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北京市大峪中学分校2023-2024学年八年级下学期期中数学试题
一、选择题（本题共16分，每小题2分）
1．（2分）计算（ ）2的结果为（ ）
A．3 B．3 C．6 D．9
2．（2分）下列长度的三条线段，能组成直角三角形的是（ ）
A．3，4，8 B．5，6，10 C．5，5，11 D．5，12，13
3．（2分）一个菱形的两条对角线分别是6cm和8cm，则这个菱形的面积等于（ ）
A．24cm2 B．48cm2 C．12cm2 D．18cm2
4．（2分）若代数式 有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞2且x≠3 B．x≥2 C．x≠3 D．x≥2且x≠3
5．（2分）如图，小山为了测量某湖两岸 A，B两点间的距离，先在AB外选定一点C，然后测量得到
CA，CB的中点D，E，且DE＝8m，从而计算出A，B两点间的距离是（ ）
A．8m B．12m C．16m D．20m
6．（2分）下列命题正确的是（ ）
A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．对角线相等的四边形是矩形
C．有一组邻边相等的四边形是菱形
D．有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形
7．（2分）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2分）在 ABCD中，O为AC的中点，点E，M为 ABCD同一边上任意两个不重合的动点（不与
端点重合），▱EO，MO的延长线分别与 ABCD的另一▱边交于点F，N．下面四个推断：①EF＝MN；
②EN∥MF；③若 ABCD是菱形，则▱至少存在一个四边形ENFM是菱形；④对于任意的 ABCD，
▱ ▱
第1页（共21页）
学科网（北京）股份有限公司存在无数个四边形ENFM是矩形，其中，所有正确的有（ ）
A．①③ B．②③ C．①④ D．②④
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．（2分）命题“到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”，它的逆命题是
．
10．（2分）如图Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB的中点，若AC＝6，BC＝8，则CD＝ ．
11．（2 分）如图，请给矩形 ABCD 添加一个条件，使它成为正方形，则此条件可以为
．
12．（2分）已知实数a、b在数轴上的位置如图所示，且|a|＞|b|，则化简 的结果为
．
13．（2分）在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，如果∠ABC＝60°，AC＝4，那么这个菱形的
面积是 ．
14．（2分）已知 +（b﹣2）2＝0，那么a+b的值为 ．
15．（2分）如图，将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点D落在点F处，AF与BC相交于点E，AB＝
4，AD＝8，则AE的长为 ．
第2页（共21页）
学科网（北京）股份有限公司16．（2分）我们规定用（a，b）表示一对数对，给出如下定义：记 ，其中（a＞0，b＞
0），将（m，n）与（n，m）称为数对（a，b）的一对“对称数对”．若数对（a，b）的一个“对称
数对”是 ，则ab的值是 ．
三、解答题（本题共68分，第17题8分，每小题8分，第18～23题每题5分，第24～25题每题6分，
第26题4分，第27～28题每题7分）
17．（8分）计算：（1） ﹣ +2 ；
（2）（ + ）（ ﹣ ）．
18．（5分）计算： +|2﹣ |+ ﹣ ．
19．（5分）计算： ．
20．（5分） ．
21．（5分）已知：如图，E、F是平行四边形ABCD对角线BD上的两点，且BE＝DF．求证：AE＝
CF．
22．（5分）已知：如图1，线段a，线段b．
求作：菱形ABCD，使其两条对角线的长分别等于线段a，b的长．
第3页（共21页）
学科网（北京）股份有限公司作法：①如图1，作线段b的垂直平分线c，交线段b于点E；
②如图2，作射线m，在m上截取线段AC＝a；
③作线段AC的垂直平分线GF交线段AC于点O；
④以点O为圆心，线段b的一半为半径作弧，交直线GF于点B，D；
⑤连接AB，BC，CD，DA．
∴四边形ABCD就是所求作的菱形．
问题：（1）使用直尺和圆规，依作法补全图2（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：∵OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD是 ．
∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形． （填推理的依据）．
23．（5分）如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF＝BE，连
接AF，BF．
（1）求证：四边形BFDE是矩形；
（2）若AF平分∠DAB，CF＝3，BF＝4，求DF长．
24．（6分）如图，在 ABCD中，AE平分∠BAD交BC于点E，过点B作BF⊥AE于点H，交AD于点
F，连接EF． ▱
（1）求证：四边形ABEF是菱形；
（2）连接CF，若CE＝1，CF＝2， ，求菱形ABEF的面积．
第4页（共21页）
学科网（北京）股份有限公司25．（6分）已知 ，求代数式 的值．
26．（4分）如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，
由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点 H
（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路CH，测得CB＝1.5千米，CH＝1.2千米，HB＝0.9千
米．
（1）问CH是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明；
（2）求新路CH比原路CA少多少千米？
27．（7分）已知：如图，E为正方形ABCD的边BC延长线上一动点，且CE＜BC，连接DE．点F与点
E关于直线DC对称，过点F作FH⊥DE于点H，直线FH与直线DB交于点M．
（1）依题意补全图1；
（2）若∠EDC＝ ，请直接写出∠DMF＝ （用含 的式子表示）；
（3）用等式表示αBM与CF的数量关系，并证明． α
28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，对于点P，如果点Q满足条件：以线段PQ为对角线的正方形，
且正方形的边分别与x轴，y轴平行，那么称点Q为点P的“和谐点”，如图所示，已知点D（﹣1，
2），E（1，2），F（﹣1，﹣2）．
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学科网（北京）股份有限公司（1）已知点A的坐标是（2，1）．
①在D，E，F中，是点A的“和谐点”的是 ．
②已知点B的坐标为（0，b），如果点B为点A的“和谐点”，求b的值；
（2）已知点C（m，0），如果线段DE上存在一个点M，使得点M是点C的“和谐点”，直接写出m
的取值范围．
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共16分，每小题2分）
1．（2分）计算（ ）2的结果为（ ）
A．3 B．3 C．6 D．9
【解答】解：（ ）2＝3，
故选：A．
2．（2分）下列长度的三条线段，能组成直角三角形的是（ ）
A．3，4，8 B．5，6，10 C．5，5，11 D．5，12，13
【解答】解：A、32+42≠82，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
B、52+62≠102，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
C、52+52≠112，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
第6页（共21页）
学科网（北京）股份有限公司D、52+122＝132，能构成直角三角形，故本选项符合题意．
故选：D．
3．（2分）一个菱形的两条对角线分别是6cm和8cm，则这个菱形的面积等于（ ）
A．24cm2 B．48cm2 C．12cm2 D．18cm2
【解答】解：∵菱形的面积＝ ×两条对角线的乘积＝ ×6×8＝24cm2，
故选：A．
4．（2分）若代数式 有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞2且x≠3 B．x≥2 C．x≠3 D．x≥2且x≠3
【解答】解：由题意得：x﹣2≥0，且x﹣3≠0，
解得：x≥2，且x≠3，
故选：D．
5．（2分）如图，小山为了测量某湖两岸 A，B两点间的距离，先在AB外选定一点C，然后测量得到
CA，CB的中点D，E，且DE＝8m，从而计算出A，B两点间的距离是（ ）
A．8m B．12m C．16m D．20m
【解答】解：连接AB，
∵D、E分别是AC、BC的中点，
∴DE＝ AB，
∵DE＝8m，
∴AB＝16（m），
即A、B两点间的距离是16m，
故选：C．
第7页（共21页）
学科网（北京）股份有限公司6．（2分）下列命题正确的是（ ）
A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．对角线相等的四边形是矩形
C．有一组邻边相等的四边形是菱形
D．有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形
