文档内容
网孔分析和节点分析
Ch2.
本章内容：
1. 熟练掌握电路方程的列写方法：
节点电压法
网孔(回路)电流法
2. 了解含运算放大器的电路的分析方法
3. 互易定理，电路的对偶性网孔分析和节点分析
Ch2.
分析方法
为了求得全部支路的电压和电流,不同的方法得
到的电路方程个数不同。
电路方程的列写方法
2b法：联立2b个方程，同时求解电流和电压
支路分析法：联立b个方程，先求解电流或电压
是否可进一步减少联立方程数？
两个独立性约束网孔分析法
网孔电流
若将电压源和电阻串联作为一条支路时，该电路共有6
条支路和4个结点。对①、②、③结点写出KCL方程。
i i i i i 0i 0 i i i
1 3 1 4 3 4 4 1 3
i i i ii 0i 0i i i
1 2 1 5 2 5 5 1 2
i i i i i 0i 0 i i i
2 3 2 6 3 6 6 2 3
支路电流i 、i 和i 可以用另外三个支路电流i 、i 和i 的
4 5 6 1 2 3
线性组合来表示。网孔分析法
i i i 0 i i i
1 3 4 4 1 3
i i i 0 i i i
1 2 5 5 1 2
i i i 0 i i i
2 3 6 6 2 3
电流i 、i 和i 是非独立电流，它们由独立电流i 、i 和i
4 5 6 1 2 3
的线性组合确定。这种线性组合的关系，可以设想为电流i 、
1
i 和i 沿每个网孔边界闭合流动而形成，如图中箭头所示。
2 3
这种在网孔内闭合流动的电流，称为网孔电流。它是一组能
确定全部支路电流的独立电流变量。网孔分析法
思想： 以网孔电流为求解对象，列写KVL方程。
b–n+1个网孔电流即是一组独立电流变量网孔分析法
网孔电流法的独立方程数为b-(n-1)。与支路电流
法相比，方程数可减少n-1个。
R i R i R i R i R i u u 0
电压与回路绕行方
1 M1 5 M1 5 M2 4 M1 4 M3 S4 S1
向一致时取“+”；
R i R i R i R i R i u 0
2 M2 5 M2 5 M1 6 M2 6 M3 S2
否则取“-”。
R i R i R i R i R i u u 0
3 M3 4 M3 4 M1 6 M3 6 M2 S4 S3
整理得
(R R R )i R i R i u u
1 4 5 M1 5 M 2 4 M 3 S1 S4
R i (R R R )i R i u
5 M1 2 5 6 M 2 6 M 3 S2
R i R i (R R R )i u u
4 M1 6 M 2 3 4 6 M 3 S4 S3网孔分析法
上面的式子经过观察可表示成如下
R i R i R i u
11 M1 12 M 2 13 M 3 S11
R i R i R i u
21 M1 22 M 2 23 M 3 S 22
R i R i R i u
31 M1 32 M 2 33 M 3 S33
自电阻、互电阻
网孔电压升的代数和
注意：适用于仅含独立电压源和电阻的电路网孔分析法
自电阻
互电阻
R R R R
1 4 5 4
R
5
R i R i R i u
11 M1 12 M 2 13 M 3 S11 u u
S1 S4
网孔电压升的代数和网孔分析法
一般情况，对于具有 m=b-(n-1) 个网孔的电路，有
R i +R i + …+R i =u
11 M1 12 M2 1m Mm S11
R i +R i + …+R i =u
21 M1 22 M2 2m Mm S22
…
R i +R i + …+R i =u
其中 m1 M1 m2 M2 mm Mm Smm
R :自电阻(为正) ，k=1,2,…,m ( ∵绕行方向取参考方向)。
kk
+ : 流过互阻两个网孔电流方向相同
R :互电阻
jk
- : 流过互阻两个网孔电流方向相反
特例：不含受控源的线性网络 R =R , 系数矩阵为对称阵。
jk kj
（平面电路， R 均为负(当网孔电流均取顺(或逆)时针方向))
jk网孔分析法
网孔电流法的一般步骤：
(1) 选定m=b-(n-1)个网孔，确定其绕行方向；
(2) 对m个网孔，以网孔电流为变量，列写
其KVL方程；
(3) 求解上述方程，得到m个网孔电流；
(4) 求各支路电流(用网孔电流表示)；
(5) 求解其它参数。网孔分析法
仅含有电压源、电阻的电路网孔分析法
含有电流源、电阻的电路网孔分析法
含有受控源、电阻的电路网孔分析法网网孔孔分分析析法法
例1. (I -I )R
a b 2
I R II II II II
a 11 22 33 44
1
RR R RR
11 2 44
U S1 ++ I a + I b R 3 I c ++
