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2015年高考天津市理科数学真题
一、选择题
1．已知全集 ，集合 ，集合 ，则集合
（ ）
A． B． C． D．
2．设变量 满足约束条件 则目标函数 的最大值为（
）
A． B． C． D．
3．阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出 的值为（ ）
A． B． C． D．
4．设 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．如图，在圆 中， 是弦 的三等分点，弦 ， 分别经过点
，若 ， ， ，则线段 的长为（ ）
A． B．3 C． D．
6．已知双曲线 （ ）的一条渐近线过点（ ），且双曲线的一个焦点在抛物线
的准线上，则双曲线的方程为（ ）A． B． C． D．
7．已知定义在 上的函数 （ 为实数）为偶函数，记 ， ，
，则 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数 函数 ，其中 ，若函数 恰
有 个零点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9． 是虚数单位，若复数 是纯虚数，则实数
的值为 ．
10．一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体
的体积为 ．
11．曲线 与直线 所围成的封闭图形的面积为
．
12．在 的展开式中， 的系数为 ．
13 ． 在 中 ， 内 角 所 对 的 边 分 别 为 . 已 知 的 面 积 为 ，，则 的值为 ．
14．在等腰梯形 中，已知 。动点 和 分别在线段
和 上，且 ，则 的最小值为 ．
三、解答题
15．已知函数 ， ．
（Ⅰ）求 的最小正周期；
（Ⅱ）求 在区间 内的最大值和最小值．
16．为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加。现有来自甲协会的运动员
名，其中种子选手 名；乙协会的运动员 名，其中种子选手 名。从这 名运动员中随机选择 人
参加比赛。
（Ⅰ）设 为事件“选出的 人中恰有 名种子选手，且这 名种子选手来自同一个协会”，求事件
发生的概率；
（Ⅱ）设 为选出的 人中种子选手的人数，求随机变量 的分布列和数学期望．
17．如图，在四棱柱 中，侧棱 底面
， ， ， ，，且点 和 分别为 和 的中点．
（Ⅰ）求证： 平面 ；
（Ⅱ）求二面角 的正弦值；
（Ⅲ）设 为棱 上的点。若直线 和平面 所成角的正弦值为 ，求线段 的长。
18．已知数列 满足 （ 为实数，且 ）， ， ， ，且 ，
， 成等差数列。
（Ⅰ）求 的值和 的通项公式；
（Ⅱ）设 ， ，求数列 的前 项和．
19．已知椭圆 的左焦点为 ，离心率为 ，点 在椭圆上且位于第一象
限，直线 被圆 截得的线段的长为 ， ．
（Ⅰ）求直线 的斜率；
（Ⅱ）求椭圆的方程；
（Ⅲ）设动点 在椭圆上，若直线 的斜率大于 ，求直线 （ 为原点）的斜率的取值范围。20．已知函数 其中 ，且 .
（Ⅰ）讨论 的单调性；
（Ⅱ）设曲线 与 轴正半轴的交点为 ，曲线在点 处的切线方程为 ，
求证：对于任意的正实数 ，都有 ；
（Ⅲ）若关于 的方程 （ 为实数）有两个正实数根 ，求证： ．
2015年高考天津市理科数学真题答案
一、选择题
1．答案：A
解析过程：
,所以 ，选A
2．答案：C解析过程：
不等式 所表示的平面区域如下图所示，
当 所表示直线经过点 时， 有最大值 ，选C
3．答案：B
解析过程：
输入 ；
不成立；
不成立
成立
输出 ,选B
4．答案：A
解析过程：
，
所以“ ”是“ ”的充分不必要条件，选A
5．答案：A
解析过程：由相交弦定理可知，
，
又因为 是弦 的三等分点，
所以 ，
所以 ，选A
6．答案：D
解析过程：
双曲线 （ ）的渐近线方程为 ，
由点 在渐近线上，所以 ，
双曲线的一个焦点在抛物线 准线方程 上，
所以 ，由此可解得 ，
所以双曲线方程为 ，选D
7．答案：C
解析过程：
因为函数 为偶函数，所以 ，即 ，
所以
所以 ，选C
8．答案：D解析过程：
由 得 ，
所以 ，
即
,
所以 恰有4个零点等价于方程
有4个不同的解，
即函数 与函数 的图象的4个公共点，
由图象可知 .选D
二、填空题
9．答案：-2
解析过程：是纯虚数，
所以 ，即
10．答案：
解析过程：
由三视图可知，该几何体是中间为一个底面半径为 ，
高为 的圆柱，两端是底面半径为 ，高为 的圆锥，
所以该几何体的体积 .
