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2023-2024学年度第一学期北京市八年级数学期末模拟训练试卷解析
一、选择题（以下每题只有一个正确的选项，每小题2分，共16分）
1. 下列图案中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：A、不是轴对称图形；B、不是轴对称图形；
C、是轴对称图形；D、不是轴对称图形；
故选：C．
2. 蜜蜂建造的蜂巢既坚固又省料，其厚度约为0.000073米，用科学记数法可表示为（ ）
A． 米 B． 米 C． 米 D． 米
【答案】B
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，
与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，
指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：0.000073=7.3×10-5，
故选：B．
3.已知a+b=3，ab=2，则a2+b2的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【详解】试题分析：根据完全平方公式得出a2+b2=（a+b）2﹣2ab，代入求出即可．∵a+b=3，ab=2，
∴a2+b2=（a+b）2﹣2ab=32﹣2×2=5．
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学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司4. 如图，分别以线段AB的两端点A，B为圆心，大于 AB长为半径画弧，
在线段AB的两侧分别交于点E，F，作直线EF交AB于点O．在直线EF上任取一点P（不与O重合），
连接PA，PB，则下列结论不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】依据分别以线段AB的两端点A，B为圆心，大于 AB长为半径画弧，
在线段AB的两侧分别交于点E，F，作直线EF交AB于点O，即可得到EF垂直平分AB，进而得出结论．
【详解】 由作图可知，EF垂直平分AB，
，故A选项正确；
，故B选项正确；
，故C选项错误；
，故D选项正确，
故选C．
5. 下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可．
【详解】解：A、不是因式分解，故本选项不符合题意；
B、不是因式分解，故本选项不符合题意；
C、不是因式分解，故本选项不符合题意；
D、是因式分解，故本选项符合题意；
故选：D．
6. 如图， ，点E在线段 上， ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】依据△ABC≌△AED，即可得到∠AED=∠B，AE=AB，∠BAC=∠EAD，
再根据等腰三角形的性质，即可得到∠B的度数，进而得出∠AED的度数．
【详解】解：∵△ABC≌△AED，
∴∠AED=∠B，AE=AB，∠BAC=∠EAD，
∴∠1=∠BAE=40°，
∴△ABE中，∠B= =70°，
∴∠AED=70°，
故选：A．
7 .若关于x的分式方程 有增根，则m的值是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A．m＝2或m＝6 B．m＝2 C．m＝6 D．m＝2或m＝﹣6
【答案】A
【分析】根据解分式方程的方法去分母，把分式方程化为整式方程；
接下来把增根的值代入到整式方程中，就可以求出m的值．
【详解】∵关于x的分式方程 有增根，
∴ 是方程 的根，
当 时， 解得：
当 时， 解得：
故选A.
8. △ABC中，AB=AC=12厘米，∠B=∠C，BC=8厘米，点D为AB的中点，
如果点P在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动。
同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动。若点Q的运动速度为v厘米/秒，
则当△BPD与△CQP全等时，v的值为（ ）
A．2 B．5 C．1或5 D．2或3
【答案】D
【分析】此题要分两种情况：①当BD=PC时，△BPD与△CQP全等，
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学科网（北京）股份有限公司计算出BP的长，进而可得运动时间，然后再求v；②当BD=CQ时，△BDP≌△QCP，
计算出BP的长，进而可得运动时间，然后再求v．
【详解】解：当BD=PC时，△BPD与△CQP全等，
∵点D为AB的中点，
∴BD= AB=6cm，
∵BD=PC，
∴BP=8-6=2（cm），
∵点P在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，
∴运动时间时1s，
∵△DBP≌△PCQ，
∴BP=CQ=2cm，
∴v=2÷1=2；
当BD=CQ时，△BDP≌△QCP，
∵BD=6cm，PB=PC，
∴QC=6cm，
∵BC=8cm，
∴BP=4cm，
∴运动时间为4÷2=2（s），
∴v=6÷2=3（m/s）．
故v的值为2或3．
故选择：D．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9. 如果分式 的值为零，那么x＝ ．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】
【分析】根据分式的值为零的条件可得 ，且 ，即可求解．
【详解】解：∵分式 的值为零，
∴ ，且 ，
解得 ．
故答案为： ．
10. 计算： ．
【答案】
【解析】
【分析】根据多项式除以单项式的法则计算即可.
