文档内容
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
北京市中国人民大学附属中学 2024~2025 学年上学期 10 月月考九年级
数学试卷
考生须知：
1．本试卷共6页，共两部分，28道题．满分100分．考试时间100分钟．
2．在试卷和答题卡上准确填写姓名、班级和学号．
3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．
4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．
5．考试结束，将答题卡和草稿纸一并交回．
第一部分 选择题
一、选择题（共16分，每题2分）
第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个
1. 一元二次方程 的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A. 2，1，3 B. 2，1， C. −2，1，3 D. 2， ，
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式．一元二次方程的一般形式是： （a，b，c
是常数且 ），在一般形式中 叫二次项， 叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系
数，一次项系数，常数项．
根据一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项的定义求解．
【详解】 的二次项系数、一次项系数、常数项分别是：2， ， ．
故选：D．
2. 巴黎奥运会后，受到奥运健儿的感召，全民健身再次成为了一种时尚，球场上出现了更多年轻人的身影．
下面四幅球类的平面图案中，是中心对称图形的是（ ）
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查中心对称图形，根据一个图形绕一点旋转180度，能与自身完全重合，这样的图形叫做
中心对称图形，进行判断即可．
【详解】解：观察图形，只有选项C的图形能够找到一个点，使图形旋转180度，能与自身完全重合，是
中心对称图形；
故选C．
3. 抛物线 的开口方向和顶点坐标分别是（ ）
A. 开口向下， B. 开口向上，
C. 开口向下， D. 开口向上，
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据 的顶点坐标为 ， ，抛物线
的开口向上， ，抛物线的开口向下，进行判断即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴抛物线的开口方向向上，顶点坐标为： ；
故选B．
4. 如图，将 绕点A逆时针旋转100°，得到 ．若点D在线段 的延长线上，则 的度
数为（ ）
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
A. 30° B. 40° C. 50° D. 60°
【答案】B
【解析】
【分析】根据旋转的性质可得出 ， ，再根据等腰三角形的性质：等边对等角，可
求出 的大小．
【详解】解：根据旋转的性质，可得： ， ，
．
故选：B．
【点睛】本题考查了旋转 的性质与等腰三角形的性质结合，利用等腰三角形的性质是解题的关键．
5. 用配方法解方程 ，配方正确的是( )
A. B. ( C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程中的配方法，熟练掌握解一元二次方程中的配方法的步骤是解题的关
键．
【详解】解：∵ ，
移项得： ，
配方法，方程左右同加 得： ，
∴ ，
故选：B．
6. 已知二次函数 的图象如图所示，则下列选项中错误的是（ ）
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查二次函数图象与性质，根据题中所给二次函数 的图象逐项判断即可得到
答案，熟记二次函数图象与性质是解决问题的关键．
【详解】解：A、由图象可知，抛物线开口向下，则 正确，不符合题意；
B、由图象可知，抛物线与 轴交于正半轴上，则 正确，不符合题意；
C、由图象可知，抛物线对称轴在 轴右侧，则 ，再结合 ，可知 正确，不符合题意；
D、由图象可知，抛物线对称轴在 左侧，则 ，再结合 ，可知 ，即 ，
则 错误，符合题意；
故选：D．
7. 如图，在正三角形网格中，以某点为中心，将 旋转，得到 ，则旋转中心是（ ）
A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D
【答案】B
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
【解析】
【分析】连接 、 、 ，作 的垂直平分线，作 的垂直平分线，作 的垂直平分线，交
点为旋转中心．
【详解】解：如图，
的
绕某点旋转一定 角度，得到△ ，
连接 、 、 ，
作 的垂直平分线，作 的垂直平分线，作 的垂直平分线，
三条线段的垂直平分线正好都过点 ，
即旋转中心是 ．
故选：B．
【点睛】本题考查了学生的理解能力和观察图形的能力，注意：旋转时，对应顶点到旋转中心的距离应相
等且旋转角也相等，对称中心在连接对应点线段的垂直平分线上．
8. 已知点 在二次函数 的图象上，则当 时，
的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．二次函数图象上的点一定满足该函数的解析式．根据
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
二次函数图象的对称性得出 ，然后将其代入函数关系式求得 ．