UU U UU
SS11 S2 SS44
_
____ __
-U
S2
(R +R )I -R I = U - U
1 2 a 2 b S1 S2
-R I + (R +R )I - R I = U
2 a 2 3 b 3 c S2
-R I + (R +R )I = -U
3 b 3 4 c S4网网孔孔分分析析法法
I I I I
1 2 3 4
R R R
1 2 4
+ I + I R I +
a b 3 c
U U U
S1 S2 S4
_
__ _
求解网孔电流方程，得 I , I , I
a b c
求各支路电流： I =I , I =I -I , I =I -I , I =-I
1 a 2 b a 3 c b 4 c
校核： 选一新回路。网孔分析法
例2. 1 2
I I
I
I
1+ 4
2 I 5
3 1
2V 3 U 2
I 2 I + I
_ a + b c
3U
2
–
解：
4I -3I =2
a b
将看VCVS作独立源建立方程；
①
-3I +6I -I =-3U
a b c 2
-I +3I =3U
b c 2
② U =3(I -I ) 找出控制量和网孔电流关系。
2 b a网孔分析法
1 2
I I
I
I
1+ 4
2 I 5
3 1
2V 3 U 2
I 2 I + I
_ a + b c
3U
2
–
将②代入①，得
4I -3I =2 解得 I =1.19A
a b a
③ -12I +15I -I =0 I =0.92A
a b c b
9I -10I +3I =0 I =-0.51A
a b c c
各支路电流为：
I = I =1.19A, I = I - I =0.27A, I = I =0.92A,
1 a 2 a b 3 b
I = I - I =1.43A, I = I =–0.52A.
4 b c 5 c
校核:
1I +2I +2I =2V ( U =E )
1 3 5 R 降 升网孔分析法
R
3
例3.
I
U
_ 3
i R
+
4
+
I R
U S 2
_
S1_ R
I 5
I 2
U
1
R
S2
1
+
引入电流源电压为变量，增加网孔电流和电流源电流
的关系方程。
(R +R )I -R I =U +U +U
1 2 1 2 2 S1 S2 i
-R I +(R +R +R )I -R I =-U
2 1 2 4 5 2 4 3 S2
-R I +(R +R )I =-U
4 2 3 4 3 i
I =I -I
S 1 3互易定理
互易定理表明线性电路“因果互易”的性质。互易定理
互易定理的证明互易定理
互易定理的应用
由例题可以得到：互易定理可用于简化电路
分析过程。节点分析法
例如图示电
路各支路电
压可表示为:
u u v u u u v v
1 10 1 4 10 30 1 3
u u v u u u v v
2 20 2 5 10 20 1 2
u u v u u u v v
3 30 3 6 20 30 2 3节点分析法
基本思想 (思考)：
能否假定一组变量，使之自动满足 KVL，从而
就不必列写KVL方程，减少联立方程的个数？
KVL恰说明了电位的单值性。如果选节点电压
为未知量，则KVL自动满足，就无需列写KVL方程。
当以节点电压为未知量列电路方程、求出节点电压
后，便可方便地得到各支路电压、电流。节点分析法
基本思想 ：
以节点电压为求解对象，列写KCL方程。节点分析法
节点电压法的独立方程数为(n-1)个。与支路电流法
相比，方程数可减少b-( n-1)个。
i i i 0
1 5 S
i i i 0
1 2 3
i i i 0
3 4 5
i G (u u )
1 1 N1 N 2
i G u
2 2 N 2 (G G )u G u G u i
1 5 N1 1 N2 5 N3 S
i G (u u )
3 3 N 2 N3 G u (G G G )u G u 0
1 N1 1 2 3 N2 3 N3
i G u
4 4 N3 G u G u (G G G )u 0
5 N1 3 N2 3 4 5 N3
i G (u u )
5 5 N1 N3节点分析法
观察一下，可得到这样一个标准的方程
G u G u G u i
11 N1 12 N 2 13 N3 S11
G u G u G u i
21 N1 22 N 2 23 N3 S22
G u G u G u i
31 N1 32 N 2 33 N3 S33
自电导、互电导
电流源输送电流的代数和
注意：适用于仅含独立电流源和电阻的电路节点分析法
一般情况： G u +G u +…+G u =i
11 N1 12 N2 1,n-1 N,n-1 S11
