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东城区 2019-2020 学年度第一学期期末统一检测
一、选择题（本题共16分，每小题2分）
1. 我国是一个多民族国家，民俗文化丰富多彩．下面是几幅具有浓厚民族特色的图案，其中既是轴对称图
形，又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念可知
【详解】A选项 是轴对称图形而不是中心对称图形，故错误；
B选项 既是轴对称图形也是中心对称图形，故正确
C选项 是轴对称图形而不是中心对称图形，故错误
D选项 是轴对称图形而不是中心对称图形，故错误
故选：B
【点睛】本题考查轴对称及中心对称的定义，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念，要注意：轴对称图
形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原
图重合.
2. 如图 ABCD，F为BC中点，延长AD至E，使 ，连结EF交DC于点G，则
▱
＝（ ）
A. 2：3 B. 3：2 C. 9：4 D. 4：9
【答案】D
【解析】
【分析】先设出 ，进而得出 ，再用平行四边形的性质得出 ，进而求出CF，最后用相似三角形的性质即可得出结论．
【详解】解：设 ，
∵ ，
∴ ，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ ， ，
∵点F是BC的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选D．
【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，中点的定义，表示出CF是解本题
的关键．
3. 抛物线y＝ 的对称轴是（ ）
A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线
【答案】C
【解析】
【分析】直接利用y＝ 图象的性质得出其对称轴．
【详解】解：抛物线y＝ 的对称轴是直线
故选：C
【点睛】此题主要考查了二次函数的性质，正确掌握简单二次函数的图象是解题关键．4. 如图， 是 的直径，点 是圆上两点，且 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据邻补角的定义求出∠BOC的度数，然后根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半求解．
【详解】解：∵
∴∠BOC=180°
∴
故选：A．
【点睛】本题考查圆周角定理，掌握同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半是解题关键．
5. 将抛物线 向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律平移则可．
【详解】按照“左加右减，上加下减”的规律，y将抛物线y＝2x2−1向左平移1个单位，再向下平移2个
单位，所得抛物线的解析式为y＝2（x＋1）2−1−2，即y＝2（x＋1）2−3，
故选：B．
【点睛】本题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减．
6. 根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形外心的是（ ）A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据三角形外心的定义得到三角形外心为三边的垂直平分线的交点，然后利用基本作图对各选项
进行判断．
【详解】三角形外心为三边的垂直平分线的交点，由基本作图得到 C选项作了两边的垂直平分线，从而可
用直尺成功找到三角形外心．
故选C．
【点睛】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知
角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了三角形的外
心．
7. 在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标是(－2，0)，点B的坐标是(0，6)，将线段AB绕点B逆时针旋转
90°后得到线段A'B．若反比例函数y＝ 的图象恰好经过A'点，则k的值是（ ）
A. 9 B. 12 C. 15 D. 24
【答案】D
【解析】
【分析】利用平面直角坐标系特点和旋转的性质确定 的坐标，然后根据反比例函数图象上点的坐标特征
求出k的值. .
【详解】解:如图，将线段AB绕点B逆时针旋转90°后得到线段A'B,则 点的坐标为(6. 4),∵反比例函数 的图象恰巧经过A'点, .
∴
∴
故选: D.
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及旋转特征，会用旋转特征求得A'坐标及用待定系
数法求反比例函数解析式是解题的关键.
8. 如图，将 ABC绕点C顺时针旋转得到 DEC，使点A的对应点D恰好落在边AB上，点B的对应点为
E，连接BE，△下列四个结论：①AC=AD；△② AB⊥EB；③BC=EC；④∠A=∠EBC；其中一定正确的是（
）
A. ② B. ②③ C. ③④ D. ②③④
【答案】C
【解析】
【分析】根据旋转的性质得到 BC=CE ,AC=CD，AB=DE，故 错误， 正确；得到
∠ACD=∠BCE，根据三角形的内角和得到∠A=∠ADC= ，∠CBE= ，求得
∠A=∠EBC，故 正确；由于∠A+∠ABC不一定等于90°，可以得到∠ABC+∠CBE不一定等于
90°，故 错误.