【详解】解： 是二次函数 图象上的两点，
关于对称轴 对称，
即： ，
将 代入 得：
即： ，
故选：A．
第二部分 非选择题
二、填空题（共16分，每题2分）
9. 方程 的解是______．
【答案】 ，
【解析】
【分析】根据因式分解法解一元二次方程即可．
【
详解】解： ，
移项得： ，
因式分解得： ，
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
∴ 或 ，
∴ ， ，
故答案为： ， ．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的几种解法是解本题的关键．
10. 点 关于原点的对称点的坐标为______．
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查关于原点对称的点的坐标特点，根据“关于原点对称时，横纵坐标都为相反数”求
解即可．
【详解】解： 关于原点的对称点的坐标为 ．
故答案为： ．
11. 如 果 关 于 x 的 方 程 有 两 个 不 相 等 的 实 数 根 ， 那 么 k 的 取 值 范 围 是
____________________．
【答案】 且
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程 根的判别式 与根的关系，熟练掌握根
的判别式与根的关系式解答本题的关键．当 时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当 时，
一元二次方程有两个相等的实数根；当 时，一元二次方程没有实数根．根据 且 列式求解
即可．
【详解】解：根据题意得 且 ，
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
解得 且 ．
故答案为： 且 ．
12. 将抛物线 向右平移 个单位，向下平移 个单位后，所得抛物线的顶点坐标为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换：把抛物线 平移的问题转化为抛物线的顶
点 平移问题进行解决．先得到抛物线 的顶点坐标为 ，则把点 向右平移
个单位，向下平移 个单位得出答案．
【详解】解： 抛物线 的顶点坐标为 ，
把点 向右平移 个单位，向下平移 个单位得到 ，
故答案为： ．
13. 如图，在平面直角坐标系 中，点 ，点 的坐标分别为 ，将线段 绕点 逆
时针旋转 角 ，若点 的对应点 的坐标为 ，则 为______，点 的对应点 的
坐标为______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】本题考查了坐标与图形变化-旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如： ， ， ， ， ；记住关于原点对称的点
的坐标特征．解决本题的关键是正确理解题目，按题目的叙述一定要把各点的大致位置确定，正确地作出
图形．
【详解】解：将线段 绕点 逆时针旋转，点 的对应点 的坐标为 ，如图所示：
，
，
，
故答案为： ， ．
14. 如图，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=1，点P，点Q是抛物线与x轴的两个交点，若点P的坐标
为（4，0），则点Q的坐标为__________．
【答案】（ ，0）
【解析】
【详解】∵抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=1，点P，点Q是抛物线与x轴的两个交点，
∴点P和点Q关于直线 对称，
又∵点P的坐标为（4，0），
∴点Q的坐标为（-2，0）．
故答案为（-2，0）．
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
15. 在我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯
锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现代语言表述为：如图，AB为 的直径，弦 于
点 寸， 寸，求直径AB的长．
小宇对这个问题进行了分析：
（1）由直径 于 ，可得 ，其依据是______．
（2）连接OC，则有 ，在 中利用勾股定理列方程可求得 的长，从而得到直径AB长为
______寸．
【答案】 ①. 垂径定理 ②.
【解析】
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理；由直径AB与弦CD垂直，根据垂径定理得到 为CD的中点，
由CD的长求出CE的长，设 寸，则 寸， 寸，由勾股定理得出方程，
解方程求出半径，即可得出直径AB的长．
【详解】解： 弦 ，AB为圆 的直径，
为CD的中点，
又 寸，
寸（垂径定理），
设 寸，则 寸， 寸，
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
由勾股定理得： ，
即 ，
解得： ，
寸，
即直径AB的长为 寸．
故答案为：垂径定理；26．
16. 如图，菱形 的边长为6，将一个直角的顶点置于菱形 的对称中心 处，此时这个直角
的两边分别交边 于M，N，若 ，且 ，则 的长为______．
【答案】
【解析】
【分析】连接 ，则 过点O，先证明 是 的中位线，再根据中位线性质求出 的长，
再在 中，根据勾股定理即可求出结果．
本题考查了菱形的性质，平行线分线段成比例，中位线定理，勾股定理，本题的关键是辅助线的作法．
【详解】解：连接 ，
∵菱形 ， 为对称中心，
∴ 过点O，
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
