文档内容
2015年北京市高考数学试卷（文科）
一、选择题（每小题5分,共40分）
1．（5分）（2015•北京）若集合A={x|﹣5＜x＜2}，B={x|﹣3＜x＜3}，则A∩B=（ ）
A {x|﹣3＜x＜2} B {x|﹣5＜x＜2} C {x|﹣3＜x＜3} D {x|﹣5＜x＜3}
． ． ． ．
2．（5分）（2015•北京）圆心为（1，1）且过原点的圆的方程是（ ）
A （x﹣1）2+（y B B（x+1）2+ C （x+1）2+ D （x﹣1）2+（y
． ﹣1）2=1 ． （y+1）2=1 ． （y+1）2=2 ． ﹣1）2=2
3．（5分）（2015•北京）下列函数中为偶函数的是（ ）
A y=x2sinx B y=x2cosx C y=|lnx| D y=2﹣x
． ． ． ．
4．（5分）（2015•北京）某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层插样的方法
调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本的老年教师人数为
（ ）
类别 人数
老年教师 900
中年教师 1800
青年教师 1600
合计 4300
A 90 B 100 C 180 D 300
． ． ． ．
5．（5分）（2015•北京）执行如图所示的程序框图，输出的k值为（ ）A 3 B 4 C 5 D 6
． ． ． ．
6．（5分）（2015•北京）设 ， 是非零向量，“ =| || |”是“ ”的（ ）
A 充分而不必要 B 必要而不充分
． 条件 ． 条件
C 充分必要条件 D 既不充分也不
． ． 必要条件
7．（5分）（2015•北京）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（ ）
A 1 B C D 2
． ． ． ．
8．（5分）（2015•北京）某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油
时的情况
加油时间 加油量（升） 加油时的累计里程（千米）
2015年5月1 12 35000
日
2015年5月15 48 35600
日
注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程，在这段时间内，该车每100千米平均
耗油量为 （ ）
A 6升 B 8升 C 10升 D 12升
． ． ． ．
二、填空题
9．（5分）（2015•北京）复数i（1+i）的实部为 ．
10．（5分）（2015•北京）2﹣3，3 ，log 5三个数中最大数的是 ．
2
11．（5分）（2015•北京）在△ABC中，a=3，b= ，∠A= ，则∠B= ．
12．（5分）（2015•北京）已知（2，0）是双曲线x2﹣ =1（b＞0）的一个焦点，则b=
．
13．（5分）（2015•北京）如图，△ABC及其内部的点组成的集合记为D，P（x，y）为D
中任意一点，则z=2x+3y的最大值为 ．
14．（5分）（2015•北京）高三年级267位学生参加期末考试，某班37位学生的语文成绩，
数学成绩与总成绩在全年级的排名情况如图所示，甲、乙、丙为该班三位学生．从这次考试成绩看，
①在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是 ；
②在语文和数学系两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是 ．
三、解答题（共80分）
15．（13分）（2015•北京）已知函数f（x）=sinx﹣2 sin2
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）在区间[0， 上的最小值．
]
16．（13分）（2015•北京）已知等差数列{a }满足a +a =10，a ﹣a =2
n 1 2 4 3
（1）求{a }的通项公式；
n
（2）设等比数列{b }满足b =a ，b =a ，问：b 与数列{a }的第几项相等？
n 2 3 3 7 6 n
17．（13分）（2015•北京）某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、
丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买．
甲 乙 丙 丁
100 √ × √ √
217 × √ × √
200 √ √ √ ×
300 √ × √ ×
85 √ × × ×
98 × √ × ×
（1）估计顾客同时购买乙和丙的概率；
（2）估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；
