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初三数学课后服务（15）
一、选择题（共16分，每题2分）第1－8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1. 在平面直角坐标系xOy中，下列函数的图象经过点 的是（ ）
A. B. C. D.
2. 古典园林中的窗户是中国传统建筑装饰的重要组成部分，一窗一姿容，一窗一景致．下列窗户图案中，
是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
3. 如图，点A、B、C在 上， 为等边三角形，则 的度数是（ ）
A. 60° B. 50° C. 40° D. 30°
4. 在 ABC中， ，点O为AB中点．以点C为圆心，CO长为半径作⊙C，则⊙C 与AB的位置关
△
系是（ ）
.
A 相交 B. 相切
C. 相离 D. 不确定
5. 如图， 是正方形 的外接圆，若 的半径为4，则正方形 的边长为（ ）A. 4 B. 8 C. D.
6. 中国象棋文化历史久远．在图中所示的部分棋盘中，“馬”的位置在“ ”（图中虚线）的下方，
“馬”移动一次能够到达的所有位置已用“●”标记，则“馬”随机移动一次，到达的位置在“ ”
上方的概率是（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，A，B，C是某社区的三栋楼，若在AC中点D处建一个5G基站，其覆盖半径为300 m，则这三
栋楼中在该5G基站覆盖范围内的是（ ）
在
A. A，B，C都不 B. 只有B
C. 只有A，C D. A，B，C
8. 抛物线 的顶点为 ，且经过点 ，其部分图象如图所示.对于此抛物线有
如下四个结论：① ；② ；③ ；④若此抛物线经过点 ，则 一定是方程 的一个根．其中所有正确结论的序号是（ ）
A. ①② B. ①③ C. ③④ D. ①④
二、填空题（共16分，每题2分）
9. 已知y是x的函数，且当x>0时，y随x的增大而减小．则这个函数的表达式可以是_________．(写出一
个符合题意的答案即可)
10. 关于 的一元二次方程 有一个根为1，则 的值为________．
11. 点 ， 在抛物线 上，则 ， 的大小关系为： __________ （填“>”，
“=”或“<”）．
12. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点 ，点 ．将线段BA绕点B旋转180°得到线段
BC，则点C的坐标为__________．
13. 2021年是中国共产党建党100周年，全国各地积极开展“弘扬红色文化，重走长征路”主题教育活动．
据了解，某展览中心3月份的参观人数为10万人，5月份的参观人数增加到12.1万人．设参观人数的月平
均增长率为x，则可列方程为________．
14. 如图所示，边长为1的正方形网格中， ， ， ， ， 是网格线交点，若 与 所在圆的圆
心都为点 ，那么阴影部分的面积为______．15. 做随机抛掷一枚纪念币的试验，得到的结果如下表所示：
抛掷次数m
“正面向上”的次数
n
“正面向上”的频率
下面有3个推断：
①当抛掷次数是 时，“正面向上”的频率是 ，所以“正面向上”的概率是 ；
②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在 附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正
面向上”的概率是 ；
③若再次做随机抛掷该纪念币的试验，则当抛掷次数为 时，出现“正面向上”的次数不一定是
次．
其中所有合理推断的序号是______．
16. 如图，在 中， ， 是 内的一个动点，满足 ．若
， ，则 长的最小值为_______．
三、解答题（共68分，第17－21题，每题5分，第22题6分，第23题5分，第24－26题，每题6分，第27－28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17. 解方程： ．
18. 问题：如图， 是 的直径，点C在 内，请仅用无刻度的直尺，作出 中 边上的高．
小芸解决这个问题时，结合圆以及三角形高线的相关知识，设计了如下作图过程．
作法：如图，
①延长 交 于点D，延长 交 于点E；
②分别连接 ， 并延长相交于点F；
③连接 并延长交 于点H．
所以线段 即为 中 边上的高．
（1）根据小芸的作法，补全图形；
（2）完成下面的证明．
证明： 是 的直径，点D，E在 上，
______ ．（____________）（填推理的依据）
， ．
，______是 ABC的两条高线．
， 所在直△线交于点F，
直线 也是 的高所在直线．
是 中 边上的高．
19. 如图， 是⊙O的直径， 是⊙O的一条弦，且 于点E．（1）求证： ；
（2）若 ， ，求⊙O的半径．
的
20. 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+2x＋c 部分图象经过点A(0，－3)，B(1，0) ．
的
(1)求该抛物线 解析式；
(2)结合函数图象，直接写出y＜0时，x的取值范围．
21. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，将线段CA绕点C逆时针旋转60°，得到线段CD，
连接AD，BD．
（1）依题意补全图形；
（2）若BC=1，求线段BD的长．
22. 一个不透明的袋中装有2个红球、1个白球，这些球除颜色外，没有任何其他区别．有如下两个活动：
的
活动1：从袋中随机摸出一个球，记录下颜色，然后从袋中剩余 球中再随机摸出一个球，摸出的两个球都是红球的概率记为 ；
活动2：从袋中随机摸出一个球，记录下颜色，然后把这个球放回袋中并摇匀，重新从袋中随机摸出一个
球，两次摸出的球都是红球的概率记为 ．
请你猜想 ， 的大小关系，并用画树状图或列表的方法列出所有可能的结果，验证你的猜想．
23. 已知关于 的一元二次方程 ．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若该方程有一个根小于2，求 的取值范围．
24. 某篮球队员的一次投篮命中，篮球从出手到命中行进的轨迹可以近似看作抛物线的一部分，表示篮球
距地面的高度 （单位：m）与行进的水平距离 （单位：m）之间关系的图象如图所示．已知篮球出手位
置 与篮筐的水平距离为4.5m，篮筐距地面的高度为3.05m；当篮球行进的水平距离为3m时，篮球距地
面的高度达到最大为3.3m．
（1）图中点 表示篮筐，其坐标为_______，篮球行进的最高点 的坐标为________；
（2）求篮球出手时距地面的高度．
25. 已知：如图，在 中， ，D是BC的中点．以BD为直径作 ，交边AB于点P，连
接PC，交AD于点E．（1）求证：AD是 的切线；
（2）若PC是 的切线， ，求PC的长．
26. 在平面直角坐标系 中，点 在抛物线 上．
（1）求该抛物线的对称轴；
（2）已知 ，当 时，y的取值范围是 ．求a、m的值；
（3）在(2)的条件下，是否存在实数n，当 时，y的取值范围是 ．若存在，求
出n的值；若不存在，请说明理由．
27. 如图1，在 中， ， ，点D，E分别在边 ， 上， ，连接
， ， ．点F在线段 上，连接 交 于点H．
（1）①比较 与 的大小，并证明；
②若 ，求证： ；
（2）将图1中的 绕点C逆时针旋转 ，如图2．若F是 的中点，判断
是否仍然成立．如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．
28. 在平面直角坐标系 中， 的半径为1，点 在 上，点 在 内，给出如下定义：连接
并延长交 于点 ，若 ，则称点 是点 关于 的 倍特征点．
（1）点 的坐标为 ．①若点 的坐标为 ，则点 是点 关于 的 倍特征点；
②在 ， ， 这三个点中，点 是点 关于 的 倍特征点；
③直线 经过点 ，与 轴交于点 ， ．点 在直线 上，且点 是点 关于 的 倍特
征点，求点 的坐标；
（2）若当 取某个值时，对于函数 的图像上任意一点 ，在 上都存在点 ，
使得点 是点 关于 的 倍特征点，直接写出 的最大值和最小值．