， ，
，
∴ ，
∴ ，
∴ 是 的中位线，
，
在 中，
．
故答案为： ．
三、解答题（共68分，第17题4分，第18-20题，每题5分，第21题4分，第22题5分，
第23-25题，每题6分，第26题8分，第27-28题，每题7分）
解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17. 解方程： ．
【答案】 ， ．
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程，解一元二次方程的方法有：公式法、配方法、直接开平方法、因式
分解法，选择合适的方法进行计算是解此题的关键．利用公式法解一元二次方程即可得到答案．
【详解】解：整理得 ，
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
， ， ，
，
，
， ．
18. 如图， 是等边三角形，点 在边 上，以 为边作等边 ．连接 ， ．求证：
．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法为解题
关键．根据 和 均为等边三角形，得出 ， ， ，
，由全等的判定定理“ ”即可证明 ，最后由全等的性质即可证明
．
【详解】证明：∵ 和 均为等边三角形，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ．
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
19. 已知 是关于 的方程 的根，求代数式 的值．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的解，先利用乘法公式展开、合并得到原式 ，利用一元二
次方程根的定义得到 ，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】解：
，
∵ 是关于x的一元二次方程 的根，
∴ ，即 ，
∴原式 ．
20. 已知二次函数 的图象过点 ．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）画出这个函数的图象；
（3）写出当 时，函数值 的取值范围．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）
【解析】
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，画二次函数图象，二次函数的性质，正确求出对应的函数解
析式是解题的关键．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）根据（1）所求的函数解析式，画出对应的函数图象即可；
（3）将函数 化为顶点式，求出对称轴及顶点坐标，根据二次函数 的性质即可解答．
【小问1详解】
解：把 ， 代入 中得： ，
∴ ，
为
∴二次函数解析式 ；
【小问2详解】
解：函数图象如下所示：
【小问3详解】
解： ，
二次函数的图象关于直线 对称，顶点坐标为 ，且图象开口向上，
当 时，
时，y有最小值，最小值为 ，
，
时，y有最大值，最大值为 ，
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
∴当 时，函数值 的取值范围为 ．
21. 判断下列说法是否正确，如正确，请说明理由；如错误，请举出反例．（注：本题无论正误都需要画
图并说明）
（1）圆的任意一条弦的两个端点把圆分成优弧和劣弧；
（2）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
【答案】（1）不正确，反例见解析
（2）不正确，反例见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了圆．熟练掌握弦，直径，弧，垂径定理推论，是解决本题的关键．
（1）非直径弦分圆成优弧和劣弧，直径弦分圆两条等弧；
（2）平分非直径弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
【小问1详解】
答：不正确．直径弦的两个端点把圆分成两条等弧．如图： ；
【小问2详解】
答：不正确．平分直径弦的直径不一定垂直于直径弦，并且不一定平分直径弦所对的两条弧．
如图：直径 平分弦 ，但是 不垂直 ， ， ．
22. 已知关于 的一元二次方程 ．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
（2）若方程恰有一个实根大于 ，求 的取值范围．
【答案】（1）见解析 （2） 或
【解析】
【分析】本题考查了根的判别式、偶次方的非负性以及公式法解一元二次方程；
（1）根据方程的系数，结合根的判别式可得出 ，利用偶次方的非负性可得出 ，即 ，
再利用“当 时，方程有两个实数根”即可证出结论；
（2）利用公式法解一元二次方程可得出 ， ，结合该方程恰有一个根大于1可得出
①或 ②，解之即可得出m的取值范围．
【小问1详解】
证明：∵ ， ， ，
∴
，
∵ ，
∴ ，
∴无论 取何值，该方程总有两个实数根；
【小问2详解】
解：∵ ， ， ， ，
∴ ，
解得： ， ，
∵该方程恰有一个根大于 ，
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
∴ ①或 ②，
解不等式组①得： ；
解不等式组②得： ，
∴ 的取值范围为 或 ．
23. 如图， 中， ， ， ．动点 ， 分别从 ， 两点同时出发，点
沿边 向 以每秒 个单位长度的速度运动，点 沿边 向 以每秒 个单位长度的速度运动，当
， 到达终点 ， 时，运动停止．设运动时间为 （单位：秒）．
（1）①当运动停止时， 的值为______.