（3）如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？
18．（14分）（2015•北京）如图，在三棱锥V﹣ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB
为等边三角形，AC⊥BC且AC=BC= ，O，M分别为AB，VA的中点．
（1）求证：VB∥平面MOC；
（2）求证：平面MOC⊥平面VAB
（3）求三棱锥V﹣ABC的体积．19．（13分）（2015•北京）设函数f（x）= ﹣klnx，k＞0．
（1）求f（x）的单调区间和极值；
（2）证明：若f（x）存在零点，则f（x）在区间（1， ）上仅有一个零点．
20．（14分）（2015•北京）已知椭圆C：x2+3y2=3，过点D（1，0）且不过点E（2，1）
的直线与椭圆C交于A，B两点，直线AE与直线x=3交于点M．
（1）求椭圆C的离心率；
（2）若AB垂直于x轴，求直线BM的斜率；
（3）试判断直线BM与直线DE的位置关系，并说明理由．2015 年北京市高考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题5分,共40分）
1．（5分）（2015•北京）若集合A={x|﹣5＜x＜2}，B={x|﹣3＜x＜3}，则A∩B=（ ）
A {x|﹣3＜x＜2} B {x|﹣5＜x＜2} C {x|﹣3＜x＜3} D {x|﹣5＜x＜3}
． ． ． ．
考点： 交集及其运
算．
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专题： 集合．
分析： 直接利用集合
的交集的运算
法则求解即
可．
解答： 解：集合A={x|
﹣5＜x＜2}，
B={x|﹣3＜x＜
3}，
则A∩B={x|﹣3
＜x＜2}．
故选：A．
点评： 本题考查集合
的交集的运算
法则，考查计
算能力．
2．（5分）（2015•北京）圆心为（1，1）且过原点的圆的方程是（ ）
A （x﹣1）2+（y B B（x+1）2+ C （x+1）2+ D （x﹣1）2+（y
． ﹣1）2=1 ． （y+1）2=1 ． （y+1）2=2 ． ﹣1）2=2
考点： 圆的标准方
程．
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专题： 计算题；直线
与圆．
分析： 利用两点间距
离公式求出半
径，由此能求
出圆的方程．
解答： 解：由题意知
圆半径r= ，
∴圆的方程为
（x﹣1）2+（y
﹣1）2=2．
故选：D．
点评： 本题考查圆的
方程的求法，
解题时要认真
审题，注意圆
的方程的求法，是基础
题．
3．（5分）（2015•北京）下列函数中为偶函数的是（ ）
A y=x2sinx B y=x2cosx C y=|lnx| D y=2﹣x
． ． ． ．
考点： 函数奇偶性的
判断．
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专题： 函数的性质及
应用．
分析： 首先从定义域
上排除选项
C，然后在其他
选项中判断﹣x
与x的函数值
关系，相等的
就是偶函数．
解答： 解：对于A，
（﹣x）2sin
（﹣x）=﹣
x2sinx；是奇函
数；
对于B，（﹣
x）2cos（﹣x）
=x2cosx；是偶
函数；
对于C，定义
域为
（0，+∞），是
非奇非偶的函
数；
对于D，定义
域为R，但是2
﹣（﹣x）=2x≠2﹣
x，2x≠﹣2﹣x；
是非奇非偶的
函数；
故选B
点评： 本题考查了函
数奇偶性的判
断；首先判断
定义域是否关
于原点对称；
如果不对称，
函数是非奇非
偶的函数；如
果对称，再判
断f（﹣x）与f
（x） 关系，相
等是偶函数，
相反是奇函
数．4．（5分）（2015•北京）某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层插样的方法
调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本的老年教师人数为
（ ）
类别 人数
老年教师 900
中年教师 1800
青年教师 1600
合计 4300
A 90 B 100 C 180 D 300
． ． ． ．
考点： 分层抽样方
法．
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专题： 计算题；概率
与统计．
分析： 由题意，老年
和青年教师的
人数比为900：
1600=9：16，
即可得出结
论．
解答： 解：由题意，
老年和青年教
师的人数比为
900：1600=9：
16，
因为青年教师
有320人，所
以老年教师有
180人，
故选：C．
点评： 本题考查分层
抽样，考查学
生的计算能
力，比较基
础．
