2015年普通高等学校招生全国统一考试
山东卷文科数学试题
第Ⅰ卷（共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合要求的．
1. 已知集合A=x|2< x<4，B={x（| x-1)(x-3）<0}，则A B=( )
（A） 1,3 （B） 1,4 （C） 2,3 （D） 2,4
z
2. 若复数Z满足 =i，其中i为虚数单位，则Z=( )
1-i
（A）1-i （B）1+i （C）-1-i （D）-1+i
3. 设a=0.60.6，b=0.61.5，c=1.50.6，则a，b，c的大小关系是( )
（A）a＜b＜c （B）a＜c＜b （C）b＜a＜c （D）b＜c＜a
[来源:学|科|网]
p
4. 要得到函数y =si（n 4x- ）的图象，只需要将函数y =sin4x的图象（ ）
3
p p
（A）向左平移 个单位 （B）向右平移 个单位
12 12
p p
（C）向左平移 个单位 （D）向右平移 个单位
3 3
5. 设mÎR,命题“若m>0,则方程x2 +x-m=0有实根”的逆否命题是( )
（A）若方程x2 +x-m=0有实根，则m>0
(B) 若方程x2 +x-m=0有实根，则m£0
(C) 若方程x2 +x-m=0没有实根，则m>0
(D) 若方程x2 +x-m=0没有实根，则m£0
6.
为比较甲、乙两地某月14时的气温状况，随机选取该月中的5天，将这5天中14时的气温数
据（单位：℃）制成如图所示的茎叶图.考虑以下结论：
第1页 | 共11页①甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温；
②甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温；
③甲地该月14时的平均气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差；
④甲地该月14时的平均气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差.
其中根据茎叶图能得到的统计结论的标号为( )
（A）①③ (B) ①④ (C) ②③ (D) ②④
1
7. 在区间0,2上随机地取一个数x,则事件“-1£log（x+ ）£1”发生的概率为(
1 2
2
)
3 2 1 1
（A） （B） （C） （D）
4 3 3 4
2x +1
8. 若函数 f(x)= 是奇函数，则使 （f x）>3成立的x的取值范围为( )
2x -a
（A）( ) (B)( ) （C）（0,1） （D）（1,+¥）
9.
已知等腰直角三角形的直角边的长为，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成
的曲面所围成的几何体的体积为( )
2 2 4 2
（A） p （B） p （C） （D）
3 3 2 2p 4 2p
ì3x-b,x<1 5
10.设函数 f(x)=í ，若 f(f( ))=4，则b= ( )
î 2x,x³1 6
7 3 1
（A）1 （B） （C） (D)
8 4 2
第2页 | 共11页第Ⅱ卷（共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．
11. 执行右边的程序框图，若输入的x的值为1，则输出的y的值是 .
ìy-x£1
ï
12. 若x,y满足约束条件íx+ y£3,则z = x+3y的最大值为 .
ï
y³1
î
13. 过点P（1，3）作圆x2 + y2 =1的两条切线，切点分别为A,B，则PA×PB= .
x2 - y2
14. 定义运算“Ä”： xÄy = （x，yÎR,xy ¹0）.当x>0，y >0时，
xy
xÄy+(2y)Äx的最小值是 .
15.
x2 y2
过双曲线C： - =1（a>0,b>0）的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C于点
a2 a2
P.若点P的横坐标为2a,则C的离心率为 .
三、解答题：本大题共6小题，共75分．
16. （本小题满分12分）
[来源:Z*xx*k.Com]
某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：（单位：
人）
[来源:学|科|网]
参加书法社团 未参加书法社团
参加演讲社团 8 5
未参加演讲社团 2 30
（1）从该班随机选1名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率；
（2）在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学
A，A，A，A，A , 3名女同学B，B，B .现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1
1 2 3 4 5 1 2 3
人，求A被选中且B 未被选中的概率.
1 1
第3页 | 共11页17. (本小题满分12分)
DABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c.已知
3 6
cos B= ,sin (A+B)= ,ac=2 3
3 9
求sinA 和c 的值.
18. 如图，三棱台DEF -ABC 中，AB=2DE，G，H 分别为AC，BC的中点.
（I）求证：BD//平面FGH ；
（II）若CF ^ BC，AB^ BC，求证：平面BCD^平面EGH .
第4页 | 共11页19. （本小题满分12分）
ì 1 ü n
已知数列a 是首项为正数的等差数列，数列í ý的前n项和为 .
n a ·a 2n+1
î þ
n n+1
（I）求数列a 的通项公式；
n
（II）设b =a +1×2a n，求数列b 的前n项和T .
n n n n
20. (本小题满分13分)
设函数 . 已知曲线
在点(1, f(1))处的切线与直线 平行.