②设 ， 之间的距离为 ，则 与 满足______（选填“正比例函数关系”，“一次函数关系”，“二
次函数关系”）
（2）设 的面积为 ，
①求 的表达式（用含有 的代数式表示），并写出 的取值范围；
② 是否可以为 ？若可以，请求出此时 的值，若不能，请通过计算说明理由．
【答案】（1）① ①；②一次函数关系
（2）① ；② 不可以为 ，理由见解析
【解析】
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
【分析】本题考查了二次函数的应用，涉及动点问题，三角形的面积，解题的关键是用含有 的式子表示
、 的长度．
（1）①根据时间 路程 速度即可求解；②由 ， ，可得 ，即可求解；
（2）①由（1）得： ， ，最后根据 ，即可求解；②由
，可得 时， 有最大值为 ，即可判断．
【小问1详解】
解：① ，点 沿边 向 以每秒 个单位长度的速度运动，
当运动停止时， 的值为 ，
故答案为： ；
② ， ，
，
即 ，
与 满足一次函数关系，
故答案为：一次函数关系；
【小问2详解】
①由题意得： ，
由（1）得： ，
，
；
② 不可以为 ，理由如下：
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
，且 ，
时， 有最大值，最大值为 ，
，
不可以为 ．
24. 如图， ，点 ， 在射线 上，以AB为直径作半圆，圆心为 ，半圆交射线 于点
， ．
（1）如图1，当 时，若 ，求 的长；
（2）如图2，若 ，且 ，求 的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）过点 作 ，连接 ，根据垂径定理求得 ，进而勾股定理求得 ，根
据含 度角的直角三角形的性质，得出 ，进而即可求解；
（2）连接 ，可得 ，根据已知条件证明 是等腰直角三角形，即可求解．
【小问1详解】
解：如图所示，过点 作 ，连接 ，
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
∴ ，
∵AB为 的直径，
∴ ，
在 中，
又∵ ，即
∴
∴ ，
【小问2详解】
解：如图所示，连接 ，
∵
∴
∴ ，
∵ ，
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
设半径为 ，则 ，
∴
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
即 ,
∴ ．
【点睛】本题考查了垂径定理，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理及其逆定理，三角形的外角的性
质，等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
25. 如图1，某公园在入园处搭建了一道“气球拱门”，拱门两端落在地面上．若将拱门看作抛物线的一
部分，建立如图2所示的平面直角坐标系．当拱门上的点到 点的水平距离为 （单位： ）时，它距地
面的竖直高度为 （单位： ）．
（1）经过对拱门进行测量，发现 与 的几组数据如下：
2 3 6 8 10 12
4 4 0
根据上述数据，直接写出该拱门的高度（即最高点到地面的距离）和跨度（即拱门底部两个端点间的距
离），并求 与 满足的函数关系式．
（2）在一段时间后，公园重新维修拱门．在同样的坐标系下，新拱门上的点距地面的竖直高度 （单位：
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
）与它到 点的水平距离 （单位： ）近似满足函数关系 ，若记原拱门的
跨度为 ，新拱门的跨度为 ，则 ______ （填“ ”，“ ”或“ ”）．
【答案】（1）该拱门的高度为 ，跨度为 ，
（2）
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的实际应用，
（1）由表格得当 时， ，当 时， ，从而可求对称轴和顶点坐标，进而可求出拱门的
高度和跨度，再把解析式设为顶点式利用待定系数法即可求解；
（2）先把 代入 中，求出h的值，则可求出 ，进行比较即可．
【小问1详解】
解：由表格可知抛物线经过 和 ，
∴抛物线的对称轴为直线 ，
∵当 ， ，
∴该拱门的高度为 ，
∵ ，
∴跨度为 ；
设抛物线解析式为 ，
把 代入 中得： ，
解得： ，
∴ ；
【小问2详解】
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
解：把 代入 中得 ，解得 或
（舍去），
∴抛物线 与x轴的另一个交点坐标为 ，
∴ ，
由（1）可得 ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
26. 在平面直角坐标系 中，点 ， 在抛物线 上．
（1）抛物线的对称轴为______（用含 的式子表示），当 时， 与 的大小关系为 ______
（填“ ”“ ”或“ ”）；
（2）若 ，且对于每个 ，都有 成立．
①求 的取值范围；
②若抛物线还过点 ，求证：如果 ，那么 ．
【答案】（1）直线 ；
（2）① 或 ；②证明见解析
【解析】
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
（1）直接利用对称轴公式可得对称轴，利用抛物线的增减性即可判定 与 大小；
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
（2）①利用抛物线开口向上，则离对称轴距离越近的点的函数值越小，可得点 到对称轴直线
的距离一定恒大于点 到对称轴直线 的距离 ，再结合 ，可得结果；
②分 和 两种情况讨论，分别判断 和 的大小关系，再结合 ，即可求证．
【小问1详解】
解：∵抛物线解析式为 ，
∴对称轴为直线 ，抛物线与 轴交点为 ，
