2021年高考数学精选考点专项突破题集专题6.1直线的方程以及直线与圆的位置关系（教师版含解析）_2.2025数学总复习_2023年新高考资料_一轮复习_2023新高考一轮复习讲义+课件

专题 6.1 直线的方程以及直线与圆的位置关系 一、单选题 1、直线y＝k(x－2)＋3必过定点，该定点坐标是( ) A．(－2，3) B．(2，3) C．(3，－2) D．(3，2) 【答案】B 【解析】将直线方程化为点斜式得y－3＝k(x－2)，所以该直线过定点(2，3)，选B. 2、已知过点A(－2，m)和B(m，4)的直线与直线2x＋y－1＝0平行，则m的值为( ) A．0 B．－8 C．2 D．10 【答案】C A(2,m) B(m,4) 2x y10 【解析】过点 ， 的直线与直线 平行， 4m k  2 m2 ，解得m8，故选：C． 3、过点(2，1)且与直线3x−2y=0垂直的直线方程为( ) A．2x−3 y−1=0 B．2x+3 y−7=0 C．3x−2y−4=0 D．3x+2y−8=0 【答案】B 【解析】设要求的直线方程为2x+3 y+m=0，把点(2，1)代入可得4+3+m=0，解得m=-7． 可得要求的直线方程为2x+3 y−7=0. 故选B． 4、圆x2+ y2−2x−8 y+13=0截直线ax+ y−1=0所得的弦长为2√3，则a=( ) 4 3 A．− B．− C．√3 D．2 3 4 【答案】A 【解析】圆x2+ y2−2x−8 y+13=0,即(x−1) 2+(y−4) 2=4 则由垂径定理可得点到直线距离为√22−(√3) 2=1 |a+4−1| 4 根据点到直线距离公式可知d= =1,化简可得(a+3) 2=a2+1 ,解得a=− ,故选:A √a2+1 3 5、已知圆C与x轴的正半轴相切于点A，圆心在直线y=2x上，若点A在直线 的左上方且到 该直线的距离等于√2，则圆C的标准方程为( )A．(x−2) 2+(y+4) 2=4 B．(x+2) 2+(y+4) 2=16 C．(x−2) 2+(y−4) 2=4 D．(x−2) 2+(y−4) 2=16 【答案】D 【解析】圆C的圆心在直线y=2x上，∴可设C(a,2a)， 圆C与x轴正半轴相切与点A，∴a>0且圆C的半径r=2a，A(a,0). |a−0−4| ∵A到直线 的距离d=√2，∴d= =√2，解得：a=6或a=2， √1+1 ∴A(2,0)或A(6,0)， ∵A在直线 的左上方，∴A(2,0)，∴C(2,4)，r=4， ∴圆C的标准方程为：(x−2) 2+(y−4) 2=16,故选D. 6、(2020年高考全国Ⅱ卷理数)若过点(2，1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线 的距离为 ( ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由于圆上的点 在第一象限，若圆心不在第一象限， 则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限， 设圆心的坐标为 ，则圆的半径为 ， 圆的标准方程为 . 由题意可得 ， 可得 ，解得 或 ，所以圆心的坐标为 或 ， 圆心 到直线 的距离均为 ； 圆心 到直线 的距离均为 圆心到直线 的距离均为 ； 所以，圆心到直线 的距离为 . 故选：B． 7、(2018年高考北京卷理数)在平面直角坐标系中，记d为点P(cos θ，sin θ)到直线 的距离， 当θ，m变化时，d的最大值为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】 P为单位圆上一点，而直线 过点A(2，0)，所以d的最大 值为OA+1=2+1=3,故选C. 8、(2020届清华大学附属中学高三第一学期12月月考)已知直线 与圆 ： 相交于 ， 两点，若 为正三角形，则实数 的值为( ) A． B． C． 