【详解】解：∵△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，
∴AC=CD，BC=CE，AB=DE，故 错误， 正确；∴∠ACD=∠BCE，
∴
∴∠A=∠EBC，故 正确
∵∠A+∠ABC不一定等于90°
∴∠ABC+∠CBE不一定等于90°，故 错误
故选 C
【点睛】本题考查了旋转 的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和，正确的运用旋转的性质，等腰
三角形的性质是解题的关键.
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9. 写出一个二次函数，其图象满足：①开口向下；②与y轴交于点（0，2），这个二次函数的解析式
可以是______．
【答案】 （答案不唯一）
【解析】
【分析】根据抛物线开口方向得出a的符号，进而得出c的值，即可得出二次函数表达式.
【详解】解：∵图象为开口向下，并且与y轴交于点（0，2），
∴a＜0，c=2，
∴二次函数表达式为：y=-x2+2（答案不唯一）．
故答案为y=-x2+2（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了二次函数的图像特征及性质，掌握二次函数的图像特征及性质是解题的关键.
10. 某毛绒玩具厂对一批毛绒玩具进行质量抽检，相关数据如下：
抽取的毛绒玩具数
20 50 100 200 500 1000 1500 2000
优等品的频数 19 47 91 184 462 921 1379 1846
优等品的频率 0.950 0.940 0.910 0.920 0.924 0.921 0.919 0.923
从这批玩具中，任意抽取的一个毛绒玩具是优等品的概率的估计值是__．（精确到
【答案】0.92
【解析】
【分析】由表格中的数据可知优等品的频率在0.92左右摆动，利用频率估计概率即可求得答案．
【详解】观察可知优等品的频率在0.92左右，所以从这批玩具中，任意抽取的一个毛绒玩具是优等品的概率的估计值是0.92，
故答案为：0.92
【点睛】本题考查了利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并
且摆动的幅度越来越小，由此可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
用频率估计概率的近似值，随着实验次数的增多，值越来越精确．
11. 在数学拓展课上，小聪发现：若一条直线经过平行四边形对角线的交点，则这条直线平分该平行四边
形的面积．下图是由5个边长为1的小正方形拼成的图形，P是其中4个小正方形的公共顶点．请你在小
聪的启发下，经过点P画一条直线，把下图分成面积相等的两部分______．(画出直线，保留画图痕迹)
【答案】见解析.
【解析】
【分析】根据正方形的性质和中心对称即可画出图形
【详解】解：如图所示:P、Q为所在正方形的对称中心，经过P、Q点的直线将所在正方形的面积分成相
等的两部分.
所以沿着经过P、Q的直线把图形剪成面积相等的两部分
【点睛】本题考查了正方形的性质、中心对称的性质、解决本题的关键是理解正方形的对称中心是对角线
的交点，经过该交点的直线将正方形的面积分成相等的两部分.
12. 在平面直角坐标系xOy中，若点A（﹣1，y），B（2，y），C（3，y）在反比例函数y
1 2 3
的图象上，则y，y，y 的大小关系是______．
1 2 3
【答案】
【解析】
【分析】根据反比例函数的性质，图象在二、四象限，在双曲线的同一支上，y随x的增大而增大，则0＜
y＜y，而y＜0，则可比较三者的大小．
1 2 3
【详解】∵k>0，∴图象在一、三象限，
∵﹣1＜0＜2＜3
∴ ，
∴ ，
故填：
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点 的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
13. 《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有道歌谣算题：“今有竿不
知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问杆长几何？”歌谣的意思是：有一根
竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五，同时立一根一尺五的小标杆，它的影长五寸（提示：
仗和尺是古代的长度单位，1丈＝10尺，1尺＝10寸），可以求出竹竿的长为_____尺．
【答案】45
【解析】
【分析】根据同一时刻物高与影长成正比可得出结论．
【详解】解：设竹竿的长度为x尺，
∵竹竿的影长＝一丈五尺＝15尺，标杆长＝一尺五寸＝1．5尺，影长五寸＝0．5尺，
∴ ，
解得x＝45（尺）．
故答案为：45．
【点睛】本题考查的是同一时刻物高与影长成正比，在解题时注意单位要统一．
14. 如图，⊙ 上三点 ， ， ，半径 ， ，⊙ 的切线 交 延长线于点 ，
从现图中选取一条以P为端点的线段，此线段的长为_____．（注明选取的线段）
【答案】PA= （答案不唯一）
【解析】【分析】连接OA，根据圆周角定理求出∠AOP，根据切线的性质求出∠OAP=90°，解直角三角形可求出
AP
【详解】解：连接OA
∵∠ABC=30°，
∴∠AOC=2∠ABC=60°
∵AP是 的切线
∴∠OAP=90°
∴OA=OC=1
∴AP=OAtan60°= =
故答案为：PA= （答案不唯一）
【点睛】本题考查了切线的性质和圆周角定理、解直角三角形等知识点，能熟记切线的性质是解此题的关
键.
15. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，∠ABC=60°，AB=2，分别以点A、点C为圆心，
以AO的长为半径画弧分别与菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为______．（结果保留 ）
【答案】
【解析】
【分析】根据菱形的性质得到AC⊥BD，∠AB0= ∠ABC=30°，∠BAD=∠BCD=120°，根据直角三角
形的性质求出AC、BD，根据扇形面积公式、菱形面积公式计算即可.
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∠AB0= ∠ABC=30°，∠BAD=∠BCD=120°
∴AO= AB=1，由勾股定理得，
又∵AC=2，BD=2 ，
∴调影部分的面积为：
故答案为
【点睛】本题考查的是扇形面积计算、菱形的性质，掌握扇形面积公式是解题的关键.
16. 如图，在⊙O中，半径OC=6，D是半径OC上一点，且 OD=4．A，B是⊙O上的两个动点，
∠ADB=90°，F是AB的中点，则OF的长的最大值等于______．
【答案】2+
【解析】
【分析】当点F与点D运动至共线时，OF长度最大，因为此时F是AB的中点，则OF⊥AB,因为半径不变，
当AB长度最短时，OF最大，此时A. B关于0C对称，解直角三角形即可求得OF的长度.
【详解】解: 当点F与点D运动至共线时，OF长度最大，如图，
∵F是AB的中点，
∴OC⊥AB,
设OF为x，则DF=x-4∵△ABD是等腰直角三角形,
∴DF= AB=BF=x-4,
在Rt△BOF中， ,
∴OB=OC=6,
∴
解得 或 (舍去)
∴OF的长的最大值等于 .
故答案为2+√14.
【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理的应用等，确定点F与点D运动至共线时，OF长度最大是解题
的关键.
三．解答题（本题共68分，第17-20题，每小题5分，第21题4分，第22-26题，每小题6
分，第27，28题每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17. 如图，在 ABC中，点D是AB边上的一点．
△
（1）请用尺规作图法，在 ABC内，求作∠ADE．使∠ADE=∠B，DE交AC于点E；（不要求写作法，
保留作图痕迹） △
（2）在（1）的条件下，若 =2，AC=6，求AE的值．
【答案】（1）如图所示，∠ADE为所作.见解析；（2）AE=4 .
【解析】
【分析】(1)利用基本作图(作一个角等于已知角)作出∠ADE=∠B;
(2)先利用作法得到∠ADE=∠B，则可判断DE//BC.然后根据平行线分线段成比例定理求解.
【详解】（1）如图所示，∠ADE为所作.（2）∵∠ADE=∠B，
∴DE∥BC.
.
∴ =
∵ =2，AC=6，
∴AE=4 .
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质及基本作图，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键.
18. 如图所示，AB是⊙O的直径，弦 于H， ，则⊙O的半径是_______．
【答案】2
【解析】
【分析】连接BC，由圆周角定理和垂径定理得出 ，由直角三角
形的性质得出 ，得出 ，求出
即可．
【详解】解：连接BC，如图所示：
∵AB是⊙O的直径，弦 于H，，
，
在 中， ，
，
即⊙O的半径是2；
故答案为2
【点睛】考查的是垂径定理、圆周角定理、含 角的直角三角形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握圆
周角定理和垂径定理是解题的关键．
19. 二次函数y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
x … -2 -1 0 1 2 …
y=ax2+bx+
… t m -2 -2 n …
c
根据以上列表，回答下列问题：
（1）直接写出c的值和该二次函数图象的对称轴；
（2）写出关于x的一元二次方程ax2+bx+c=t的根；
（3）若m=-1，求此二次函数的解析式．
【答案】（1）c=-2，对称轴为直线 ；（2）-2,3是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=t的根；（3）
【解析】
【分析】(1)根据表格中对应值可知对称轴的值和抛物线与y轴的交点，即可求得c的值;
(2)根据二次函数的对称性即可求得;(3)根据待定系数法求得即可.
