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北京二中教育集团 2022-2023 学年度第一学期
初一数学期末考试试卷
一、选择题（以下每题只有一个正确的选项，每小题2分，共16分）
1. 中国人很早开始使用负数，中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引
入负数.如果收入100元记作+100元.那么﹣80元表示（ ）
A. 支出20元 B. 收入20元 C. 支出80元 D. 收入80元
【答案】C
【解析】
【详解】解：∵根据题意可得：“+”表示收入，“-”表示支出，
∴-80元表示支出80元．
故选C．
2. 北京冬奥会期间，共有近1.9万名赛会志愿者和20余万人次城市志愿者参与服务，他们默默奉献并积极
传递正能量，共同用实际行动生动地诠释了“奉献、友爱、互助、进步”的志愿精神．将1.9万用科学记
数法表示应为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】绝对值大于1的数可以用科学记数法表示，一般形式为a×10n， 为正整数，且比原数的整数位数
少1，据此可以解答．
【
详解】解：∵1.9万=19000，
∴1.9万用科学记数法表示应为 ．
故选：C
【点睛】本题考查用科学记数法表示较大的数，熟练掌握科学记数法表示较大的数一般形式为 ，
其中 ， 是正整数，正确确定 的值和 的值是解题的关键．
3. 下列各组数中互为相反数的是（ ）
A. 2与 B. 2与 C. 1与 D. 与1
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学科网（北京）股份有限公司【答案】D
【解析】
【分析】直接利用乘方、绝对值以及相反数的定义分别化简得出答案．
【详解】解：A、2与 ，两数不是互为相反数，故此选项不合题意；
B、2与 ，两数不是互为相反数，故此选项不合题意；
C、1与(-1)2=2，两数不是互为相反数，故此选项不合题意；
D、 与1，两数是互为相反数，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了绝对值以及相反数的定义、有理数的乘方运算，正确化简各数是解题关键．
4. 我国古代数学家利用“牟合方盖”找到了球体体积的计算方法．“牟合方盖”是由两个圆柱分别从纵、
横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体，如图所示的几何体是可以形成“牟合方盖”
的一种模型，它从正面看是（ ）
A B. C. D.
.
【答案】B
【解析】
【分析】根据从物体的正面观察得得到的视图，进而得出答案．
【详解】该几何体从正面看是： ．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了几何体的三视图；掌握俯视图是从几何体上面看得到的平面图形是解决本题的关
键．
5. 已知 ，下列等式中成立的是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据等式的基本性质对各选项分析判断即可得解．
【详解】解：A、 时， 的两边不能除以a，故不成立，不合题意；
B、等式两边都减3可得 ，故成立，符合题意；
C、等式右边乘以 ，左边没有乘，故不成立，不合题意；
D、∵ 不成立，故 不成立，不合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了等式的基本性质：①等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立；②等
式的两边同时乘以或除以同一个不为0的数或字母，等式仍成立．
6. 如图，学校A在蕾蕾家B南偏西25°的方向上，点C表示超市所在的位置， ，则超市C
在蕾蕾家的（ ）
A. 北偏东55°的方向上 B. 南偏东55°的方向上
C. 北偏东65°的方向上 D. 南偏东65°的方向上
【答案】D
【解析】
【分析】直接利用方向角的定义得出∠2的度数．
【详解】如图所示：由题意可得： ， ，
则 ，
故超市（记作C）在蕾蕾家的南偏东 的方向上．
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学科网（北京）股份有限公司故选：D．
【点睛】本题考查了方向角的定义，解题的关键是正确根据图形得出∠2的度数是．
7. 现用90立方米木料制作桌子和椅子，已知1立方米木料可做5把椅子或1张桌子要使桌子和椅子刚好配
套(-张桌子配4把椅子)，设用x立方米的木料做桌子，则依题意可列方程为( )
A. 5x=4(90-x) B. 4x=5(90-x) C. x=4(90-x) 5 D. 4x 5=90-x
【答案】B
【解析】
【分析】设用x立方米的木料做桌子，则用（90-x）立方米的木料做椅子，根据制作的椅子数为桌子数的
4倍，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
【详解】设用x立方米的木料做桌子,则用(90−x)立方米的木料做椅子，
依题意,得：4x=5(90−x).
故选：B.
的
【点睛】本题考查一元一次方程 应用.能找出题中等量关系，根据等量关系列出方程是解决此题的关键.
