北京市石景山区2023-2024学年八年级上学期末数学试题解析版(1)_北京初中期末题_C605-京七八九_B京市数学七八九_北京数学八上_2023-2024

石景山区 2023-2024 学年第一学期初二期末试卷
数 学
学校 姓名 准考证号
1. 本试卷共 7 页，共三道大题，28 道小题。满分 100 分。考试时间 100 分钟。
考
2. 在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和考号。
生
3. 试卷答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．在答题卡上，选
须
择题、作图题用 2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。
知
4. 考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本题共 16 分，每小题6 2 分） 6
下面各题均有四个选项，其中只有一 个 是符合题意
． ．
的．
1. 6 的算术平方根为
（D）  6
（A） 3 （B）  （C）
初二数学试卷 第 1 页（共 7
学科网（北京）股份有限公司 页）2. 我国在环保方面取得的成就，为可持续发展奠定了基础．以下四个环保标志分别是
“绿色食品”“节水”“安全饮品”“循环再生”，其中是轴对称图形的是
（A） （B） （C） （D）
3x
3. 若代数式
x 1的值为 0，则实数 x 的值
为
（A） x  0
x  0 x ≥1
（C） （D）
（B） x  1
4. 下列说法中，正确的是
（A） “在标准大气压下，将水加热到 100℃，水会沸腾”是随机事件
（B） 随机事件是可能会发生，也可能不会发生的事件
（C） 投掷一枚硬币 10 次，一定有 5 次正面向上
（D） “事件可能发生”是指事件发生的机会很多
初二数学试卷 第 2 页（共 7
学科网（北京）股份有限公司 页）5. 如图，△ABC 中 AB 边上的高线为
G E
A
（A）AD （B）CE
（C）AF （D）BG B C
D F
6. 下列变形正确的是
（A） x  2  x （B） a2  b2  a  b
y  2 y a  b
（C）1
x 
1
y  x 
2
y
（D） 2
4
a
a
8
2
b
b
3

1
2
a6b2
7. 在一个不透明的袋子中，装有白球、红球若干个，各球除颜色外都相同.某校初二
五班 30 名同学做实验，从袋中任意摸一球，记录颜色后将球放回袋中搅匀，再进
行下一次摸球试验.每人做 20 次这样的摸球试验后，进行累计，发现全班试验中摸
出红球共 100 次，估计袋中红球与白球数量的比值约为
（A）1:5 （B）1:6 （C）1:11 （D）1:12
3x  m
8. 关于 x 的分式方程  5 的解是正数，则m 的取值范围是
x 1
（A） m  5 （B） m  5
（C） m  5 且 m  3 （D） m  3
二、填空题（本题共 16 分，每小题 2 分）
9. 若代数式 有意义，则实数 x 的取值范围是 ．
x 1
m
 
