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2020-2021学年北京四中九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（每题2分，共16分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．
1．（2分）函数y＝（x+1）2﹣2的最小值是（ ）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
2．（2分）如图， O是△ABC的外接圆，∠OCB＝40°，则∠A的大小为（ ）
⊙
A．40° B．50° C．80° D．100°
3．（2分）若将抛物线y＝5x2先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的新抛物
线的表达式为（ ）
A．y＝5（x﹣2）2+1 B．y＝5（x+2）2+1
C．y＝5（x﹣2）2﹣1 D．y＝5（x+2）2﹣1
4．（2分）如图，AB为 O的弦，点C为AB的中点，AB＝8，OC＝3，则 O的半径长
为（ ） ⊙ ⊙
A．4 B．5 C．6 D．7
5．（2分）已知A（ ，y ），B（1，y ），C（4，y ）三点都在二次函数y＝﹣（x﹣
1 2 3
2）2的图象上，则y ，y ，y 的大小关系为（ ）
1 2 3
A．y
1
＜y
2
＜y
3
B．y
1
＜y
3
＜y
2
C．y
3
＜y
1
＜y
2
D．y
3
＜y
2
＜y
1
6．（2分）如图， O中直径AB⊥DG于点C，点D是弧EB的中点，CD与BE交于点
F．下列结论：①⊙∠A＝∠E，②∠ADB＝90°，③FB＝FD中正确的个数为（ ）A．0 B．1 C．2 D．3
7．（2分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下
表：
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 …
y … ﹣4 0 2 2 0 ﹣4 …
下列结论：
①抛物线开口向下；
②当﹣1＜x＜2时，y＞0；
③抛物线的对称轴是直线 ；
④函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的最大值为2．
其中所有正确的结论为（ ）
A．①②③ B．①③ C．①③④ D．①②③④
8．（2分）如图，在平面直角坐标系 xOy中，以（3，0）为圆心作 P， P与x轴交于
A、B，与y轴交于点C（0，2），Q为 P上不同于A、B的任意一⊙点，连⊙接QA、QB，
过P点分别作PE⊥QA于E，PF⊥QB⊙于F．设点Q的横坐标为x，PE2+PF2＝y．当Q
点在 P上顺时针从点A运动到点B的过程中，下列图象中能表示y与x的函数关系的
部分图⊙象是（ ）A． B．
C． D．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．（2分）抛物线y＝x2+6x+m与x轴只有一个公共点，则m的值为 ．
10．（2分）如图，A，B，C是 O上的三个点，如果∠AOB＝140°，那么∠ACB的度数
为 ． ⊙
11．（2分）若点（1，5），（5，5）是抛物线y＝x2+bx+c（a≠0）上的两个点，则b＝
．
12．（2分）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，
如图1，点P表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以
轴心O为圆心，5m为半径的圆，且圆心在水面上方．若圆被水面截得的弦 AB长为
8m，则筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为 m．13．（2分）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C都在格点上，过A，B，C三点作一
圆弧，则圆心的坐标是 ．
14．（2分）已知关于x的二次函数y＝ax2+bx+4的图象如图所示，则关于x的方程ax2+bx
＝0的根为 ．
15．（2分）元元同学在数学课上遇到这样一个问题：
如图1，在平面直角坐标系xOy中， A经过坐标原点O，并与两坐标轴分别交于B、C
两点，点B的坐标为（2，0），点D⊙在 A上，且∠ODB＝30°，求 A的半径．
元元的做法如下，请你帮忙补全解题过程⊙． ⊙
解：如图2，连接BC．
∵∠BOC＝90°，
∴BC是 A的直径（依据是 ）．
∵∠ODB⊙＝30°，∴∠OCB＝∠ODB＝30°（依据是 ）．
∴ ．
∵OB＝2，
∴BC＝4．即 A的半径为2．
⊙
16．（2分）抛物线y＝ax2+bx+c经过点（1，0），且对称轴为直线x＝﹣1，其部分图象如
图所示．对于此抛物线有如下四个结论：
①abc＜0；