【解答】解：A、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，所以A选项为假命题；
B、对角线相等的平行四边形是矩形，所以B选项为假命题；
C、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，所以C选项为假命题；
D、有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形，所以D选项为真命题．
故选：D．
7．（2分）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：A、 与 不能合并，所以A选项不正确；
B、 × ＝ ，所以B选项不正确；
C、 ﹣ ＝2 ＝ ，所以C选项正确；
D、 ÷ ＝2 ÷ ＝2，所以D选项不正确．
故选：C．
8．（2分）在 ABCD中，O为AC的中点，点E，M为 ABCD同一边上任意两个不重合的动点（不与
端点重合），▱EO，MO的延长线分别与 ABCD的另一▱边交于点F，N．下面四个推断：①EF＝MN；
②EN∥MF；③若 ABCD是菱形，则▱至少存在一个四边形ENFM是菱形；④对于任意的 ABCD，
存在无数个四边形E▱NFM是矩形，其中，所有正确的有（ ） ▱
A．①③ B．②③ C．①④ D．②④
【解答】解：如图，连接EN，MF，
第8页（共21页）
学科网（北京）股份有限公司∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，AD∥BC，
∴∠EAC＝∠FCA，
在△EAO和△FCO中，
，
∴△EAO≌△FCO（ASA），
∴EO＝FO，
同理可得OM＝ON，
∴四边形EMFN是平行四边形，
∴EN∥MF，EF与MN不一定相等，故①错误，②正确，
若四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∵点E，M为AD边上任意两个不重合的动点（不与端点重合），
∴∠EOM＜∠AOD＝90°，
∴不存在四边形ENFM是菱形，故③错误，
当EO＝OM时，则EF＝MN，
又∵四边形ENFM是平行四边形，
∴四边形ENFM是矩形，故④正确，
故选：D．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．（2分）命题“到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”，它的逆命题是 线段垂
直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等 ．
【解答】解：逆命题是：线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等，
故答案为线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等．
10．（2分）如图Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB的中点，若AC＝6，BC＝8，则CD＝ 5 ．
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学科网（北京）股份有限公司【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝ ＝ ＝10，
∵点D是斜边AB的中点，
∴CD＝ AB＝5．
故答案为：5．
11．（2分）如图，请给矩形ABCD添加一个条件，使它成为正方形，则此条件可以为 AB ＝ BC （答案
不唯一） ．
【解答】解：添加的条件可以是AB＝BC．理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，AB＝BC，
∴四边形ABCD是正方形．
故答案为：AB＝BC（答案不唯一）．
12．（2分）已知实数a、b在数轴上的位置如图所示，且|a|＞|b|，则化简 的结果为 b
．
【解答】解：∵|a|＞|b|，∴ ＝﹣a+（a+b）＝b．
故答案为：b．
13．（2分）在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，如果∠ABC＝60°，AC＝4，那么这个菱形的
面积是 8 ．
【解答】解：∵菱形ABCD中，∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
第10页（共21页）
学科网（北京）股份有限公司∴AO＝ AC＝ ×4＝2，BO＝ ×4＝2 ，
∴BD＝2BO＝4 ，
∴菱形的面积＝ AC•BD＝ ×4×4 ＝8 ．
故答案为：8
14．（2分）已知 +（b﹣2）2＝0，那么a+b的值为 ﹣ 1 ．
【解答】解：根据题意得，3+a＝0，b﹣2＝0，
解得a＝﹣3，b＝2，
所以，a+b＝﹣3+2＝﹣1．
故答案为：﹣1．