5．（5分）（2015•北京）执行如图所示的程序框图，输出的k值为（ ）A 3 B 4 C 5 D 6
． ． ． ．
考点： 程序框图．
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专题： 图表型；算法
和程序框图．
分析： 模拟执行程序
框图，依次写
出每次循环得
到的a，k的
值，当a= 时
满足条件a＜
，退出循环，
输出k的值为
4．
解答： 解：模拟执行
程序框图，可
得
k=0，a=3，q=
a= ，k=1
不满足条件a＜
，a= ，k=2
不满足条件a＜
，a= ，k=3
不满足条件a＜，a= ，k=4
满足条件a＜
，退出循环，
输出k的值为
4．
故选：B．
点评： 本题主要考查
了循环结构的
程序框图，属
于基础题．
6．（5分）（2015•北京）设 ， 是非零向量，“ =| || |”是“ ”的（ ）
A 充分而不必要 B 必要而不充分
． 条件 ． 条件
C 充分必要条件 D 既不充分也不
． ． 必要条件
考点： 必要条件、充
分条件与充要
条件的判断；
平面向量数量
积的运算．
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专题： 平面向量及应
用；简易逻
辑．
分析： 由
便可得到
夹角为0，从而
得到 ∥ ，而
∥ 并不能得
到 夹角为0，
从而得不到
，这样根据充
分条件、必要
条件的概念即
可找出正确选
项．
解答： 解：（1）
；
∴
时，cos
=1
；
∴
；∴ ∥ ；
∴“
”是“ ∥ ”的充
分条件；
（2） ∥ 时，
的夹角为
0或π；
∴
，或﹣
；
即 ∥ 得不到
；
∴“
”不是“ ∥ ”的
必要条件；
∴总上可得“
”是“ ∥ ”的充
分不必要条
件．
故选A．
点评： 考查充分条
件，必要条
件，及充分不
必要条件的概
念，以及判断
方法与过程，
数量积的计算
公式，向量共
线的定义，向
量夹角的定
义．
7．（5分）（2015•北京）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（ ）A 1 B C D 2
． ． ． ．
考点： 由三视图求面
积、体积．
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专题： 空间位置关系
与距离．
分析： 几何体是四棱
锥，且四棱锥
的一条侧棱与
底面垂直，结
合直观图求相
关几何量的数
据，可得答案
解答： 解：由三视图
知：几何体是
四棱锥，且四
棱锥的一条侧
棱与底面垂
直，
底面为正方形
如图：
其中PA⊥平面
ABCD，底面
ABCD为正方
形
∴PA=1，
AB=1，
AD=1，
∴PB= ，PC=
= ．
PD=
该几何体最长
棱的棱长为：
故选：C．
点评： 本题考查了由
三视图求几何
体的最长棱长
问题，根据三
视图判断几何
体的结构特征
是解答本题的
关键8．（5分）（2015•北京）某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油
时的情况
加油时间 加油量（升） 加油时的累计
里程（千米）
2015年5月1 12 35000
日
2015年5月15 48 35600
日
注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程，在这段时间内，该车每100千米平均
耗油量为 （ ）
A 6升 B 8升 C 10升 D 12升
． ． ． ．
考点： 一次函数的性
质与图象．
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专题： 函数的性质及
应用．
分析： 由表格信息，
得到该车加了
48升的汽油，
跑了600千
米，由此得到
该车每100千
米平均耗油
量．
解答： 解：由表格信
息，得到该车
加了48升的汽
油，跑了600
千米，所以该
车每100千米
平均耗油量
48÷6=8；
故选：B．
点评： 本题考查了学
生对表格的理
解以及对数据
信息的处理能
力．
二、填空题
9．（5分）（2015•北京）复数i（1+i）的实部为 ﹣ 1 ．
考点： 复数的基本概
念．
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专题： 数系的扩充和
复数．
分析： 直接利用复数
的乘法运算法
则，求解即
可．
解答： 解：复数i
（1+i）=﹣
1+i，所求复数的实
部为：﹣1．
故答案为：﹣
1．
点评： 本题考查复数
的基本运算，
复数的基本概
念，考查计算
能力．
10．（5分）（2015•北京）2﹣3，3 ，log 5三个数中最大数的是 log 5 ．
2 2
考点： 不等式比较大
小．