【详解】解：
故答案为
11. 如图， 平分 ．请添加一个条件_________，使得 ．（填一个答案即可）
【答案】 （答案不唯一）
【解析】
【分析】根据全等三角形全等的方法判断即可．
【详解】解：根据AAS判定 ，可以添加 ，
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学科网（北京）股份有限公司根据ASA判定 ，可以添加 ，
根据SAS判定 ，可以添加 ，
故答案为： （答案不唯一）．
12. 在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（其中a>b）（如图①），
把余下的部分拼成一个长方形（如图②），根据两个图形中阴影部分的面积相等，
可以验证的乘法公式是_______________ ．
【答案】a2-b2=（a+b）（a-b）
【解析】
【分析】第一个图形中阴影部分的面积计算方法是边长是a的正方形的面积减去边长是b的小正方形的面
积，等于a2-b2；第二个图形阴影部分是一个长是（a+b），宽是（a-b）的长方形，面积是（a+b）（a-
b）；这两个图形的阴影部分的面积相等．
【详解】解：阴影部分的面积=（a+b）（a-b）=a2-b2；
因而可以验证的乘法公式是（a+b）（a-b）=a2-b2，
故答案为：a2-b2=（a+b）（a-b）．
13. 如图， 是 中 的角平分线， 于点 ， 于点 ，
若 ， ， ，则 长是 ．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】3
【分析】根据角平分线的性质得出DE=DF，再利用面积求解即可．
【详解】解：∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，
∴SABC= ×4×2+ AC×2=7，
△
解得AC=3．
故答案为：3．
14. 一个等腰三角形的两边长分别是3cm和7cm，则它的周长是__________cm．
【答案】17
【分析】因为等腰三角形的腰与底边不确定，故以3为底边和以3为腰分两种情况考虑：若3为腰，则另
外一腰也为3，底边就为7，根据3+3＜7，不符合三角形的两边之和大于第三边，即不能构成三角形；若3
为底边，腰长为7，符合构成三角形的条件，求出此时三角形的周长即可．
【详解】解：若3cm为腰，7cm为底边，
此时3+3＜7，不能构成三角形，
故3不能为腰；
若3cm为底边，7cm为腰，
此时三角形的三边分别为3cm，7cm，7cm，
周长为3+7+7＝17（cm），
综上三角形的周长为17cm．
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学科网（北京）股份有限公司故答案为：17
15.在平面直角坐标系xOy 中，A（1，3），B（3，－1），点P在y轴上，
当PA＋PB取得最小值时，点P的坐标为_________．
【答案】（0，2）
【解析】
【分析】根据对称性，作出点 关于y轴的对称点 ，连接 与y轴交于点P,，
根据两点之间线段最短即可得结论．
【详解】
如图所示，作出点 关于点y轴 的对称点 ，连接 交y轴与点Ｐ，
此时 根据两点之间线段最短，所以点P的坐标为
故答案为：
16 .如图， 中， 分别平分 和 ，
过点 作 交 于点 ，交 于点 ，那么下列结论：
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学科网（北京）股份有限公司① ；
② 为等腰三角形；
③ 的周长等于 的周长；
④ ．其中正确的是_____________
【答案】①②④
【分析】①根据平分线的性质、平行线的性质，借助于等量代换可求出∠DBF＝∠DFB；
②同理可得②的结论；③用特殊值法，当 为等边三角形时，
连接 ，根据等边三角形的性质，角平分线定义和等腰三角形的判定便可得出 ，
进而得 ，便可得出； 的周长不等于 的周长；
④利用两次三角形的内角和，以及平分线的性质，进行等量代换，
可求的 和 之间的关系式．
【详解】解：①∵ 是 的角平分线，
∴ ，
又 ，
，
，故①正确；
②同理 ，
，
为等腰三角形故②正确；
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学科网（北京）股份有限公司③假设 为等边三角形，则 ，如图，连接 ，
∵ ，
，
的周长 ，
∵F是 的平分线的交点，
∴第三条平分线必过其点，即 平分 ，
∵ 为等边三角形，
∴ ，
∴ ，
，
，
，
，
，
即 的周长 的周长，故③错误；
④在 中， （1），
在 中， ，
即 （2），
得 ，故④正确；
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学科网（北京）股份有限公司故答案为：①②④
三、解答题（共68分，其中17题6分，18~23题每题5分，24~26题每题6分，27、28题每题7分）
