文档内容
2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合A＝{1，2，3，5，7，11}，B＝{x|3＜x＜15}，则A∩B中元素的个数
为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．（5分）若 （1+i）＝1﹣i，则z＝（ ）
A．1﹣i B．1+i C．﹣i D．i
3．（5分）设一组样本数据x ，x ，…，x 的方差为0.01，则数据10x ，10x ，…，10x 的
1 2 n 1 2 n
方差为（ ）
A．0.01 B．0.1 C．1 D．10
4．（5分）Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布
数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I（t）（t的单位：天）的Logistic模型：I
（t）＝ ，其中K为最大确诊病例数．当I（t*）＝0.95K时，标志着已
初步遏制疫情，则t*约为（ ）（ln19≈3）
A．60 B．63 C．66 D．69
5．（5分）已知sin +sin（ + ）＝1，则sin（ + ）＝（ ）
θ θ θ
A． B． C． D．
6．（5分）在平面内，A，B是两个定点，C是动点．若 • ＝1，则点C的轨迹为（
）
A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．直线
7．（5分）设O为坐标原点，直线x＝2与抛物线C：y2＝2px（p＞0）交于D，E两点，若
OD⊥OE，则C的焦点坐标为（ ）
A．（ ，0） B．（ ，0） C．（1，0） D．（2，0）
8．（5分）点（0，﹣1）到直线y＝k（x+1）距离的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．2
9．（5分）如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（ ）A．6+4 B．4+4 C．6+2 D．4+2
10．（5分）设a＝log 2，b＝log 3，c＝ ，则（ ）
3 5
A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b
11．（5分）在△ABC中，cosC＝ ，AC＝4，BC＝3，则tanB＝（ ）
A． B．2 C．4 D．8
12．（5分）已知函数f（x）＝sinx+ ，则（ ）
A．f（x）的最小值为2
B．f（x）的图象关于y轴对称
C．f（x）的图象关于直线x＝ 对称
π
D．f（x）的图象关于直线x＝ 对称
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）若x，y满足约束条件 则z＝3x+2y的最大值为 ．
14．（5分）设双曲线C： ﹣ ＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线为y＝ x，则C的
离心率为 ．
15．（5分）设函数f（x）＝ ，若f′（1）＝ ，则a＝ ．
16．（5分）已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的表面积为
．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共
60分。
17．（12分）设等比数列{a }满足a +a ＝4，a ﹣a ＝8．
n 1 2 3 1
（1）求{a }的通项公式；
n
（2）记S 为数列{log a }的前n项和．若S +S ═S ，求m．
n 3 n m m+1 m+3
18．（12分）某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公
园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：
锻炼人次 [0，200] （200，400] （400，600]
空气质量等级
1（优） 2 16 25
2（良） 5 10 12
3（轻度污染） 6 7 8
4（中度污染） 7 2 0
（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；
（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点
值为代表）；
（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等
级为3或4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并
根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气