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专题： 函数的性质及
应用．
分析： 运用指数函数
和对数函数的
单调性，可得0
＜2﹣3＜1，1＜
3 ＜2，log 5
2
＞log 4=2，即
2
可得到最大
数．
解答： 解：由于0＜2
﹣3＜1，1＜3
＜2，
log 5＞
2
log 4=2，
2
则三个数中最
大的数为
log 5．
2
故答案为：
log 5．
2
点评： 本题考查数的
大小比较，主
要考查指数函
数和对数函数
的单调性的运
用，属于基础
题．
11．（5分）（2015•北京）在△ABC中，a=3，b= ，∠A= ，则∠B= ．
考点： 正弦定理．
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专题： 解三角形．
分析： 由正弦定理可
得sinB，再由
三角形的边角关系，即可得
到角B．
解答： 解：由正弦定
理可得，
= ，
即有sinB=
=
=
，
由b＜a，则B
＜A，
可得B= ．
故答案为：
．
点评： 本题考查正弦
定理的运用，
同时考查三角
形的边角关
系，属于基础
题．
12．（5分）（2015•北京）已知（2，0）是双曲线x2﹣ =1（b＞0）的一个焦点，则b=
．
考点： 双曲线的简单
性质．
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专题： 圆锥曲线的定
义、性质与方
程．
分析： 求得双曲线x2
﹣ =1（b＞
0）的焦点为（
，0），
（﹣ ，
0），可得b的
方程，即可得
到b的值．
解答： 解：双曲线x2
﹣ =1（b＞
0）的焦点为（，0），
（﹣ ，
0），
由题意可得
=2，
解得b= ．
故答案为：
．
点评： 本题考查双曲
线的方程和性
质，主要考查
双曲线的焦点
的求法，属于
基础题．
13．（5分）（2015•北京）如图，△ABC及其内部的点组成的集合记为D，P（x，y）为D
中任意一点，则z=2x+3y的最大值为 7 ．
考点： 简单线性规
划．
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专题： 不等式的解法
及应用．
分析： 利用线性规划
的知识，通过
平移即可求z的
最大值．
解答： 解：由
z=2x+3y，得y=
，
平移直线y=
，由
图象可知当直
线y=
经过点A时，
直线y=
的截
距最大，此时z
最大．即A（2，
1）．
此时z的最大值
为
z=2×2+3×1=7，
故答案为：7．
点评： 本题主要考查
线性规划的应
用，利用数形
结合是解决线
性规划题目的
常用方法．
14．（5分）（2015•北京）高三年级267位学生参加期末考试，某班37位学生的语文成绩，
数学成绩与总成绩在全年级的排名情况如图所示，甲、乙、丙为该班三位学生．
从这次考试成绩看，
①在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是 乙 ；
②在语文和数学系两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是 数学 ．
考点： 两个变量的线
性相关．
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专题： 概率与统计．
分析： 根据散点图分
析三位同学总
成绩名次，语
文、数学名
次．
解答： 解：由高三年
级267位学生
参加期末考
试，某班37位学生的语文成
绩，数学成绩
与总成绩在全
年级的排名情
况的散点图可
知
①在甲、乙两
人中，其语文
成绩名次比其
总成绩名次靠
前的学生是
乙；
②在语文和数
学两个科目
中，丙同学的
成绩名次更靠
前的科目是数
学；
故答案为：
乙；数学．
点评： 本题考查了对
散点图的认
识；属于基础
题．
三、解答题（共80分）
15．（13分）（2015•北京）已知函数f（x）=sinx﹣2 sin2
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）在区间[0， 上的最小值．
]
考点： 三角函数的周
期性及其求
法；两角和与
差的正弦函
数；三角函数
的最值．
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专题： 三角函数的图
像与性质．
分析： （1）由三角函
数恒等变换化
简函数解析式
可得f（x）
=2sin（x+ ）
﹣ ，由三角
函数的周期性
及其求法即可
得解；
（2）由x [0，
，可求范
∈
]围x+ [ ，
π ，即可求得f
∈
（x）的取值范
围]，即可得
解．
解答： 解：（1）∵f
（x）=sinx﹣2
sin2
=sinx﹣2 ×
=sinx+ cosx
﹣
=2sin（x+ ）
﹣
∴f（x）的最小