②2a+b＝0；
③4a﹣2b+c＞0；
④若m＞n＞0，则x＝m﹣1时的函数值小于x＝n﹣1时的函数值．
其中正确结论的序号是 ．
三、解答题（本题共68分，第17题每小题10分共10分，第18、19、21、22、24题每题
6分，第20、23、25、26题每题7分）
17．（10分）解关于x的方程．
（1）x2+3x+2＝0；
（2）2x2﹣2x﹣1＝0．
18．（6分）已知抛物线的顶点为（﹣2，2），且过坐标原点，求抛物线的解析式．
19．（6分）如图，AB是 O的一条弦，OD⊥AB于点C，交 O于点D，连接OA．若AB
＝4，CD＝1，求 O半⊙径的长． ⊙
⊙20．（7分）已知抛物线y＝﹣x2+2x+3，回答下列问题：
（1）画出该函数图象（要求列表、2B铅笔画图）；
x … …
y … …
（2）当﹣3＜x＜3时，y的取值范围是 ．
21．（6分）如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作 O，与BC交于点D，过D作
AC的垂线，垂足为E． ⊙
证明：（1）BD＝DC；
（2）DE是 O切线．
⊙
22．（6分）某校要组织“风华杯”篮球赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场）．
（1）如果有4支球队参加比赛，那么共进行 场比赛；
（2）如果全校一共进行36场比赛，那么有多少支球队参加比赛？
23．（7分）在画函数图象时，我们常常通过描点、平移或翻折的方法．某班“数学兴趣小组”根据学到的函数知识探究函数y＝x2﹣2|x|的图象与性质，并利用函数图象解决问
题．探究过程如下，请补充完整．
（1）函数y＝x2﹣2|x|的自变量x的取值范围是 ．
（2）化简：当x＞0时函数y＝ ，当x＜0时函数y＝ ．
（3）根据上题，在如图所示的平面直角坐标系中描点，画出该函数的图象，并写出该
函数的一条性质： ．
（4）若直线y＝k与该函数只有两个公共点，根据图象判断k的取值范围为 ．
24．（6分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2+2mx﹣3m+2．
（1）求抛物线的对称轴；
（2）①过点P（0，2）作与x轴平行的直线，交抛物线于点M，N．求点M，N的坐标；
②横、纵坐标都是整数的点叫做整点．如果抛物线和线段MN围成的封闭区域内（不包
括边界）恰有3个整点，求m的取值范围．
25．（7分）（1）已知等边三角形ABC，请作出△ABC的外接圆 O．在 O上任取一点
P（异于A、B、C三点），连接PA、PB、PC． ⊙ ⊙
①依题意补全图形，要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹；
②请判断PA、PB、PC的关系，并给出证明．
（2）已知 O，请作出 O的内接等腰直角三角形ABC，∠C＝90°．在 O上任取一点
P（异于A、⊙B、C三点）⊙，连接PA、PB、PC． ⊙
①依题意补全图形，要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹；
②请判断PA、PB、PC的关系，并给出证明．26．（7分）在平面直角坐标系xOy中，对于△ABC，点P在BC边的垂直平分线上，若以
点P为圆心，PB为半径的⨀P与△ABC三条边的公共点个数之和不小于3，则称点P为
△ABC关于边BC的“Math点”．如图所示，点P即为△ABC关于边BC的“Math点”．
已知点P（0，4），Q（a，0）．
（1）如图1，a＝4，在点A（1，0）、B（2，2）、C（ ， ）、D（5，5）中，
△POQ关于边PQ的“Math点”为 ．
（2）如图2， ，
①已知D（0，8），点E为△POQ关于边PQ的“Math点”，请直接写出线段DE的
长度的取值范围；
②将△POQ绕原点O旋转一周，直线 交x轴、y轴于点M、N，若线段MN
上存在△POQ关于边PQ的“Math点”，求b的取值范围．2020-2021学年北京四中九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每题2分，共16分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．
1．（2分）函数y＝（x+1）2﹣2的最小值是（ ）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
【分析】抛物线y＝（x+1）2﹣2开口向上，有最小值，顶点坐标为（﹣1，﹣2），顶点
的纵坐标﹣2即为函数的最小值．
【解答】解：根据二次函数的性质，当x＝﹣1时，二次函数y＝（x﹣1）2﹣2的最小值
是﹣2．
故选：D．
【点评】本题考查对二次函数最值．求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可