G u +G u +…+G u =i
21 N1 22 N2 2,n-1 N,n-1 S22
G u +G u +…+G u =i
n-1,1 N1 n-1,2 N2 n-1,n N,n-1 S(n-1,n-1)
其中
G —自电导，等于接在节点i上所有支路的电导之
ii
和(包括电压源与电阻串联支路)。总为正。
G = G —互电导，等于接在节点i与节点j之间的所
ij ji
支路的电导之和，并冠以负号。
i — 流入节点i的所有电流源电流的代数和。
Sii节点分析法
节点法的一般步骤：
(1) 选定参考节点，标定n-1个独立节点；
(2) 对n-1个独立节点，以节点电压为未知
量，列写其KCL方程；
(3) 求解上述方程，得到n-1个节点电压；
(4) 求各支路电流(用节点电压表示)；
(5) 其它分析。节点分析法
仅含有电流源、电阻的电路节点分析法节点分析法
含有电压源、电阻的电路节点分析法
试列写下图含理想电压源电路的节点电压方程。
例
选择合适的参考点（方程简洁）
1
U = U
1 S
G G
+
1 2
G -G U +(G +G +G )U - G U =0
3
1 1 1 3 4 2 3 3
Us
2 3
_
-G U -G U +(G +G +G )U =0
G G 2 1 3 2 2 3 5 3
4 5节点分析法
含有受控源、电阻的电路小结
支路法、网孔法和节点法的比较：
(1) 方程数的比较
KCL方程 KVL方程 方程总数
支路法
n-1 b-(n-1) b
网孔法 0 b-(n-1) b-(n-1)
节点法 n-1 0 n-1
(2) 根据电路含有电流源或电压源选择分析方法。
(3) 网孔法、节点法易于编程。目前用计算机分析网络
(电网，集成电路设计等)采用节点法较多。运算放大器
运算放大器(operational amplifier)：
一种有着十分广泛用途的电子器件。最早开始
应用于1940年，主要用于模拟计算机，可模拟加、
减、积分等运算，对电路进行模拟分析。1960年
后，随着集成电路技术的发展，运算放大器逐步
集成化，大大降低了成本，获得了越来越广泛的
应用。
运算放大器基本上是高放大倍数的直接耦合
的放大器(一般内部由20个左右的晶体管组成)，
可用来放大直流和频率不太高的交流信号。运算放大器
电路符号
+U
a
_
u-
o a：反相输入端，输入电压 u-
b b：同相输入端，输入电压 u
u
+
u + o
+
o： 输出端, 输出电压 u
o
-U
: 公共端(接地端)
º º
+U
_
u-
u
运放具有“单
o
u +
+
方向”性质。
-U
º º运算放大器
电路模型
u
-
R
o
+
R
i
A(u -u )
_ + -
u
+
R ：运算放大器两输入端间的输入电阻
i
R ：运算放大器的输出电阻
o运算放大器
理想运算放大器
满足如下条件：
① A u =u
+ -
② R , i =i =0
i + -
i
-
_
u- _
uu
dd
+ u
u
+ o
+
i
+
理想运放的电路符号运算放大器
含运放电路分析
节点分析法
两个理想运放条件
书中的例子：比例器、电压跟随器电路对偶性
电路的对偶量
电压 电流 网孔电流 节点电压
电阻 电导 电压源 电流源
短路 开路 电荷 磁链
KCL KVL 电感 电容
串联 并联总结
• 网孔分析法，网孔电流
• 节点分析法，节点电压
• 互易定理
• 对偶性
• 含运放的电路分析
理想运放的条件
了解运放电路的分析方法节点分析法
R
1 2
_
列写图中含VCCS电 i
+ u g u
S1
R m R
2 2
路的节点电压方程。
R
R
3
1
2
(1) 先把受控源当作独立源看列方程；
(2) 用节点电压表示控制量。
解：
u u u
n1 n2 n1 i
S1
R R
1 2
u u u
n2 n1 n2 i g u
-
s1 m R
R R
2
1 3
u = u
R n1
2例2 用节点法求各支路电流。
I 20k U 10k U 40k I
1 A B 3
I I
+120V I -240V
4 5
2
40k 20k
解：
* 可先进行电源变换。
(1) 列节点电压方程：
(0.05+0.025+0.1)U -0.1U = 0.006
A B
-0.1U +(0.1+0.05+0.025)U =-0.006
A B
(2) 解方程，得： U =21.8V， U =-21.82V
A B
(3) 各支路电流：
I =(120-U )/20k= 4.91mA I = (U - U )/10k= 4.36mA
1 A 2 A B
I =(U +240)/40k= 5.45mA I = U /40=0.546mA
3 B 4 B
