文档内容
2015年北京市高考数学试卷（理科）
一、选择题（每小题5分，共40分）
1．（5分）（2015•北京）复数i（2﹣i）=（ ）
A 1+2i B．1﹣2i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i
．
2．（5分）（2015•北京）若x，y满足 ，则z=x+2y的最大值为（ ）
A 0 B．1 C． D．2
．
3．（5分）（2015•北京）执行如图所示的程序框图，输出的结果为（ ）
A （﹣2，2） B．（﹣4，0） C．（﹣4，﹣4） D．（0，﹣8）
．
4．（5分）（2015•北京）设α，β是两个不同的平面，m是直线且m α，“m∥β“是“α∥β”的
（ ）
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⊂
A 充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
．
C．充分不要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（5分）（2015•北京）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（ ）A 2+ B．4+ C．2+2 D．5
．
6．（5分）（2015•北京）设{a }是等差数列，下列结论中正确的是（ ）
n
A 若a +a ＞0，则a +a ＞0 B．若a +a ＜0，则若a +a ＜0，
1 2 2 3 1 3 1 2
．
C． 若若0＜a 1 ＜a 2 ，则a 2 D．若a 1 ＜0，则（a 2 ﹣a 1 ）（a 2 ﹣a 3 ）＞0
7．（5分）（2015•北京）如图，函数f（x）的图象为折线ACB，则不等式f（x）≥log
2
（x+1）的解集是（ ）
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A {x|﹣1＜x≤0} B．{x|﹣1≤x≤1} C．{x|﹣1＜x≤1} D．{x|﹣1＜x≤2}
．
8．（5分）（2015•北京）汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，如图描
述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下燃油效率情况，下列叙述中正确的是（ ）
A 消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米
．
B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多
C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油
D 某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油．
二、填空题（每小题5分，共30分）
9．（5分）（2015•北京）在（2+x）5的展开式中，x3的系数为 （用数字作
答）
10．（5分）（2015•北京）已知双曲线 ﹣y2=1（a＞0）的一条渐近线为 x+y=0，则a=
．
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11．（5分）（2015•北京）在极坐标系中，点（2， ）到直线ρ（cosθ+ sinθ）=6的距
离为 ．
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12．（5分）（2015•北京）在△ABC中，a=4，b=5，c=6，则 = ．
13．（5分）（2015•北京）在△ABC中，点M，N满足 =2 ， = ，若 =x +y
，则x= ，y= ．
2-1-c-n-j-y
14．（5分）（2015•北京）设函数f（x）= ，
①若a=1，则f（x）的最小值为 ；
②若f（x）恰有2个零点，则实数a的取值范围是 ．
三、解答题（共6小题，共80分）
15．（13分）（2015•北京）已知函数f（x）= sin cos ﹣ sin ．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣π，0 上的最小值．
]
16．（13分）（2015•北京）A，B两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间
（单位：天）记录如下：
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A组：10，11，12，13，14，15，16
