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微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
东城区 2024-2025 学年度第一学期期末统一检测
初三数学
2025.1
学校 班级 姓名 教育ID号
考生须知：
1.本试卷共8页，共三道大题，28道小题、满分100分，考试时间120分钟．
2.在试卷和答题卡上准确填写学校、班级、姓名和教育ID号．
3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．
4.在答题卡上选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．
5.考试结束后，请将答题卡交回．
一、选择题（每题2分，共16分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.
1. 下列事件为必然事件的是（ ）
A. 在平面上画一个三角形，其内角和是
B. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
C. 不在同一条直线上的三个点确定一个圆
D. 购买1张彩票，中奖
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查事件的分类，熟知必然事件、不可能事件、随机事件的概念：必然事件指在一定条件下，
一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定
条件下，可能发生也可能不发生的事件．据此并结合相关知识逐项判断即可．
【详解】解：A、在平面上画一个三角形，其内角和是 是不可能事件，故该选项不符合题意；
B、经过有交通信号灯的路口，遇到红灯是随机事件，故该选项不符合题意；
C、不在同一条直线上的三个点确定一个圆是必然事件，故该选项符合题意；
D、购买1张彩票，中奖是随机事件，故该选项不符合题意；
故选：C．
2. 将抛物线 向下平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为（ ）
A. B.
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C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．
此题主要考查了二次函数图像与几何变换，熟练掌握平移的规律“左加右减，上加下减”是解题的关键．
【详解】解：将抛物线 向下平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为 ，
故选：B．
3. 第33届夏季奥运会于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行，奥运会图标在视觉设计上主要融入
三个方面的内容——对称设计、项目场地的抽象表达以及项目的代表性元素，下列四个图标中是中心对称
图形的是（ ）
A. 击剑 B. 田径 C. 马术 D. 赛艇
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了中心对称图形的概念，根据把一个图形绕某一点旋转 ，如果旋转后的图形能
够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心，逐一判断即可得到答案，
熟练掌握中心对称图形的概念并能灵活运用是解决此题的关键．
【详解】解：A、图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、图形是中心对称图形，故本选项符合题意；
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C、图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意 ；
故选：B．
4. 用配方法解方程 ，变形后结果正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查配方法解一元二次方程，根据配方法的求解步骤求解即可．
【详解】解： ，
移项，得 ，
配方，得 ，
即 ，
故选：A．
5. 如图， 与 分别相切于点A，B， ， ，则 的长度为（ ）
A. B. 2 C. 3 D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了切线长定理，等边三角形的判定与性质；由切线长定理得 ，由
得 是等边三角形，由等边三角形的性质即可求得结果．
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【详解】解：∵ 与 分别相切，
∴ ；
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ；
故选：B．
6. 若关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则m的值可能是（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】根据一元二次方程有两个不相等的实数根，可得 ，解出m的取值范围即可进行判
断．
【详解】解：根据题意，得 ，
解得 ，
∵ ，
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的情况，熟练掌握根的判别式是解题的关键．
7. 铁艺花窗是园林设计中常见的装饰元素.如图是一个花瓣造型的花窗示意图，由六条等弧连接而成，六
条弧所对应的弦构成一个正六边形，中心为点O， 所在圆的圆心C恰好是 的中心.若 ，
则花窗的周长（图中实线部分的长度）为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
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【解析】
【分析】本题考查正多边形与圆，解直角三角形，求弧长，过点C作 ，根据正多边形的性质得出
为等边三角形，再由内心的性质确定 ，得出 ，利