8. 将两边长分别为a和b（a＞b）的正方形纸片按图1、图2两种方式置于长方形ABCD中，（图1、图2
中两张正方形纸片均有部分重叠），长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1上中
阴影部分的周长为C ，图2中阴部分的周长为C ，则C －C 的值（ ）
1 2 1 2
A. 0 B. a－b C. 2a－2b D. 2b－2a
【答案】A
【解析】
【分析】根据周长的计算公式，列出式子计算解答．
【详解】解：由题意知：
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学科网（北京）股份有限公司，
四边形 是长方形，
，
，
同理：
，
，
故选：A．
【点睛】本题主要考查整式的加减运算，解题的关键是：掌握整式的加减运算法则．
二、填空题（共16分，每题2分）
9. 单项式 的次数是_______．
【答案】3
【解析】
【分析】根据一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数，据此即可求解．
【详解】解：单项式-2x2y的次数是2+1=3，
故答案为：3．
【点睛】此题主要考查了单项式的次数，正确把握定义是解题关键．
10. 把弯曲的河道改直，能够缩短航程，这样做的道理是______
【答案】两点之间线段最短
【解析】
【分析】根据两点之间线段最短即可得出答案．
【详解】解：由两点之间线段最短可知，把弯曲的河道改直，能够缩短航程，
这样做根据的道理是两点之间线段最短，
故答案为：两点之间线段最短．
【点睛】本题考查了线段的性质，关键是掌握两点之间线段最短．
11. 如果 是关于x的方程 的解，那么m的值是_________．
【答案】4
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】把 代入方程得到关于 的方程，求得 的值即可．
【详解】解：把 代入方程得 ，
解得： ．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解，方程的解就是能使方程左右两边相等的未知数的值，理解定义是
关键．
12. 《诗经》是我国第一部诗歌总集，共分为《风》《雅》《颂》三部分．其中《颂》和《风》的篇数之
和为200篇，且《颂》的篇数恰好是《风》篇数的 ，则《风》有_________篇．
【答案】160
【解析】
【分析】设《风》有 篇，表示出《颂》的篇数，再根据《颂》的篇数恰好是《风》篇数的 ，列出方程，
解之即可．
【详解】解：设《风》有 篇，
则《颂》有 篇，
根据题意得： ，
解得： ，
即《风》有160篇．
故答案为：160．
【点睛】此题主要考查了一元一次方程 的应用，根据题目中等量关系式列出方程是解题关键．
13. 如图，将一个三角板 角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合， ，则
_________．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】
【解析】
【分析】根据题目的已知可求出 的度数，再利用 减去 的度数即可解答．
【详解】解： ， ，
，
，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了度分秒的换算，熟练掌握度分秒的进制是解题的关键．
14. 一个角的余角的3倍等于它的补角，则这个角的度数为__________．
【答案】45°
【解析】
【分析】首先设这个角的度数为x，则它的补角为180°﹣x，余角为90°﹣x，再根据题意列出方程，解方程
即可．
【详解】解：设这个角的度数为x，根据题意得：
3（90°﹣x）＝180°﹣x，
解得：x＝45°．
所以这个角的度数为45°．
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学科网（北京）股份有限公司故答案为：45°．
【点睛】此题主要考查了余角和补角，互为余角的两角的和为90°，互为补角的两角之和为180度．解此
题的关键是能准确的题干中找出角之间的数量关系，从而列出方程求解，也考查了解一元一次方程．
15. 两条线段，一条长 ，另一条长 ，将它们一端重合且放在同一条直线上，则这两条线段的中
点之间的距离是_________ ．
【答案】2或8##8或2
【解析】
【分析】分两种情况，两条线段在重合一端的同侧，两条线段在重合一端的异侧．
【详解】解：设较长的线段为 cm，较短的线段为 cm，
分两种情况：
当两条线段在重合一端的同侧，如图：
∵点M是 的中点，点N是 的中点，
∴ ， ，
∴ cm，
当两条线段在重合一端的异侧，如图：
∵点M是 的中点，点N是 的中点，
∴ ， ，
∴ ，
所以，两条线段的中点之间的距离是 或 ，
故答案为：2或8．
【点睛】本题考查了两点间距离，掌握分类讨论思想，根据题目的已知条件画出图形是关键．