B组；12，13，15，16，17，14，a
假设所有病人的康复时间相互独立，从A，B两组随机各选1人，A组选出的人记为甲，B
组选出的人记为乙．
（Ⅰ）求甲的康复时间不少于14天的概率；
（Ⅱ）如果a=25，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；
（Ⅲ）当a为何值时，A，B两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明）17．（14分）（2015•北京）如图，在四棱锥A﹣EFCB中，△AEF为等边三角形，平面
AEF⊥平面EFCB，EF∥BC，BC=4，EF=2a，∠EBC=∠FCB=60°，O为EF的中点．
（Ⅰ）求证：AO⊥BE．
（Ⅱ）求二面角F﹣AE﹣B的余弦值；
（Ⅲ）若BE⊥平面AOC，求a的值．
18．（13分）（2015•北京）已知函数f（x）=ln ，
（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（Ⅱ）求证，当x （0，1）时，f（x） ；
∈
（Ⅲ）设实数k使得f（x） 对x （0，1）恒成立，求k的最大值．
∈
19．（14分）（2015•北京）已知椭圆C： + =1（a＞b＞0）的离心率为 ，点P
（0，1）和点A（m，n）（m≠0）都在椭圆C上，直线PA交x轴于点M．
（Ⅰ）求椭圆C的方程，并求点M的坐标（用m，n表示）；
（Ⅱ）设O为原点，点B与点A关于x轴对称，直线PB交x轴于点N，问：y轴上是否存
在点Q，使得∠OQM=∠ONQ？若存在，求点Q的坐标，若不存在，说明理由．
20．（13分）（2015•北京）已知数列{a }满足：a N*，a ≤36，且a =
n 1 1 n+1
∈
（n=1，2，…），记集合M={a |n N*}．
n
∈
（Ⅰ）若a =6，写出集合M的所有元素；
1
（Ⅱ）如集合M存在一个元素是3的倍数，证明：M的所有元素都是3的倍数；
（Ⅲ）求集合M的元素个数的最大值．2015 年北京市高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题5分，共40分）
1．（5分）（2015•北京）复数i（2﹣i）=（ ）
A 1+2i B．1﹣2i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i
．
考 复数代数形式的乘除运算．
点：
专 数系的扩充和复数．
题：
分 利用复数的运算法则解答．
析：
解 解：原式=2i﹣i2=2i﹣（﹣1）=1+2i；
答： 故选：A．
点 本题考查了复数的运算；关键是熟记运算法则．注意i2=﹣1．
评：
2．（5分）（2015•北京）若x，y满足 ，则z=x+2y的最大值为（ ）
A 0 B．1 C． D．2
．
考 简单线性规划．
点：
专 不等式的解法及应用．
题：
分 作出题中不等式组表示的平面区域，再将目标函数z=x+2y对应的直线进行平移，即
析： 可求出z取得最大值．
解
答：
解：作出不等式组 表示的平面区域，
得到如图的三角形及其内部阴影部分，由
解得A（ ， ），目标函数z=x+2y，将直线z=x+2y进行平移，
当l经过点A时，目标函数z达到最大值
∴z = =
最大值
故选：C．点 本题给出二元一次不等式组，求目标函数z=x+2y的最大值，着重考查了二元一次不
评： 等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．
3．（5分）（2015•北京）执行如图所示的程序框图，输出的结果为（ ）
A （﹣2，2） B．（﹣4，0） C．（﹣4，﹣4） D．（0，﹣8）
．
考 程序框图．
点：
专 图表型；算法和程序框图．
题：
分 模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的x，y，k的值，当k=3时满足条件
析： k≥3，退出循环，输出（﹣4，0）．
解 解：模拟执行程序框图，可得
答： x=1，y=1，k=0
s=0，i=2
x=0，y=2，k=1
不满足条件k≥3，s=﹣2，i=2，x=﹣2，y=2，k=2不满足条件k≥3，s=﹣4，i=0，x=﹣4，y=0，k=3
满足条件k≥3，退出循环，输出（﹣4，0），
故选：B．
点 本题主要考查了循环结构的程序框图，正确写出每次循环得到的x，y，k的值是解
评： 题的关键，属于基础题．
4．（5分）（2015•北京）设α，β是两个不同的平面，m是直线且m α，“m∥β“是“α∥β”的
（ ）