或 D． 或 【答案】D 【解析】由题意得，圆 的圆心坐标为 ，半径 . 因为 为正三角形，则圆心 到直线 的距离为 ， 即 ，解得 或 ，故选D. 9、(2020届山东省九校高三上学期联考)已知点 在圆 上，且 ，则点 的横坐标 为( ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题设点 ，点 在圆上， ， ， ， . 故选：A 10、(2020年高考北京)已知半径为1的圆经过点 ，则其圆心到原点的距离的最小值为( ) A． 4 B． 5 C． 6 D． 7 【答案】A【解析】设圆心 ，则 ， 化简得 ， 所以圆心 的轨迹是以 为圆心，1为半径的圆， 所以 ，所以 ， 当且仅当 在线段 上时取得等号， 故选：A． 11、(2018 年高考全国Ⅲ卷理数)直线 分别与 轴， 轴交于 ， 两点，点 在圆 上，则 面积的取值范围是( ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 直线 分别与 轴， 轴交于 ， 两点， ,则 . 点P在圆 上， 圆心为(2，0)，则圆心到直线的距离 . 故点P到直线 的距离 的范围为 ，则 . 故答案为A. 12、(2020年高考全国Ⅰ卷理数)已知⊙M： ，直线 ： ， 为 上 的动点，过点 作⊙M的切线 ，切点为 ，当 最小时，直线 的方程为( )A． B． C． D． 【答案】D 【解析】圆的方程可化为 ，点 到直线 的距离为 ，所 以直线 与圆相离． 依圆的知识可知，四点 四点共圆，且 ，所以 ，而 ， 当直线 时， ， ，此时 最小． ∴ 即 ，由 解得， ． 所以以 为直径的圆的方程为 ，即 ， 两圆的方程相减可得： ，即为直线 的方程． 故选：D． 二、多选题 13、(2010青岛期中)若直线过点 ，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线 方程可能为 A． B． C． D． 【答案】 【解析】：当直线经过原点时，斜率为 ，所求的直线方程为 ，即 ； 当直线不过原点时，设所求的直线方程为 ，把点 代入可得 ，或 ，求得 ，或 ，故所求的直线方程为 ，或 ； 综上知，所求的直线方程为 、 ，或 ． 故选： ． 14、(2010徐州其末)若 是圆 上任一点，则点 到直线 距离的值可以为 A．4 B．6 C． D．8 【答案】 【解析】：直线 恒过定点 点，当直线与 垂直时，点 到直线 距离最大，等 于 ，圆心坐标为： ， 所以为 ， 当直线与圆有交点时最小为0， 所以点 到直线 距离的范围为： ， ， 故选： ． 15、(2020泰州模拟)实数 ， 满足 ，则下列关于 的判断正确的是 A． 的最大值为 B． 的最小值为 C． 的最大值为 D． 的最小值为 【答案】CD 【解析】：由题意可得方程 为圆心是 ，半径为1的圆，由 为圆上的点与定点 的斜率的值， 设过 点的直线为 ，即 ，圆心到到直线的距离 ，即 ，整理可得 解得 ， 所以 ，即 的最大值为： ，最小值为 ， 故选： ． 16、(2019 枣庄期中)已知圆 ，圆 交于不同的 ， ， ， 两点，下列结论正确的有 A． B． C． D． 【答案】 ． 【解析】：两圆方程相减可得直线 的方程为： ，即 ，故 正确； 分别把 ， ， ， 两点代入 得： ， ， 两式相减得： ，即 ，故 正确； 由圆的性质可知：线段 与线段 互相平分， ， ，故 正确． 故选： ． 