用余弦得出 ，再求弧长即可求解．
【详解】解：如图所示：过点C作 于点E，
∵六条弧所对应的弦构成一个正六边形，
∴ ， ，
∴ 为等边三角形，
∵圆心C恰好是 的内心，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的长为： ，
∴花窗的周长为： ；
故选：D．
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8. 二次函数 （ ）图象上部分点的坐标满足下表：
x … 0 1 3 5 …
y … 7 0 7 …
下面有四个结论：
①抛物线的开口向上；
②抛物线的对称轴为直线 ；
③当 时， ；
④ 是关于x的一元二次方程 （ ）的一个根．
其中正确的结论有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程的关系、二次函数与不等式的关系，
熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
根据当 和 时，函数值相等，求出对称轴，判断②，得出顶点坐标，得出抛物线的开口方向，
判断①，得出 的对称点为 ，根据抛物线的开口向上，判断③，根据 和 时，
，判定④，进而可得出答案．
【详解】解：∵当 和 时，
∴函数图象抛物线对称轴为 ，则 为最低点，故②错误，
∴抛物线的开口向上，故①正确，
∵ ，
∴ 的对称点为 ，
又∵抛物线的开口向上，
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∴当 时， ，故③正确，
∵ 和 时， ，
∴ 是方程 ，即方程 的一个根，故④正确，
综上所述，正确的是①③④，共3个，
故选：C．
二、填空题（每题2分，共16分）
9. 在平面直角坐标系中，点 关于原点对称的点的坐标是__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查坐标与图形变换-中心对称，根据关于原点对称的点的横纵坐标都互为相反数求解即可．
【详解】解：在平面直角坐标系中，点 关于原点对称的点的坐标是 ，
故答案为： ．
10. 请写出一个开口向上，并且与y轴交于点 的抛物线的表达式______．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数性质是解本题的关键．写出一个二次函数，使其
二次项系数为正数，常数项为 即可．
【详解】解：根据题意得： （答案不唯一），
故答案为： （答案不唯一）
11. 某数学兴趣小组做“任意抛掷一枚图钉”的重复试验，多次试验后获得如下数据：
重复试验 1
50 100 500 1000 2000 5000
次数 0
钉尖朝上
5 15 36 200 403 801 2001
次数
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估计任意抛掷一枚图钉，钉尖朝上的概率约为__________.（结果精确到 ）
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了求频率，用频率估计概率，随着试验次数的增加，频率稳定趋向一个固定的值，这个
固定值即是概率；求出各个频率即可估计出概率．
【详解】解：表中从左往右，频率分别为 ，
钉尖朝上的概率约为 ；
故答案为： ．
12. 据国家统计局发布的《2024年国民经济和社会发展统计公报》显示，2021年和2023年全国居民人均
可支配收入分别为 万元和 万元．设2021年至2023年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为
x，依题意可列方程为___．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，利用2023年全国居民人均可支配收入 2021年全
国居民人均可支配收入 （ 2021年至2023年全国居民人均可支配收入的年平均增长率） ，即可列出
关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：根据题意得： ．
故答案为： ．
13. 如图，以点O为中心的量角器与直角三角板 按如图方式摆放，量角器的直径与直角三角板的斜
边 重合，如果点D在量角器上对应的刻度为 ，连接 ．那么 __________ ．
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【答案】55
【解析】
【分析】本题主要考查圆周角定理，先确定点 D 在该量角器所在的圆上，再根据量角器得到
，然后根据圆周角定理得到 即可求解．
【详解】解：连接 ，则 ，
∵量角器的直径与直角三角板的斜边 重合， ，
∴点D在该量角器所在的圆上，
∴ ，
故答案为：55．
14. 如图，在圆内接四边形 中，对角线 ， ， ，则 __________．
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【答案】
【解析】
【分析】本题考查了圆内接四边形的性质、三角形的内角和定理、等腰三角形的判定、勾股定理，先根据
圆内接四边形的性质求得 ，再利用三角形的内角和定理和等腰三角形的判定得到 ，
再利用勾股定理求解即可．
【详解】解：在圆内接四边形 中， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
15. 如图，在 中， ，将 绕点A逆时针旋转 ，得到 ， ．若
点B，C，D恰好在同一条直线上，则 __________ ．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查旋转性质、三角形的内角和定理、等腰三角形的性质，先根据旋转性质得到 ，
， ，再利用三角形的内角和定理，结合等边对等角求得 即
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可．
【详解】解：由旋转性质得 ， ， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
16. 古代的算筹是由一根根同样长短和粗细的小棍制成，在算筹记数法中，以“纵式”和“横式”两种方
式表示数字，如图所示.