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⊂
A 充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
．
C．充分不要条件 D．既不充分也不必要条件
考 必要条件、充分条件与充要条件的判断．
点：
专 简易逻辑．
题：
分 m∥β并得不到α∥β，根据面面平行的判定定理，只有α内的两相交直线都平行于β，
析： 而α∥β，并且m α，显然能得到m∥β，这样即可找出正确选项．
解 解：m α，m∥β得不到α∥β，因为α，β可能相交，只要m和α，β的交线平行即可
答： 得到m∥β； ⊂
α∥β，m⊂ α，∴m和β没有公共点，∴m∥β，即α∥β能得到m∥β；
∴“m∥β”是“α∥β”的必要不充分条件．
故选B．⊂
点 考查线面平行的定义，线面平行的判定定理，面面平行的定义，面面平行的判定定
评： 理，以及充分条件、必要条件，及必要不充分条件的概念．
5．（5分）（2015•北京）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（ ）
A 2+ B．4+ C．2+2 D．5
．
考 由三视图求面积、体积．
点：
专 空间位置关系与距离．
题：
分 根据三视图可判断直观图为：A⊥面ABC，AC=AB，E为BC中点，EA=2，
析： EA=EB=1，OA=1，：BC⊥面AEO，AC= ，OE=
判断几何体的各个面的特点，计算边长，求解面积．
解 解：根据三视图可判断直观图为：
答： OA⊥面ABC，AC=AB，E为BC中点，
EA=2，EC=EB=1，OA=1，
∴可得AE⊥BC，BC⊥OA，
运用直线平面的垂直得出：BC⊥面AEO，AC= ，OE=∴S = 2×2=2，S =S = ×1= ．
△ABC △OAC △OAB
S = 2× = ．
△BCO
故该三棱锥的表面积是2 ，
故选：C．
点 本题考查了空间几何体的三视图的运用，空间想象能力，计算能力，关键是恢复直
评： 观图，得出几何体的性质．
6．（5分）（2015•北京）设{a }是等差数列，下列结论中正确的是（ ）
n
A 若a +a ＞0，则a +a ＞0 B．若a +a ＜0，则若a +a ＜0，
1 2 2 3 1 3 1 2
．
C． 若若0＜a 1 ＜a 2 ，则a 2 D．若a 1 ＜0，则（a 2 ﹣a 1 ）（a 2 ﹣a 3 ）＞0
考 等差数列的性质．
点：
专 计算题；等差数列与等比数列．
题：
分 对选项分别进行判断，即可得出结论．
析：
解 解：若a +a ＞0，则2a +d＞0，a +a =2a +3d＞2d，d＞0时，结论成立，即A不正
1 2 1 2 3 1
答： 确；
若a +a ＜0，则2a +d＜0，a +a =2a +3d＜2d，d＜0时，结论成立，即B不正确；
1 2 1 2 3 1
{a }是等差数列，0＜a ＜a ，2a =a +a ＞2 ，∴a ＞ ，即C正确；
n 1 2 2 1 3 2
若a ＜0，则（a ﹣a ）（a ﹣a ）=﹣d2＜0，即D不正确．
1 2 1 2 3
故选：C．
点 本题考查等差数列的通项，考查学生的计算能力，比较基础．
评：
7．（5分）（2015•北京）如图，函数f（x）的图象为折线ACB，则不等式f（x）≥log
2
（x+1）的解集是（ ）
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A {x|﹣1＜x≤0} B．{x|﹣1≤x≤1} C．{x|﹣1＜x≤1} D．{x|﹣1＜x≤2}
．考 指、对数不等式的解法．
点：
专 不等式的解法及应用．
题：
分 在已知坐标系内作出y=log （x+1）的图象，利用数形结合得到不等式的解集．
2
析：
解 解：由已知f（x）的图象，在此坐标系内作出y=log （x+1）的图象，如图
2
答：
满足不等式f（x）≥log （x+1）的x范围是﹣1＜x≤1；所以不等式f（x）≥log
2 2
（x+1）的解集是{x|﹣1＜x≤1}；
故选C．
点 本题考查了数形结合求不等式的解集；用到了图象的平移．
评：
8．（5分）（2015•北京）汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，如图描
述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下燃油效率情况，下列叙述中正确的是（ ）
A 消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米
．