17、 已知点A(2,0)，圆 ，圆上的点P满足 ，则a的取值 可能是( ) A. 1 B. -1 C. D. 0 【答案】ABC 【解析】因为圆 ， [来源:Zxxk.Com]设 ， 则 ， [来源:Zxxk.Com] 整理得 ，即 ， 当 ，等式不成立， 当 时， ,则 ①，将 分别代入①得, 均符合,故选：ABC. 18、 已知点A是直线l:x+ y−√2=0上一定点，点P、Q是圆x2+ y2=1上的动点，若∠PAQ的最大值为 ，则点A的坐标可以是( ) A. (0,√2) B. (1,√2−1) C. (√2,0) D. (√2−1,1) 【答案】AC √2 【解析】原点到直线l的距离为d= =1，则直线l与圆x2+ y2=1相切， √12+12 当AP、AQ均为圆x2+ y2=1的切线时，∠PAQ取得最大值， 连接OP、OQ，由于∠PAQ的最大值为90∘，且∠APO=∠AQO=90∘，|OP|=|OQ|=1， 则四边形APOQ为正方形，所以|OA|=√2|OP|=√2， 由两点间的距离公式得|OA|=√t2+(√2−t) 2=√2， 整理得2t2−2√2t=0，解得t=0或√2，因此，点A的坐标为(0,√2)或(√2,0),故选：AC. 19、(2020届山东省德州市高三上期末)已知点 是直线 上一定点，点 、 是圆 上的动点，若 的最大值为 ，则点 的坐标可以是( ) A． B． C． D．【答案】AC 【解析】 如下图所示： 原点到直线 的距离为 ，则直线 与圆 相切， 由图可知，当 、 均为圆 的切线时， 取得最大值， 连接 、 ，由于 的最大值为 ，且 ， ， 则四边形 为正方形，所以 ， 由两点间的距离公式得 ， 整理得 ，解得 或 ，因此，点 的坐标为 或 . 故选：AC. 三、填空题 20、(2020届山东省九校高三上学期联考)直线 与圆 相交于 、 两点，则 __________. 【答案】【解析】 圆的标准方程为 ，圆心到直线的距离 ， 所以弦长： . 故答案为： 21、(2020·全国高三专题练习(理))已知圆 关于直线 对称， 则 的最小值为__________． 【答案】 【解析】由题意可知直线过圆心，即 当且仅当 时，又 即 时等号成立， 故 的最小值为9. 故答案为：9 22、(2020年高考天津)已知直线 和圆 相交于 两点．若 ， 则 的值为_________． 【答案】5 【解析】因为圆心 到直线 的距离 ， 由 可得 ，解得 ．故答案为： ． 23、(2020届山东省滨州市高三上期末)在平面直角坐标系 中， 为直线 上在第三象限内的点， ，以线段 为直径的圆 ( 为圆心)与直线 相交于另一个点 ， ，则圆 的标 准方程为________. 【答案】 【解析】 由题意，设点 ，因为 ，则 的中点为 ， 以线段 为直径的圆 的方程为： ； 由 ，解得： ，即 ； 又 ，所以 ； 因为 ， 所以 ， 整理得： ，解得 或 ，因为 ，所以 ， 所以圆 的方程为： ， 整理得： . 故答案为： . 24、(2020届浙江省温丽联盟高三第一次联考)设直线l: 上存在点P到点A(3，0)，O(0，0) 的距离之比为2，则实数m的取值范围为_____.【答案】 【解析】设直线上点 ，由两点间的距离公式得 ，两边平方化简 得 ，由于 点存在，故上述一元二次方程有实数根，所以 ，化简得 ，解得 . 25、(2018年高考江苏卷)在平面直角坐标系 中，A为直线 上在第一象限内的点， ，以 AB为直径的圆C与直线l交于另一点D．若 ，则点A的横坐标为________． 【答案】3 【解析】设 ，则由圆心 为 中点得 易得 ，与 联立解得点 的横坐标 所以 . 所以 ， 由 得 或 ， 因为 ，所以 26、(2020 年高考浙江)已知直线 与圆 和圆 均相切，则 _______，b=_______． 【答案】 ；【解析】由题意， 到直线的距离等于半径，即 ， ， 所以 ，所以 (舍)或者 ， 解得 . 故答案为： 27、(2019年高考浙江卷)已知圆 的圆心坐标是 ，半径长是 .若直线 与圆C相切于点 ，则 =___________， =___________． 