据《孙子算经》记载，算筹记数法则是：凡算之法，先识其位，一纵十横，百立千僵，千十相望，百万相
当．即在算筹记数法中，表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推.
例如，算筹 表示的四位数是6613.
（1）用3根算筹表示的两位数可以是__________（写出一个即可，算筹不剩余且个位不为0）；
（2）在用4根算筹表示的所有两位数中，随机抽取一个数，这个数大于60的概率为__________（算筹不
剩余且个位不为0）.
.
【答案】 ① 21（答案不唯一） ②.
【解析】
【分析】本题考查了求概率，求出所有可能的结果数及事件发生时可能的结果数，利用概率公式即可求解．
（1）由题意，三根算筹可以是1与2的组合，也可以是6与1的组合，由此即可任写一个即可；
（2）在用4根算筹表示的所有两位数，可以是13，31，22，62，26，71，17共7个数，其中大于60的数
有4个，则可求得概率．
【详解】解：（1）三根算筹可以是1与2的组合，即12或21；也可以是6与1的组合，即16或61；4个
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数中任写一个；
故答案为：21（答案不唯一）；
（2）在用4根算筹表示的所有两位数，可以是13，31，22，62，26，71，17共7个数，其中大于60的数
有4个，则抽取一个数大于60的概率为 ；
故答案为： ．
三、解答题（共 68分，第17-22题每题5分，第23-26题每题6分，第27-28题每题7分）
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 解方程： .
【答案】 ，
【解析】
【分析】本题考查解一元二次方程，直接利用配方法解方程即可．
【详解】解：
配方，得 ，
即 ，
开平方，得 ，
解得 ， ．
18. 如图，圆形拱门的形状是以点O为圆心的圆的一部分，如果D是 中弦 的中点，连接 并延
长交 于点C，并且 ， ，求 的半径．
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【答案】
【解析】
【分析】本题考查了垂径定理的推论与勾股定理；连接 ，并设圆的半径为 r；由垂径定理推论得
， ；在 中，利用勾股定理建立方程即可求得半径．
【详解】解：如图，连接 ，设圆的半径为r；
∵D是 中弦 的中点，
∴ ， ；
∵ ，
∴在 中，由勾股定理得： ，
解得： ；
答： 的半径为 ．
19. 已知： 为 的外接圆，D是 边上的一点，连接 ．
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求作： ，使得点E在线段 上，且 ．
作法：
①连接 ，分别作线段 ， 的垂直平分线 ， ，两直线交于点P；
②以点P为圆心， 长为半径作圆，交线段AD于点E；
③连接 ，CE．
就是所求作的角．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接 ．
∵点A，B，C在 上，
∴ （ ）（填推理的依据）．
∵点B，O，E，C在 上，
∴ ．
∴ ．
【答案】（1）见解析 （2）圆周角定理；
【解析】
【分析】本题考查基本作图、圆周角定理、垂径定理、线段垂直平分线的性质，熟练掌握圆周角定理是解
答的关键．
（1）根据题中作图步骤，结合垂径定理、线段垂直平分线的性质、和圆的基本性质画图即可；
（2）根据圆周角定理补全证明过程即可．
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【小问1详解】
解：补全图形如图所示：
【小问2详解】
证明：连接 ．
∵点A，B，C在 上，
∴ （圆周角定理）．
∵点B，O，E，C在 上，
∴ ．
∴ ．
故答案为：圆周角定理；
20. 已知二次函数 .
（1）求该二次函数图象的顶点坐标；
（2）当 时， 的取值范围是 .
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）把二次函数的解析式化为顶点式，然后利用 的性质即可得解；
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（2）根据二次函数的性质求解即可．
【小问1详解】
解：
，
∴二次函数 的图象的顶点坐标为 ；
【小问2详解】
解： 且对称轴 在 的范围内，
当 时函数值有最大值，最大值为 ，
当 时函数值有最小值，最小值为 ，
∴函数值 的取值范围是 ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了把y=ax2+bx+c化成顶点式， 的图象与性质，二次函数的图
象与系数的关系，二次函数的最值等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
21. 如图，在平面直角坐标系 中，点A，B，C的坐标分别为 ， ，(2,1)，将 绕点P
逆时针方向旋转得到 ，点A的对应点 的坐标为 ，点B的对应点 的坐标为(−3,2)．
（1）点P的坐标是 ；（填写正确的选项）
A. B.(0,1) C.
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（2）画出旋转后的 ，并写出 的坐标是 ；
的
（3）线段 延长线与线段 交于点M，直接写出 的度数.