11．答案：
解析过程：
两曲线的交点坐标为 ，
所以它们所围成的封闭图形的面积
.
12．答案：
解析过程：
展开式的通项为
，
由 得r=2，
所以 ，所以该项系数为13．答案：
解析过程：
因为 ，所以 ，
又 ，
解方程组 得 ，由余弦定理得
，
所以 .
14．答案：
解析过程：
因为 ，
，
，
，三、解答题
15．答案：（Ⅰ） ；（Ⅱ）最大值 ，最小值
解析过程：
（Ⅰ）解：由题意得
=
所以， 的最小正周期
（Ⅱ）解：因为 在区间 上是减函数，
在区间 上是增函数，
， ， .
所以， 在区间 上的最大值为 ，最小值为 .
21
16．答案：（Ⅰ） ；（Ⅱ）见解析
解析过程：（Ⅰ）解：由题意得
所以，事件 发生的概率为 .
（Ⅱ）解：随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4.
所以，随见变量 的分布列为
随机变量 的数学期望
17．答案：
见解析
解析过程：
如图，以 为原点建立空间直角坐标系，
依题意可得 , , ,
, .又因为M,N分别为 和 的中点，得 , .
（Ⅰ）证明：依题意，可得 为平面 的一个法向量.
= .由此可得 ，
又因为直线 平面 ，所以 平面 ．
（Ⅱ）解： ， ．
设 为平面 的法向量，则
即
不妨设 ，可得 .．
设 为平面 的法向量，则
又 ，得
不妨设 ，可得 ．
因此有 ，于是 ．
所以，二面角 的正弦值为 。
（Ⅲ）解：依题意，可设 ，其中 ，则 ，从而 ．
又 为平面 的一个法向量，
由已知，得 = ，
整理得 ，又因为 ，解得 ．
所以，线段 的长为 ．
18．答案：
见解析
解析过程：
（Ⅰ）解：由已知，有 ，
即 ，所以 ．
又因为 ，故 ，由 ，得 ．
当 时， ；
当 时， ．
所以， 的通项公式为
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得 .设 的前n项和为 ，则 ，
，
上述两式相减，得
整理得， .
所以，数列 的前n项和为 ， ．
19．答案：
（Ⅰ） ；（Ⅱ） ；（Ⅲ）
解析过程：
（Ⅰ）解：由已知有 ，又由 ，可得 .
设直线 的斜率为 ，则直线 的方程为 ．
由已知，有 + ，解得 ．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得椭圆方程为 ，
直线 的方程为 ，
两个方程联立，消去y，整理得 ，解得 ，或 .
因为点M在第一象限，可得M的坐标为 .有 ，
解得 ，所以椭圆的方程为 .
（Ⅲ）解：设点P的坐标为 ，直线FP的斜率为 ，
得 ，即 ，
与椭圆方程联立 消去 ，
整理得 ．
又由已知，得 ，
解得 ，或 ．
设直线 的斜率为 ，得 ，即 ，
与椭圆方程联立，整理可得 .①当 时，有 ，
因此 ，于是 ，得 .
②当 时，有 ，
因此 ，于是 ，得 .
综上，直线 的斜率的取值范围是 .
20．答案：见解析
解析过程：
（Ⅰ）解：由 = ，
可得 = = ，
其中 ，且 .
下面分两种情况讨论：
（1）当 为奇数时.
令 =0，解得 ，或 .
当 变化时， ， 的变化情况如下表：
↘ ↗ ↘所以， 在 ， 上单调递减，在 内单调递增。
（2）当 为偶数时.
当 ，即 时，函数 单调递增；
当 ，即 时，函数 单调递减.
所以， 在 上单调递增，在 上单调递减.
（Ⅱ）证明：设点 的坐标为 ，
则 ， .
曲线 在点 处的切线方程为 ，
即 ，
令 ，即 ，
则 ．
由于 在 上单调递减，
故 在 上单调递减，
又因为 ，所以当 时， ，当 时， ，
所以 在 内单调递增，在 上单调递减，
所以对于任意的正实数 ，都有 ，
即对于任意的正实数 ，都有 ．
（Ⅲ）证明：不妨设 ．
由（Ⅱ）知 ，
设方程 的根为 ，可得 ，
当 时，在 上单调递减．
又由（Ⅱ）知 ，可得 ．
类似地，设曲线 在原点处的切线方程为 ，
可得 ，
当 ， ，
即对于任意的 ， ．
设方程 的根为 ，可得 ．因为 在 上单调递增，
且 ，因此 ．
由此可得 ．
因为 ，所以 ，
故 .所以， ．