【答案】 ， 【解析】由题意可知 ，把 代入直线AC的方程得 ， 此时 . 28、(2020届浙江省台州市温岭中学3月模拟)已知 ， ，动点 满足 ，则 点 的轨迹方程是___________；又若 ，此时 的面积为___________. 【答案】 ； . 【解析】 ， ，设 ， 由 ，得 ， 整理得： ；以 为直径的圆的方程为 ， 联立 ， 解得 . 即 点的纵坐标的绝对值为 . 此时 的面积为 . 故答案为： ； . 四、解答题 29、已知平面内两点 。 (1)求 的垂直平分线方程； (2)直线 经过点 ，且点 和点 到直线 的距离相等，求直线 的方程。 【解析】(1)易求得 中点坐标为 ,又 ， 所以 的中垂线的斜率为 , 的中垂线的方程为 即 . (2)当直线 与直线MN平行时，由(1)知， ，所以此时直线 的方程为 ， 当直线 经过点 得 ，综上： 为 和 . 30、已知直线 ． (1)若 ，求实数 的值；(2)当l //l 时，求直线 与 之间的距离． 1 2 【解析】(1)∵ ，且 ， ∴ ，解得 ． (2)∵ ，且 ， ∴ 且 ，解得 ， ∴ ，即 [来源:Zxxk.Com] ∴直线 间的距离为 ． 1 √3 31、已知圆E经过M(﹣1，0)，N(0，1)，P( ，− )三点． 2 2 (1)求圆E的方程； (2)若过点C(2，2)作圆E的两条切线，切点分别是A，B，求直线AB的方程． 【解析】(1)根据题意，设圆E的圆心E坐标为(a，b)，半径为r， { (a+1) 2+b2=r2 {a=0 则有 a2+(b−1) 2=r2 ，解可得 ， b=0 1 √3 (a− ) 2+(b+ ) 2=r2 r=1 2 2 则圆E的方程为x2+y2＝1； (2)根据题意，过点C(2，2)作圆E的两条切线，切点分别是A，B， 设以C为圆心，PA为半径为圆为圆C，其半径为R， 则有R＝|PA| ， =√|CO|2−r2=√7 则圆C的方程为(x﹣2)2+(y﹣2)2＝7，即x2+y2﹣4x﹣4y+1＝0， 又由直线AB为圆E与圆C的公共弦所在的直线，则有{ x2+ y2=1 ， x2+ y2−4x−4 y+1=0 解可得2x+2y﹣1＝0，则AB的方程为：2x+2y﹣1＝0． 1 √3 32、已知圆E经过M(﹣1，0)，N(0，1)，P( ，− )三点． 2 2 (1)求圆E的方程； (2)若过点C(2，2)作圆E的两条切线，切点分别是A，B，求直线AB的方程． 【解析】(1)根据题意，设圆E的圆心E坐标为(a，b)，半径为r， { (a+1) 2+b2=r2 {a=0 则有 a2+(b−1) 2=r2 ，解可得 ， b=0 1 √3 (a− ) 2+(b+ ) 2=r2 r=1 2 2 则圆E的方程为x2+y2＝1； (2)根据题意，过点C(2，2)作圆E的两条切线，切点分别是A，B， 设以C为圆心，PA为半径为圆为圆C，其半径为R， 则有R＝|PA| ， =√|CO|2−r2=√7 则圆C的方程为(x﹣2)2+(y﹣2)2＝7，即x2+y2﹣4x﹣4y+1＝0， 又由直线AB为圆E与圆C的公共弦所在的直线，则有{ x2+ y2=1 ， x2+ y2−4x−4 y+1=0 解可得2x+2y﹣1＝0， 则AB的方程为：2x+2y﹣1＝0． 33、已知方程x2+y2-2x-4y+m=0. (1) 若此方程表示圆,求m的取值范围; (2) 若(1)中的圆与直线x+2y-4=0相交于M,N两点,且OM⊥ON(O为坐标原点),求m; (3) 在(2)的条件下,求以MN为直径的圆的方程. 【解析】(1) 因为(x-1)2+(y-2)2=5-m是圆, 所以m<5. (2) 设M(x ,y ),N(x ,y ),则x =4-2y ,x =4-2y , 1 1 2 2 1 1 2 2 则x x =16-8(y +y )+4y y . 