【答案】（1）A （2）图见解析，
（3）
【解析】
【分析】此题考查了坐标与图形-旋转变换，旋转的性质，寻找旋转中心，全等三角形的判定与性质，解题
的关键是理解题意，画出图形，结合有关性质正确求解．
（1）线段 ， 的垂直平分线的交点P即为所求；
（2）根据要求作出图形，根据图形可得 坐标；
（3）根据旋转的性质，即可解决问题．
【小问1详解】
解：如图，旋转中心P的坐标为 ，
故选：A．
【小问2详解】
解：如图， 即为所求作，点 坐标为(−2,3)，
故答案为：(−2,3)；
【小问3详解】
解：由旋转的性质可得， ， ，
∴
∴ ，又 ，
∴ ，
则 ．
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22. 中国古代 的“四书”是指《论语》、《孟子》、《大学》和《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是
中国传统文化的重要组成部分.下面是正面印有“四书”字样的书签A，B，C，D，书签除正面的字样外，
其余完全相同．将这4张书签背面向上，洗匀放好．
（1）从中随机抽取1张，抽到“中庸”书签的概率是 ；
（2）从中随机抽取2张；用列举法求出随机抽取的2张书签恰好是“论语”和“大学”的概率.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】此题考查了用树状图或列表法求概率，解题的关键是熟悉树状图或列表法，并掌握概率计算公式．
（1）直接利用概率公式求解即可；
（2）先画树状图得到所有等可能的结果，从中找到满足条件的结果数，然后利用概率公式求解即可．
【小问1详解】
解：共有4张书签，从中随机抽取1张，抽到“中庸”书签的概率是 ，
故答案为： ；
【小问2详解】
解：画树状图如下：
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总共有12种等可能的结果，其中随机抽取的2张书签恰好是“论语”和“大学”的有2种，
∴随机抽取的2张书签恰好是“论语”和“大学”的概率为 ．
23. 已知关于x的一元二次方程 （ ）．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的一个根是2，求代数式 的值．
【答案】（1）见解析 （2）3
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程根的判别式，求代数式的值等知识，掌握这些知识
是解题的关键．
（1）计算出一元二次方程的判别式，根据判别式的符号即可证明；
（2）把方程的根2代入一元二次方程中，得到 ，即有 ，再整体代入代数式中
即可求得值．
【小问1详解】
证明：关于x的一元二次方程为 （ ）
则 ，
∵ ，
∴ ，
∴方程总有两个不相等的实数根；
【小问2详解】
解：∵ 是关于x的一元二次方程 （ ）的一个根，
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∴ ，
即 ，
∴
．
24. 如图1，某隧道内设单向两车道公路，其截面由长方形的三条边 ， ， 和抛物线的一段（点
E为抛物线的顶点）构成．以 的中点O为原点，分别以直线 和抛物线的对称轴为x轴和y轴，建
立如图2所示的平面直角坐标系．其中， 米， 米， 米．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）为保证安全，要求行驶车辆顶部（视为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差不小于1米．若行车
道的总宽度 为8米，且O为 的中点，请计算通过隧道的车辆的限制高度．（车道分界线的宽度忽
略不计）
【答案】（1）
（2） 米
【解析】
【分析】本题考查二次函数的应用，理解题意，正确求得抛物线的解析式是解答的关键．
（1）利用待定系数法求解解析式即可；
（2）先将 代入（1）中解析式求得y值，结合与隧道顶部在竖直方向上高度之差不小于1米求解即可．
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【小问1详解】
解：根据题意，抛物线经过点 ， ，
设抛物线的解析式为 ，
则 ，解得 ，
∴抛物线的解析式为 ；
【小问2详解】
解：根据题意， ，
当 时， ，
∵与隧道顶部在竖直方向上高度之差不小于1米，
∴通过隧道的车辆的限制高度为 米
25. 如图，在 中， ，以 边为直径作 交 于点D，连接 并延长交
的延长线于点E，点P为 的中点，连接 .