I = U /20=-1.09mA
5 B2.3.2 含运算放大器的电路的分析
运放开环工作极不稳定，一般外部接若干元件
(R、C等)，使其工作在闭环状态。
1. 反相比例器
R R
f f
R
1 2
R 1
1 _
A
2 + +
+
1 + R
+
+ o
u
u R R u
+ 1 +
u i i L o
_
R u _
i Au
_ L o _
1
_ _
运放等效电路用节点电压法分析：(电阻用电导表示)
R
f
(G +G +G )u -G u =G u
R
1 i f n1 f n2 1 i 1 2
1
-G u -(G +G +G )u =G Au
f n1 f o L n2 o 1 + +
+
R
o
u
u =u u R R u
1 +
1 n1 i i L o
_
_
Au
_
1
_
整理，得
(G +G +G )u -G u =G u
运放等效电路
1 i f n1 f n2 1 i
(-G +G A)u -(G +G +G )u =0
f o n1 f o L n2
解得
G G (AG G )
u u 1 f O f u
o n2 i
G G (AG G ) (G G G ) (G Go G )
f f O f 1 i f f LG G (AG G )
u u 1 f O f u
o n2 i
G G (AG G ) (G G G ) (G Go G )
f f O f 1 i f f L
因A一般很大，上式中分母中G (AG -G )一项的值
f o f
比(G + G + G ) (G + G + G )要大得多。所以，后一项
1 i f 1 i f
可忽略，得
G R
u 1 u f u
o i i
G R
f 1
表明 u /u 只取决于反馈电阻R 与R 比值，负号表明
o i f 1
u 和u 总是符号相反(反相比例器)。
o i
此近似结果可将运放看作理想情况而得到。由理想运放构成的反相比例器：
i
R
2
f
i “虚短”： u = u =0，i = u /R
1 R i + - 1 S 1
1 - _
i = -u /R
2 o f
u
- +
+
+ “虚断”： i = 0，i = i
u + - 2 1
u
+
R u
i
_ L o
R
_
u f u
o i
R
1
注意：( 1) 当 R 和 R 确定后，为使 u 不超过饱和电压(即保证
1 f o
工作在线性区)，对u 有一定限制。
i
(2) 运放不工作在开环状态(极不稳定，振荡在饱和区)，
都工作在闭环状态，输出电压由外电路决定。
( R 接在输出端和反相输入端,称为负反馈。 )
f反相比例器的对外等效电路：
i i
1 2
+ + +
相当于一个压控电压源。
u u u
1 1 o
_
_ _
VCVS =-R /R
f 1
当 R =R 时，组成反相器，如下图：
f 1
x y
-1
y = -x2. 加法器
R
R f
1
u
i1
u = u =0
i - +
R
-
u 2 _ i =0
i2 -
u
R - +
3
u
+ u /R + u /R + u /R =-u /R
i3 +
i1 1 i2 2 i3 3 o f
u
u
o
_
+
∴ u = -(R /R u +R /R u +R /R u )
o f 1 i1 f 2 i2 f 3 i3
比例加法器：y =a x +a x +a x ，符号如下图：
1 1 2 2 3 3
x
1
a
x 1
-y
y
2
a -1
2
x
3 a
33. 正相比例器
i
- _
R i +
u +
i
+ + +
+
u = u = u
u
u + - i
-
u o
i = i = 0
i R
+ -
R 1 _
_
2
(u -u )/R = u /R
o - 1 - 2
u =(R + R )/R u
o 1 2 2 i
=(1+ R /R ) u
1 2 i4. 电压跟随器
_
+
+ +
+
u
u o
i
_
_
特点：
① 输入阻抗无穷大(虚断)；
② 输出阻抗为零；
③ u = u 。
o i
应用：在电路中起隔离前后两级电路的作用。例
R
1
+ +
R
u u
2
2 1
u R R u R R
1 2 L 2 1 2
_ _
_
+
R
1
+
+
+ R
u u
2
2 1
u R u R R
i R L 2 1 2
2 _
_
可见，加入跟随器后，隔离了前后两级电路的相互影响。5. 积分器
u =0
i C
-
C
i =0
-
i
R i
R
- _ i = i
R C
u
+ - +
u du
+
+
u i C o
u
i
_ o R dt
_
1
u u dt
o i
RC
积分环节 y xdt
x -y y
-1
