线 上的圆 与 轴的正半轴相切，圆 截 轴所得的弦的长 ，则圆 的标准方程 为 。 答案：C 【解析】 设圆心 ，半径为 . 由勾股定理 得： （9）对于函数 ，若存在常数 ，使得 取定义域内的每一个值，都有 ，则称 为 准偶函数。下列函数中是准偶函数的是 圆心为 ，半径为2， 圆 的标准方程为 （A） （B） （C） （D） 【解析】：由分析可知准偶函数即偶函数左右平移得到的。 答案： 答案：D （10）已知 满足的约束条件 当目标函数 在该约束条件下取得最 15．已知双曲线 的焦距为 ，右顶点为 ，抛物线 的焦点为 ， 小值 时， 的最小值为 （A） （B） （C） （D） 若双曲线截抛物线的准线所得线段长为 ，且 ，则双曲线的渐近线方程为 。 【解析】 由题意知 ， 【解析】： 求得交点为 ，则 ，即圆心 到直线 的距离 抛物线准线与双曲线的一个交点坐标为 ， 的平方 。 即 代入双曲线方程为 ，得 ， 答案： B 二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，答案须填在题中横线上。 渐近线方程为 ， . 答案：1 11．执行右面的程序框图，若输入的 的值为1，则输出的 的值为 。 三．解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 【解析】：根据判断条件 ，得 ， （16）（本小题满分12分） 输入 海关对同时从 三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量（单位： 第一次判断后循环， 件）如右表所示，工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测。 第二次判断后循环， 地区 第三次判断后循环， 数量 50 150 100 第四次判断不满足条件，退出循环，输出 答案：3 （Ⅰ）求这6件样品中来自 各地区样品的数量； （Ⅱ）若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率。 12．函数 的最小正周期为 。 （16）【解析】： （Ⅰ）因为工作人员是按分层抽样抽取商品，所以各地区抽取商品比例为： 【解析】： 所以各地区抽取商品数为： ， ， ； . （Ⅱ）设各地区商品分别为： 答案： 基本时间空间 为： 13．一个六棱锥的体积为 ，其底面是边长为 2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为 ，共15个. 。 【解析】：设六棱锥的高为 ，斜高为 ， 样本时间空间为： 则由体积 得： ， 所以这两件商品来自同一地区的概率为： . （17）（本小题满分12分）在 中，角 所对的边分别是 。已知 （Ⅰ）求 的值； （Ⅱ）求 的面积。 （17）【解析】： （Ⅰ）由题意知： ， ②当n为奇数时： ， 由正弦定理得： （Ⅱ）由余弦定理得： 又因为 为钝角，所以 ，即 ， 综上： （20）（本小题满分13分） 所以 设函数 ，其中 为常数. （18）（本小题满分12分） （Ⅰ）若 ，求曲线 在点 处的切线方程； 如图，四棱锥 中， , 分别为线段 的中点。 （Ⅰ）求证： （Ⅱ）讨论函数 的单调性. （Ⅱ）求证： 【解析】：（Ⅰ）连接AC交BE于点O，连接OF，不妨设AB=BC=1,则AD=2 【解析】(1) 四边形ABCE为菱形 又 （Ⅱ） , , (2) （19）（本小题满分12分） 在等差数列 中，已知 ， 是 与 等比中项. （Ⅰ）求数列 的通项公式； （Ⅱ）设 记 ，求 . 【解析】： （Ⅰ）由题意知： 为等差数列，设 ， 为 与 的等比中项 且 ，即 ， 解得： （Ⅱ）由 （Ⅰ）知： ， ①当n为偶数时：（21）（本小题满分14分） 在平面直角坐标系 中，椭圆 的离心率为 ，直线 被椭圆 截得的 线段长为 . （Ⅰ）求椭圆 的方程； （Ⅱ）过原点的直线与椭圆 交于 两点（ 不是椭圆 的顶点），点 在椭圆 上，且 ， 直线 与 轴、 轴分别交于 两点. （i）设直线 的斜率分别为 .证明存在常数 使得 ，并求出 的值； （ii）求 面积的最大值. 【解析】(1) 设直线与椭圆交于 两点。不妨设 点为直线和椭圆在第一象限的交点。