质量有关？
人次≤400 人次＞400
空气质量好
空气质量不好
附：K2＝
P（K2≥k） 0.050 0.010 0.001k 3.841 6.635 10.828
19．（12分）如图，在长方体ABCD﹣A B C D 中，点E，F分别在棱DD ，BB 上，且
1 1 1 1 1 1
2DE＝ED ，BF＝2FB ．证明：
1 1
（1）当AB＝BC时，EF⊥AC；
（2）点C 在平面AEF内．
1
20．（12分）已知函数f（x）＝x3﹣kx+k2．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若f（x）有三个零点，求k的取值范围．
21．（12分）已知椭圆C： + ＝1（0＜m＜5）的离心率为 ，A，B分别为C的
左、右顶点．（1）求C的方程；
（2）若点P在C上，点Q在直线x＝6上，且|BP|＝|BQ|，BP⊥BQ，求△APQ的面积．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的
第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 （t为参数且
t≠1），C与坐标轴交于A，B两点．
（1）求|AB|；
（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB的极坐标方程．
[选修4-5：不等式选讲]（10分）
23．设a，b，c R，a+b+c＝0，abc＝1．
（1）证明：∈ab+bc+ca＜0；
（2）用max{a，b，c}表示a，b，c中的最大值，证明：max{a，b，c}≥ ．2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ）
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合A＝{1，2，3，5，7，11}，B＝{x|3＜x＜15}，则A∩B中元素的个数
为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】求出集合A，B，由此能求出A∩B，进而能求出A∩B中元素的个数．
【解答】解：∵集合A＝{1，2，3，5，7，11}，B＝{x|3＜x＜15），
∴A∩B＝{5，7，11}，
∴A∩B中元素的个数为3．
故选：B．
【点评】本题考查交集中元素个数的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能
力，是基础题．
2．（5分）若 （1+i）＝1﹣i，则z＝（ ）
A．1﹣i B．1+i C．﹣i D．i
【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后利用共轭复数的概
念得答案．
【解答】解：由 （1+i）＝1﹣i，得 ，
∴z＝i．
故选：D．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
3．（5分）设一组样本数据x ，x ，…，x 的方差为0.01，则数据10x ，10x ，…，10x 的
1 2 n 1 2 n
方差为（ ）
A．0.01 B．0.1 C．1 D．10
【分析】根据任何一组数据同时扩大几倍方差将变为平方倍增长，求出新数据的方差即
可．
【解答】解：∵样本数据x ，x ，…，x 的方差为0.01，
1 2 n
∴根据任何一组数据同时扩大几倍方差将变为平方倍增长，∴数据10x ，10x ，…，10x 的方差为：100×0.01＝1，
1 2 n
故选：C．
【点评】本题考查了方差的性质，掌握根据任何一组数据同时扩大几倍方差将变为平方
倍增长是解题的关键，本题属于基础题．
4．（5分）Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布
数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I（t）（t的单位：天）的Logistic模型：I
（t）＝ ，其中K为最大确诊病例数．当I（t*）＝0.95K时，标志着已
初步遏制疫情，则t*约为（ ）（ln19≈3）
A．60 B．63 C．66 D．69
【分析】根据所给材料的公式列出方程 ＝0.95K，解出t即可．
【解答】解：由已知可得 ＝0.95K，解得e﹣0.23（t﹣53）＝ ，
两边取对数有﹣0.23（t﹣53）＝﹣ln19，
解得t≈66，
故选：C．
【点评】本题考查函数模型的实际应用，考查学生计算能力，属于中档题
5．（5分）已知sin +sin（ + ）＝1，则sin（ + ）＝（ ）
θ θ θ
A． B． C． D．
【分析】利用两角和差的三角公式，进行转化，利用辅助角公式进行化简即可．
【解答】解：∵sin +sin（ ）＝1，
θ
∴sin + sin + cos ＝1，
θ θ θ