B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多
C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油
D 某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油
．
考 函数的图象与图象变化．
点：
专 创新题型；函数的性质及应用．
题：分 根据汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，以及图象，分别判断各
析： 个选项即可．
解 解：对于选项A，消耗1升汽油，乙车行驶的距离比5小的很多，故A错误；
答： 对于选项B，以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最小，故B错
误，
对于选项C，甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，里程为80千米，燃油效率为
10，故消耗8升汽油，故C错误，
对于选项D，因为在速度低于80千米/小时，丙的燃油效率高于乙的燃油效率，故D
正确．
点 本题考查了函数图象的识别，关键掌握题意，属于基础题．
评：
二、填空题（每小题5分，共30分）
9．（5分）（2015•北京）在（2+x）5的展开式中，x3的系数为 40 （用数字作答）
考 二项式定理的应用．
点：
专 二项式定理．
题：
分 写出二项式定理展开式的通项公式，利用x的指数为3，求出r，然后求解所求数
析： 值．
解 解：（2+x）5的展开式的通项公式为：T = 25﹣rxr，
r+1
答：
所求x3的系数为： =40．
故答案为：40．
点 本题考查二项式定理的应用，二项式系数的求法，考查计算能力．
评：
10．（5分）（2015•北京）已知双曲线 ﹣y2=1（a＞0）的一条渐近线为 x+y=0，则a=
．
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考 双曲线的简单性质．
点：
专 圆锥曲线的定义、性质与方程．
题：
分
运用双曲线的渐近线方程为y=± ，结合条件可得 = ，即可得到a的值．
析：
解
答： 解：双曲线 ﹣y2=1的渐近线方程为y=± ，
由题意可得 = ，
解得a= ．
故答案为： ．
点 本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的渐近线方程的求法，属于基础
评： 题．11．（5分）（2015•北京）在极坐标系中，点（2， ）到直线ρ（cosθ+ sinθ）=6的距
离为 1 ．
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考 简单曲线的极坐标方程．
点：
专 坐标系和参数方程．
题：
分 化为直角坐标，再利用点到直线的距离公式距离公式即可得出．
析：
解
解：点P（2， ）化为P ．
答：
直线ρ（cosθ+ sinθ）=6化为 ．
∴点P到直线的距离d= =1．
故答案为：1．
点 本题考查了极坐标化为直角坐标方程、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计
评： 算能力，属于中档题．
12．（5分）（2015•北京）在△ABC中，a=4，b=5，c=6，则 = 1 ．
考 余弦定理；二倍角的正弦；正弦定理．
点：
专 计算题；解三角形．
题：
分 利用余弦定理求出cosC，cosA，即可得出结论．
析：
解 解：∵△ABC中，a=4，b=5，c=6，
答：
∴cosC= = ，cosA= =
∴sinC= ，sinA= ，
∴ = =1．
故答案为：1．
点 本题考查余弦定理，考查学生的计算能力，比较基础．
评：
13．（5分）（2015•北京）在△ABC中，点M，N满足 =2 ， = ，若 =x +y
，则x= ，y= ﹣ ．
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考 平面向量的基本定理及其意义．
点：
专 平面向量及应用．
题：
分 首先利用向量的三角形法则，将所求用向量 表示，然后利用平面向量基本
析：定理得到x，y值．
解
解：由已知得到 = = = ；
答：
由平面向量基本定理，得到x= ，y= ；
故答案为： ．
点 本题考查了平面向量基本定理的运用，一个向量用一组基底表示，存在唯一的实数
评： 对（x，y）使，向量等式成立．
14．（5分）（2015•北京）设函数f（x）= ，
①若a=1，则f（x）的最小值为 ﹣ 1 ；
②若f（x）恰有2个零点，则实数a的取值范围是 ≤ a ＜ 1 或 a≥2 ．