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）是否存在自然数k，使得方程 f(x)= g(x)在 (k,k+1)内存在唯一的根？如果存在
，求出k；如果不存在，请说明理由；
（Ⅲ）设函数m(x)=min{f(x),g(x)}（min{p,q}表示， p,q中的较小值），求mx
的最大值.
第5页 | 共11页21. (本小题满分14分)
[来源:学科网ZXXK]
x2 y2 3
平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C： + =1(a>b>0)的离心率为 ，且点
a2 b2 2
1
（ 3， ）在椭圆C上.
2
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
x2 y2
（Ⅱ）设椭圆E： + =1，P为椭圆C上任意一点，过点 P的直线
4a2 4b2
y=kx+m交椭圆E于A,B两点，射线PO交椭圆E于点Q.
|OQ|
（i）求 的值；
|OP|
(ii)求DABQ面积的最大值.
第6页 | 共11页2015年普通高等学校招生全国统一考试
山东卷文科数学试题答案
一、选择题：
CACBD BACBD
二、填空题：
3
（11）13；（12）7；（13） ；（14） 2 ；（15）2+ 3；
2
三、解答题：
（16）参考答案：
（1）由调查数据可知，既未参加书法社团又未参加演讲社团的有30人，故至少参加上述
一个社团的共有45-30=15人，所以从该班级随机选1名同学，该同学至少参加上述一个
15 1
社团的概率为P= = .
45 3
(2)从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，其一切可能的结果组成的基本事件有：
{A,B},{A,B },{A,B },{A ,B},{A ,B },{A ,B },{A ,B},{A ,B },{A ,B },
1 1 1 2 1 3 2 1 2 2 2 3 3 1 3 2 3 3
{A ,B},{A ,B },{A ,B },{A ,B},{A ,B },{A ,B }，共15个. 学科网
4 1 4 2 4 3 5 1 5 2 5 3
根据题意，这些基本事件的出现是等可能的.
事件“A被选中且B 未被选中”所包含的基本事件有：{A,B },{A,B }，共2个.
1 1 1 2 1 3
2
因此A被选中且B 未被选中的概率为P= .
1 1 15
（17）参考答案：
3 6
在DABC中，由cosB= ，得sinB= .
3 3
6
因为A+B+C =p，所以sinC =sin(A+B)= ，
9
5 3
因为sinC <sinB，所以C < B，C为锐角，cosC = ，
9
6 5 3 3 6 2 2
因此sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC = ´ + ´ = .
3 9 3 9 3
第7页 | 共11页2 2
c
a c csinA 3
由 = ,可得a= = =2 3c，又ac=2 3，所以c=1.
sinA sinC sinC 6
9
（18）参考答案：
（I）证法一：连接DG,CD.设CDÇGF =M ,连接MH ，在三棱台DEF -ABC 中，
AB=2DE，G分别为AC的中点，可得DF //GC,DF =GC ，所以四边形DFCG是平
行四边形，则M 为CD的中点，又H 是BC的中点，所以HM //BD,
又HM Ì平面FGH ，BDË平面FGH ，所以BD//平面FGH .
证法二：在三棱台DEF -ABC 中，由BC =2EF,H 为BC的中点，
可得BH //EF,BH = EF,所以HBEF 为平行四边形，可得BE//HF.
在DABC中，G，H 分别为AC，BC的中点，
所以GH //AB,又GH ÇHF = H ，
所以平面FGH //平面ABED，
因为BDÌ平面ABED，
所以BD//平面FGH .
(II)证明：连接HE.因为G，H 分别为AC，BC的中点，所以GH //AB,由AB^ BC,
得GH ^ BC，又H 为BC的中点，所以EF //HC,EF = HC,因此四边形EFCH 是平行
四边形，所以CF //HE.
又CF ^ BC，所以HE ^ BC .
又HE,GH Ì平面EGH ，HEÇGH = H ，所以BC ^平面EGH ，
又BC Ì平面BCD，所以平面BCD^平面EGH.
（19）参考答案：
（I）设数列a 的公差为d ，
n
1 1
令n=1,得 = ，所以aa =3.
aa 3 1 2
1 2
第8页 | 共11页1 1 2
令n=2,得 + = ，所以a a =15.
aa a a 5 2 3
1 2 2 3
解得a =1,d =2，所以a =2n-1.