由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．
2．（2分）如图， O是△ABC的外接圆，∠OCB＝40°，则∠A的大小为（ ）
⊙
A．40° B．50° C．80° D．100°
【分析】根据圆周角定理即可求出答案
【解答】解：∵OB＝OC
∴∠BOC＝180°﹣2∠OCB＝100°，
∴由圆周角定理可知：∠A＝ ∠BOC＝50°
故选：B．
【点评】本题考查圆周角定理，注意圆的半径都相等，本题属于基础题型．
3．（2分）若将抛物线y＝5x2先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的新抛物
线的表达式为（ ）
A．y＝5（x﹣2）2+1 B．y＝5（x+2）2+1
C．y＝5（x﹣2）2﹣1 D．y＝5（x+2）2﹣1【分析】根据平移规律，可得答案．
【解答】解：y＝5x2先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，
得到的新抛物线的表达式为y＝5（x﹣2）2+1，
故选：A．
【点评】此题主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加
下减．并用规律求函数解析式．
4．（2分）如图，AB为 O的弦，点C为AB的中点，AB＝8，OC＝3，则 O的半径长
为（ ） ⊙ ⊙
A．4 B．5 C．6 D．7
【分析】已知AB和OC的长，根据垂径定理可得，AC＝CB＝4，在Rt△AOC中，根据
勾股定理可以求出OA．
【解答】解：∵OC⊥AB于C，
∴AC＝CB，
∵AB＝8，
∴AC＝CB＝4，
在Rt△AOC中，OC＝3，
根据勾股定理，
OA＝ ＝5．
故选：B．
【点评】此题主要考查了垂径定理和勾股定理；解决与弦有关的问题时，往往需构造以
半径、弦心距和弦长的一半为三边的直角三角形，若设圆的半径为 r，弦长为a，这条
弦的弦心距为d，则有等式r2＝d2+（ ）2成立，知道这三个量中的任意两个，就可以
求出另外一个．
5．（2分）已知A（ ，y ），B（1，y ），C（4，y ）三点都在二次函数y＝﹣（x﹣
1 2 32）2的图象上，则y ，y ，y 的大小关系为（ ）
1 2 3
A．y
1
＜y
2
＜y
3
B．y
1
＜y
3
＜y
2
C．y
3
＜y
1
＜y
2
D．y
3
＜y
2
＜y
1
【分析】根据抛物线的对称性，增减性，即可得出y 、y 、y 的大小关系．
1 2 3
【解答】解：二次函数y＝﹣（x﹣2）2的图象开口向下，对称轴为x＝2，
∴C（4，y ）关于对称轴的对称点为（0，y ），
3 3
∵﹣ ＜0＜1＜2，
∴y ＜y ＜y ，
1 3 2
故选：B．
【点评】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点，熟
练掌握二次函数的增减性、对称性是解此题的关键．
6．（2分）如图， O中直径AB⊥DG于点C，点D是弧EB的中点，CD与BE交于点
F．下列结论：①⊙∠A＝∠E，②∠ADB＝90°，③FB＝FD中正确的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】根据圆周角定理对①②进行判断；根据垂径定理，由AB⊥DG得到 ＝ ，
而 ＝ ，所以 ＝ ，根据圆周角定理得到∠DBE＝∠BDG，从而可对③进行判
断．
【解答】解：∵∠A与∠E都对 ，
∴∠A＝∠E，所以①正确；
∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，所以②正确；
∵AB⊥DG，
∴ ＝ ，
∵点D是弧EB的中点，
即 ＝ ，
∴ ＝ ，∴∠DBE＝∠BDG，
∴FB＝FD，所以③正确．
故选：D．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都
等于这条弧所对的圆心角的一半；半圆（或直径）所对的圆周角是直角．也考查了垂径
定理．
7．（2分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下
表：
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 …
y … ﹣4 0 2 2 0 ﹣4 …
下列结论：
①抛物线开口向下；
②当﹣1＜x＜2时，y＞0；
③抛物线的对称轴是直线 ；
④函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的最大值为2．
其中所有正确的结论为（ ）
A．①②③ B．①③ C．①③④ D．①②③④
【分析】根据二次函数的性质和表格中的数据，可以判断各个小题中的结论是否成立，
本题得以解决．
【解答】解：由表格可知，
抛物线的对称轴是直线x＝ ＝ ，故③正确，
由抛物线的对称轴可知，当x＞ 时，y随x的增大而减小，当x＜ 时，y随x的增大而
增大，故抛物线y＝ax2+bx+c的开口向下，故①正确，