考 函数的零点；分段函数的应用．
点：
专 创新题型；函数的性质及应用．
题：
分 ①分别求出分段的函数的最小值，即可得到函数的最小值；
析： ②分别设h（x）=2x﹣a，g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a），分两种情况讨论，即可求出
a的范围．
解
答： 解：①当a=1时，f（x）= ，
当x＜1时，f（x）=2x﹣1为增函数，f（x）＞﹣1，
当x＞1时，f（x）=4（x﹣1）（x﹣2）=4（x2﹣3x+2）=4（x﹣ ）2﹣1，
当1＜x＜ 时，函数单调递减，当x＞ 时，函数单调递增，
故当x= 时，f（x） =f（ ）=﹣1，
min
②设h（x）=2x﹣a，g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）
若在x＜1时，h（x）=与x轴有一个交点，
所以a＞0，并且当x=1时，h（1）=2﹣a＞0，所以0＜a＜2，
而函数g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）有一个交点，所以2a≥1，且a＜1，
所以 ≤a＜1，
若函数h（x）=2x﹣a在x＜1时，与x轴没有交点，
则函数g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）有两个交点，
当a≤0时，h（x）与x轴无交点，g（x）无交点，所以不满足题意（舍去），
当h（1）=2﹣a≤时，即a≥2时，g（x）的两个交点为x =a，x =2a，都是满足题意
1 2
的，
综上所述a的取值范围是 ≤a＜1，或a≥2．
点 本题考查了分段函数的问题，以及函数的零点问题，培养了学生的转化能力和运算
评： 能力以及分类能力，属于中档题．
三、解答题（共6小题，共80分）15．（13分）（2015•北京）已知函数f（x）= sin cos ﹣ sin ．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣π，0 上的最小值．
]
考 两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法；三角函数的最值．
点：
专 计算题；三角函数的求值；三角函数的图像与性质．
题：
分 （Ⅰ）运用二倍角公式和两角和的正弦公式，化简f（x），再由正弦喊话说的周期，
析： 即可得到所求；
（Ⅱ）由x的范围，可得x+ 的范围，再由正弦函数的图象和性质，即可求得最小
值．
解
解：（Ⅰ）f（x）= sin cos ﹣ sin
答：
= sinx﹣ （1﹣cosx）
=sinxcos +cosxsin ﹣
=sin（x+ ）﹣ ，
则f（x）的最小正周期为2π；
（Ⅱ）由﹣π≤x≤0，可得
﹣ ≤x+ ≤ ，
即有﹣1 ，
则当x=﹣ 时，sin（x+ ）取得最小值﹣1，
则有f（x）在区间[﹣π，0 上的最小值为﹣1﹣ ．
点 本题考查二倍角公式和两角和的正弦公式，同时考查正弦函数的周期和值域，考查
]
评： 运算能力，属于中档题．
16．（13分）（2015•北京）A，B两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间
（单位：天）记录如下：
【来源：21·世纪·教育·网】
A组：10，11，12，13，14，15，16
B组；12，13，15，16，17，14，a
假设所有病人的康复时间相互独立，从A，B两组随机各选1人，A组选出的人记为甲，B
组选出的人记为乙．
（Ⅰ）求甲的康复时间不少于14天的概率；
（Ⅱ）如果a=25，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；
（Ⅲ）当a为何值时，A，B两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明）
考 极差、方差与标准差；古典概型及其概率计算公式．
点：
专 概率与统计．
题：
分 设事件A 为“甲是A组的第i个人”，事件B 为“乙是B组的第i个人”，由题意可知P
i i析：
（A）=P（B）= ，i=1，2，••，7
i i
（Ⅰ）事件等价于“甲是A组的第5或第6或第7个人”，由概率公式可得；
（Ⅱ）设事件“甲的康复时间比乙的康复时间
长”C=A
4
B 1∪A
5
B 1∪A
6
B 1∪A
7
B 1∪A
5
B 2∪A
6
B 2∪A
7
B 2∪A
7
B 3∪A
6
B 6∪A
7
B
6
，易得P（C）
=10P（A B ），易得答案；
4 1
（Ⅲ）由方差的公式可得．