【详解】（1）c=-2，对称轴为直线 .
（2）由对称性可知，-2,3是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=t的根.
（3） 由题意知，二次函数的图象经过点（-1，-1），（0，-2），（1，-2）.
∴
解得
∴ 二次函数的解析式为
【点睛】本题考查的是二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数的解析式，
能熟练求解函数对称轴是解题的关键.
20. 2019年中国北京世界园艺博览会(以下简称“世园会”)于4月29日至10月7日在北京延庆区举行．世园
会为满足大家的游览需求，倾情打造了4条各具特色的趣玩路线，分别是： ．“解密世园会”、 ．“爱我
家，爱园艺”、 ．“园艺小清新之旅”和 ．“快速车览之旅”．李欣和张帆都计划暑假去世园会，他们各
自在这4条线路中任意选择一条线路游览，每条线路被选择的可能性相同．
(1)李欣选择线路 ．“园艺小清新之旅”的概率是多少？
(2)用画树状图或列表的方法，求李欣和张帆恰好选择同一线路游览的概率．
【答案】(1) ；(2)
【解析】
【分析】(1)由概率公式即可得出结果；
(2)画出树状图，共有16种等可能的结果，李欣和张帆恰好选择同一线路游览的结果有4种，由概率公式
即可得出结果．
【详解】解：(1)在这四条线路任选一条，每条被选中的可能性相同，∴在四条线路中，李欣选择线路 ．“园艺小清新之旅”的概率是 ；
(2)画树状图分析如下：
共有16种等可能的结果，李欣和张帆恰好选择同一线路游览的结果有4种，
∴李欣和张帆恰好选择同一线路游览的概率为 ．
【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有
可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：
概率=所求情况数与总情况数之比．
21. 如图，在正方形网格中，将格点△ABC绕某点顺时针旋转α（0＜α＜180°）得到格点△ABC ，点A与
1 1 1
A，点B与B，点C与C 是对应点．
1 1 1
（1）请通过画图找出旋转中心M．
（2）直接写出旋转角α的度数为____．
【答案】（1）见解析；（2）90°
【解析】
【分析】（1）连接CC 、AA，再分别作两线段的中垂线，两中垂线的交点即为所求；
1 1
（2）连接CM、C M，结合网格特点可得旋转角∠CMC ＝α＝90°．
1 1
【详解】解：（1）如图所示，点M即为所求；（2）如图所示，∠CMC ＝α＝90°，
1
故答案为：90°．
【点睛】本题主要考查作图−旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的定义和性质．
22. 在平面直角坐标系xOy中，反比例函数 的图象和 都在第一象限内， ，
轴，且 ，点 的坐标为 ．
（1）若反比例函数 的图象经过点B，求此反比例函数的解析式；
（2）若将 向下平移 （m>0）个单位长度， ， 两点的对应点同时落在反比例函数图象上，求
的值．
【答案】（1） ； (2) .
【解析】
【分析】(1)根据已知求出B与C点坐标，然后根据待定系数法即可求得反比例函数的解析式;
(2)表示出相应的平移后A与C坐标，将之代入反比例函数表达式即可求解.
【详解】（1） ， ，点 ，， .
∵反比例函数 的图象经过点B，
∴此反比例函数的解析式为 .
(2)将 向下平移 个单位长度，设A，C的对应点分别为A'，C'.
∴A'(3,5-m)，C'(5, -m).
∵A'，C'两点同时落在反比例函数图象上，
，
.
【点睛】本题考查反比例函数的图象及性质;熟练掌握等腰三角形的性质，通过等腰三角形求出点的坐标是
解题的关键.
23. 为迎接国庆节，某商店购进了一批成本为每件30元的纪念商品．经调查发现，该商品每天的销售量
（件 与销售单价 （元 满足一次函数关系，其图象如图所示．
（1）求该商品每天的销售量 与销售单价 的函数关系式；
（2）若商店按不低于成本价，且不高于60元的单价销售，则销售单价定为多少，才能使销售该商品每天
获得的利润 （元 最大？最大利润是多少？
【答案】（1） ；（2）销售单价定为55元时，该商店每天获得的利润最大，最大利润是
1250元.【解析】
【分析】(1)将点(30，100)、(45,700)代入--次函数表达式,即可求解；
(2)由题意得 ,即可求解.
