文档内容
丰台区 2023~2024 学年度第二学期期末练习
八年级数学
注意事项
1．本练习卷共6页，共三道大题，25道小题，满分100分．练习时间90分钟．
2．在练习卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和考号．
3．练习答案一律填涂或书写在答题卡上，在练习卷上作答无效．
4．在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他题用黑色字迹签字笔作答．
5．练习结束，将本练习卷和答题卡一并交回．
第一部分 选择题
一、选择题（共24分，每题3分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1. 计算 的结果为（ ）
A. B. 3 C. 6 D. 9
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的乘法．熟练掌握二次根式的乘法运算是解题的关键．
根据二次根式的乘法求解作答即可．
详解】解：由题意知， ，
【
故选：B．
2. 下列曲线中，能表示y是x的函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查函数的定义．熟练掌握函数的定义是解题的关键．
根据函数的定义：一个变化的过程中，有两个变量，因变量随着自变量的变化而变化，对于每一个确定的
自变量，都有唯一确定的因变量与之对应，进行判断即可．
【详解】解：A、 的值与 的值一一对应，是函数，符合题意；
B、部分 的值对应多个 的值，不是函数，不符合题意；
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学科网（北京）股份有限公司C、部分 的值对应多个 的值，不是函数，不符合题意；
D、部分 的值对应多个 的值，不是函数，不符合题意．
故选A．
3. 如图，在 中， ，若 ，则 的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查了等边对等角，三角形内角和定理，平行四边形的性质，解题的关键是掌握以上知识点．
首先根据等边对等角得到 ，然后利用三角形内角和定理得到
，然后根据平行四边形的性质求解即可．
【详解】∵ ， ，
∴
∴
∵在 中，
∴
∴ ．
故选：D．
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】本题考查了二次根式的加法、除法、二次根式的性质化简，据此相关运算内容进行逐项分析，即
可作答．
【详解】解：A、 ，故该选项是错误的；
B、 不是同类项，故该选项是错误的；
C、 ，故该选项是正确的；
D、 ，故该选项是错误的；
故选：C
5. 如图，在 中， ， ，O为 的中点，若 ，则点O与点B的距离
是（ ）
A. 20 B. 10 C. D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了含30度角的直角三角形的性质及直角三角形斜边上的中线性质，熟练掌握性质定理是
解题的关键．
连接 ，根据含30度角的直角三角形的性质得出 ，再根据直角三角形斜边上的中线等于
斜边的一半即可得出答案．
【详解】解：连接 ，
在 中， ， ， ，
，
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学科网（北京）股份有限公司O为 的中点，
，
故选B．
6. 某次演讲比赛中，小东同学在演讲内容、演讲能力、演讲效果三个方面的成绩（百分制）如下表：
演讲内容 演讲能力 演讲效果
分数 90 80 85
若对演讲内容、演讲能力、演讲效果分别赋权5，3，2，则小东同学此次演讲比赛的平均成绩（百分制）
是（ ）
A. 80 B. 85 C. 86 D. 90
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查加权平均数的计算，掌握加权平均数的计算方法是解题的关键．
利用加权平均数的计算方法解题即可．
【详解】 （分）
∴小东同学此次演讲比赛的平均成绩（百分制）是86分．
故选：C．
7. 如图，在 中，E，F分别是 的中点，连接 ．如果只添加一个条件即可证明四边形
是菱形，那么这个条件可以是（ ）
.