解 解：设事件A 为“甲是A组的第i个人”，事件B 为“乙是B组的第i个人”，
i i
答：
由题意可知P（A）=P（B）= ，i=1，2，••，7
i i
（Ⅰ）事件“甲的康复时间不少于14天”等价于“甲是A组的第5或第6或第7个人”
∴甲的康复时间不少于14天的概率P（A 5∪A 6∪A
7
）=P（A
5
）+P（A
6
）+P（A
7
）=
；
（Ⅱ）设事件C为“甲的康复时间比乙的康复时间长”，
则C=A
4
B 1∪A
5
B 1∪A
6
B 1∪A
7
B 1∪A
5
B 2∪A
6
B 2∪A
7
B 2∪A
7
B 3∪A
6
B 6∪A
7
B
6
，
∴P（C）=P（A B ）+P（A B ）+P（A B ）P+（A B ）+P（A B ）+P（A B ）+P
4 1 5 1 6 1 7 1 5 2 6 2
（A B ）+P（A B ）+P（A B ）+P（A B ）
7 2 7 3 6 6 7 6
=10P（A B ）=10P（A ）P（B ）=
4 1 4 1
（Ⅲ）当a为11或18时，A，B两组病人康复时间的方差相等．
点 本题考查古典概型及其概率公式，涉及概率的加法公式和方差，属基础题．
评：
17．（14分）（2015•北京）如图，在四棱锥A﹣EFCB中，△AEF为等边三角形，平面
AEF⊥平面EFCB，EF∥BC，BC=4，EF=2a，∠EBC=∠FCB=60°，O为EF的中点．
（Ⅰ）求证：AO⊥BE．
（Ⅱ）求二面角F﹣AE﹣B的余弦值；
（Ⅲ）若BE⊥平面AOC，求a的值．
考 二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质．
点：
专 空间位置关系与距离；空间角．
题：
分 （Ⅰ）根据线面垂直的性质定理即可证明AO⊥BE．
析： （Ⅱ）建立空间坐标系，利用向量法即可求二面角F﹣AE﹣B的余弦值；
（Ⅲ）利用线面垂直的性质，结合向量法即可求a的值
解 证明：（Ⅰ）∵△AEF为等边三角形，O为EF的中点，
答： ∴AO⊥EF，∵平面AEF⊥平面EFCB，AO 平面AEF，
∴AO⊥平面EFCB
∴AO⊥BE． ⊂
（Ⅱ）取BC的中点G，连接OG，
∵EFCB是等腰梯形，
∴OG⊥EF，
由（Ⅰ）知AO⊥平面EFCB，
∵OG 平面EFCB，∴OA⊥OG，
建立如图的空间坐标系，
则OE⊂=a，BG=2，GH=a，BH=2﹣a，EH=BHtan60°= ，
则E（a，0，0），A（0，0， a），B（2， ，0），
=（﹣a，0， a）， =（a﹣2，﹣ ，0），
设平面AEB的法向量为 =（x，y，z），
则 ，即 ，
令z=1，则x= ，y=﹣1，
即 =（ ，﹣1，1），
平面AEF的法向量为 ，
则cos＜ ＞= =
即二面角F﹣AE﹣B的余弦值为 ；
（Ⅲ）若BE⊥平面AOC，
则BE⊥OC，
即 =0，
∵ =（a﹣2，﹣ ，0）， =（﹣2， ，0），
∴ =﹣2（a﹣2）﹣3（a﹣2）2=0，
解得a= ．点 本题主要考查空间直线和平面垂直的判定以及二面角的求解，建立坐标系利用向量
评： 法是解决空间角的常用方法．
18．（13分）（2015•北京）已知函数f（x）=ln ，
（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（Ⅱ）求证，当x （0，1）时，f（x） ；
∈
（Ⅲ）设实数k使得f（x） 对x （0，1）恒成立，求k的最大值．
∈
考 利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用．
点：
专 导数的综合应用．
题：
分 （1）利用函数的导数求在曲线上某点处的切线方程．
析： （2）构造新函数利用函数的单调性证明命题成立．
（3）对k进行讨论，利用新函数的单调性求参数k的取值范围．
解 解答：（1）因为f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x）所以
答：
又因为f（0）=0，所以曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=2x．
（2）证明：令g（x）=f（x）﹣2（x+ ），则
g'（x）=f'（x）﹣2（1+x2）= ，
因为g'（x）＞0（0＜x＜1），所以g（x）在区间（0，1）上单调递增．
所以g（x）＞g（0）=0，x （0，1），
即当x （0，1）时，f（x）∈＞2（x+ ）．
∈
（3）由（2）知，当k≤2时，f（x）＞ 对x （0，1）恒成立．
∈
当k＞2时，令h（x）=f（x）﹣ ，则
h'（x）=f'（x）﹣k（1+x2）= ，