10. 在括号内填入适当的整式对分式变形：  ，变形的依据是 ．
n n2
11．  3 21  3 21   .
12. 如图，将一副直角三角尺按下图放置，使三角尺①的长直角边与三角尺②的斜边
平行，两三角尺的某顶点重合，则图③中的 = °.
α
① ② ③
A
13. 如图，点 B，C，F，E 在同一条直线上，BC=EF，
AB∥DE，要使△ABC≌△DEF，还需添加一 个 条件， F E
． ．
B C
这个条件可以是 ；根据你添加的条件， D
本题中判定两个三角形全等所用的方法为 .
初二数学试卷 第 3 页（共 7
学科网（北京）股份有限公司 页）14. 国庆期间，某超市开展“有奖促销”活动，凡购物不少于 50 元的顾客均有一次
转动转盘的机会．如图，转盘被平均分为 8 等份，指针固定不动，转动转盘，转
盘停止后，当指针指向数字 8 时，该顾客获一等奖；当指 8 1
针指向 3 或 5 时，该顾客获二等奖；若指针指向分界线 7 2
6 3
则重转．顾客转动一次转盘，获一等奖或二等奖的可能性
5 4
大小为 ．
15. 如图，△ABC 中，AB= AC=1，BC= 2．BD 平分∠ABC. 则 A
（1）∠C= °；
D
（2）点 D 到 BC 的距离为 .
B C
16. 如图，在等边△ABC 中，AB=6，点 O 在 AB 上，且 AO=4，点 E 是边 BC 上一
动点，连接 OE，将线段 OE 绕点 O 逆时针旋转得到线段 OD，且∠DOE=60°.
（1）连接 DE，则△ODE 的形状为 ； A
（2）当点 E 在边 BC 上运动时，连接
CD，则 CD 的最小值为 . D
O
B C
E
三、解答题（本题共 68 分，第 17-21 每小题 5 分；第 22-23 每小题 6 分；24 题 5 分，
第 25-26 每小题 6 分；第 27-28 每小题 7 分）解答应写出文字说明，演算步骤或
证明过程．
17. 计算： 3 8  22    20  1 3 ．
18. 计算： 3
18  3  2 12 ．
2
3 1
19. 解方程：  13
 ．
2 3x 1 6x  2
20. 如图，AC，BD 交于点 O，OA=OD，∠1=∠2. A D
求证：AB = CD.
O
B 1 2 C
初二数学试卷 第 4 页（共 7
学科网（北京）股份有限公司 页）21. 《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有池方一丈，
C
葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、
D B C'
葭长各几何？”题目大意为：“如图，有一个池塘，其
底面是边长为 10 尺的正方形，一棵芦苇 AC 生长在池塘
的中央，高出水面的部分 BC 为 1 尺，如果把该芦苇沿
与池塘边垂直的方向拉向池塘边，那么芦苇的顶部 C 恰
好碰到池塘边的C 处，问水深和芦苇长各多少尺？”请
A
根据题意解决问题.
A
22. 已知：如图，△ABC 中，AB=AC，AB>BC.
（1）利用尺规作图，作△ABC 中 AC 边上的高 BD
（不写作法，保留作图痕迹）；
1
（2）求证： CBD  A .
B
2 C