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了菱形的判定，平行四边形的性质．先证明四边形 是平行四边形，再根据
菱形的判定定理，逐项判断即可求解．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∵E，F分别是 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
A、当 时，四边形 是矩形，故本选项不符合题意；
B、当 时，无法得到四边形 是菱形，故本选项不符合题意；
C、当 时，无法得到四边形 是菱形，故本选项不符合题意；
D、当 时， ，此时四边形 是菱形，故本选项符合题意；
故选：D
8. 下面的三个问题中都有两个变量：
①汽车从甲地匀速行驶到乙地，汽车的剩余路程y与行驶时间x；
②将一些相同的练习册摞在一起，这些练习册的总厚度y与本数x；
③将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y与放水时间x．
其中，变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是（ ）
A. ①②③ B. ①③ C. ①② D. ②③
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了函数图象．熟练掌握函数图象是解题的关键．
分析①②③中y随着x的变化情况，然后与图中y随x的增大而减小对比，判断作答即可．
【详解】解：由题意知，汽车从甲地匀速行驶到乙地，汽车的剩余路程y随着行驶时间x的增大而减小；
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学科网（北京）股份有限公司可以用如图所示的图象表示，故①符合要求；
将一些相同的练习册摞在一起，这些练习册的总厚度y随着本数x的增大而增大；不能用如图所示的图象
表示，故②不符合要求；
将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y随着与放水时间x的增大而减小．可以用如图所
示的图象表示，故③符合要求；
故选：B．
第二部分 非选择题
二、填空题（共24分，每题3分）
9. 若 在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件．熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
根据 ，求解作答即可．
【详解】解：由题意知， ，
解得， ，
故答案为： ．
10. 已知函数 ， 随 的增大而增大，写出一个满足条件的 的值______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的性质，解题的关键是利用一次函数的性质，找出关于 的不等式．利用一
次函数的性质，求 即可．
【详解】解： 函数 ， 随 的增大而增大，
即
的值可以为：
故答案为： （答案不唯一）
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学科网（北京）股份有限公司11. 如图，A，B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连接AC和BC．分别取AC，BC的中点D，E，测得
D，E两点间的距离为30m，则A，B两点间的距离为______m．
【答案】60
【解析】
【分析】先判断出DE是 ABC的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可
得AB＝2DE，问题得解．△
【详解】解：∵点D，E分别是AC和BC的中点，
∴DE是 ABC的中位线，
∵DE＝3△0 ，
∴AB＝2DE＝2×30＝60（m）．
故答案为：60．
【点睛】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记定理并准确识图是解题的
关键．
12. 甲、乙两台包装机同时包装糖果，从中各抽取5袋，测得它们的实际质量（单位：g）并绘制如下统计
图．如果甲、乙包装机这5次包装糖果的质量的方差分别为 ， ，那么 ______ （填“ ”，“
”或“ ”）．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了方差，根据方差的计算公式分别进行解答即可．
【详解】解：甲的平均数是： ；
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学科网（北京）股份有限公司∴甲的方差是： ；
乙的平均数是： ；
速乙的方差是： ；
，
故答案为： ．
13. 如图，函数 的图象与x轴的交点是 ，则关于x的不等式 的
解集为______．
【答案】 ##
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质．观察函数图象得：y随x的增大而增大，即可求解．
【详解】解：观察函数图象得：y随x的增大而增大，
∵函数 的图象与x轴的交点是 ，
∴关于x的不等式 的解集为 ．
故答案为：
14. 如图，在矩形 中， ， ，将矩形 沿 折叠，点D恰好落在 边上的
点F处，则 的长为______．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】 ##