所以当 时，h'（x）＜0，因此h（x）在区间（0， ）上单调
递减．
当 时，h（x）＜h（0）=0，即f（x）＜ ．
所以当k＞2时，f（x）＞ 并非对x （0，1）恒成立．
综上所知，k的最大值为2． ∈
点 本题主要考查切线方程的求法及新函数的单调性的求解证明．在高考中属常考题
评： 型，难度适中．19．（14分）（2015•北京）已知椭圆C： + =1（a＞b＞0）的离心率为 ，点P
（0，1）和点A（m，n）（m≠0）都在椭圆C上，直线PA交x轴于点M．
（Ⅰ）求椭圆C的方程，并求点M的坐标（用m，n表示）；
（Ⅱ）设O为原点，点B与点A关于x轴对称，直线PB交x轴于点N，问：y轴上是否存
在点Q，使得∠OQM=∠ONQ？若存在，求点Q的坐标，若不存在，说明理由．
考 直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．
点：
专 创新题型；圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题．
题：
分
析：
（I）根据椭圆的几何性质得出 求解即可．
（II）求解得出M（ ，0），N（ ，0），运用图形得出
tan∠OQM=tan∠ONQ， = ，求解即可得出即y
Q
2=x
M
•x
N
， +n2，根据m，m的
关系整体求解．
解
答：
解：（Ⅰ）由题意得出
解得：a= ，b=1，c=1
∴ +y2=1，
∵P（0，1）和点A（m，n），﹣1＜n＜1
∴PA的方程为：y﹣1= x，y=0时，x =
M
∴M（ ，0）
（II）∵点B与点A关于x轴对称，点A（m，n）（m≠0）
∴点B（m，﹣n）（m≠0）
∵直线PB交x轴于点N，
∴N（ ，0），∵存在点Q，使得∠OQM=∠ONQ，Q（0，y
Q
），
∴tan∠OQM=tan∠ONQ，
∴ = ，即y 2=x •x ， +n2=1
Q M N
y 2= =2，
Q
∴y = ，
Q
故y轴上存在点Q，使得∠OQM=∠ONQ，Q（0， ）或Q（0，﹣ ）
点 本题考查了直线圆锥曲线的方程，位置关系，数形结合的思想的运用，运用代数的
评： 方法求解几何问题，难度较大，属于难题．
20．（13分）（2015•北京）已知数列{a }满足：a N*，a ≤36，且a =
n 1 1 n+1
∈
（n=1，2，…），记集合M={a |n N*}．
n
∈
（Ⅰ）若a =6，写出集合M的所有元素；
1
（Ⅱ）如集合M存在一个元素是3的倍数，证明：M的所有元素都是3的倍数；
（Ⅲ）求集合M的元素个数的最大值．
考 数列递推式．
点：
专 创新题型；点列、递归数列与数学归纳法．
题：
分
析： （Ⅰ）a =6，利用a = 可求得集合M的所有元素为6，12，
1 n+1
24；
（Ⅱ）因为集合M存在一个元素是3的倍数，所以不妨设a 是3的倍数，由a =
k n+1
（n=1，2，…），可归纳证明对任意n≥k，a 是3的倍数；
n
（Ⅲ）分a 是3的倍数与a 不是3的倍数讨论，即可求得集合M的元素个数的最大
1 1
值．
解
答： 解：（Ⅰ）若a =6，由于a = （n=1，2，…），M={a |
1 n+1 n
n N*}．
故集合M的所有元素为6，12，24；
∈（Ⅱ）因为集合M存在一个元素是3的倍数，所以不妨设a 是3的倍数，由a =
k n+1
（n=1，2，…），可归纳证明对任意n≥k，a 是3的倍数．
n
如果k=1，M的所有元素都是3的倍数；
如果k＞1，因为a =2a ，或a =2a ﹣36，所以2a 是3的倍数；于是a 是3
k k﹣1 k k﹣1 k﹣1 k﹣1
的倍数；
类似可得，a ，…，a 都是3的倍数；
k﹣2 1
从而对任意n≥1，a 是3的倍数；
n
综上，若集合M存在一个元素是3的倍数，则集合M的所有元素都是3的倍数
（Ⅲ）对a ≤36，a = （n=1，2，…），可归纳证明对任意
1 n
n≥k，a ＜36（n=2，3，…）
n
因为a 是正整数，a = ，所以a 是2的倍数．
1 2 2
从而当n≥3时，a 是2的倍数．
n
如果a 是3的倍数，由（Ⅱ）知，对所有正整数n，a 是3的倍数．
1 n
因此当n≥3时，a {12，24，36}，这时M的元素个数不超过5．
n
如果a 不是3的倍数，由（Ⅱ）知，对所有正整数n，a 不是3的倍数．
1 n
∈
因此当n≥3时，a {4，8，16，20，28，32}，这时M的元素个数不超过8．
n
当a =1时，M={1，2，4，8，16，20，28，32}，有8个元素．
1
综上可知，集合M∈ 的元素个数的最大值为8．
点 本题考查数列递推关系的应用，突出考查分类讨论思想与等价转化思想及推理、运
评： 算能力，属于难题．