16. 新年联欢，某公司为员工准备了A、B两种礼物，A礼物单价a元，重m千克，B礼物单价 元，
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学科网（北京）股份有限公司重 千克，为了增加趣味性，公司把礼物随机组合装在盲盒里，每个盲盒里均放两样，随机发放，
小林的盲盒比小李的盲盒重2千克，则两个盲盒的总价钱相差_________元，
通过称重其他盲盒，大家发现：
称重情 重量大于小林的 与小林的盲盒 重量介于小林和小 与小李的盲盒 重量小于小李的
况 盲盒的 一样重 李之间的 一样重 盲盒的
盲盒个
0 5 0 9 4
数
若这些礼物共花费3040元，则 ___________元．
【答案】 ①. 20 ②. 65
【解析】
【分析】根据小林的盲盒比小李的盲盒重2千克可判断两个盲盒的总价钱相差20元，再根据重量小于小李
的盲盒的为4盒可以得出结论：小李的盲盒中为1件 礼物和1件 礼物，小林的盲盒中为2件 礼物，
然后再根据表格中的数据列一元一次方程求解即可．
【详解】解： 礼物重 千克， 礼物重 千克，
礼物比 礼物重2千克，
每个盲盒里均放两样，小林的盲盒比小李的盲盒重2千克，
小林的盲盒中为1件 礼物和1件 礼物，小李的盲盒中为2件 礼物或小林的盲盒中为2件 礼物，
小李的盲盒中为1件 礼物和1件 礼物，
不管以上哪种情况，两个盲盒的礼物总价格都相差 （元）；
由表格中数据可知，重量小于小李的盲盒的有4盒，
所以小李的盲盒中有1件 礼物和1件 礼物，不可能为2件 礼物，
小李的盲盒中为1件 礼物和1件 礼物，小林的盲盒中为2件 礼物，
重量小于小李的盲盒为2件 礼物，
与小林的盲盒一样重的即2件 礼物的盲盒有6盒，与小李的盲盒一样重的盲盒有9盒，重量小于小李
的盲盒有4盒，
件 礼物的有6盒，1件 礼物和1件 礼物各有10盒，2件 礼物有4盒，
，
解得 ，
故答案为：20，65．
【点睛】本题主要考查一元一次方程，能根据数据准确判断小李与小林的盲盒中的礼物是解答此题的关键．
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学科网（北京）股份有限公司三、解答题（共68分，第17-20题，每题5分，第21题6分，第22-23题，每题5分，第24-
26题，每题6分，第27-28题，每题7分）
17. 计算：10﹣（﹣6）+8﹣（+2）．
【答案】22
【解析】
【分析】根据有理数加减运算法则计算即可；
【详解】10﹣（﹣6）+8﹣（+2）＝10+6+8﹣2＝24﹣2＝22．
【点睛】本题主要考查了有理数的加减混合运算，准确计算是解题的关键．
18. 计算： ．
【答案】-5
【解析】
【分析】根据有理数的运算法则计算即可得到答案．
【详解】
．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，掌握运算法则是解决本题的关键．
19. 解方程 ．
【答案】
【解析】
【分析】根据去分母，去括号，移项，合并，化系数为1的步骤求解即可．
【详解】解：去分母得： ，
移项合并同类项得： ，
解得： ．
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学科网（北京）股份有限公司【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，熟知解一元一次方程的方法是解题的关键．
20. 先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】 ，4
【解析】
【分析】利用整式的混合运算化简整式，再代入数据求值．
【详解】解：
，
∵ ，
∴原式
．
【点睛】本题考查了整式的加减运算和求值，掌握整式的加减运算法则是关键．
21. 阅读材料：我们知道， ，类似地，我们把 看成一个整体，则
．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要
的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．
尝试应用：
（1）把 看成一个整体，合并 的结果是_________；
（2）已知 ，求 的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】（1）把 看成一个整体，运用合并同类项法则进行计算即可；
（2）把 变形，得到 ，再根据整体代入法进行计算即可．
【小问1详解】
解：把 看成一个整体，
则
；
故答案为： ；
【小问2详解】
∵ ，
∴原式 ．
【点睛】本题主要考查了整式的加减，解决问题的关键是运用整体思想；给出整式中字母的值，求整式的
值的问题，一般要先化简，再把给定字母的值代入计算，得出整式的值，不能把数值直接代入整式中计算．
22. 如图，已知平面上三点A，B，C，请按要求完成下列问题：
（1）画射线 ，线段 ，直线 ；