17．因式分解
(1) ；
(2) ．
【答案】(1) ；
(2) ．
【分析】（1）利用平方差公式分解即可；
（2）先提取公因式xy，再根据完全平方公式进行二次分解．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
18. 计算：
【答案】4
【解析】
【分析】根据零指数幂，负整数指数幂，绝对值的运算法则计算即可．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】解：
．
19．计算：
【答案】
【分析】先把除法转化为乘法运算，再约分即可．
【详解】解：
．
20．解分式方程：
【答案】方程无解
【分析】（两边同乘 ，化分式方程为整式方程，求解即可．
【详解】
解：左右同乘 ，
，
解得： ，
检验 时， ，
∴原方程无解．
21．如图， ，且 是 的平分线．求证： ．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】见解析
【分析】由角平分线的定义可得 ，然后再证明 ，
最后根据全等三角形的性质即可解答．
【详解】证明：∵ 是∠BAD的平分线，
∴ ．
在 和 中，
∴ ．
∴ ．
22. 数学课上，李老师布置如下任务：
如图，已知 ，点D是 边上的一个定点，在 边上确定一点E，使 ．
下面是小莉设计的尺规作图过程．
作法：
①以点D为圆心， 长为半径作弧交 边于点F，连接 ．
②作 的角平分线，交 边于点E；
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学科网（北京）股份有限公司则点E即为所求．
根据小莉设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明，并在括号内填写推理的依据．
证明：∵ ，
∴ ＝ ．（ ）
∵ 是 的角平分线，
∴ ．
∵ ，（ ）
即 ，
∴ ．
∴ ．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据所给作法即可得；
（2）根据 等边对等角得 ，
根据 是 的角平分线得 ，
根据三角形外角性质得 ，即 ，
可得 ，即可得 ．
【小问1详解】
解：如图所示，
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学科网（北京）股份有限公司【小问2详解】
证明：∵ ，
∴ ．（等边对等角）
∵ 是 的角平分线，
∴ ．
∵ ，（三角形外角性质）
即 ，
∴ ．
∴ ．
23．计算： ．
【答案】
【分析】先运用完全平方公式与多项式乘以多项式法则计算，再合并同类项即可．
【详解】解：
．
24 .如图，△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线DE分别交AC、AB点D、E．
（1）若∠A＝50°，求∠CBD的度数；
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学科网（北京）股份有限公司（2）若AB＝7，△CBD周长为12，求BC的长．
【答案】（1）15°；（2）5
【分析】（1）根据已知先求得 ，根据垂直平分线的性质，可得 ，
进而可知 ，根据 即可求得；
（2）根据垂直平分线的性质以及已知条件可知△CBD周长为 ，进而求得 ．
【详解】（1） AB＝AC，∠A＝50°，
DE是AB的垂直平分线
（2） DE是AB的垂直平分线
又 AB＝AC，
△CBD周长为
25. 甲乙两城市相距800千米，乘坐高铁列车比乘坐普通列车的运行时间缩短了4小时，
已知高铁列车的平均速度是普通列车平均速度的2.5倍，求高铁列车的平均速度．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】
【解析】
【分析】设普通列车的平均速度为 ，则高铁列车的平均速度为 ，
根据乘坐高铁列车比乘坐普通列车的运行时间缩短了4小时列分式方程求解．
【详解】解：设普通列车的平均速度为 ，则高铁列车的平均速度为 ，
解得： ，
经检验： 是原分式方程 的解，且符合实际意义，
∴ ，
答：高铁列车的平均速度为 ．
26. 阅读材料，解决问题
爱因斯坦是20世纪著名的物理学家，他创立的相对论影响了人类对世界的看法．
有趣的是，这位科学巨匠闲暇之余喜欢琢磨一些数学趣题．
一次，爱因斯坦在计算一道两位数乘法运算时，联想到了“头同尾合十”的速算方法．
所谓“头同尾合十”是指：两个因数的十位数字相同，个位数字相加刚好为 ；
其对应的速算方法是：
第一步：用两个因数的个位数字相乘，把得到的乘积作为结果的后两位，
如果乘积是一位数，就把这个数作为结果的个位，十位用0表示；
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学科网（北京）股份有限公司第二步：用相同的十位数字乘以比它大1的数，把得到的乘积放在第一步结果的前面．