【解析】
【分析】本题主要考查了矩形和图形的折叠问题，勾股定理．根据矩形和折叠的性质可得 ，
在 中，根据勾股定理，即可求解．
【详解】解：∵四边形 是矩形，
∴ ， ，
由折叠的性质得： ，
在 中， ，
∴ ．
故答案为：
15. 如图，在平面直角坐标系 中，四边形 是菱形， ，点B的坐标为 ，
则菱形 的面积是______．
【答案】
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】本题考查了菱形的性质，含 的直角三角形，勾股定理等知识．熟练掌握菱形的性质，含
的直角三角形，勾股定理是解题的关键．
由题意知， ，由四边形 是菱形， ，可得 ， ，
， ， 则 ， 由 勾 股 定 理 得 ， ， 则
，根据菱形 的面积为 ，计算求解即可．
【详解】解：由题意知， ，
∵四边形 是菱形， ，
∴ ， ， ， ，
∴ ，
由勾股定理得， ，
∴ ，
∴菱形 的面积为 ，
故答案为： ．
16. 某校初二（1）班负责学校种植园的黄瓜、茄子两块菜地，定期选派学生完成菜地的打理工作，打理内
容包括A（施肥），B（除草），C（浇水）三项，要求如下：
①其中项目A，B顺序可以交换，但项目C必须放在最后完成；
②每块菜地同一时间只能有一人进行打理；
③每块菜地每项完成时间如下表：
时间（分
钟） 项目
A B C
菜地
黄瓜菜地 15 12 9
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学科网（北京）股份有限公司茄子菜地 18 15 9
现有该班3名同学打理菜地，小明只负责项目A，小亚只负责项目B，小红只负责项目C，在不考虑其他因
素的前提下，若这3人只完成黄瓜菜地的打理，则需要______分钟；若这3人完成两块菜地的打理，则最
少需要______分钟．
【答案】 ①. 36 ②. 45
【解析】
【分析】本题考查有理数加法在生活中的应用，根据所给规则合理安排工作顺序，即可求解．
【详解】若这3人只完成黄瓜菜地的打理，需要 （分钟）；
若要需要最少时间，
小明先给黄瓜菜地施肥，同时小亚给茄子菜地除草，用时15分钟，
然后小明给茄子菜地施肥，用时18分钟，
同时小亚给黄瓜菜地除草，用时12分钟，然后小红给黄瓜菜地浇水，用时9分钟，
然后小红最后给茄子菜地浇水，
∴总用时为 （分钟）．
故答案为：36，45．
三、解答题（共52分，第17-20题，每题5分，第21-23题，每题6分，第24-25题，每题7
分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17. 计算： ．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了二次根式的乘法，化简二次根式和绝对值，解题的关键是掌握以上运算法则．
首先计算二次根式的乘法，化简二次根式和绝对值，然后计算加减．
【详解】
．
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学科网（北京）股份有限公司18. 如图，在 中，分别过点B，D作 的垂线，垂足为E，F．求证： ．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题主要考查平行四边形的性质以及全等三角形的判定和性质，掌握 证三角形全等，是解题
的关键．
首先根据平行四边形的性质得到 ， ，求出 ，然后证明出
，即可得到 ．
【详解】∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
19. 在平面直角坐标系 中，一次函数 的图象经过点 ， ．
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学科网（北京）股份有限公司（1）求 的值；
（2）若函数 的图象与一次函数 的图象的交点为C，在给出的平面直角坐标系 中画出
这两个函数的图象，并直接写出 的面积．
【答案】（1）
（2）画图见解析，2
【解析】
【分析】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数的解析式，画一次函数的图象，坐标与图形面积，熟
练的求解一次函数的解析式是解本题的关键．
（1）利用待定系数法求解一次函数的解析式即可；
（2）先列表，再描点画图，然后利用三角形面积公式求解即可；
【小问1详解】
解：∵一次函数 的图象经过 ， 两点．
∴ ，
解得： ，
∴一次函数的解析式为： ；
【小问2详解】
列表：
1
画图如下：
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学科网（北京）股份有限公司由图象可得，点C的坐标为
∴ 的面积 ．
20. 北京园博园是一个集园林艺术、文化景观、生态休闲、科普教育于一体的大型公益性城市公园．小田
和小旭在北京园博园游玩，两人同时从永定塔出发，沿相同的路线游览到达国际展园，路线如图所示．
记录得到以下信息：
a．小田和小旭从永定塔出发行走的路程 和 （单位： ）与游览时间x（单位： ）的对应关系
如下图：
b．在小田和小旭的这条游览路线上，依次有4个景点，从永定塔到这4个景点的路程如下表：
景点 济南园 忆江南 北京园 锦绣谷
路程（
1 2 3
）
根据以上信息，回答下列问题：
（1）在这条游览路线上，永定塔到国际展园的路程为 ；
