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2023 年北京密云区太师庄中学八年级下期末数学试卷
一、选择题（共8小题；共40分）
1. =( )
A. B. 4 C. D. 8
【答案】D
【解析】
【分析】根据算术平方根的定义求解即可.
【详解】解： =8
故答案为D.
【点睛】本题主要考查了求一个数的算术平方根，熟练掌握概念是解题的关键.
2. 甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击成绩平均数均是9.2环，方差分别为
，则成绩最稳定的是（ ）
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
【答案】D
【解析】
【分析】根据方差的意义可作出判断，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据
分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
【详解】 ，
成绩最稳定的为丁．
故选D．
【点睛】本题考查了方差的意义，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离
平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分别比较集中，各数据偏离平
均数越小，即波动越小，数据越稳定．
3. 若三角形的三边分别是a，b，c，且 ，则这个三角形的周长是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】试题解析：由原式得
故此三角形的周长为
故选D
4. 以下列线段的长为三边的三角形中，能构成直角三角形的是（ ）
A. 32，42，52 B. 13，5，12 C. ， ， D. ， ，
【答案】B
【解析】
【分析】根据勾股定理的逆定理，验证四个选项中数据是否满足“较小两边平方的和等于最大边的平方”，
由此即可得出结论．
【详解】A、因为32=9，42=16，52=25，92+162≠252，不能构成直角三角形，此选项错误；
B、因为52+122=132，能构成直角三角形，此选项正确；
C、因为（ ）2+（ ）2 （ ）2，不故能构成直角三角形，此选项错误．
D、因为 ，不能构成直角三角形，此选项错误．
故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是根据勾股定理的逆定理验证四个选项．本题属于基
础题，难度不大，解决该题型题目时，套入数据验证“较小两边平方的和是否等于最大边的平方”是关键．
5. 下列命题的逆命题是假命题的是（ ）
A. 等腰三角形的两底角相等 B. 全等三角形的对应边相等
的
C. 全等三角形 对应角相等 D. 若 ，则
【答案】C
【解析】
【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，进而利用举反例判断命题正确性即可．【详解】解：A、等腰三角形的两底角相等的逆命题是三角形中的两个内角相等，那么这个三角形是等腰
三角形，逆命题是真命题，不符合题意；
B、全等三角形的对应边相等的逆命题是两个三角形中的三条对应边相等，那么这两个三角形全等，逆命
题是真命题，不符合题意；
C、全等三角形的对应角相等的逆命题是对应角相等的三角形全等，逆命题是假命题，符合题意；
D、若 ，则 的逆命题是若 ，则 ，逆命题是真命题，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一
个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆
命题．
6. 将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形 ，转动这个四边形，使它形状改变，当
时，如图1，测得 ，当 时，如图2， （ ）
.
A B. 2 C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】图1中根据勾股定理即可求得正方形的边长，图2根据有一个角是 的等腰三角形是等边三角
形即可求得．
【详解】解：如图1，
∵ ， ，
∴四边形 是正方形，
连接 ，则 ，∴ ，
如图2， ，连接 ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
故选：A．
【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理以及等边三角形的判定和性质，利用勾股定理得出正方形的
边长是关键．
的
7. 如果一个正比例函数 图象经过不同象限的两点A（2，m），B（n，３），那么一定有【 】
A. m>0，n>0 B. m>0，n<0 C. m<0，n>0 D. m<0，n<0
【答案】D
【解析】
【详解】∵A，B是不同象限的点，而正比例函数的图象要不在一、三象限,要不在二、四象限，
∴由点A与点B的横纵坐标可以知：
点A与点B在一、三象限时：横纵坐标的符号应一致，显然不可能；
点A与点B在二、四象限：点B在二象限得n<0，点A在四象限得m<0.
故选D.
8. 若点A（m,n）在y= x+b的图像上，且2m-3n＞6，则b的取值范围为（ ）
A. b＞2 B. b＞-2 C. b＜2 D. b＜-2
【答案】D
【解析】【分析】由点A的坐标结合一次函数图象上点的坐标特征，可得出 m+b=n，2m-3n= -3b再由2m-3n＞
6，，即可得出b的取值范围．
【详解】∵点A（m,n）在y= x+b的图像上，
∴ m+b=n，2m-3n= -3b，
∵2m-3n＞6，
∴-3b＞6 解得b＜-2.