即 sin + cos ＝1，
θ θ
得 （ cos + sin ）＝1，
θ θ
即 sin（ ）＝1，得sin（ ）＝
故选：B．
【点评】本题主要考查三角函数值的化简和求值，利用两角和差的三角公式以及辅助角
公式进行转化是解决本题的关键．难度不大．
6．（5分）在平面内，A，B是两个定点，C是动点．若 • ＝1，则点C的轨迹为（
）
A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．直线
【分析】设出A、B、C的坐标，利用已知条件，转化求解C的轨迹方程，推出结果即
可．
【解答】解：在平面内，A，B是两个定点，C是动点，
不妨设A（﹣a，0），B（a，0），设C（x，y），
因为 ＝1，
所以（x+a，y）•（x﹣a，y）＝1，
解得x2+y2＝a2+1，
所以点C的轨迹为圆．
故选：A．
【点评】本题考查轨迹方程的求法，向量的数量积的应用，考查计算能力．
7．（5分）设O为坐标原点，直线x＝2与抛物线C：y2＝2px（p＞0）交于D，E两点，若
OD⊥OE，则C的焦点坐标为（ ）
A．（ ，0） B．（ ，0） C．（1，0） D．（2，0）
【分析】利用已知条件转化求解E、D坐标，通过k •k ＝﹣1，求解抛物线方程，即
OD OE
可得到抛物线的焦点坐标．
【解答】解：将x＝2代入抛物线y2＝2px，可得y＝±2 ，OD⊥OE，可得k •k ＝﹣
OD OE
1，
即 ，解得p＝1，
所以抛物线方程为：y2＝2x，它的焦点坐标（ ，0）．
故选：B．
【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，是基本知识的考查．8．（5分）点（0，﹣1）到直线y＝k（x+1）距离的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．2
【分析】直接代入点到直线的距离公式，结合基本不等式即可求解结论．
【解答】解：因为点（0，﹣1）到直线y＝k（x+1）距离d＝ ＝ ＝
；
∵要求距离的最大值，故需k＞0；
可得d≤ ＝ ；当k＝1时等号成立；
故选：B．
【点评】本题考查的知识点是点到直线的距离公式，属于基础题．
9．（5分）如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（ ）
A．6+4 B．4+4 C．6+2 D．4+2
【分析】先由三视图画出几何体的直观图，利用三视图的数据，利用三棱锥的表面积公
式计算即可．
【解答】解：由三视图可知，几何体的直观图是正方体的一个角，如图：
PA＝AB＝AC＝2，PA、AB、AC两两垂直，
故PB＝BC＝PC＝2 ，
几何体的表面积为：3× ＝6+2 ，
故选：C．【点评】本题考查多面体的表面积的求法，几何体的三视图与直观图的应用，考查空间
想象能力，计算能力．
10．（5分）设a＝log 2，b＝log 3，c＝ ，则（ ）
3 5
A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b
【分析】利用指数函数、对数函数的单调性直接求解．
【解答】解：∵a＝log 2＝ ＜ ＝ ，
3
b＝log 3＝ ＞ ＝ ，
5
c＝ ，
∴a＜c＜b．
故选：A．
【点评】本题考查三个数的大小的判断，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，
考查运算求解能力，是基础题．
11．（5分）在△ABC中，cosC＝ ，AC＝4，BC＝3，则tanB＝（ ）
A． B．2 C．4 D．8
【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求tanC的值，利用余弦定理可求AB的
值，可得A＝C，利用三角形的内角和定理可求B＝ ﹣2C，利用诱导公式，二倍角的正
切函数公式即可求解tanB的值． π
【解答】解：∵cosC＝ ，AC＝4，BC＝3，
∴tanC＝ ＝ ，∴AB＝ ＝ ＝3，可得A＝C，
∴B＝ ﹣2C，
π
则tanB＝tan（ ﹣2C）＝﹣tan2C＝ ＝ ＝4 ．
π
故选：C．
【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，余弦定理，三角形的内角和定理，
诱导公式，二倍角的正切函数公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，
属于基础题．
12．（5分）已知函数f（x）＝sinx+ ，则（ ）
A．f（x）的最小值为2
B．f（x）的图象关于y轴对称
C．f（x）的图象关于直线x＝ 对称
π
D．f（x）的图象关于直线x＝ 对称
【分析】设sinx＝t，则y＝f（x）＝t+ ，t [﹣1，1]，由双勾函数的图象和性质可得，
∈
y≥2或y≤﹣2，故可判断A；根据奇偶性定义可以判断B正误；根据对称性的定义可以
判断C，D的正误．