（2）小田和小旭在游览过程中，除永定塔与国际展园外，在 相遇（填写景点名称），此时距出发
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学科网（北京）股份有限公司经过了 ；
（3）下面有三个推断：
①小旭从锦绣谷到国际展园游览的过程中，平均速度是 ；
②小旭比小田晚到达国际展园 ；
③ 时，小田比小旭多走了 ．
所有合理推断的序号是 ．
【答案】（1）4 （2）忆江南，
（3）②③
【解析】
【分析】（1）由图象可知， ，则永定塔到国际展园的路程为4 ；
（2）由图象可知，当 时，小田和小旭在忆江南相遇，由图象可知，小田的运动速度为
，则小田和小旭在忆江南相遇时的相遇时间为 ，计算求解即可；（3）由图象可知，
小旭从锦绣谷到国际展园游览的过程中，平均速度是 ，可判断①的正误；小旭比小田晚
到达国际展园 ，可判断②的正误； 时，小田走的路程为 ，则小田比小旭
多走了 ，可判断③的正误．
【小问1详解】
解：由图象可知， ，
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学科网（北京）股份有限公司∴永定塔到国际展园的路程为4 ，
故答案为：4；
【小问2详解】
解：由图象可知，当 时，小田和小旭在忆江南相遇，
由图象可知，小田的运动速度为 ，
∴小田和小旭在忆江南相遇时的相遇时间为 （ ），
故答案为：忆江南， ；
【小问3详解】
解：由图象可知，小旭从锦绣谷到国际展园游览的过程中，平均速度是 ，①错误，故不
符合要求；
小旭比小田晚到达国际展园 ，②正确，故符合要求；
时，小田走的路程为 ，
∴小田比小旭多走了 ，③正确，故符合要求；
故答案为：②③．
【点睛】本题考查了函数图象，有理数减、乘、除运算的应用．从图象中获取正确的信息是解题的关键．
21. 如图，菱形 的对角线 交于点O， ， ．
（1）求证：四边形 是矩形；
（2）连接 ，若 ， ，求 的长．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】（1）见详解 （2）3
【解析】
【分析】（1）先证四边形 是平行四边形，再由菱形的性质得 ，则 ，然后
由矩形的判定即可得出结论；
（2）由菱形的性质得 ，结合矩形的性质得 ，再由勾
股定理得 ，即可求解．
本题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键
【小问1详解】
证明： ， ，
四边形 是平行四边形，
四边形 是菱形，
，
，
平行四边形 是矩形．
【小问2详解】
解：如图，连接
四边形 是菱形，
，
∵四边形 是矩形
∴
∴在 中，由勾股定理得： ．
22. 为了解某校八年级学生的环保知识学习的情况，从八年级全体学生中随机抽取男生、女生各 人进行
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学科网（北京）股份有限公司环保知识测试，获得了他们的测试成绩（百分制），并对成绩的数据进行整理、描述和分析．下面给出了
部分信息．
a．所抽取的八年级男生的环保知识测试成绩的数据的频数分布表：
分数
频数 2 3 7 3
其中，在 的成绩的数据有：
．
b．所抽取的八年级男生、女生的环保知识测试成绩的数据的平均数、中位数、众数如下：
平均数 中位数 众数
男生 m n
女生
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中m，n的值；
（2）在所抽取的男生中，记环保知识测试成绩高于他们的平均分的人数为 ．在所抽取的女生中，记环
保知识测试成绩高于她们的平均分的人数为 ．比较 ， 的大小，并说明理由；
（3）假设该校八年级学生都参加此次测试，其中男生有 人，估计男生测试成绩不低于 分的人数
（直接写出结果）．
【答案】（1） ，
（2） ，理由见解析
（3） 人
【解析】
【分析】（1）由题意知，中位数为从小到大依次排序里的第8位数，落在 ，即 ， 出
现了4次，次数最多，即 ；
（2）由题意知， ，由女生成绩的中位数为 ，可知有7个人的成绩大于或等于 ，此时
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学科网（北京）股份有限公司，进而可得 ；
（3）由题意知，样本中不低于 分的人数有7人，根据 ，计算求解即可．
【小问1详解】
解：由题意知，中位数为从小到大依次排序里的第8位数，落在 ，即 ，
出现了4次，次数最多，即 ，
故答案为： ， ；
【小问2详解】
解： ，理由如下；
由题意知， ，
∵女生成绩的中位数为 ，
∴有7个人的成绩大于或等于 ，此时 ，
∴ ；
【小问3详解】
解：由题意知，样本中不低于 分的人数有7人，
∴ ，
∴估计男生测试成绩不低于 分的人数为 人．
【点睛】本题考查了中位数，众数，利用中位数进行决策，利用平均数进行决策，用样本估计总体．熟练
掌握中位数，众数，利用中位数进行决策，利用平均数进行决策，用样本估计总体是解题 的关键．
23. 在平面直角坐标系 中，一次函数 的图象由函数 的图象向上平移1个
单位长度得到．
（1）求这个一次函数的解析式；
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学科网（北京）股份有限公司（2）当 时，对于x的每一个值，函数 的值小于一次函数 的值，直接写出