1 n
（II）由（I）知b =2n×22n-4 =n×4n,所以T =1×41+2×42 +......+n×4n,
n n
所以4T =1×42 +2×43 +......+(n-1)×4n +n×4n+1,
n
两式相减，得-3T =41+42 +......+4n -n×4n+1
n
4(1-4n) 1-3n 4
= -n×4n+1 = ´4n+1- ,
1-4 3 3
3n-1 4 4+(3n-1)×4n+1
所以T = ´4n+1+ = .
n 9 9 9
（20）参考答案：
（I）由题意知，曲线 在点 (1, f(1))处的切线斜率为2，所以 f '(1)=2，
a
又 f '(x)=lnx+ +1,所以a=1.
x
（II）k =1时，方程 f(x)= g(x)在(1,2)内存在唯一的根.
x2
设h(x)= f(x)-g(x)=(x+1)lnx- ,
ex
当xÎ(0,1]时，h(x)<0.
4 4
又h(2)=3ln2- =ln8- >1-1=0,
e2 e2
所以存在x Î(1,2)，使h(x )=0.
0 0
1 x(x-2) 1
因为h'(x)=lnx+ +1+ ,所以当xÎ(1,2)时，h'(x)>1- >0，当
x ex e
xÎ(2,+¥)时，h'(x)>0，
所以当xÎ(1,+¥)时，h(x)单调递增.
所以k =1时，方程 f(x)= g(x)在(k,k+1)内存在唯一的根.
（III）由（II）知，方程 f(x)= g(x)在(1,2)内存在唯一的根x ，且xÎ(0,x )时，
0 0
第9页 | 共11页ì(x+1)lnx,xÎ(0,x ]
ï 0
f(x)< g(x)，xÎ(x ,+¥)时， f(x)> g(x)，所以m(x)=í x2 .
0
,xÎ(x ,+¥)
ï
î ex 0
当xÎ(0,x )时，若xÎ(0,1],m(x)£0;
0
1
若xÎ(1,x ),由m'(x)=lnx+ +1>0,可知0<m(x)£m(x );故m(x)£m(x ).
0 x 0 0
x(2-x)
当xÎ(x ,+¥)时，由m'(x)= ,可得xÎ(x ,2)时，m'(x)>0,m(x)单调递增；
0 ex 0
xÎ(2,+¥)时，m'(x)<0,m(x)单调递减；
[来源:学科网]
4
可知m(x)£m(2)= ,且m(x )<m(2).
e2 0
4
综上可得函数m(x)的最大值为 .
e2
（16）参考答案：
3 1 a2 -b2 3
（I）由题意知 + =1,又 = ，解得a2 =4,b2 =1，
a2 4b2 a 2
x2
所以椭圆C的方程为 + y2 =1.
4
x2 y2
（II）由（I）知椭圆E的方程为 + =1.
16 4
|OQ|
（i）设P(x ,y ), =l,由题意知Q(-lx ,-ly ).
0 0 |OP| 0 0
x 2 (-lx )2 (-ly )2 l2 x 2
因为 0 + y 2 =1.又 0 + 0 =1，即 ( 0 + y 2)=1.
4 0 16 4 4 4 0
|OQ|
所以l=2，即 =2.
|OP|
（ii）设A(x ,y ),B(x ,y ),将y =kx+m代入椭圆E的方程，可得
1 1 2 2
(1+4k2)x2 +8kmx+4m2 -16=0，由D>0,可得m2 <4+16k2………………①
第10页 | 共11页8km 4m2 -16 4 16k2 +4-m2
则有x +x =- ,x x = .所以|x -x |= .因为直线
1 2 1+4k2 1 2 1+4k2 1 2 1+4k2
y =kx+m与y轴交点的坐标为(0,m)，所以DOAB的面积
1 2|m| 16k2 +4-m2 2 (16k2 +4-m2)m2
S = |m||x -x |= =
2 1 2 1+4k2 1+4k2
m2 m2
=2 (4- ) .
1+4k2 1+4k2
m2
设 =t.将直线y =kx+m代入椭圆C的方程，可得
1+4k2
(1+4k2)x2 +8kmx+4m2 -4=0，由D³0,可得m2 £1+4k2………………②
由①②可知0<t £1,S =2 (4-t)t =2 -t2 +4t.故S £2 3.
当且仅当t =1，即m2 =1+4k2时取得最大值2 3.
由（i）知，DABQ的面积为3S，所以DABQ面积的最大值为6 3.
第11页 | 共11页