由表格数据可知，当﹣1＜x＜2时，y＞0，故②正确；根据表格数据可知当x＝ 时，y＞2，故抛物线的最大值大于2，故④错误，
故选：A．
【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，
解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
8．（2分）如图，在平面直角坐标系 xOy中，以（3，0）为圆心作 P， P与x轴交于
A、B，与y轴交于点C（0，2），Q为 P上不同于A、B的任意一⊙点，连⊙接QA、QB，
过P点分别作PE⊥QA于E，PF⊥QB⊙于F．设点Q的横坐标为x，PE2+PF2＝y．当Q
点在 P上顺时针从点A运动到点B的过程中，下列图象中能表示y与x的函数关系的
部分图⊙象是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】连接PC．根据勾股定理求得PC2＝13，即圆的半径的平方＝13；根据三个角是直角的四边形是矩形，得矩形PEQF，则PE＝QF，根据垂径定理，得QF＝BF，则
PE2+PF2＝BF2+PF2＝PC2＝y，从而判断函数的图象．
【解答】解：连接PC．
∵P（3，0），C（0，2），
∴PC2＝13．
∵AC是直径，
∴∠Q＝90°．
又PE⊥QA于E，PF⊥QB于F，
∴四边形PEQF是矩形．
∴PE＝QF．
∵PF⊥QB于F，
∴QF＝BF．
∴PE＝BF．
∴y＝PE2+PF2＝BF2+PF2＝PC2＝13．
故选：A．
【点评】此题综合运用矩形的判定和性质、垂径定理求得y的值，常数函数是平行于坐
标轴的一条直线．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．（2分）抛物线y＝x2+6x+m与x轴只有一个公共点，则m的值为 9 ．
【分析】利用△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数得到△＝62﹣4m＝0，然后解关
于m的一次方程即可．
【解答】解：根据题意得△＝62﹣4m＝0，解得m＝9．
故答案为9．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，
a≠0）与x轴的交点坐标问题可转化为解关于x的一元二次方程．对于二次函数y＝
ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．10．（2分）如图，A，B，C是 O上的三个点，如果∠AOB＝140°，那么∠ACB的度数
为 110 ° ． ⊙
【分析】在优弧AB上取点D，连接AD、BD，根据圆周角定理求出∠ADB的度数，再
根据圆内接四边形的性质求出∠ACB的度数即可．
【解答】解：如图，在优弧AB上取点D，连接AD、BD，
由圆周角定理得：∠ADB＝ ∠AOB＝70°，
∵∠ACB+∠ADB＝180°，
∴∠ACB＝180°﹣∠ADB＝110°，
故答案为：110°．
【点评】本题考查的是圆周角定理和圆内接四边形的性质，掌握一条弧所对的圆周角是
这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．
11．（2分）若点（1，5），（5，5）是抛物线y＝x2+bx+c（a≠0）上的两个点，则b＝
﹣ 6 ．
【分析】根据抛物线的对称性即可确定抛物线对称轴，根据对称轴方程即可求得b的值．
【解答】解：∵点（1，5），（5，5）是抛物线y＝ax2+bx+c上的两个点，它们的纵坐
标相等．
∴抛物线对称轴是直线x＝ ＝3，
∴﹣ ＝3，
∴b＝﹣6，
故答案为：﹣6．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据抛物线的对称性求得对称轴是解题的关键．
12．（2分）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，
如图1，点P表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以
轴心O为圆心，5m为半径的圆，且圆心在水面上方．若圆被水面截得的弦 AB长为
8m，则筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为 2 m．
【分析】过O点作半径OD⊥AB于E，如图，由垂径定理得到AE＝BE＝4，再利用勾股
定理计算出OE，然后即可计算出DE的长．
【解答】解：过O点作半径OD⊥AB于E，如图，
∴AE＝BE＝ AB＝ ×8＝4，
在Rt△AEO中，OE＝ ＝ ＝3，
∴ED＝OD﹣OE＝5﹣3＝2（m），
答：筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为2m．
【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧，