【解答】解：由sinx≠0可得函数的定义域为{x|x≠k ，k Z}，故定义域关于原点对称；
π ∈
设sinx＝t，则y＝f（x）＝t+ ，t [﹣1，1]，由双勾函数的图象和性质得，y≥2或y≤
∈
﹣2，故A错误；
又有f（﹣x）＝sin（﹣x）+ ＝﹣（sinx+ ）＝﹣f（x），故f（x）是奇函
数，且定义域关于原点对称，故图象关于原点中心对称；故B错误；
f（ +x）＝sin（ +x）+ ＝﹣sinx﹣ ；f（ ﹣x）＝sin（ ﹣x）+
π π π π
＝sinx+ ，故f（ +x）≠f（ ﹣x），f（x）的图象不关于直线x＝ 对
π π π
称，C错误；又f（ +x）＝sin（ +x）+ ＝cosx+ ；f（ ﹣x）＝sin（ ﹣
x）+ ＝cosx+ ，故f（ +x）＝f（ ﹣x），定义域为{x|x≠k ，
π
k Z}，f（x）的图象关于直线x＝ 对称；D正确；
∈
故选：D．
【点评】本题考查了基本初等函数的图象与性质，考查了对函数奇偶性和对称性质的灵
活应用能力，属于基础题．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）若x，y满足约束条件 则z＝3x+2y的最大值为 7 ．
【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z＝3x+2y表示直线在y
轴上的截距的一半，只需求出可行域内直线在y轴上的截距最大值即可．
【解答】解：先根据约束条件画出可行域，由 解得A（1，2），
如图，当直线z＝3x+2y过点A（1，2）时，目标函数在y轴上的截距取得最大值时，此
时z取得最大值，
即当x＝1，y＝2时，z ＝3×1+2×2＝7．
max
故答案为：7．【点评】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．
14．（5分）设双曲线C： ﹣ ＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线为y＝ x，则C的
离心率为 ．
【分析】由双曲线的方程求出渐近线的方程，再由题意求出 a，b的关系，再由离心率
的公式及a，b，c之间的关系求出双曲线的离心率．
【解答】解：由双曲线的方程可得渐近线的方程为：y＝± x，
由题意可得 ＝ ，所以离心率e＝ ＝ ＝ ，
故答案为： ．
【点评】本题考查双曲线的性质，属于基础题．
15．（5分）设函数f（x）＝ ，若f′（1）＝ ，则a＝ 1 ．
【分析】先求出函数的导数，再根据f′（1）＝ ，求得a的值．
【解答】解：∵函数f（x）＝ ，∴f′（x）＝ ，
若f′（1）＝ ＝ ，∴ ＝ ，则a＝1，
故答案为：1．
【点评】本题主要考查求函数的导数，属于基础题．
16．（5分）已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的表面积为
2 ．
【π分析】由条件易知该圆锥内半径最大的球为该圆锥的内接球，作图，数形结合即可．
【解答】解：当球为该圆锥内切球时，半径最大，
如图：BS＝3，BC＝1，则圆锥高SC＝ ＝ ＝2 ，
设内切球与圆锥相切与点D，半径为r，则△SOD∽△SCB，
故有 ＝ ，即 ，解得r＝ ，
所以该球的表面积为4 r2＝2 ．
π π故答案为：2 ．
π
【点评】本题考查圆锥内切球半径求法，考查球的表面积公式，数形结合思想，属于中
档题．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，
每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共
60分。
17．（12分）设等比数列{a }满足a +a ＝4，a ﹣a ＝8．
n 1 2 3 1
（1）求{a }的通项公式；
n
（2）记S 为数列{log a }的前n项和．若S +S ═S ，求m．
n 3 n m m+1 m+3
【分析】（1）设其公比为q，则由已知可得 ，解得a ＝1，q＝3，可求
1
其通项公式．
（2）由（1）可得log a ＝n﹣1，是一个以0为首项，1为公差的等差数列，可求S ＝
3 n n
，由已知可得 + ＝ ，进而解得m的值．
【解答】解：（1）设公比为q，则由 ，
可得a ＝1，q＝3，
1
所以a ＝3n﹣1．
n
（2）由（1）有log a ＝n﹣1，是一个以0为首项，1为公差的等差数列，
3 n
所以S ＝ ，
n所以 + ＝ ，m2﹣5m﹣6＝0，
解得m＝6，或m＝﹣1（舍去），
所以m＝6．
【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式的求法，等差数列的求和，考查了转化思
想和方程思想的应用，属于基础题．
18．（12分）某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公