（1）求证： 是 的切线；
（2）若 的半径为3， ，求 的长.
【答案】（1）见详解 （2）
【解析】
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【分析】（1）连接 ，由“直径所对的圆周角等于 ”可得 ，由“直角三角形中斜边上的
中线等于斜边的一半”可得 ，进而可得 ．又由 可得 ，进而
可得 ，则可得 ，即可得证．
（2）先根据三角形外角定理可得 ，进而可得 ，则 ，进而可得
．在 中，根据三角函数的定义即可求出 的长．
【小问1详解】
证明：如图，连接 ，
∵ 是 的直径，
．
在 中, 点P为 的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
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，
∴ 是 的切线．
【小问2详解】
解： ，且 ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在 中， ，
．
【点睛】本题主要考查了圆的相关性质：直径所对的圆周角等于 ，直角三角形的性质以及解直角三角
形．熟练掌握相关知识是解题的关键．
26. 在平面直角坐标系xOy中，点 在抛物线 上，设抛物线的对称轴为直线
.
（1）当 时，求t的值；
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（2）点 ， 在抛物线上，若 ，比较 ， 的大小，并说明理由.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查二次函数图象与性质、熟练掌握二次函数的性质是解答的关键．
（1）根据二次函数的性质得到抛物线的对称轴为直线 ，结合已知求解即可；
（2）先根据已知求得 ，进而求得 ，然后根据抛物线的开口向上，得到离对称轴越远，
函数值越大求解即可．
【小问1详解】
解：∵点 在抛物线 上，
∴ ，
∵ ，
∴ ，解得 ，
由 得抛物线的对称轴为直线 ，
∴ ；
【
小问2详解】
解：∵ ， ，
∴ ，则 或 ，
∴ ，
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∵ ，
∴ ，
∵ ， ，又抛物线的开口向上，
∴ ．
27. 如图，在等边 中，D为 上一点，连接 ，E为线段 上一点（ ），将线段
绕点C顺时针旋转 得到线段 ，连接 ．
（1）求证： ；
（2）点G为 延长线上一点，连接 交 于点M．若M为 的中点，用等式表示线段
之间的数量关系，并证明.
【答案】（1）见解析 （2） ，证明见解析
【解析】
【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，掌握这些知识点并构造适当的辅助线
证明三角形全等是解题的关键．
（1）证明 即可；
（2）过点A作 ，交 的延长线于点H，则可证明 ，从而有 ，则
有 ；再证明 ，得 ，由线段的和差关系即可得证．
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【小问1详解】
证明：∵ 为等边三角形，
∴ ；
∵线段 绕点C顺时针旋转 得到线段 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
【小问2详解】
解： ；
证明如下：如图，过点A作 ，交 的延长线于点H；
∴ ， ，
∴ ；
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
∵M为 的中点，
∴ ；
∵ ， ，
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∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
28. 在平面直角坐标系 中， 的半径为1，对于 的弦 和不在直线 上的点C，给出如下定
义：若 ，且点C关于弦 的中点M的对称点在 上或其内部，则称点C为弦 的“
关联点”.
（1）已知点 ， .
①在点 ， ， 中，点 是弦 的关联点，其中 °；
②若直线 上存在 的“ 关联点”，则b的取值范围是 ；
（2）若点C是 的“ 关联点”，且 ，直接写出弦 的最大值和最小值.