【详解】（1）设销售量 与销售单价 之间的函数关系式为 ，
将点 、 代入，得 .
解得 .
∴函数的关系式为：
（2）由题意得
，且30≤x≤60.
当 时， 取得最大值，此时 .
∴销售单价定为55元时，该商店每天获得的利润最大，最大利润是1250元.
【点睛】此题主要考查了二次函数的应用、待定系数法求一次函数解析式等知识， 解答时求出函数的解
析式是关键.
24. 如图，在Rt ACB中，∠C=90°，AC=3，BC=4，O是BC的中点，到点O的距离等于 BC的所有点组
△
成的图形记为G，图形G与AB交于点D．
（1）补全图形并求线段AD的长；
（2）点E是线段AC上的一点，当点E在什么位置时，直线ED与 图形G有且只有一个交点？请说明理
由．
【答案】（1）补全图形见解析;AD= ；（2）当点E是AC的中点时，ED与图形G(⊙O)有且只有一个交点.证明见解析.
【解析】
【分析】(1)由勾股定理易求得AB的长;可连接CD，由圆周角定理知CD⊥AB,易知 ,可得
关于AC. AD.AB的比例关系式，即可求出AD的长度；
(2)当ED与 相切时，由切线长定理知EC=ED,则∠ECD=∠EDC,那么∠A和∠DEC就是等角的余角，
由此可证得AE=DE,即E是AC的中点、在证明时，可连接OD,证OD⊥DE即可.
【详解】（1）依题意画出⊙O，如图所示.
在Rt△ACB中，
∵AC=3，BC=4，∠ACB=90°，
∴AB=5.
连接CD，
∵BC为直径，
∴∠ADC=∠BDC=90°.
∵∠A=∠A，∠ADC=∠ACB，
∴Rt△ADC∽Rt△ACB.
∴ .
∴ .
（2）当点E是AC的中点时，ED与图形G(⊙O)有且只有一个交点.
证明：连接OD，
∵DE是Rt△ADC斜边上的中线,
∴ED=EC.
∴∠EDC=∠ECD.
∵OC=OD，
∴∠ODC=∠OCD.∴∠EDO=∠EDC+∠ODC=∠ECD+∠OCD=∠ACB=90°.
∴ED⊥OD.
∴ED与⊙O相切.
∴直线ED与图形G(⊙O)有且只有一个交点.
【点睛】本题考查的是直线与园的位置关系，相似三角形的判定和性质，掌握经过半径的外端且垂直于这
条半径的直线是圆的切线是解题的关键.
25. 如图，P是直径AB上的一点，AB=6，CP⊥AB交半圆 于点C，以BC为直角边构造等腰
Rt BCD，∠BCD=90°，连接OD．
△
小明根据学习函数的经验，对线段AP，BC，OD的长度之间的关系进行了探究．
下面是小明的探究过程，请补充完整：
（1）对于点P在AB上的不同位置，画图、测量，得到了线段AP，BC，OD的长度的几组值，如下表：
位置 位置 位置 位置 位置 位置
位置…
1 2 3 4 5 6
AP 0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 …
BC 6.00 5.48 4.90 4.24 3.46 2.45 …
OD 6.71 7.24 7.07 6.71 6.16 5.33 …
在AP，BC，OD的长度这三个量中，确定________的长度是自变量，________的长度和________的长度都
是这个自变量的函数；
（2）在同一平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当OD=2BC时，线段AP的长度约为________．
【答案】(1)AP，BC，OD或BC，AP，OD；(2)如图1或图2所示：见解析；(3)线段AP的长度约为4.5．
【解析】
【分析】（1）由函数的自变量及函数的定义即可得出答案；
（2）利用描点法画出图象即可.
（3）由数形结合的思想，直接观察图象，由x=4.5时所对应的两个函数值即可发现此时OD=2BC.