故选D.
【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象与系数的关系.
二、填空题（共8小题；共40分）
9. 化简： _______
【答案】
【解析】
【分析】利用平方差公式分解因式再化简即可．
【详解】
故答案是 ．
【点睛】此题考查了平方差公式分解因式,整式的混合运算，正确掌握平方差公式分解因式的方法是解题的
关键．
10. 在一次演讲比赛中，某选手的得分情况如下：87、91、91、93、87、89、96、97，这组数据的中位数
是_________.
【答案】91
【解析】
【分析】根据中位数的概念解答，中位数的概念：将数据排序（从大到小或从小到大）后，位置在最中间
的数值（或最中间两个数据的平均数）．
【详解】我们将这组数从小到大排列：87、87、89、91、91、93、96、97，
因为这组数列的个数为偶数，所以中位数为最中间两个数据的平均数，即中位数为 ，
故答案为：91．
【点睛】此题考查了中位数的定义，熟记定义是解题的关键．
11. 若点 在一次函数 的图象上，则 ________________．
【答案】
【解析】
【分析】把点 代入 中，即可求得m的值．
【详解】解：∵点 在一次函数 的图象上，
∴ ，
解得： ；
故答案为： ．
【点睛】本题考查了点与函数图象的关系，注意，点在函数图象上，则点的坐标满足函数解析式．
12. 在式子① ，② ，③ ，④ ，⑤ ，⑥ 中，是
二次根式的有________________（填写序号）．
【答案】①③④⑥
【解析】
【分析】形如 这样的式子称为二次根式，根据这个定义去判断即可．
【详解】解： 中被开方数是负数，不是二次根式， 是立方根，也不是二次根式，其余均是二次
根式；
故答案为：①③④⑥．
【点睛】本题考查了二次根式的识别，掌握二次根式的概念、立方根的概念是解题的关键．
13. 如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB于点E，cosA= ，BE=4，则tan∠DBE的值是___．【答案】2．
【解析】
【详解】∵四边形ABCD是菱形，∴AD=AB．
∵cosA= ，BE=4，DE⊥AB，∴设AD=AB=5x，AE=3x．
∵BE=4，∴5x﹣3x=4，解得x=2．∴AD=10，AE=6，
在Rt△ADE中，由勾股定理得： ，
在Rt△BDE中， =2．
考点：菱形的性质，锐角三角函数定义，勾股定理．
14. 如图，函数y=2x和y=ax+5的图象相交于A（m，3），则不等式2x＜ax+5的解集为______．
【答案】x＜ ．
【解析】
【分析】先把点A（m，3）代入函数y=2x求出m的值，再根据函数图象即可直接得出结论．
【详解】∵点A（m，3）在函数y=2x的图象上，
∴3=2m，解得m= ，
∴A（ ，3），
由函数图象可知，当x＜ 时，函数y=2x的图象在函数y=ax+5图象的下方，
∴不等式2x＜ax+5的解集为：x＜ ．15. 小明从家跑步到学校，到达学校后马上沿原路步行回家，如图所示为小明离家的路程 与时间
之间的函数图像，则小明回家的速度是每分钟步行____m．
【答案】
【解析】
【分析】根据图像得到小明家距学校及回家的时间，结合速度等于路程除以时间即可得到答案．
【详解】解：通过读图可知：小明家距学校 ，小明从学校步行回家的时间是 ，
所以小明回家的速度是每分钟步行 （m）．
故答案为： ．
【点睛】本题考查根据一次函数图像求解问题，解题的关键是根据图像提取数据．
16. 如图，已知 ，点 在边 上， ，点 ， 在边 上， ，若
，则 __．
【答案】5
【解析】
【分析】过 作 ，交 于点 ，先说明 ，再根据含30度直角三角形的性质可得的长；由 ，利用等腰三角形三线合一可得 为 中点，再根据 求出 的长，最后
根据 即可解答．
【详解】解：如图：过 作 交 于点 ，
在 中，
∴ ，
∵ ，
，
， ， ，
，
．
故答案为：5．
的
【点睛】本题主要考查 是含30度直角三角形的性质、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握直角三角
形的性质是解本题的关键．
三、解答题（共10小题；共130分）
17. 计算： ．
【答案】【解析】
【分析】根据零指数幂，二次根式性质化简，绝对值的意义对各项进行计算，再依次计算即可．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查了实数运算，涉及零指数幂，二次根式性质，绝对值的意义，二次根式的加减运算，熟
练掌握运算法则是解答本题的关键．
18. 已知：如图，在Rt ABC中，∠C=90°，∠1=∠2，CD=1.5，BD=2.5，求AC的长.