（2）在射线 上求作一点D，使得 （尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）．点E为
线段 中点，当 时， 的长为_________．
【答案】（1）见解析 （2）作图见解析，4
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】（1）根据几何语言画出对应的几何图形；
（2）在 的延长线上延长截取 ， ，则点 满足条件，然后利用点 为线段 中
点得到 ，则 ，于是计算 可得到 的长．
【小问1详解】
解：如图，直线 ，线段 ，射线 为所作；
【小问2详解】
如图，点 为所作；
点 为线段 中点，
，
，
，
，
，
即 的长为4．
【点睛】本题考查了作图 复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的
基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了直线、射线、线段．
23. 如图所示，点C是线段 的中点，点D在线段 上，且 ．若 ，求线段 的
长．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】2
【解析】
【分析】利用 ， 是线段 中点，我们可以求出 的长，再利用 ，可以求出
的
， 的长，最后利用线段的和差公式求出 的长即可．
【详解】解： ， 是线段 的中点，
，
， ，
，
，
答：线段 的长为2．
【点睛】本题主要考查两点间的距离，熟练掌握中点的定义和线段的和差关系是解题的关键．
24. 已知：如图， ，在 的外部引射线 ，使 ，再画出 的角
平分线 ．
（1）请借助直尺和量角器补全图形；
（2）求 的度数．
以下是求 的度数的解题过程，
请你补充完整．
解：∵ ， ，
∴ ①_________ ．
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学科网（北京）股份有限公司∵ 平分 ，
∴ ②_________（③_________）（填写推理依据）．
∴ ④_________ ．
∴ ⑤_________ ．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）利用量角器和直尺画图；
（2）根据角平分线的定义和角的和差求解．
【小问1详解】
解：如图：
射线 ， 即为所求；
【小问2详解】
， ，
．
平分 ，
（角平分线的定义）．
．
．
【点睛】本题考查了作图和角平分线的定义，角的和差是解题的关键．
25. 目前，某城市“一户一表”居民用电实行阶梯电价，具体收费标准如下．
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学科网（北京）股份有限公司一户居民一个月用电量（单位：度） 电价（单位：元/度）
第1档 不超过180度的部分 0.5
第2档 超过180度的部分 0.7
（1）若该市某户12月用电量为200度，该户应交电费_________元；
（2）若该市某户12月用电量为x度，请用含x的代数式分别表示 和 时该户12月应交
电费多少元；
（3）若该市某户12月应交电费125元，则该户12月用电量为多少度？
【答案】（1）104 （2） ，
（3）230度
【解析】
【分析】（1）根据总价 单价 数量结合阶梯电价收费标准，即可求出结论；
（2）分 及 两种情况，用含 的代数式表示出该户12月应交电费；
（3）由（1）可得出 ，结合（2）的结论即可得出关于 的一元一次方程，解之即可得出结论．
【小问1详解】
解： ，
，
，
（元）．
故答案为：104．
【小问2详解】
当 时，该户12月应交电费为 元；
当 时，该户12月应交电费为 ，
，
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学科网（北京）股份有限公司（元）．
【小问3详解】
，
，
，
．
答：该户12月用电量为230度．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用、列代数式以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）根据
各数量之间的关系，列式计算；（2）根据各数量之间的关系，用含 的代数式表示出该户12月应交电费；
（3）找准等量关系，正确列出一元一次方程．
26. 我们规定：使得 成立的一对数 a，b 为“有趣数对”，记为 ．例如，因为
，所以数对 都是“有趣数对”．
（1）数对 中，是“有趣数对”的是_________；
（2）若 是“有趣数对”，求k的值；
（3）若 是“有趣数对”，求代数式 的值．
【答案】（1）
（2）
（3）16
【解析】
【分析】（1）利用“有趣数对”的定义进行判断即可；
（2）利用“有趣数对”的定义列出方程，解方程即可得出结论；