m的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的解析式，平移性质，一次函数的交点问题与不等式，正确掌握相关性质内
容是解题的关键．
（1）根据向上平移1个单位长度，得出 ；
（2）先得出 经过点 ，再把 代入 ，得出 ，结合函数
的值小于一次函数 的值，即可作答．
即可作答．
【小问1详解】
解：∵一次函数 的图象由函数 的图象向上平移1个单位长度得到
∴
【小问2详解】
解：由（1）知
∴把 代入 得出
即 经过点
把 代入 ，得出
∴
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学科网（北京）股份有限公司∵函数 的值小于一次函数 的值，
∴
当 与 平行时，
即 也满足条件
∴
故答案为：
24. 如图，E是正方形 边 上一动点（不与点B，C重合），连接 ，过点A作 的垂线交
的延长线于点F．
（1）求证： ；
（2）连接 ，取 中点P，连接 并延长，交 于点H，依题意补全图形，直接写出
的大小，并证明．
【答案】（1）见详解 （2） ，证明见详解
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【 分 析 】 （ 1 ） 根 据 正 方 形 的 性 质 以 及 容 易 证 明 ， ，
，从而证得 ，根据全等三角形的性质得出结论；
（2）先根据正方形的性质以及 中点P，证明 ，结合线段的和差关系得出 ，
再证明 ，根据角的等量代换，即可作答．
本题考查了正方形的性质以及全等三角形的性质与判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
【小问1详解】
证明： 四边形 是正方形，
， ，
，
，
，
．
；
【小问2详解】
解： ，证明如下：
∵四边形 是正方形，
， ，
∴
∵点P是 中点
∴
如图：射线 交 于一点W，
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学科网（北京）股份有限公司∵
∴
∴
∵
∴
∴
即
∵
∴
∴
∵
∴
25. 在平面直角坐标系 中，对于线段 和点P给出如下定义：若 ， ，则
称点P是线段MN的“关联点”．已知点 ， ， ， ．
（1）点E在线段 上．
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学科网（北京）股份有限公司①如图，当点E是线段 的中点时，在点 ， ， 中，线段 的“关联点”
是 ；
②当点E在线段 上运动时，点G是线段 的“关联点”，直接写出点G的横坐标t的取值范围；
（2）点F在四边形 的边上运动（点F不与点A重合），点 ，点 ，若线段
上存在线段 的“关联点”，直接写出h的取值范围．
【答案】（1）① ；② 或 ；
（2）
【解析】
【分析】（1）①先画图，直接按照相定义进行计算判断即可；②如图，作 的垂直平分线交 轴于 ，
交 于 ，过 作 轴，交垂直平分线于 ，过 作 轴的平行线交 于 ，证明 为
的关联点， 为 的关联点，再证明 ，可得 ，再进一步解答即可；
（2）如图，证明四边形 为正方形，可得 的关联点是以 为对角线的正方形的另外两个顶点，
当最上方的顶点与 重合时， ；当 过 时，则 ，可得 ，从而可得答案.
【小问1详解】
解：①如图，
第24页/共28页
学科网（北京）股份有限公司∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是 的关联点，
同理可得： 是 的关联点， 不是 的关联点，
②如图，作 的垂直平分线交 轴于 ，交 于 ，过 作 轴，交垂直平分线于 ，过
作 轴的平行线交 于 ，
∵ ， ， ，
∴设直线 为 ，
∴ ，
解得： ，
∴直线 为 ，
设 ，而 ，
∴ ，
设 的解析式为 ，
∴ ，
解得： ，
∴ 为： ，
第25页/共28页
学科网（北京）股份有限公司如图，直线 ： ； ，
∴ ， ，
∴ ，
解得： ，即 ，
设直线 为 ，
∴ ，
解得： ，
∵ ，结合上面推导可得： 为 ，
把 代入可得： ，
∴ 为 ，
当 时， ，
∴ ，
∴ ， ， ，
∴ ， ，
第26页/共28页
学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴ 为 的关联点，
同理可得： 为 的关联点，
∴ ，四边形 为正方形，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴此时 的横坐标为 ，
当 与 重合， 的横坐标为 ，
当 与 重合， 的横坐标为 ，
∴当点E在线段 上运动时，点G是线段 的“关联点”，点G的横坐标t的取值范围为 或
；
【小问2详解】
解：如图，∵ ， ， ， ，
由四边形的对角线相等，互相垂直平分，可得
四边形 为正方形，
第27页/共28页
学科网（北京）股份有限公司∴ 的关联点是以 为对角线的正方形的另外两个顶点，
∴当最上方的顶点与 重合时， ；
当 过 时，则 ，
∴ ，
解得： ，
∴线段 上存在线段 的“关联点”，h的取值范围为： ；
【点睛】本题考查的是一次函数的几何应用，正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角
三角形的判定与性质，勾股定理及勾股定理的逆定理的应用，熟练的利用数形结合的方法解题是关键.
第28页/共28页
学科网（北京）股份有限公司