15．（2分）如图，将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点D落在点F处，AF与BC相交于点E，AB＝
4，AD＝8，则AE的长为 5 ．
【解答】解：∵矩形ABCD沿对角线AC折叠，点D落在等F处，
∴∠F＝∠D＝∠B＝90°，CD＝CF＝AB，
∵∠AEB＝∠CEF，
∴△ABE≌△CFE（AAS）．
∴EC＝AE，
设AE＝x，
∴EC＝AE＝x，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，BC＝AD＝8，BE＝8﹣x，
第11页（共21页）
学科网（北京）股份有限公司在Rt△ABE中，则有（8﹣x）2+42＝x2，
解得x＝5，
∴AE＝5，
故答案为：5．
16．（2分）我们规定用（a，b）表示一对数对，给出如下定义：记 ，其中（a＞0，b＞
0），将（m，n）与（n，m）称为数对（a，b）的一对“对称数对”．若数对（a，b）的一个“对称
数对”是 ，则ab的值是 6 或 ．
【解答】解：∵数对（a，b）的一个“对称数对”是 ，
∴ 或 ，
解得 或 ，
∴ab＝6或 ．
故答案为：6或 ．
三、解答题（本题共68分，第17题8分，每小题8分，第18～23题每题5分，第24～25题每题6分，
第26题4分，第27～28题每题7分）
17．（8分）计算：（1） ﹣ +2 ；
（2）（ + ）（ ﹣ ）．
【解答】解：（1）原式＝2 ﹣ +
＝2 ；
（2）原式＝5﹣3
＝2．
第12页（共21页）
学科网（北京）股份有限公司18．（5分）计算： +|2﹣ |+ ﹣ ．
【解答】解：原式＝
＝ ．
19．（5分）计算： ．
【解答】解：原式＝2 ﹣ +
＝2 ﹣3 +2
＝2﹣ ．
20．（5分） ．
【解答】解：原式＝3﹣2 +2﹣ +2
＝7﹣3 ．
21．（5分）已知：如图，E、F是平行四边形ABCD对角线BD上的两点，且BE＝DF．求证：AE＝
CF．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD．
∴∠ABE＝∠CDF．
在△ABE和△DCF中，
，
∴△ABE≌△DCF（SAS）．
∴AE＝CF．
22．（5分）已知：如图1，线段a，线段b．
求作：菱形ABCD，使其两条对角线的长分别等于线段a，b的长．
第13页（共21页）
学科网（北京）股份有限公司作法：①如图1，作线段b的垂直平分线c，交线段b于点E；
②如图2，作射线m，在m上截取线段AC＝a；
③作线段AC的垂直平分线GF交线段AC于点O；
④以点O为圆心，线段b的一半为半径作弧，交直线GF于点B，D；
⑤连接AB，BC，CD，DA．
∴四边形ABCD就是所求作的菱形．
问题：（1）使用直尺和圆规，依作法补全图2（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：∵OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD是 平行四边形 ．
∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形． （对角线垂直的平行四边形是菱形） （填推理的依据）．
【解答】解：（1）如图，菱形ABCD即为所求．
（2）理由：∵OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，．
∵AC⊥BD，
第14页（共21页）
学科网（北京）股份有限公司∴四边形ABCD是菱形（对角线垂直的平行四边形是菱形）．
故答案为：平行四边形，对角线垂直的平行四边形是菱形．
23．（5分）如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF＝BE，连
接AF，BF．
（1）求证：四边形BFDE是矩形；
（2）若AF平分∠DAB，CF＝3，BF＝4，求DF长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，
∵DF＝BE，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB＝90°，
∴四边形BFDE是矩形；
（2）解：∵四边形BFDE是矩形，
∴∠BFD＝90°，
∴∠BFC＝90°，
在Rt△BCF中，CF＝3，BF＝4，
∴BC＝5，
∵AF平分∠DAB，
∴∠DAF＝∠BAF，
∵AB∥DC，
∴∠DFA＝∠BAF，
∴∠DAF＝∠DFA，
∴AD＝DF，
∵AD＝BC，
∴DF＝BC，
∴DF＝5．
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学科网（北京）股份有限公司24．（6分）如图，在 ABCD中，AE平分∠BAD交BC于点E，过点B作BF⊥AE于点H，交AD于点
F，连接EF． ▱
（1）求证：四边形ABEF是菱形；