正周期T=
=2π；
（2）∵x [0，
，
∈
∴x+] [ ，
π ，
∈
∴sin（x+ ）
]
∈[0，1 ，即
有：f（x）
]
=2sin（x+ ）
﹣ ∈[﹣
，2﹣ ，
∴可解得f（x）
]
在区间[0，
上的最小值
为：﹣ ．
]
点评： 本题主要考查
了三角函数恒
等变换的应
用，三角函数
的周期性及其
求法，三角函
数的最值的应
用，属于基本
知识的考查．
16．（13分）（2015•北京）已知等差数列{a }满足a +a =10，a ﹣a =2
n 1 2 4 3
（1）求{a }的通项公式；
n（2）设等比数列{b }满足b =a ，b =a ，问：b 与数列{a }的第几项相等？
n 2 3 3 7 6 n
考点： 等差数列的性
质．
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专题： 计算题；等差
数列与等比数
列．
分析： （I）由a ﹣
4
a =2，可求公差
3
d，然后由
a +a =10，可求
1 2
a ，结合等差数
1
列的通项公式
可求
（II）由
b =a =8，
2 3
b =a =16，可求
3 7
等比数列的首
项及公比，代
入等比数列的
通项公式可求
b ，结合（I）
6
可求
解答： 解：（I）设等
差数列{a }的公
n
差为d．
∵a ﹣a =2，所
4 3
以d=2
∵a +a =10，所
1 2
以2a +d=10
1
∴a =4，
1
∴a =4+2（n﹣
n
1）=2n+2
（n=1，
2，…）
（II）设等比数
列{b }的公比为
n
q，
∵b =a =8，
2 3
b =a =16，
3 7
∴
∴q=2，b =4
1
∴
=128，而
128=2n+2
∴n=63
∴b 与数列{a }
6 n
中的第63项相
等
点评： 本题主要考查了等差数列与
等比数列通项
公式的简单应
用，属于对基
本公式应用的
考查，试题比
较容易．
17．（13分）（2015•北京）某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、
丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买．
甲 乙 丙 丁
100 √ × √ √
217 × √ × √
200 √ √ √ ×
300 √ × √ ×
85 √ × × ×
98 × √ × ×
（1）估计顾客同时购买乙和丙的概率；
（2）估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；
（3）如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？
考点： 相互独立事件
的概率乘法公
式．
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专题： 概率与统计．
分析： （1）从统计表
可得，在这
1000名顾客
中，同时购买
乙和丙的有200
人，从而求得
顾客同时购买
乙和丙的概
率．
（2）根据在
甲、乙、丙、
丁中同时购买3
种商品的有300
人，求得顾客
顾客在甲、
乙、丙、丁中
同时购买3种
商品的概率．
（3）在这1000
名顾客中，求
出同时购买甲
和乙的概率、
同时购买甲和
丙的概率、同
时购买甲和丁
的概率，从而
得出结论．
解答： 解：（1）从统
计表可得，在这1000名顾客
中，同时购买
乙和丙的有200
人，
故顾客同时购
买乙和丙的概
率为
=0.2．
（2）在这1000
名顾客中，在
甲、乙、丙、
丁中同时购买3
种商品的有
100+200=300
（人），
故顾客顾客在
甲、乙、丙、
丁中同时购买3
种商品的概率
为 =0.3．
（3）在这1000
名顾客中，同
时购买甲和乙
的概率为
=0.2，
同时购买甲和
丙的概率为
=0.6，
同时购买甲和
丁的概率为
=0.1，
故同时购买甲
和丙的概率最
大．
点评： 本题主要考查
古典概率、互
斥事件的概率
加法公式的应
用，属于基础
题．
18．（14分）（2015•北京）如图，在三棱锥V﹣ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB
为等边三角形，AC⊥BC且AC=BC= ，O，M分别为AB，VA的中点．
（1）求证：VB∥平面MOC；
（2）求证：平面MOC⊥平面VAB
（3）求三棱锥V﹣ABC的体积．考点： 棱柱、棱锥、
棱台的体积；
直线与平面平
行的判定；平
面与平面垂直
的判定．
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专题： 综合题；空间
位置关系与距
离．
分析： （1）利用三角
形的中位线得
出OM∥VB，利
用线面平行的
判定定理证明