23. 已 a 知 a2  a 1  0 ，求代数式 1   a3  的值．

a

 a 1  a2  2a 1
24. 台球技艺中包含了许多物理、数学的知识.图 1 是台球桌面的一部分，由于障碍
球 E 的阻挡，击球者想通过正面击打主球 M，使其撞击台球桌边框（仅碰撞一次），
经过一次反弹后正面撞击到目标球 F.球的反弹路径类似于光的反射光路.台球桌
面抽象为长方形，球抽象为点，如图 2，请在 AD 边上作出撞击点 P,使得
∠MPA=∠FPD，并用数学知识进行证明.
A D
M
M
E F
F B C
图 1 图 2
3 P D
A 2
锦囊：某同学阅读理解题意后，先画了一个草图（如图 3） 1
进行分析，发现“要保证∠1=∠2，只需保证∠1=∠3 即可”.
M
F
图 3
初二数学试卷 第 5 页（共 7
学科网（北京）股份有限公司 页）25．2023 年 8 月 29 日华为 Mate 60 系列正式开售，某用户购买后进行手机测试，分
别在 5G 和 4G 网络环境下，下载容量为 920 兆的同一个文件，发现在 5G 网络
环境下载所需时间比 4G 网络环境下载的时间少 105 秒，测得 5G 网络环境下载
的速度是 4G 网络环境下载速度的 11.5 倍，问该用户在 5G 网络环境下载文件的
速度是每秒多少兆？
26. 小明根据学习“数与式”积累的经验,想通过“由特殊到一般”的方法探究分式的
运算规律.下面是小明的探究过程,请补充完整：
（1） 具体运算,发现规律.
2
第 1 个：  2  2  2 ;
1
3 3
第 2 个：  3   3 ;
2 2
4 4
第 3 个：  4   4 ;
3 3
5 5
第 4 个：  5   5 ;
4 4
第 5 个： .
……
（2） 观察、归纳，发现规律，得出猜想：
第 n 个等式可以表示为： （n 为正整数）.
（3） 证明（2）中的猜想.
初二数学试卷 第 6 页（共 7
学科网（北京）股份有限公司 页）27. 如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC =BC，D 为射线 BC 上一点（不与点 B，C
重合），连接 AD 并延长到点 E，使得 DE=AD，连接 BE．过点 B 作 BE 的垂线
交直线 AC 于点 F.
（1） 如图 1，点 D 在线段 CB 上，且 DB<CD.
①请补全图形；
②判断 CD，DB，CF 之间的数量关系，并证明.
（2）如图 2，若点 D 在线段 BC 的延长线上，请画出图形，直接写出 CD，
DB， CF 之间的数量关系.
（3） 基于上面的题目，请提出一个变式或拓展探究性的问题.
A
A
C D B D C B
E
图 1 图 2
初二数学试卷 第 7 页（共 7
学科网（北京）股份有限公司 页）28. 在 6  6 的正方形网格中，小正方形的边长为 1，网格线的交点为格点，△ABC
为格点三角形（顶点都在格点上）．对于点 P 与格点△ABC 给出如下定义：点
P为网格中一点（与点 B，C 不共线），连接 PA，PB，PC，若 PA 与△PBC 的
某条边相等，则称 P 为△ABC 的关联点.
（1） 如图 1，
在格点 P ， P ， P 中，是△ABC 关联点的是 ；
1 2 3
（2）如图 2，若点 P 为△ABC 的关联点，当点 P 是△ABC 内部(不含边界)的
格点时，请标出所有满足条件的点 P 的位置；
（3）如图 2，E 是△ABC 的边 AC 上一点（不与点 A，C 重合），过点 E 作 AC
的垂线，与△ABC 的边 AB(或 BC)交于点 F．若线段 EF 上存在△ABC 的
两个关联点，求线段 AE 的取值范围.
B
P
2
A
P
3
P
1
A C
B C
图 1 图 2
初二数学试卷 第 8 页（共 7
学科网（北京）股份有限公司 页）石景山区 2023-2024 学年第一学期初二期末
数学试卷答案及评分参考
阅卷须知：
为了阅卷方便，解答题中的推导步骤写得较为详细，考生只要写明主要过程即可。若
考生的解法与本解法不同，正确者可参照评分参考给分，解答右端所注分数，表示考生
正确做到这一步应得的累加分数
一、选择题（本题共 16 分，每小题 2 分）
题 号 1 2 3 4 5 6 7 8
答 案 C C A B B D A C
二、填空题（本题共 16 分，每小题 2 分）
9． x ≥1 10． mn ；分式的基本性质 11．17 12. 75
3
13．答案不唯一，如 AB=DE ；SAS 14．
8
15. 45； 3
21 16．等边三角形； 2 .
三、解答题（本题共 68 分，第 17-21 每小题 5 分；第 22-23 每小题 6 分；24 题 5 分，
第 25-26 每小题 6 分；第 27-28 每小题 7 分）解答应写出文字说明，演算步骤或
证明过程．
17. 解：原式 2  2 3 1 4 分
1
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5 分
 3 2 .
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
18. 解：原式 3
9   2  2 分
3 2 3
 3 3 3
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
分
 4 3
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4
 5 3. 5 分
3 1 13
19. 解：原方程可化为：   ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
1 分
2 3x 1 23x 1
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
去分母，得33x 1  2 13 2 分
.去括号，整理得9x  5  13 . 3 分
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
解得 x  2 .
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
经检验 x  2 是原分式方程的解.
5 分
∴原分式方程的解为 x  2 .
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
初二数学试卷答案及评分参考 第 1 页（共 6
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页）20． 证明：
∵∠1=∠2,
∴OB=OC(等角对等边). 2 分
在△AOB 和△DOC 中
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯A⋯⋯⋯⋯⋯⋯D
 O A O D

O
A O B  D O C

  O B O C B 1 2 C
∴△AOB≌△DOC（SAS）.
4 分
∴AB=CD（全等三角形的对应边相等）.
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5 分
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
21. 解：由题意，原问题可转化为以下数学问题： C
已知：Rt△ ABC ' 中， ABC ' =90°，点 B 为 DC ' 的中点，D B C'
DC '  10 ，AC= AC '，BC=1．
求 AB 和 AC 的长．
∵ DC '  10 ,点 B 为 DC ' 的中点，
A
1
∴ BC '  DC ' 
1 分
5 .
2
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
设 AB=x，则 AC ' =AC=x+1. 3 分
在 Rt△ABC’中，
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
∵ AB2  BC '2  AC '2 ，
∴ x2  52  (x  1)2 .
4 分
解得 x  12 .
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
5 分
∴AB=12，AC=13.
答：水深 12 尺，芦苇长 13 尺. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
22. 解：（1）尺规作图，如图所示：
A
D
B C 2 分
初二数学试卷答案及评分参考 第 2 页（共 6
学科网（北京）股份有限公司 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
页）（2）
证明：∵BD⊥AC 于 D，
∴∠1+∠C=90°． 3 分
∵AB=AC，
⋯⋯⋯A⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
∴ ABC  C ．
∵ A  ABC  C  180 ，
D
∴ A  2C  180 ．
1
∴ A  C  90 . B 1
C
2
1
∴ DBC  1  A . 6 分
2
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
 a a 1
 a a  1a 1