（2）连接CF，若CE＝1，CF＝2， ，求菱形ABEF的面积．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB，
∵∠EAF＝∠EAB，
∴∠BAE＝∠BEA，
∴BA＝BE，
∵BF⊥AE，
∴∠ABF＝∠FBE，∠AFB＝∠FBE，
∴∠ABF＝∠AFB，
∴AB＝AF，
∴AF＝BE，
∵AF∥BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AB＝AF，
∴四边形ABEF是菱形．
（2）连接CF，
CE＝1，CF＝2，AB＝ ，
∵AB＝EF＝ ，
CE2+CF2＝EF2，
∴CF⊥BC，
∴菱形ABEF的面积＝ ×2＝ ．
第16页（共21页）
学科网（北京）股份有限公司25．（6分）已知 ，求代数式 的值．
【解答】解：
＝
＝
＝ ，
∵ ，
∴原式＝ ＝ ．
26．（4分）如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，
由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点 H
（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路CH，测得CB＝1.5千米，CH＝1.2千米，HB＝0.9千
米．
（1）问CH是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明；
（2）求新路CH比原路CA少多少千米？
【解答】解：（1）是，
理由是：在△CHB中，
∵CH2+BH2＝（1.2）2+（0.9）2＝2.25，
BC2＝2.25，
∴CH2+BH2＝BC2，
∴CH⊥AB，
所以CH是从村庄C到河边的最近路；
第17页（共21页）
学科网（北京）股份有限公司（2）设AC＝x千米，
在Rt△ACH中，由已知得AC＝x，AH＝x﹣0.9，CH＝1.2，
由勾股定理得：AC2＝AH2+CH2
∴x2＝（x﹣0.9）2+（1.2）2，
解这个方程，得x＝1.25，
1.25﹣1.2＝0.05（千米）
答：新路CH比原路CA少0.05千米．
27．（7分）已知：如图，E为正方形ABCD的边BC延长线上一动点，且CE＜BC，连接DE．点F与点
E关于直线DC对称，过点F作FH⊥DE于点H，直线FH与直线DB交于点M．
（1）依题意补全图1；
（2）若∠EDC＝ ，请直接写出∠DMF＝ 45 ° ﹣ （用含 的式子表示）；
（3）用等式表示αBM与CF的数量关系，并证明．α α
【解答】解：（1）补全图形如图1，
（2）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BDC＝45°，
∵FH⊥DE，
∴∠MHD＝90°，
∴∠DMF+∠MDH＝90°，
∴∠DMF+∠BDC+∠CDE＝90°，
∴∠DMF+45°+ ＝90°，
α
第18页（共21页）
学科网（北京）股份有限公司∴∠DMF＝45°﹣ ．
故答案为45°﹣ ．α
α
（3）BM与CF的数量关系为BM＝ CF．
证明：如图2，在CD上取点G，使得CG＝CE，连接GE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DBC＝∠BDC＝45°，∠DCB＝90°，BC＝DC，
∵CG＝CE，
∴∠CGE＝∠CEG＝45°，
∴∠DGE＝∠MBF＝135°，
∴BF＝GD，
∵点F与点E关于直线DC对称，
∴CF＝CE＝CG，且点F在BC上，
∵MH⊥DE于点H，
∴∠MHD＝∠BCD＝90°，
∴∠BFM＝∠HFE＝∠CDE，
∴△BMF≌△GED（ASA），
∴MB＝EG，
∵GE＝ CE＝ CF，
∴BM＝ CF．
28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，对于点P，如果点Q满足条件：以线段PQ为对角线的正方形，
且正方形的边分别与x轴，y轴平行，那么称点Q为点P的“和谐点”，如图所示，已知点D（﹣1，
2），E（1，2），F（﹣1，﹣2）．
（1）已知点A的坐标是（2，1）．
第19页（共21页）
学科网（北京）股份有限公司①在D，E，F中，是点A的“和谐点”的是 E ， F ．
②已知点B的坐标为（0，b），如果点B为点A的“和谐点”，求b的值；
（2）已知点C（m，0），如果线段DE上存在一个点M，使得点M是点C的“和谐点”，直接写出m
的取值范围．
【解答】解：（1）①如图1中，在D，E，F中，是点A的“和谐点”的是点E，点F．
故答案为：E，F．
②如图2中，∵点B的坐标为（0，b），点B为点A的“和谐点”，
观察图形可知B（0，3）或B′（0，﹣1），
∴b＝3或﹣1．
第20页（共21页）
学科网（北京）股份有限公司（2）如图3中，
观察图形可知，∵点M在线段DE上，
∴点M的“和谐点”在线段GH上，H（﹣3，0），G（3，0），
∴点C（m，0）在线段GH上，
∴﹣3≤m≤﹣1或1≤m≤3．
第21页（共21页）
学科网（北京）股份有限公司
