文档内容
2024—2025 学年第一学期期中三校联考
高三数学
本试卷共2页，19小题，满分150分。考试用时120分钟。
注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。
用 2B 铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号。
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂
黑:如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的
相应位置上:如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案:不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4.考生必须保持答题卡的整洁。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一
项、是符合题目要求的.
1．已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．已知复数 满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．已知正方形 的边长为1，设点M、N满足 ， .若 ，则
的最小值为（ ）
A．2 B．1 C． D．
4．若 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
5．如图所示的是古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着的一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直
径恰好与圆柱的高相等.相传这个图形表达了阿基米德最引以为荣的发现.设圆柱的体积与球的体积之比
为 ，圆柱的表面积与球的表面积之比为 ，则 的展开式中的常数项是（ ）
A． B． C．15 D．206．将函数 的图象向右平移 个单位长度，得到的图象对应的函数 在区间
上单调递减，则m的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7．在等差数列 中， 是 的前 项和，若 ， ，则有限项数列 中，
最大项和最小项分别为（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数 满足 ，当 时， ，则（ ）
A． 为奇函数 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分
9．已知在某校高三年级的一次数学测验中，1000名学生的成绩服从正态分布 ，其中90分为
及格线，120分为优秀线，则对于该校学生成绩，下列说法正确的有(参考数据：①
；② ③ （ ）
A．标准差为100 B．及格率超过
C．得分在 内的人数约为997
D．低于80分的人数和达到优秀线的人数大致相等
10．已知函数 的极大值点为 ，则（ ）
A． B．
C．若 ，则 D．若 ，则
11．已知平面内两定点 和 与一动点 ，满足 ，若动点 的轨
迹为曲线 ，则下列关于曲线 的说法正确的是（ ）
A．存在 ，使曲线 过坐标原点； B．曲线 关于 轴对称，但不关于 轴对称；C．若 三点不共线，则 周长最小值为 ；
D．曲线 上与 不共线的任意一点 关于原点对称的点为 ，则四边形 的面积不大于
.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12．在平面直角坐标系 中，双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，P为双
曲线C上一点．若当 与x轴垂直时，有 ，则双曲线C的离心率为 ．
13．若曲线 与 有一条斜率为2的公切线，则 .
14．在n维空间中（ ， ），以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为n维坐标
，其中 .则5维“立方体”的顶点个数是 ；定义：在n维空间
中两点 与 的曼哈顿距离为 .在5维“立方体”的顶点
中任取两个不同的顶点，记随机变量X为所取两点间的曼哈顿距离，则 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15．（13分）已知△ 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且
．
（1）求 ；
（2）若 ，△ 的面积为 ，求 的值．
16．（15分）古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积等于圆周率 与椭圆的长半轴长、短半轴长的乘积.已知椭圆 的中心为坐标原点，焦点 ， 均在 轴上，面积为 ，点 在椭圆
上.
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)经过点 的直线 与曲线 交于 ， 两点， 与椭圆 的面积比为 ，求直线 的方程.
17．（15分）如图，在三棱柱 中，底面 是边长为2的正三角形，侧面 是菱形，
平面 平面 ， ， 分别是棱 ， 的中点， 是棱 上一点，且 ．
(1)证明： 平面 ；
(2)若三棱锥 的体积为1，且二面角 的余弦值为
，求 的值．
18．（17分）已知函数 .
(1)若函数 在定义域上单调递增，求 的取值范围；
(2)若 ；求证： ；
(3)设 ， 是函数 的两个极值点，求证： .19．（17分）若无穷数列 满足 ， ，则称 具有性质 ．若无穷数列
满足 ， ，则称 具有性质 ．
(1)若数列 具有性质 ，且 ，请直接写出 的所有可能取值；
(2)若等差数列 具有性质 ，且 ，求 的取值范围；
(3)已知无穷数列 同时具有性质 和性质 ， ，且 不是数列 的项，求数列 的通项.
