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九年级数学试卷
一、选择题（本题共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1. 随着2022年北京冬奥会日渐临近，我国冰雪运动发展进入快车道，取得了长足进步．在此之前，北京
冬奥组委曾面向全球征集2022年冬奥会会徽和冬残奥会会徽设计方案，共收到设计方案4506件，以下是
部分参选作品，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2. 如图，四边形ABCD内接于 ，若 ，则 的度数为（ ）
A. 50° B. 100° C. 130° D. 150°
3. 对于二次函数 的图象的特征，下列描述正确的是（ ）
A. 开口向上 B. 经过原点
C. 对称轴是y轴 D. 顶点在x轴上
4. 若关于x的一元二次方程 有一个根是 ，则a的值为（ ）
A. B. 0 C. 1 D. 或1
5. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，两等圆⊙A，⊙B外切，那么图中两个扇形(即阴影部分)
的面积之和为( )A. π B. π
C. π D. π
6. 某口袋放有编号1~6的6个球，先从中摸出一球，将它放回口袋中后，再摸一次，两次摸到的球相同的
概率是（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，A，B，C是某社区的三栋楼，若在AC中点D处建一个5G基站，其覆盖半径为300 m，则这三
栋楼中在该5G基站覆盖范围内的是（ ）
A. A，B，C都不在 B. 只有B
.
C 只有A，C D. A，B，C
8. 抛物线 的顶点为 ，且经过点 ，其部分图象如图所示.对于此抛物线有
如下四个结论：① ；② ；③ ；④若此抛物线经过点 ，则 一定
是方程 的一个根．其中所有正确结论的序号是（ ）
A. ①② B. ①③ C. ③④ D. ①④二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9. 在平面直角坐标系中，点 关于原点对称的点是B，则线段AB的长为______．
10. 将抛物线 先向上平移一个单位长度，再向下平移一个单位，得到的抛物线的表达式为______．
11. 用一个半径为2的半圆作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为______．
12. 点 ， 在抛物线 上，则 ， 的大小关系为： __________ （填“>”，
“=”或“<”）．
13. 如图， 分别切 于点A，B，Q是优弧 上一点，若 ，则 的度数是
________．
14. 正三角形的内切圆半径、外接圆半径和高的比为___________.
15. 社团课上，同学们进行了“摸球游戏”：在一个不透明的盒子里，装有20个除颜色不同外其余均相同
的黑、白两种球，将盒子里面的球搅匀后，从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复
上述过程．整理数据后，制作了“摸出黑球的频率”与“摸球的总次数”的关系图象，如图所示，经分析
可以推断“摸出黑球”的概率约为_______．
16. 某游乐园的摩天轮(如图1)有均匀分布在圆形转轮边缘的若干个座舱，人们坐在座舱中可以俯瞰美景，
图2是摩天轮的示意图．摩天轮以固定的速度绕中心 顺时针方向转动，转一圈为 分钟．从小刚由登舱
点 进入摩天轮开始计时，到第12分钟时，他乘坐的座舱到达图2中的点_________处(填 ， ， 或)，此点距地面的高度为_______m．
三、解答题（共68分，本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，
第27，28题，每小题7分）
17. 解方程： ．
18. 已知：如图，A为 上的一点．
求作：过点A且与 相切的一条直线．
作法：①连接OA；
②以点A为圆心，OA长为半径画弧，与 的一个交点为B，作射线OB；
③以点B为圆心，OA长为半径画弧，交射线OB于点P（不与点O重合）；
④作直线PA．
直线PA即为所求．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接BA．
由作法可知 ．
的
∴点A在以OP为直径 圆上．
∴ （ ）（填推理的依据）．∵OA是 的半径，
∴直线PA与 相切（ ）（填推理的依据）．
19. 已知关于 的一元二次方程 ．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若 ，且此方程的两个实数根的差为3，求 的值．
20. 在平面直角坐标系 中，抛物线 经过点 ．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）将该抛物线向上平移______个单位后，所得抛物线与x轴只有一个公共点．
（3）当 时，结合函数图象，直接写出y的取值范围．
21. 一个不透明的袋中装有2个红球、1个白球，这些球除颜色外，没有任何其他区别．有如下两个活动：
活动1：从袋中随机摸出一个球，记录下颜色，然后从袋中剩余的球中再随机摸出一个球，摸出的两个球
都是红球的概率记为 ；
活动2：从袋中随机摸出一个球，记录下颜色，然后把这个球放回袋中并摇匀，重新从袋中随机摸出一个
球，两次摸出的球都是红球的概率记为 ．
请你猜想 ， 的大小关系，并用画树状图或列表的方法列出所有可能的结果，验证你的猜想．22. 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元．为了扩大销售，增加赢利，商场
的
决定采取适当 降价措施．经调查发现，在一定范围内，每件衬衫的价格每降低1元，商场每天可多
售出2件．如果商场通过销售这批衬衫每天要赢利1200元，每件衬衫的价格应降低多少元？
23. 某篮球队员的一次投篮命中，篮球从出手到命中行进的轨迹可以近似看作抛物线的一部分，表示篮球
距地面的高度 （单位：m）与行进的水平距离 （单位：m）之间关系的图象如图所示．已知篮球出手位
置 与篮筐的水平距离为4.5m，篮筐距地面的高度为3.05m；当篮球行进的水平距离为3m时，篮球距地
面的高度达到最大为3.3m．
（1）图中点 表示篮筐，其坐标为_______，篮球行进的最高点 的坐标为________；
（2）求篮球出手时距地面的高度．
24. 如图， AC与⊙O相切于点C， AB经过⊙O上的点D，BC交⊙O于点E，DE∥OA，CE是⊙O的直
径．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若BD＝4，CE＝6，求AC的长．
25. 阅读理解：
某“数学兴趣小组”根据学习函数的经验，对函数 的图象和性质进行了探究，探究过程如
下，请补充完整：
（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应数值如下表：
… …… …
其中 ______；
（2）在平面直角坐标系 中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图
象；
（3）根据函数图象，回答下列问题：
①当 时，则y的取值范围为______．
②直线 经过点 ，若关于x的方程 有4个互不相等的实数根，则b的取
值范围是______．
26. 在平面直角坐标系 中，抛物线 ．
（1）若抛物线过点 ，求抛物线的对称轴；
（2）若 ， 为抛物线上两个不同的点．
①当 时， ，求a的值；
的
②若对于 ，都有 ，求a 取值范围．
27. 在正方形 中，点E在射线 上（不与点B、C重合），连接 ， ，将 绕点E逆时
针旋转 得到 ，连接 ．（1）如图1，点E在 边上．
①依题意补全图1；
②若 ， ，求 的长；
（2）如图2，点E在 边的延长线上，用等式表示线段 ， ， 之间的数量关系，并证明．
28. 如图1，对于 的顶点P及其对边 上的一点Q，给出如下定义：以P为圆心， 为半径的
圆与直线 的公共点都在线段 上，则称点Q为 关于点P的内联点．
在平面直角坐标系 中：
（1）如图2，已知点 ，点B在直线 上．
①若点 ，点 ，则在点O，C，A中，点______是 关于点B的内联点；
②若 关于点B的内联点存在，求点B纵坐标n的取值范围；
（2）已知点 ，点 ，将点D绕原点O旋转得到点F，若 关于点E的内联点存在，直
接写出线段EF长度的取值范围．