园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：
锻炼人次 [0，200] （200，400] （400，600]
空气质量等级
1（优） 2 16 25
2（良） 5 10 12
3（轻度污染） 6 7 8
4（中度污染） 7 2 0
（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；
（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点
值为代表）；
（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等
级为3或4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并
根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气
质量有关？
人次≤400 人次＞400
空气质量好
空气质量不好
附：K2＝
P（K2≥k） 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
【分析】（1）用频率估计概率，从而得到估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4
的概率；
（2）采用频率分布直方图估计样本平均值的方法可得得答案；（3）由公式 计算k的值，从而查表即可，
【解答】解：（1）该市一天的空气质量等级为1的概率为： ＝ ；
该市一天的空气质量等级为2的概率为： ＝ ；
该市一天的空气质量等级为3的概率为： ＝ ；
该市一天的空气质量等级为4的概率为： ＝ ；
（2）由题意可得：一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值为： ＝
100×0.20+300×0.35+500×0.45＝350；
（3）根据所给数据，可得下面的2×2列联表，
人次≤400 人次＞400 总计
空气质量好 33 37 70
空气质量不好 22 8 30
总计 55 45 100
由表中数据可得：K2＝ ＝ ≈5.820
＞3.841，
所以有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关．
【点评】本题考查了独立性检验与频率估计概率，估计平均值的求法，属于中档题．
19．（12分）如图，在长方体ABCD﹣A B C D 中，点E，F分别在棱DD ，BB 上，且
1 1 1 1 1 1
2DE＝ED ，BF＝2FB ．证明：
1 1
（1）当AB＝BC时，EF⊥AC；
（2）点C 在平面AEF内．
1【分析】（1）因为ABCD﹣A B C D 是长方体，且AB＝BC，可得AC⊥平面BB D D，
1 1 1 1 1 1
因为EF 平面BB D D，所以EF⊥AC．
1 1
（2）取⊂AA
1
上靠近A
1
的三等分点M，连接DM，C
1
F，MF．根据已知条件可得四边形
AED M 为平行四边形，得 D M∥AE，再推得四边形 C D MF 为平行四边形，所以
1 1 1 1
D M∥C F，根据直线平行的性质可得AE∥C F，所以A，E，F，C 四点共面，即点C
1 1 1 1 1
在平面AEF内．
【解答】解：（1）因为ABCD﹣A B C D 是长方体，所以BB ⊥平面ABCD，而AC 平
1 1 1 1 1
面ABCD，所以AC⊥BB ， ⊂
1
因为ABCD﹣A B C D 是长方体，且AB＝BC，所以ABCD是正方形，所以AC⊥BD，
1 1 1 1
又BD∩BB ＝B．
1
所以 AC⊥平面 BB D D，又因为点 E，F 分别在棱 DD ，BB 上，所以 EF 平面
1 1 1 1
BB D D， ⊂
1 1
所以EF⊥AC．
（2）取AA 上靠近A 的三等分点M，连接D M，C F，MF．
1 1 1 1
因为点E在DD ，且2DE＝ED ，所以ED∥AM，且ED＝AM，
1 1
所以四边形AED M为平行四边形，所以D M∥AE，且D M＝AE，
1 1 1
又因为F在BB 上，且BF＝2FB ，所以 A M∥FB ，且A M＝FB ，
1 1 1 1 1 1
所以A B FM为平行四边形，
1 1
所以FM∥A B ，FM＝A B ，即FM∥C D ，FM＝C D ，
1 1 1 1 1 1 1 1
所以C D MF为平行四边形，
1 1
所以D M∥C F，
1 1所以AE∥C F，所以A，E，F，C 四点共面．
1 1
所以点C 在平面AEF内．
1
【点评】本题考查直线与平面垂直的判定，考查直线平行的性质应用，是中档题．
20．（12分）已知函数f（x）＝x3﹣kx+k2．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若f（x）有三个零点，求k的取值范围．