【详解】(1) 由表格可确定BC随着AP的变化而变化，BD随着BC的变化而变化，故AP、BC的长度是
自变量，OD或BC的长度和AP，OD的长度都是这个自变量的函数；
故答案为：AP，BC，OD或BC，AP，OD；在AP，BC，OD
(2)如图1或图2所示：图1 图2
(3)由表格可知：当AP=4时，BC=3.46,OD=6.16; 当AP=4时，BC=2.45,OD=5.33,
∴当OD=2BC时
由可知线段AP的长度约为4.5．
图3 图4
【点睛】本题考查的是动点的函数图象，此类问题主要是通过描点画出函数图象，根据函数关系，在图象
上或表格上查出相应的近似数值.
26. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=a -4ax与x轴交于A，B两点(A在B的左侧)．
(1)求点A，B的坐标；
(2)已知点C(2，1)，P(1，- a)，点Q在直线PC上，且Q点的横坐标为4．
①求Q点的纵坐标（用含a的式子表示）；
②若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．
【答案】(1)A(0,0)，B(4,0)；(2)①Q点的纵坐标为3+3a，②符合题意的a的取值范围是 -1≤a＜0．【解析】
【分析】（1）令y=0，则a -4ax=0，可求得A、B点坐标；
（2）①设直线PC的解析式为，将点P(1,- a)，C(2,1)代入可解得
由于Q点的横坐标为4，可求得Q点的纵坐标为3+3a
②当a＞0时，如图1，不合题意；当a＜0时，由图2，图3可知，3+3a≥0,可求出a的取值范围.
【详解】(1)令y=0，则a -4ax=0.
解得
∴ A(0,0)，B(4,0)
(2)①设直线PC的解析式为
将点P(1,- a)，C(2,1)代入上式，
解得
∴y=(1+ a)x-1-3a.
∵点Q在直线PC上，且Q点的横坐标为4，
∴Q点的纵坐标为3+3a
②当a＞0时，如图1，不合题意；
当a＜0时，由图2，图3可知，3+3a≥0.
∴a≥-1．
∴符合题意的a的取值范围是 -1≤a＜0．图1 图2 图3
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质;熟练掌握二次函数图象上点的特征，数形结合讨论交点
是解题的关键.
27. 在 ABC中，∠BAC=45°，CD⊥AB于点D，AE⊥BC于点E，连接DE．
△
(1)如图1，当 ABC为锐角三角形时，
①依题意补全△图形，猜想∠BAE与∠BCD之间的数量关系并证明；
②用等式表示线段AE，CE，DE的数量关系，并证明;
(2)如图2，当∠ABC为钝角时，依题意补全图形并直接写出线段AE，CE，DE的数量关系．
【答案】（1）①补全图形，如图1所示.见解析；猜想：∠BAE=∠BCD. 理由见解析；②见解析；（2）补
全图形，如图3所示. 见解析；线段AE，CE，DE的数量关系：CE- DE=AE.
【解析】
【分析】(1)①依题意补全图形，由直角三角形的性质得出∠BAE﹢∠B=90°,
∠BCD﹢∠B=90°即可得出∠BAE=∠BCD；
②在AE上截取AF=CE，可证出△ACD是等腰直角三角形，得出AD=CD,可证明△ADF≌△CDE，得出
DF=DE, ∠ADF=∠CDE，可推出∠CDE﹢∠FDC=∠EDF=90°.证出△EDF是等腰直角三角形，得出EF=，即可得出结论;
(2) 在CE上截取CF=AE，连接DF由CD⊥AD，AE⊥BC，可得∠EAD=∠DCF
由∠BAC=45°可得AD=CD，可证△ADE≌△CDF，可得ED=DF∠ADE=∠CDF，可推出∠EDF=90°可
得△EDF是等腰直角三角形故 ，即可得线段AE，CE，DE的数量关系.
【
详解】（1）①依题意，补全图形，如图1所示.
猜想：∠BAE=∠BCD.
理由如下：
∵CD⊥AB,AE⊥BC，
∴∠BAE﹢∠B=90°,
∠BCD﹢∠B=90°.
∴∠BAE=∠BCD.
②证明：如图2，在AE上截取AF=CE.
连接DF.
∵∠BAC=45°,CD⊥AB,
∴△ACD是等腰直角三角形.∴AD=CD.
又∠BAE=∠BCD,
∴△ADF≌△CDE（SAS）.
∴DF=DE, ∠ADF=∠CDE.
∵AB⊥CD,
∴∠ADF﹢∠FDC=90°.