VB∥平面
MOC；
（2）证明：
OC⊥平面
VAB，即可证
明平面MOC⊥
平面VAB
（3）利用等体
积法求三棱锥
V﹣ABC的体
积．
解答： （1）证明：
∵O，M分别为
AB，VA的中
点，
∴OM∥VB，
∵VB 平面
MOC，OM 平
面MO⊄C，
∴VB∥平面⊂
MOC；
（2）
∵AC=BC，O
为AB的中点，
∴OC⊥AB，
∵平面VAB⊥平
面ABC，OC
平面ABC，
∴OC⊥平面 ⊂
VAB，
∵OC 平面
MOC，
⊂∴平面MOC⊥
平面VAB
（3）在等腰直
角三角形ACB
中，AC=BC=
，∴AB=2，
OC=1，
∴S = ，
△VAB
∵OC⊥平面
VAB，
∴V =
C﹣VAB
•S = ，
△VAB
∴V =V
V﹣ABC C﹣
= ．
VAB
点评： 本题考查线面
平行的判定，
考查平面与平
面垂直的判
定，考查体积
的计算，正确
运用线面平
行、平面与平
面垂直的判定
定理是关键．
19．（13分）（2015•北京）设函数f（x）= ﹣klnx，k＞0．
（1）求f（x）的单调区间和极值；
（2）证明：若f（x）存在零点，则f（x）在区间（1， ）上仅有一个零点．
考点： 利用导数研究
函数的单调
性；利用导数
研究函数的极
值．
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专题： 导数的综合应
用．
分析： （1）利用
f'（x）≥0或
f'（x）≤0求得
函数的单调区
间并能求出极
值；
（2）利用函数
的导数的极值
求出最值，利
用最值讨论存
在零点的情
况．
解答： 解：（1）由f
（x）=f'（x）=x﹣
由f'（x）=0解
得x=
f（x）与
f'（x）在区间
（0，+∞）上的
情况如下：
X
f'（x）
f（x）
所以，f（x）的
单调递增区间
为（
），单调递减
区间为（0，
）；
f（x）在x=
处的极小值为f
（ ）=
．
（2）证明：由
（1）知，f
（x）在区间
（0，+∞）上的
最小值为f（
）=
．
因为f（x）存
在零点，所以
，从而k≥e
当k=e时，f
（x）在区间
（1， ）上
单调递减，且f
（ ）=0
所以x= 是f
（x）在区间
（1， 上唯
一零点．
当k＞e时]，f
（x）在区间
（0， ）上单调递减，且
，
所以f（x）在
区间（1，
上仅有一个零
点． ]
综上所述，若f
（x）存在零
点，则f（x）
在区间（1，
上仅有一个
零点．
点评： 本题]考查利用
函数的导数求
单调区间和导
数的综合应
用，在高考中
属于常见题
型．
20．（14分）（2015•北京）已知椭圆C：x2+3y2=3，过点D（1，0）且不过点E（2，1）
的直线与椭圆C交于A，B两点，直线AE与直线x=3交于点M．
（1）求椭圆C的离心率；
（2）若AB垂直于x轴，求直线BM的斜率；
（3）试判断直线BM与直线DE的位置关系，并说明理由．
考点： 直线与圆锥曲
线的综合问
题；椭圆的标
准方程．
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专题： 圆锥曲线的定
义、性质与方
程．
分析： （1）通过将椭
圆C的方程化
成标准方程，
利用离心率计
算公式即得结
论；
（2）通过令直
线AE的方程中
x=3，得点M坐
标，即得直线
BM的斜率；
（3）分直线
AB的斜率不存
在与存在两种
情况讨论，利
用韦达定理，
计算即可．
解答： 解：（1）∵椭
圆C：x2+3y2=3，
∴椭圆C的标准
方程为：
+y2=1，
∴a= ，b=1，
c= ，
∴椭圆C的离心
率e= = ；
（2）∵AB过点
D（1，0）且垂
直于x轴，
∴可设A（1，
y ），B（1，
1
﹣y ），
1
∵E（2，1），
∴直线AE的方
程为：y﹣1=
（1﹣y ）（x﹣
1
2），
令x=3，得M
（3，2﹣y ），
1
∴直线BM的斜
率k =
BM
=1
；
（3）结论：直
线BM与直线
DE平行．
证明如下：
当直线AB的斜
率不存在时，
由（2）知
k =1，
BM
又∵直线DE的
斜率k =
DE
=1，
∴BM∥DE；
当直线AB的斜
率存在时，设
其方程为y=k
（x﹣1）
（k≠1），
设A（x ，
1
y ），B（x ，
1 2
y ），
2
则直线AE的方
程为y﹣1=（x﹣
2），
令x=3，则点M
（3，
）
，
∴直线BM的斜
率k =
BM
，
联立
，得（1+3k2）
x2﹣6k2x+3k2﹣
3=0，
由韦达定理，
得x +x =
1 2
，x x =
1 2
，
∵k ﹣1=
BM
=
=
=0，
∴k =1=k ，
BM DE
即BM∥DE；
综上所述，直
线BM与直线
DE平行．
点评： 本题是一道直
线与椭圆的综
合题，涉及到
韦达定理等知识，考查计算
能力，注意解
题方法的积
累，属于中档
题．