∴ 关于直线 的对称点为 ，
∵ ，
∴ ，
根据抛物线开口向上，在对称轴右侧 随 的增大而增大，
∴ ，
故答案为：直线 ； ；
【小问2详解】
解：①∵对于每个 ，都有 成立，且抛物线开口向上，
∴点 到对称轴直线 的距离一定恒大于点 到对称轴直线 的距离，
∵点 到对称轴直线 的距离为 ，
∴点 到对称轴直线 的距离恒大于 ，
∵ ，
∴ 或 ，
∴ 或 ；
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
②证明：当 时，
∵ ，
∴点 到对称轴直线 的距离小于 ，
∵点 到对称轴直线 的距离为 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ；
当 时，
∵ ，
∴点 到对称轴直线 的距离小于 ，
∵点 到对称轴直线 的距离为 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
∴ ．
综上， ．
27. 如图，在 中， 为边 上一点（不与点A，C重合），点D关
于直线 的对称点为 ，连接 ，将线段 绕点 旋转，使点 的对应点 恰好在线段 的延长
线上．
（1）求证： ；
（2）连接 ，过点 作 的垂线，分别交 于点G，H．
①依题意补全图形；
②用等式表示 与 的数量关系，并证明．
【答案】（1）见解析 （2）①图见解析② ，证明见解析
【解析】
【分析】（1）连接 ，过 于点 ，证明 ，得到 ，
， 证 明 ， 得 到 ， 进 而 得 到
，得到 ，
即可得证；
（2）①根据题意，补全图形即可；②过点 作 交 的延长线于点 ， 交 于点 ，
证明 ，得到 ，推出 两点重合，进而得到 ，平行线的性
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
质，对顶角相等，推出 ，进而得到 ，进而推出 ，证明
，即可得出结论．
【小问1详解】
证明：连接 ，过 于点 ，则： ，
∵点D关于直线 的对称点为 ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵旋转，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
【小问2详解】
①补全图形如图：
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
② ，证明如下：
过点 作 交 的延长线于点 ， 交 于点 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
由（1）知： ，
∴ ，
∴点 重合，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查轴对称，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识点，
熟练掌握相关知识点，正确的添加辅助线，构造特殊三角形和全等三角形，是解题的关键．
28. 在平面直角坐标系xOy中，已知点 ，对于点 给出如下定义：将点 向右（ ）或向左
平移 个单位长度，得到点 ，点 关于点 的对称点为 ，称点 为点 关于点 的
“联络点”．
（1）若点 ，点 ，则点 关于点 的“联络点”的坐标为______；
（2）如图，若点 与点 关于原点 对称，点 关于点 的“联络点”为点 ，
①求作：点 和点 （尺规作图，保留作图痕迹）；
②连接 ，在 上取点 ，使 轴，连接OT，求证： ；
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
（3）已知点 是直线 上的动点，点 是直线 上的定点，点 关于点 的“联络点”为
点 ，若线段CE长的取值范围是 ，直接写出所有符合题意的点 的横坐标 的取值范围．
【答案】（1）
（2）见解析 （3） 或
【解析】
【分析】（1）根据题意得出点 向右平移一个单位得到 ，再得出点 关于点
对称点 即可求解；
（2）①根据新定义画出图形，即可求解；
②连接 ，以 为圆心， 为半径作 ， 延长线与 交于点 ．设 交 轴于点 ，
得出 ， ， ，则 ，证明四边形 为平行四边形即可得证；
（3）设 ， ，根据新定义可得 ，即 始终在直线
上运动，根据题意可得直线 与直线 之间的距离大于或等于 ，
直线 与 轴交于点 直线 与 轴交于点 ，进而列出不等式，
解不等式，即可求解．
【小问1详解】
解：依题意，点 向右平移一个单位得到 ，
点 关于点 对称点
∴点 关于点 的“联络点”的坐标为 ，
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
故答案为： ．
【小问2详解】
①以 为圆心， 为半径，作弧交 轴于点 ，分别以 、 为圆心， 为半径作弧交于点 ，
连接 ，交 轴于点 ( 即为所求)，
②连接 ，以 为圆心， 为半径作 ， 延长线与 交于点 ．
设 交 轴于点 ，
， ， ，
为 中点，即 ．
，
为 中点， 轴，
，
∴ ,
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
∴T是 的中点,
∴ ，
四边形 为平行四边形，
．
【小问3详解】
设 ， ，
，点 关于点 对称点
始终在直线 上运动
直线 与直线 之间的距离大于或等于
设直线 与 轴交于点 ，则 ，过点 作 于点 ，则 是等腰直角三
角形，
直线 与 轴交于点 ，则 ，
∴ ，
解得 或
即 或
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
【点睛】本题考查了新定义，坐标与图形，平移与轴对称的性质，平行四边形的性质，一次函数与坐标轴
交点问题，熟练掌握基本几何变换是解题的关键．
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