能熟练应用垂径定理是解决问题的关键．13．（2分）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C都在格点上，过A，B，C三点作一
圆弧，则圆心的坐标是 （ 2 ， 1 ） ．
【分析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦 AB和BC的垂直
平分线，交点即为圆心．
【解答】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，
可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．
如图所示，则圆心是（2，1）．
故答案为：（2，1）．
【点评】本题考查垂径定理的应用，解答此题的关键是熟知垂径定理，即“垂直于弦的
直径平分弦”．
14．（2分）已知关于x的二次函数y＝ax2+bx+4的图象如图所示，则关于x的方程ax2+bx
＝0的根为 0 或﹣ 3 ．
【分析】由图可知y＝ax2+bx可以看作是函数y＝ax2+bx+4的图象向下平移4个单位而得
到，再根据函数图象与x轴的交点个数进行解答
【解答】解：∵抛物线与x轴的交点为（﹣4，0），（1，0），∴关于x的方程ax2+bx+4＝0的根是x ＝﹣4，x ＝1，对称轴是直线x＝﹣
1 2
又∵将抛物线y＝ax2+bx+4的图象向下平移4个单位而得到抛物线y＝ax2+bx，
∴抛物线y＝ax2+bx与x轴的交点坐标是（0，0）、（﹣3，0）．
∴关于x的方程ax2+bx＝0的根为 0或﹣3．
故答案是：0或﹣3．
【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，解题时是根据二次函数图象的平移变换规
律和抛物线的对称性质得到答案的．
15．（2分）元元同学在数学课上遇到这样一个问题：
如图1，在平面直角坐标系xOy中， A经过坐标原点O，并与两坐标轴分别交于B、C
两点，点B的坐标为（2，0），点D⊙在 A上，且∠ODB＝30°，求 A的半径．
元元的做法如下，请你帮忙补全解题过程⊙． ⊙
解：如图2，连接BC．
∵∠BOC＝90°，
∴BC是 A的直径（依据是 90 ° 的圆周角所对的弦是直径 ）．
∵∠ODB⊙＝30°，
∴∠OCB＝∠ODB＝30°（依据是 同弧所对的圆周角相等 ）．
∴ ．
∵OB＝2，
∴BC＝4．即 A的半径为2．
⊙
【分析】先利用圆周角定理判断BC是 A的直径，∠OCB＝∠ODB＝30°，然后根据含
30度的直角三角形三边的关系求出BC⊙即可．
【解答】解：如图2，连接BC，
∵∠BOC＝90°，∴BC是 A的直径．（90°的圆周角所对的弦是直径），
∵∠ODB⊙＝30°，
∴∠OCB＝∠ODB＝30°（同弧或等弧所对的圆周角相等），
∴OB＝ BC．
∵OB＝2，
∴BC＝4．即 A的半径为2．
故答案为90°的⊙圆周角所对的弦是直径；同弧或等弧所对的圆周角相等．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都
等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的
圆周角所对的弦是直径．
16．（2分）抛物线y＝ax2+bx+c经过点（1，0），且对称轴为直线x＝﹣1，其部分图象如
图所示．对于此抛物线有如下四个结论：
①abc＜0；
②2a+b＝0；
③4a﹣2b+c＞0；
④若m＞n＞0，则x＝m﹣1时的函数值小于x＝n﹣1时的函数值．
其中正确结论的序号是 ③④ ．
【分析】①根据抛物线开口方向、对称轴、与y轴的交点即可判断；
②根据抛物线的对称轴方程即可判断；③根据抛物线y＝ax2+bx+c经过点（1，0），且对称轴为直线x＝﹣1可得抛物线与x轴
的另一个交点坐标为（﹣3，0），即可判断；
④根据m＞n＞0，得出m﹣1和n﹣1的大小及其与﹣1的关系，利用二次函数的性质即
可判断．
【解答】解：①观察图象可知：a＜0，b＜0，c＞0，
∴abc＞0，
所以①错误；
②∵对称轴为直线x＝﹣1，
即﹣ ＝﹣1，解得b＝2a，即2a﹣b＝0，
所以②错误；
③∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（1，0），且对称轴为直线x＝﹣1，
∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣3，0），
∴当x＝﹣2时，y＞0，即4a﹣2b+c＞0，
所以③正确；
∵m＞n＞0，
∴m﹣1＞n﹣1＞﹣1，
由x＞﹣1时，y随x的增大而减小知x＝m﹣1时的函数值小于x＝n﹣1时的函数值，故
④正确；
故答案为③④．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，解决本题的关键是掌握二次函数的图