∴∠CDE﹢∠FDC=∠EDF=90°.
∴△EDF是等腰直角三角形.
∴EF= .
∵AF+EF=AE,
∴CE+ DE=AE.
（2）依题意补全图形，如图3所示.
在CE上截取CF=AE，连接DF
∵CD⊥AD，AE⊥BC
∴∠ADC=∠AEC=90°
∴∠EAB+∠ABE=90°，∠DBC+∠DCF=90°，∠ABE=∠CBD
∴∠EAD=∠DCF
∵∠BAC=45°
∴∠DCA=45°
∴AD=CD
又∵CF=AE
∴△ADE≌△CDF
∴ED=DF
∠ADE=∠CDF∵∠CDF+∠ADF=90°
∴∠ADE+∠ADF=90°
∴∠EDF=90°
∴△EDF是等腰直角三角形
∴
∵CE=CF+EF
∴
∴线段AE，CE，DE的数量关系：CE- DE=AE.
故答案为：CE- DE=AE
【点睛】本题是四边形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质等腰直角三角形的判定与性质、直角三
角形的性质等知，证明三角形全等是解题的关键.
28. 如图，在平面直角坐标系xOy中，过⊙T外一点P引它的两条切线，切点分别为M，N，若
，则称P为⊙T的环绕点．
(1)当⊙O半径为1时，
①在 中，⊙O的环绕点是___________;
②直线y=2x+b与x轴交于点A，y轴交于点B，若线段AB上存在⊙O的环绕点，求b的取值范围；
（2）⊙T的半径为1，圆心为（0，t），以 为圆心， 为半径的所有圆构成图形
H，若在图形H上存在⊙T的环绕点，直接写出t的取值范围．【答案】（1）① .②b的取值范围为 或 .（2）
【解析】
【分析】（1）①根据环绕点的定义及作图找到 即可判断；
②当点B在y轴正半轴上时，根据环绕点的定义考虑以下两种特殊情况：线段AB与半径为2的⊙O相切时，
与当点B经过半径为1的⊙O时，分别求出此时的OB的长，即可得到可得b的取值范围，再由点B在y轴
负半轴上时同理可得b的取值；
（3）根据题意作出图形，求出OS与x轴正半轴的夹角为30°，得∠BOC=60°，图形H为射线OB与射线
OC围成的一个扇形区域（不包括点O，半径可无穷大），分当t≥0与t＜0时，根据环绕点的定义进行求
解.
【详解】（1）①如图，
∵P 在圆上，故不是环绕点，
1
P 引圆两条切线的夹角为90°，满足 ，故为⊙O的环绕点
2
P（0,2），∵PO=2OM，∠PMO=90°，∴∠MOP =30°，
3 3 3 3
同理：∠NOP =30°，∴ ，故为⊙O的环绕点
3
故填： ；
②半径为1的⊙O的所有环绕点在以O为圆心，半径分别为1和2的两个圆之间（如下图阴影部分所示，
含大圆，不含小圆）.
ⅰ)当点B在y轴正半轴上时，如图1，图2所示.
考虑以下两种特殊情况：线段AB与半径为2的⊙O相切时， ；
当点B经过半径为1的⊙O时，OB=1.因为线段AB上存在⊙O的环绕点，所以可得b的取值范围为 ；
②当点B在y轴负半轴上时，如图3，图4所示.
同理可得b的取值范围为 .
综上，b的取值范围为 或 .
（3）点 记为S,设OS与x轴正半轴的夹角为a
∵tana=
∴a=30°，
如图，圆S与x轴相切，过O点作⊙S的切线OC，
的
∵OC、OB都是⊙S 切线
∴∠BOC=2∠SOB=60°，当m取遍所有整数时 ，就形成图形H，
图形H为射线OB与射线OC围成的一个扇形区域（不包括点O，半径可无穷大）
当t≥0时，过T作OC的垂线，垂足为M，当TM＞2时，图形H不存在环绕点，OT=2TM，故t≤4，
当t＜0时，图形H上的点到T的距离都大于OT,当OT≥2时，图形H不存在⊙T环绕点，因此t＞-2，
综上： .
【点睛】此题主要考查圆的综合问题，解题的关键是根据题意理解环绕点的定义，根据三角函数、切线的
性质进行求解.