【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论k的范围，求出函数的单调区间即可；
（2）根据函数的单调性，求出函数的极值，得到关于k的不等式组，解出即可．
【解答】解：（1）f（x）＝x3﹣kx+k2．f′（x）＝3x2﹣k，
k≤0时，f′（x）≥0，f（x）在R递增，
k＞0时，令f′（x）＞0，解得：x＞ 或x＜﹣ ，
令f′（x）＜0，解得：﹣ ＜x＜ ，
∴f（x）在（﹣∞，﹣ ）递增，在（﹣ ， ）递减，在（ ，+∞）递增，
综上，k≤0时，f（x）在R递增，
k＞0时，f（x）在（﹣∞，﹣ ）递增，在（﹣ ， ）递减，在（ ，+∞）递
增；
（2）由（1）得：k＞0，f（x）
极小值
＝f（ ），f（x）
极大值
＝f（﹣ ），
若f（x）有三个零点，只需 ，解得：0＜k＜ ，
故k （0， ）．
∈
【点评】本题考查了函数的单调性，极值，零点问题，考查导数的应用以及分类讨论思
想，是一道常规题．
21．（12分）已知椭圆C： + ＝1（0＜m＜5）的离心率为 ，A，B分别为C的
左、右顶点．
（1）求C的方程；
（2）若点P在C上，点Q在直线x＝6上，且|BP|＝|BQ|，BP⊥BQ，求△APQ的面积．
【分析】（1）根据e＝ ，a2＝25，b2＝m2，代入计算m2的值，求出C的方程即可；
（2）设出P，Q的坐标，得到关于s，t，n的方程组，求出AP（8，1），AQ（11，
2），从而求出△APQ的面积．
【解答】解：（1）由e＝ 得e2＝1﹣ ，即 ＝1﹣ ，∴m2＝ ，
故C的方程是： + ＝1；
（2）由（1）A（﹣5，0），设P（s，t），点Q（6，n），
根据对称性，只需考虑n＞0的情况，
此时﹣5＜s＜5，0＜t≤ ，
∵|BP|＝|BQ|，∴有（s﹣5）2+t2＝n2+1 ，
又∵BP⊥BQ，∴s﹣5+nt＝0 ， ①
②
又 + ＝1 ，
③联立 得 或 ，
①②③
当 时，则P（3，1），Q（6，2），而A（﹣5，0），
则 ＝（8，1）， ＝（11，2），
∴S△APQ ＝ ＝ |8×2﹣11×1|＝ ，
同理可得当 时，S△APQ ＝ ，
综上，△APQ的面积是 ．
【点评】本题考查求椭圆方程以及了直线和椭圆的关系，考查转化思想，是一道综合题．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的
第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 （t为参数且
t≠1），C与坐标轴交于A，B两点．
（1）求|AB|；
（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB的极坐标方程．
【分析】（1）可令x＝0，求得t，对应的y；再令y＝0，求得t，对应的x；再由两点的
距离公式可得所求值；
（2）运用直线的截距式方程可得直线AB的方程，再由由x＝ cos ，y＝ sin ，可得所
求极坐标方程． ρ θ ρ θ
【解答】解：（1）当x＝0时，可得t＝﹣2（1舍去），代入y＝2﹣3t+t2，可得y＝
2+6+4＝12，
当y＝0时，可得t＝2（1舍去），代入x＝2﹣t﹣t2，可得x＝2﹣2﹣4＝﹣4，
所以曲线C与坐标轴的交点为（﹣4，0），（0，12），
则|AB|＝ ＝4 ；
（2）由（1）可得直线AB过点（0，12），（﹣4，0），可得AB的方程为 ﹣ ＝1，
即为3x﹣y+12＝0，
由x＝ cos ，y＝ sin ，
可得直ρ线AθB的极ρ坐标θ方程为3 cos ﹣ sin +12＝0．
【点评】本题考查曲线的参数方ρ程的θ 运ρ用，θ考查直线方程的求法和两点的距离公式的运
用，考查极坐标方程和直角坐标方程的互化，属于基础题．
[选修4-5：不等式选讲]（10分）
23．设a，b，c R，a+b+c＝0，abc＝1．
（1）证明：∈ab+bc+ca＜0；
（2）用max{a，b，c}表示a，b，c中的最大值，证明：max{a，b，c}≥ ．
【分析】（1）将a+b+c＝0平方之后，化简得到2ab+2ac+2bc＝﹣（a2+b2+c2）＜0，即
可得证；
（2）利用反证法，假设a≤b＜0＜c＜ ，结合条件推出矛盾．
【解答】证明：（1）∵a+b+c＝0，∴（a+b+c）2＝0，
∴a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc＝0，
∴2ab+2ac+2bc＝﹣（a2+b2+c2），
∵abc＝1，∴a，b，c均不为0，
∴2ab+2ac+2bc＝﹣（a2+b2+c2）＜0，
∴ab+ac+bc＜0；
（2）不妨设a≤b＜0＜c＜ ，则ab＝ ＞ ，
∵a+b+c＝0，∴﹣a﹣b＝c＜ ，
而﹣a﹣b≥2 ＞ ＝ ＝ ＝ ，与假设矛盾，
故max{a，b，c}≥ ．
【点评】本题考查基本不等式的应用和利用综合法与反正法证明不等式，考查了转化思想，属于中档题．