象和性质及点的坐标特征．
三、解答题（本题共68分，第17题每小题10分共10分，第18、19、21、22、24题每题
6分，第20、23、25、26题每题7分）
17．（10分）解关于x的方程．
（1）x2+3x+2＝0；
（2）2x2﹣2x﹣1＝0．
【分析】（1）利用因式分解法求解可得答案；
（2）利用公式法求解即可．
【解答】解：（1）∵x2+3x+2＝0，
∴（x+1）（x+2）＝0，则x+1＝0或x+2＝0，
解得x ＝﹣1，x ＝﹣2；
1 2
（2）∵a＝2，b＝﹣2，c＝﹣1，
∴△＝（﹣2）2﹣4×2×（﹣1）＝12＞0，
则x＝ ＝ ＝ ，
即 ．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方
法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的
方法是解题的关键．
18．（6分）已知抛物线的顶点为（﹣2，2），且过坐标原点，求抛物线的解析式．
【分析】设顶点式y＝a（x+2）2+2，然后把（0，0）代入求出a即可．
【解答】解：设抛物线的解析式为y＝a（x+2）2+2，
把（0，0）代入得a（0+2）2+2＝0，解得a＝﹣ ，
所以抛物线的解析式为y＝﹣ （x+2）2+2．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关
系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一
般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；
当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴
有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
19．（6分）如图，AB是 O的一条弦，OD⊥AB于点C，交 O于点D，连接OA．若AB
＝4，CD＝1，求 O半⊙径的长． ⊙
⊙
【分析】设 O的半径为r，在Rt△ACO中，根据勾股定理列式可求出r的值．
⊙【解答】解：设 O的半径为r，则OA＝r，OC＝r﹣1，
∵OD⊥AB，AB＝⊙4，
∴AC＝ AB＝2，
在Rt△ACO中，OA2＝AC2+OC2，
∴r2＝22+（r﹣1）2，
r＝ ，
答： O半径的长为 ．
⊙
【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理，是常考题型，熟练掌握垂径定理是关键，垂
直于弦的直径平分弦；确定一个直角三角形，设未知数，根据勾股定理列方程解决问题．
20．（7分）已知抛物线y＝﹣x2+2x+3，回答下列问题：
（1）画出该函数图象（要求列表、2B铅笔画图）；
x … ﹣ 1 0 1 2 3 …
y … 0 3 4 3 0 …
（2）当﹣3＜x＜3时，y的取值范围是 ﹣ 1 2 ＜ y ≤ 4 ．
【分析】（1）采用列表、描点法画出图象即可；
（2）求得x＝﹣3时所对应的函数值，根据图象即可求得．
【解答】（1）y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4
列表：
x … ﹣1 0 1 2 3 …
y … 0 3 4 3 0 …描点、连线作图如下：
（2）把x＝﹣3代入y＝﹣x2+2x+3得y＝﹣12，
由图象可知当﹣3＜x＜3时，y的取值范围是﹣12＜y≤4，
故答案为﹣12＜y≤4．
【点评】本题考查了二次函数图象与性质，二次函数图象上点的坐标特征，正确画出函
数图象是解题的关键．
21．（6分）如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作 O，与BC交于点D，过D作
AC的垂线，垂足为E． ⊙
证明：（1）BD＝DC；
（2）DE是 O切线．
⊙
【分析】（1）连接AD，由于AB是直径，那么∠ADB＝90°，而AB＝AC，根据等腰三
角形三线合一定理可知BD＝CD；
（2）连接OD，由于∠BAC＝2∠BAD，∠BOD＝2∠BAD，那么∠BAC＝∠BOD，可得
OD∥AC，而DE⊥AC，易证∠ODB＝90°，从而可证DE是 O切线．
【解答】证明：如右图所示， ⊙
（1）连接AD，
∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，
又∵AB＝AC，
∴BD＝CD；
（2）连接OD，
∵∠BAC＝2∠BAD，∠BOD＝2∠BAD，
∴∠BAC＝∠BOD，
∴OD∥AC，
又∵DE⊥AC，
∴∠AED＝90°，
∴∠ODB＝∠AED＝90°，
∴DE是 O的切线．
⊙
【点评】本题考查了等腰三角形三线合一定理、平行线的判定和性质、圆周角定理、切
线的判定．解题的关键是连接OD、AD，并证明OD∥AC．