 . 2 分
23. 解：原式  a 1  a 12
a 1
 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
a 12
1
  . 3 分
a 1 a a  1a
1 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

1
a a  .
1
1 4 分

a2  a
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
∵ a2  a 1  0 ，
∴ a2  a 1
∴ 原式=1. 6 分
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
24. 解：如图所示，作点 M 关于 AD 的对称点 M ' ，连接 M ' F 交 AD 于点 P，
点 P 即为所求.
M'
P
A D
M
初二数学试卷答案及评分参考 第 3 页（共 6
F
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页）B C
2 分
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
初二数学试卷答案及评分参考 第 4 页（共 6
学科网（北京）股份有限公司
页）连接 MP， MM ' .
∵点 M 与点 M ' 关于 AD 对称，
∴直线 AD 是 MM ' 的垂直平分线. 3 分
∴ MP  M ' P .
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
∴ MPA  M ' PA .
∵ M ' PA  FPD ,
∴ MPA  FPD . 5 分
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
25. 解：设该用户在 4G 网络环境下载的速度是每秒 x 兆，
在 5G 网络环境下载的速度是每秒 11.5x 兆. 1 分
920 920
根据题意列方程，得  105 . 3 分
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
11.5x x
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
解得： x  8 . 5 分
经检验， x  8 是原分式方程的解且符合实际意义.
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
11.58  92 .
答：该用户在 5G 网络环境下载文件的速度是每秒 92 兆.
6 分
6 6 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
26. 解：（1）第 5 个：  6
  1 分
6 .
5 5 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
n 1 n 1
（2）第 n 个等式可以表示为：  n  1   n  1 .
n n
（3）证明：
3 分
n 1
∵
 n  1 
n 2
，
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
n 1n
n  1 n  1 n  n  1 
 n 1  
n n n
 n  1  (1  n )
=
n
n  12
= ，
n
n 1 n 1
∴  n  1   n  1 . 6 分
n n
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
初二数学试卷答案及评分参考 第 5 页（共 6
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页）27. 解：（1）①补全图形如图所示：
A
C D B
F
1 分
E ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
②判断：CD=DB+ CF.
证明：过点 E 作 EG⊥CB 交 CB 的延长线于 G.
∵∠ACB=90°，EG⊥CB 于 G，
∴∠ACD=∠EGD=90°. A
∵DE=AD，∠ADC=∠EDG,
∴△ACD≌△EGD.
D B
G
∴AC=EG，CD=GD. C
∵AC =BC， F
∴BC=EG.
∵BE⊥BF， E
∴∠FBE=90°，
∴∠CBF+∠GBE=90°.
∵在△EGB 中，∠GEB+∠GBE=90°，
∴∠CBF=∠GEB.
∵∠FCB=∠BGE=90°
∴△BCF≌△EGB.
∴CF=GB.
∵DG=DB+BG，
∴CD=DB+ CF.
4 分
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
初二数学试卷答案及评分参考 第 6 页（共 6
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页）（2）画出图形如下： F
A
D C B
5 分
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
E
数量关系：CD= CF- DB.
6 分
（3）答案不唯一，只要合理有价值即可. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
如：点 D 在线段 CB 上，且 DB>CD，判断 CD，DB，CF 之间的数量关系.
如：判定 AF 与 CD 的数量关系并证明等.
7 分
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
28. 解：（1） P1，P3 .
2 分
（2）如图所示：
B ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
P P
2 3
P
1
A
5 分
C
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
（3） 10 ≤ AE ≤ 7 分
4 .
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
初二数学试卷答案及评分参考 第 7 页（共 6
学科网（北京）股份有限公司
页）