1 2 1 2 1 2 因为OM⊥ON,所以x x +y y =0, 1 2 1 2 所以16-8(y +y )+5y y =0.① 1 2 1 2x4-2y,  由 x2  y2-2x-4ym0,得5y2-16y+m+8=0, 16 8m 所以y +y = ,y y = , 1 2 5 1 2 5 8 代入①,得m= . 5 (3) 以MN为直径的圆的方程为(x-x )(x-x )+(y-y )(y-y )=0,即x2+y2-(x +x )x-(y +y )y=0, 1 2 1 2 1 2 1 2 8 16 所以所求圆的方程为x2+y2- x- y=0. 5 5 34、已知直线l:4x+3 y+10=0，半径为2的圆C与l相切，圆心C在x轴上且在直线l的上方， (1)求圆C的方程； (2)设过点P(1,1)的直线l 被圆C截得的弦长等于2√3，求直线l 的方程； 1 1 (3)过点M(1,0)的直线与圆C交于A，B两点(A在x轴上方)，问在x轴正半轴上是否存在点N，使得x轴 平分∠ANB？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 5 【解析】(1)设圆心C(a，0)(a>− )， 2 ∵直线l：4x+3 y+10=0，半径为2的圆C与l相切， |4a+10| ∴d=r，即 =2，解得：a=0或a=−5(舍去)，则圆C方程为x2+ y2=4； 5 (2)由题意可知圆心C到直线l 的距离为√22−(√3) 2=1， 1 若直线l 斜率不存在，则直线l ：x=1，圆心C到直线l 的距离为1； 1 1 1 若直线l 斜率存在，设直线l ：y−1=k(x−1)， 1 1 |1−k| 则有 =1，即k=0，此时直线l ：y=1， √k2+1 1 综上直线l 的方程为x=1或y=1； 1 (3)当直线AB⊥x轴，则x轴平分∠ANB ， 当直线AB斜率存在时，设直线方程为y=k (x−1),A(x ,y ),B(x ,y )，N(t,0)， 1 1 1 2 2 {y=k (x−1) 2k2 k2−4 联立： 1 ，得(k2+1)x2−2k2x+k2−4=0，x +x = 1 ,x x = 1 ， x2+ y2=4 1 1 1 1 2 k2+1 1 2 k2+1 1 1 y y k (x −1) k (x −1) 若x轴平分∠ANB，则K =−K ，即 1 + 2 =0， 1 1 + 1 2 =0， AN BN x −t x −t x −t x −t 1 2 1 22(k 2−4) 2k 2 (t+1) 整理得：2x x −(t+1)(x +x )+2t=0，即 1 − 1 +2t=0， 1 2 1 2 k 2+1 k 2+1 1 1 解得：t=4，当点N(4,0)，能使得∠ANM=∠BNM总成立． 2 2 (x−2) +(y−3) =4 35、已知圆C： . (2,5) (1)求经过点 且与圆C相切的直线方程； C⃗A⋅C⃗B=2 (2)设直线 与圆C相交于A,B两点．若 ，求实数n的值； N(a,a−2) ⃗MP⋅ ⃗MQ (3)若点 在以 为圆心，以1为半径的圆上，距离为4的两点P,Q在圆C上，求 的最 小值. (2,5) y=5 【解析】(1) 是圆上的点，所以切线的方程为： [ XK] C⃗A⋅C⃗B=CA×CB×cos∠ACB=4cos∠ACB=2 (2)∵ ∠ACB=60° √3 ∴ 即圆心到直线的距离为 |2−3+n| d= =√3⇒n=√6+1 ∴ √2 或n=−√6+1. ⃗MP⋅ ⃗MQ=MC2 −4≥(NC−1) 2 −4 (3)∵ ⃗MP⋅ ⃗MQ ∴当NC最小时， 最小 √ 7 2 9 NC= √ (a−2) 2 +(a−2−3) 2 = 2 ( a− ) + ∵ [来源:Zxxk.Com] 2 2 7 3√2 3 a= −3√2 ∴当 2 时，NC取得最小值为 2 ，此时⃗MP⋅ ⃗MQ最小为2 .