22．（6分）某校要组织“风华杯”篮球赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场）．
（1）如果有4支球队参加比赛，那么共进行 6 场比赛；
（2）如果全校一共进行36场比赛，那么有多少支球队参加比赛？
【分析】（1）根据参加比赛球队的数量及赛制，即可求出结论；
（2）设有x支球队参加比赛，根据全校一共进行 36场比赛，即可得出关于x的一元二
次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：（1） ×4×3＝6（场）．
故答案为：6．
（2）设有x支球队参加比赛，
依题意，得： x（x﹣1）＝36，
解得：x ＝9，x ＝﹣8（不合题意，舍去）．
1 2答：如果全校一共进行36场比赛，那么有9支球队参加比赛．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解
题的关键．
23．（7分）在画函数图象时，我们常常通过描点、平移或翻折的方法．某班“数学兴趣
小组”根据学到的函数知识探究函数y＝x2﹣2|x|的图象与性质，并利用函数图象解决问
题．探究过程如下，请补充完整．
（1）函数y＝x2﹣2|x|的自变量x的取值范围是 全体实数 ．
（2）化简：当x＞0时函数y＝ y ＝ x 2 ﹣ 2 x ，当x＜0时函数y＝ y ＝ x 2 + 2 x ．
（3）根据上题，在如图所示的平面直角坐标系中描点，画出该函数的图象，并写出该
函数的一条性质： 函数的最小值为﹣ 1 ．
（4）若直线y＝k与该函数只有两个公共点，根据图象判断k的取值范围为 k ＝﹣ 1 或
k ＞ 0 ．
【分析】（1）根据函数解析式可知自变量x的取值范围是全体实数；
（2）根据绝对值的意义化简即可；
（3）列表，描点即可画出函数图象；任意指出函数的一条性质即可，如函数的最小值
为﹣1；x＞1时，y随x的增大而增大，答案不唯一；
（4）根据图象即可求解．
【解答】解：（1）函数y＝x2﹣2|x|的自变量x的取值范围是全体实数，
故答案为全体实数；
（2）当x＞0时函数y＝x2﹣2x，当x＜0时函数y＝x2+2x，
故答案为y＝x2﹣2x，y＝x2+2x；
（3）列表：
x … ﹣3 ﹣2.5 ﹣2 ﹣1 0 1 2 2.5 3 …y … 3 1.25 0 ﹣1 0 ﹣1 0 1.25 3 …
描点画出如下函数图象：
由图象可知：函数的最小值为﹣1，
故答案为函数的最小值为﹣1；
（4）直线y＝k与该函数只有两个公共点，根据图象判断k的取值范围为k＝﹣1或k＞
0．
故答案为：k＝﹣1或k＞0．
【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求
学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数
特征．
24．（6分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2+2mx﹣3m+2．
（1）求抛物线的对称轴；
（2）①过点P（0，2）作与x轴平行的直线，交抛物线于点M，N．求点M，N的坐标；
②横、纵坐标都是整数的点叫做整点．如果抛物线和线段MN围成的封闭区域内（不包
括边界）恰有3个整点，求m的取值范围．
【分析】（1）利用对称轴方程求得即可；
（2）①根据题意M、N的纵坐标相同都是2，把y＝2代入解析式，解方程即可求得；
②分两种情况讨论，把临界得代入解析式求得m的值，从而求得m的取值范围．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝mx2+2mx﹣3m+2．
∴对称轴为直线x＝﹣ ＝﹣1；
（2）①把y＝2代入y＝mx2+2mx﹣3m+2得mx2+2mx﹣3m+2＝2，解得x＝1或﹣3，
∴M（﹣3，2）；N（1，2）；
②当抛物线开口向上时，如图1，
抛物线和线段MN围成的封闭区域内（不包括边界）恰有3个整点，
则封闭区域内（不包括边界）的3个点为（﹣2，1），（﹣1，1），（0，1），
将（﹣2，1）代入y＝mx2+2mx﹣3m+2，得到 m＝ ，
将（﹣1，0）代入y＝mx2+2mx﹣3m+2，得到 m＝ ，
结合图象可得 ＜m≤ ．
当抛物线开口向下时，如图2，
则封闭区域内（不包括边界）的3个点为（﹣2，3），（﹣1，3），（0，3），
将（0，3）代入y＝mx2+2mx﹣3m+2，得到 m＝﹣ ，将（﹣1，4）代入y＝mx2+2mx﹣3m+2，得到 m＝﹣ ，
结合图象可得﹣ ≤m＜﹣ ．
综上，m的取值范围为 ．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，利用
二次函数的性质和数形结合的思想解答．
25．（7分）（1）已知等边三角形ABC，请作出△ABC的外接圆 O．在 O上任取一点
P（异于A、B、C三点），连接PA、PB、PC． ⊙ ⊙