【答案】（1）① ，60；
（2）最大值和最小值分别为 和1
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【解析】
【分析】（1）①反向思考，作出 关于点M的对称圆 ，只要满足 ， ，
在 上或内部，均符合题意，先根据中点坐标公式求出M，再求出 ，根据点与
圆的位置关系即可求解；
②同上作出 关于点M的对称圆 ，连接 ，可求 ，
，则 ，故 的“ 关联点”在优弧 上（不包括端点），若直线
上存在 的“ 关联点”，则直线 与优弧 上（不包括端点）有交点，
当直线 经过点A时，把 代入 ，求出 ，当直线
与 相切时，记切点为H，连接 ，记直线 与 轴交于点 ，可求
，则 ，过 作 轴交直线 于点 ，求出点
，代入 ，求得： ，那么 时，直线 上
存在 的“ 关联点”；
（2）先确定点C在以O为圆心 为半径的圆上，对于弦 ，我们固定点 ，调整点A位置即可，
同上作出 关于点M对称的 ，则根据关联点的定义可知：点C首先需要在 关于点M对称的
上或者内部（不包括A、B），以 为底边，作顶角为 的等腰 ，由圆周角定理可得
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，故点C又得在以 为圆心， 为半径的优弧 上，那么优弧 必须与以O为圆心
为半径的圆有交点，才符合题意，当优弧 必须与以O为圆心 为半径的圆相切时， 最小，设
切点为点 ，由圆的对称性可知 共线， ，设 ，则同上可得
，由 ，得到 ，解得：
，则 ，当 恰好经过优弧 时，此时 最大，那么此时点 与 重合，则
，求得 ，那么 ，综上，弦 的最大值为 ，最小值为1．
【小问1详解】
解：①∵点C关于弦 的中点M的对称点在 上或其内部，则称点C为弦 的“ 关联点”，
∴反向思考，作出 关于点M的对称圆 ，只要满足 ， ， 在 上
或内部，均符合题意，
∵ ， ，
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∴ ，
∵O(0,0)，
∴ ，
∵ ，
∴点 到 的距离为 ，
∴点 在 上，
同理经过计算 ， 到 的距离为均大于半径，故不符合题意，
∴点 是弦 的关联点，
连接 ，
∴ ，同理可求 ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ，60；
②同上作出 关于点M的对称圆 ，连接 ，
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∵ ， ， ， ，
同理可求 ， ， ，
∴同理可求 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的“ 关联点”在优弧 上（不包括端点），
∴若直线 上存在 的“ 关联点”，
则直线 与优弧 上（不包括端点）有交点，
当直线 经过点A时，如图：
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∴把 代入 得： ，
解得： ，
∴ ，直线 与优弧 上（不包括端点）有交点，
当直线 与 相切时，如图：
记切点为H，连接 ，记直线 与 轴交于点 ，
当 时， ，
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解得： ，
∴ ，
当 ， ，
∴ ，
则 ，
∴ ，
过 作 轴交直线 于点 ，
则 ，
∵由切线得性质得到：
∴ ，
∴点 ，
代入 ，
求得： ，
∴ ，直线 与优弧 上（不包括端点）有交点，
综上所述： 时，直线 上存在 的“ 关联点”，
故答案为： ；
【小问2详解】
解：∵ ，
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∴点C在以O为圆心 为半径的圆上，
对于弦 ，我们固定点 ，调整点A位置即可，
同上作出 关于点M对称的 ，
∵点C是 的“ 关联点”，
∴根据关联点的定义可知：点C首先需要在 关于点M对称的 上或者内部（不包括A、B），
∵点C是 的“ 关联点”，
∴以 为底边，作顶角为 的等腰 ，
∴由圆周角定理可得： ，
∴点C又得在以 为圆心， 为半径的优弧 上，
那么优弧 必须与以O为圆心 为半径的圆有交点，才符合题意，
∴当优弧 必须与以O为圆心 为半径的圆相切时， 最小，设切点为点 ，如图：
由圆的对称性可知 共线， ，
设 ，则同上可得 ，
∴在 中， ，
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∵ ，
∴ ，
解得： 或 （舍）
∴ ，
当 恰好经过优弧 时，此时 最大，那么此时点 与 重合，如图：
∴ ，
∴ ，
∴ ，
综上，弦 的最大值为 ，最小值为1．
【点睛】本题考查了新定义，难度很大，涉及圆周角定理，解直角三角形，点与圆的位置关系，等腰三角
形的判定与性质，勾股定理等知识点，综合性很强，解题的关键在于反向思考和固定变量解决问题．
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