像这样组成的数就是两位数相乘的结果．例如：
速算 ，先算 ，再算 ，则 ；
速算 ，先算 ，再算 ，则 ；
（1）利用上述速算方法，计算 的积为 ；
（2）用 和 分别表示两个两位数，
其中 表示十位数字， 和 表示它们的个位数字，且 ，
①依据题意，两位数 ，则两位数 ；
②为说明该速算方法的正确性，请你证明 成立．
【答案】（1）
（2）① ；②证明过程见详解
【解析】
【分析】（1）根据“头同尾合十” 的速算方法即可求解；
（2）① 表示两个两位数， 表示十位数字， 表示它们的个位数字，由此即可求解；
②计算左边，将左边逐渐转化为右边的形式即可得证．
【小问1详解】
解： ，
第一步，算个位和十位上的数字： ；
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学科网（北京）股份有限公司第二步，算百位和千位上的数字： ，
∴ ，
故答案为： ．
【小问2详解】
解：①∵ 表示两个两位数， 表示十位数字， 表示它们的个位数字，
∴ ，
故答案为： ；
② 证明：
∵
∴
，
∴该速算方法正确，即 成立．
27 .已知，在 中， ， ，点 是 的中点，作 ，
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学科网（北京）股份有限公司使得射线 与射线 分别交射线 ， 于点 ， ．
(1)如图1，当点 在线段 上时，线段 与线段 的数量关系是___________；
(2)如图2，当点 在线段 的延长线上时，
用等式表示线段 ， 和 之间的数量关系并加以证明．
【答案】(1) ；
(2) ，理由见解析．
【分析】（1）连接 ，由等腰直角三角形的性质可得 ， ，
根据 可推导 ，进而证明 ，
即可得到线段 与线段 的数量关系；
（3）连接 ，利用（1）中的证明思路，再次证明 ，
（4）证得 ，即可利用等量代换得到 ．
【详解】（1）解：连接 ，
∵ ， ，点 是 的中点
∴ ，且 ， 平分 ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ， ，
又∵
∴
∴
∴ （ASA）
∴ ．
（2） ，理由如下：
连接 ，
由（1）可知： ， ，
∴
在 和 中，
∴ （ASA）
∴
∵
∴ ．
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学科网（北京）股份有限公司28. 如图1，点P、Q分别是等边△ABC边AB、BC上的动点（端点除外），
点P从顶点A、点Q从顶点B同时出发，且它们的运动速度相同，连接AQ、CP交于点M．
(1)求证：△ABQ≌△CAP；
(2)当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，∠QMC变化吗？
若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数．
(3) 如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，
直线AQ、CP交点为M，则∠QMC变化吗？若变化，请说明理由；若不变，则求出它的度数．
【答案】(1)证明见解析
(2)点P、Q在运动的过程中，∠QMC不变．∠QMC＝60°
(3)点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动时，∠QMC不变．∠QMC＝120°
【分析】（1）根据等边三角形的性质，利用SAS证明△ABQ≌△CAP；
（2）由△ABQ≌△CAP根据全等三角形的性质可得∠BAQ=∠ACP，从而得到∠QMC= ；
（3）由△ABQ≌△CAP根据全等三角形的性质可得∠BAQ=∠ACP，从而得到∠QMC= ．
【详解】（1）证明：∵△ABC是等边三角形
∴∠ABQ＝∠CAP，AB＝CA，
又∵点P、Q运动速度相同，
∴AP＝BQ，
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学科网（北京）股份有限公司在△ABQ与△CAP中，
∵ ，
∴△ABQ≌△CAP（SAS）；
（2）解：点P、Q在运动的过程中，∠QMC不变．
理由：∵△ABQ≌△CAP，
∴∠BAQ＝∠ACP，
∵∠QMC＝∠ACP+∠MAC，
∴∠QMC＝∠BAQ+∠MAC＝∠BAC ；
（3）解：点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动时，∠QMC不变化．
理由：∵△ABQ≌△CAP，
∴∠BAQ＝∠ACP，
∵∠QMC＝∠BAQ+∠APM，
∴∠QMC＝∠ACP+∠APM＝180°﹣∠PAC ．
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