①依题意补全图形，要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹；
②请判断PA、PB、PC的关系，并给出证明．
（2）已知 O，请作出 O的内接等腰直角三角形ABC，∠C＝90°．在 O上任取一点
P（异于A、⊙B、C三点）⊙，连接PA、PB、PC． ⊙
①依题意补全图形，要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹；
②请判断PA、PB、PC的关系，并给出证明．
【分析】（1）①根据题意可得点P分别在优弧和劣弧上时的图形；
②在PB上截取PE＝PA，由∠APB＝∠ACB＝60°，可得等边三角形△APE，可证明
△APC≌△AEB，则BE＝PC，从而得出PB＝PA+PC或AP＝BP+PC；
（2）①根据题意可得点P分别在优弧和劣弧上时的图形；
②在PA上截取AK＝PB，由∠APC＝∠ABC＝45°，可证明△AKC≌△BPC，则CK＝
CP，可得等腰直角三角形△CPK，从而得出 AP﹣BP＝ PC．由图 4，同理可得
AP+BP＝ PC．
【解答】解：（1）①如下图1、图2．
②如图1，在PB上截取PE＝PA，
∵∠APB＝∠ACB＝60°，
∴△APE是等边三角形，∵∠BAE＝∠CAP，AB＝AC，
∴△APC≌△AEB（SAS），
∴BE＝PC，
∴BP＝AP+PC．
由图2，同理可得AP＝BP+PC．
（2）①如下图3、图4；
②如图3，在PA上截取AK＝PB，
∵∠CAP＝∠CBP，AB＝AC，
∴△CAK≌△CBP（SAS），
∴CK＝CP，
∵∠APC＝∠ABC＝45°，
∴△CPK是等腰直角三角形，
∴PK＝ PC，
∴PK＝AP﹣AK＝AP﹣BP＝ PC．
由图4，同理可得AP+BP＝ PC．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图、等边三角形、等腰直角三角形、三角形外接圆与
外心，解决本题的关键是综合运用以上知识．
26．（7分）在平面直角坐标系xOy中，对于△ABC，点P在BC边的垂直平分线上，若以
点P为圆心，PB为半径的⨀P与△ABC三条边的公共点个数之和不小于3，则称点P为△ABC关于边BC的“Math点”．如图所示，点P即为△ABC关于边BC的“Math点”．
已知点P（0，4），Q（a，0）．
（1）如图1，a＝4，在点A（1，0）、B（2，2）、C（ ， ）、D（5，5）中，
△POQ关于边PQ的“Math点”为 B ， C ．
（2）如图2， ，
①已知D（0，8），点E为△POQ关于边PQ的“Math点”，请直接写出线段DE的
长度的取值范围；
②将△POQ绕原点O旋转一周，直线 交x轴、y轴于点M、N，若线段MN
上存在△POQ关于边PQ的“Math点”，求b的取值范围．
【分析】（1）根据“Math点”的定义，结合图象判断即可．
（2）①首先证明∠PQO＝30°，当点E与PQ的中点K重合时，点E是△POQ关于边
PQ的“Math点”，此时E（2 ，2），当 E′与x轴相切于点Q时，E′（4 ，
8），推出DE′＝4 ，观察图象可知，当点⊙E在线段KE′上时，点E为△POQ关于
边PQ的“Math点”，求出点D到直线E′K的最小值，即可解决问题．
②如图3中，分别以O为圆心，4和4 为半径画圆，当线段MN与图中圆环（包括小
圆，不包据大圆）有交点时，线段MN上存在△POQ关于边PQ的“Math点”，求出直
线MN与大圆相切或小圆交于（0，4）或（0，﹣4）时b的值，即可判断．
【解答】解：（1）根据“Math点”的定义，观察图象可知，△POQ关于边PQ的
“Math点”为B、C．
故答案为：B，C．（2）如图2中，∵P（0，4），Q（4 ，0），
∴OP＝4，OQ＝4 ，
∴tan∠PQO＝ ，
∴∠PQO＝30°，
①当点E与PQ的中点K重合时，点E是△POQ关于边PQ的“Math点”，此时E（2
，2），
∵D（0，8），∴DE＝ ＝4 ，
当 E′与x轴相切于点Q时，E′（4 ，8），
∴⊙DE′＝4 ，
观察图象可知，当点E在线段KE′上时，点E为△POQ关于边PQ的“Math点”，
∵E′Q⊥OQ，
∴∠E′QO＝90°，
∴∠E′QK＝60°，
∴∠E′KQ＝90°，
∴∠EE′Q＝30°，
∵DE′∥OQ，
∴∠DE′K＝60°，
∵DE′＝DK，
∴△DE′K是等边三角形，
∵点D到E′K的距离的最小值为4 •sin60°＝6，
∴ ．
②如图3中，分别以O为圆心，4和4 为半径画圆，
当线段MN与图中圆环（包括小圆，不包据大圆）有交点时，线段MN上存在△POQ关
于边PQ的“Math点”，
当直线MN与小圆交于（0，4）或（0，﹣4）时，b＝±4，当直线MN与大圆相切时，b＝±8 ，
观察图象可知，满足条件的b的值为：4≤b＜8 或﹣8 ＜b≤﹣4．
【点评】本题属于圆综合题，考查了直线与圆的位置关系，三角形的外接圆，线段的垂
直平分线等知识，解题的关键是理解题意，学会利用图象，寻找特殊位置解决问题，属
于中考压轴题．