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学科网（北京）股份有限公司（3）先将代数式化简，再利用“有趣数对”的定义得出 ， 的关系式，最后利用整体代入的方法化简
运算即可．
【小问1详解】
解： ， ，
，
数对 是“有趣数对”；
， ，
，
数对 不是“有趣数对”；
， ，
，
数对 ， 不是“有趣数对”．
综上，是“有趣数对”的是 ，
故答案为： ；
【小问2详解】
是“有趣数对”，
，
，
，
；
【小问3详解】
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学科网（北京）股份有限公司，
是“有趣数对”，
．
原式
．
【点睛】本题主要考查了有理数的乘法，整式的加减与化简求值，本题是阅读型题目，理解新定义并熟练
运用是解题的关键．
27. 已知 ， 是过点O的射线，射线 分别平分 和 ．
（1）如图1，若 是 的三等分线，则 _________ ；
（2）如图2，在 内，若 ，则 _________；（用含 的代数式表示）
（3）如图3，若 ，将 绕着点O逆时针旋转到 的外部
，请直接写出此时 的度数．
【答案】（1）100 （2）
（3） 或
第19页/共27页
学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】（1）根据角平分线的定义得到 ， ，
，则 ；
（2） ， ， ，
，则 ；
（3）反向延长 、 得到 、 ，然后分类讨论：当 在 内部，当 、 在
内部，当 在 内部三种情况分别求解即可．
【小问1详解】
解： 、 是 的三等分线，
，
射线 、 分别平分 和 ，
， ，
；
【小问2详解】
射线 、 分别平分 和 ，
， ，
，
， ，
，
，
第20页/共27页
学科网（北京）股份有限公司；
故答案为： ；
【小问3详解】
反向延长 、 得到 、 ，如图，
当 在 内部，
设 ，则 ，
， ，
， ，
，
；
当 、 在 内部，
设 ，则 ，
，
∵ ，
∴ ，
第21页/共27页
学科网（北京）股份有限公司∴ ；
当 在 内部，
设 ，则 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
第22页/共27页
学科网（北京）股份有限公司综上： 的度数为 或 ．
【点睛】本题考查了角度的计算，理清角的关系是解题的关键．
28. 对于数轴上两条线段 ，给出如下定义：若线段 的中点H与线段 上点的最小距离不超
过1，则称线段 是线段 的“限中距线段”．
已知：如图，在数轴上点P，M，N表示的数分别为 ，1，2．
（1）设点Q表示的数为m，若线段 是线段 的“限中距线段”，
①m的值可以是_________；
A．1 B．6 C．14
②m的最大值是_________；
（2）点P从 出发，以每秒1个单位的速度向右运动，运动时间为t秒．
当 时，若线段 的“限中距线段” 的长度恰好与 的值相等，求出 的中点H所表
示的数；
（3）点P从 出发，以每秒1个单位的速度向右运动，同时线段 以每秒2个单位的速度向左运动，
设运动时间为t秒．若对于线段 上任意一点Q，都有线段 是线段 的“限中距线段”，则t的
最小值为_________，最大值为_________．
第23页/共27页
学科网（北京）股份有限公司【答案】（1）①B；②12
（2）
（3） ，
【解析】
【分析】（1） 的中点表示的数是 ，可得 ，故 ，①由 可得
答案；②由 得 的最大值为12；
（2）设 表示的数是 ，根据线段 的“限中距线段” 的长度恰好与 的值相等，且
，有 ，可得 ，即可得 的中点 所表示的数是 ；
（3）根据题意， 表示的数是 ， 表示的数是 ， 表示的数是 ，设 表示的数是 ，
则 ，又线段 是线段 的“限中距线段”，有 ，从而
，由 得 ，由 得 ，即可得答案．
【小问1详解】
解： 表示的数是 ， 表示的数是 ，
的中点表示的数是 ，
根据题意得 ，
，
①由 可知，当 时，线段 是线段 的“限中距线段”，
故答案为：B；
第24页/共27页
学科网（北京）股份有限公司②由 可知，线段 是线段 的“限中距线段“， 的最大值为12，
故答案为：12；
【小问2详解】
设 表示的数是 ，根据题意知 表示的数是 ，
的中点 所表示的数是 ，
线段 的“限中距线段” 的长度恰好与 的值相等，且 ，
，
，
，
的中点 所表示的数是 ；
【小问3详解】
根据题意， 表示的数是 ， 表示的数是 ， 表示的数是 ，
设 表示的数是 ，则 ，
线段 是线段 的“限中距线段”，
，
解得 ，
由 得 ，
由 得 ，
，
第25页/共27页
学科网（北京）股份有限公司最小值为 ，最大值为 ，
故答案为： ， ．
【点睛】本题教材一元一次方程和一元一次不等式组的应用，涉及新定义，解题的关键是读懂题意，理解
“限中距线段”的概念．
第26页/共27页
学科网（北京）股份有限公司第27页/共27页
学科网（北京）股份有限公司