△
【答案】AC=3.
【解析】
【分析】过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得 CD=DE，再利用勾股定理
列式求出BE，然后根据勾股定理列式计算即可得解．
【详解】解：作DE⊥AB于E，
∵∠1=∠2，∠C= 90°，
∴ DE= CD=1.5.
在 BDE中，∵∠BED=90°，
△
∴BE= = =2.
在Rt△ACD与Rt△AED中，
∵∠1=∠2，∠C= 90°=∠AED，AD=AD∴Rt ACD≌Rt AED,
∴AC△=AE, △
∵CD=1.5 BD=2.5
∴BC=1.5+2.5=4
∵在Rt ABC中，∠C=90°，
△
∴
即
∴
∴AC=3.
【点睛】本题考查角平分线性质与勾股定理以及全等三角形，熟练掌握基础知识是解题关键.
19. 我们约定：如果身高在选定标准的±2%范围之内都称为“普通身高”．为了解某校九年级男生中具有
“普通身高”的人数，我们从该校九年级男生中随机选出10名男生，分别测量出他们的身高（单位：
cm）收集并整理如下统计表：
男生序号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩
身高 163 171 173 159 161 174 164 166 169 164
根据以上表格信息，解答如下问题：
（1）计算这组数据的三个统计量：平均数、中位数和众数；
（2）请你选择一个统计量作为选定标准，找出这10名具有“普通身高”的是哪几位男生？并说明理由；
（3）若该年级共有280名男生，按（2）中选定标准，请你估算出该年级男生中“普通身高”的人数约有
多少名？
【答案】（1）平均数为166.4cm，中位数为165cm，众数为164cm；（2）见解析；（3）见解析．
【解析】
【分析】（1）根据平均数、中位数和众数的定义分别进行计算，即可求出答案；
（2）根据选平均数作为标准，得出身高x满足166.4×（1-2%）≤x≤166.4×（1+2%）为“普通身高”，从而
得出⑦、⑧、⑨、⑩男生的身高具有“普通身高”；
根据选中位数作为标准，得出身高x满足165×（1-2%）≤x≤165×（1+2%），为“普通身高”，从而得出①、
⑦、⑧、⑩男生的身高具有“普通身高”；
根据选众数作为标准，得出身高x满足164×（1-2%）≤x≤164×（1+2%）为“普通身高”，此时得出①、⑤、
⑦、⑧、⑩男生的身高具有“普通身高”．（3）分三种情况讨论，（1）以平均数作为标准（2）以中位数作为标准（3）以众数数作为标准；分别用
总人数乘以所占的百分比，即可得出普通身高的人数．
【详解】（1）平均数为：（163+171+173+159+161+174+164+166+169+164）÷10=166.4cm
中位数为：（166+164）÷2=165cm
众数为：164cm；
（2）三个标准任选一个，
选平均数作为标准：
身高x满足166.4×（1-2%）≤x≤166.4×（1+2%），
即163.072≤x≤169.728时为“普通身高”，
此时⑦、⑧、⑨、⑩男生的身高具有“普通身高”，
选中位数作为标准：
身高x满足165×（1-2%）≤x≤165×（1+2%），
即161.7≤x≤168.3时为“普通身高”，
此时①、⑦、⑧、⑩男生的身高具有“普通身高”；
选众数作为标准：
身高x满足164×（1-2%）≤x≤164×（1+2%），
即160.72≤x≤167.28时为“普通身高”，
此时①、⑤、⑦、⑧、⑩男生的身高具有“普通身高”；
（3）三个标准任选一个，
以平均数作为标准，估计全年级男生中“普通身高”的人数约为：280× =112（人）
以中位数作为标准，估计全年级男生中“普通身高”的人数约为：280× =112（人）
以众数数作为标准，估计全年级男生中“普通身高”的人数约为： 280× =140（人）．
【点睛】题目主要考查平均数、中位数和众数的求法，一元一次不等式的应用，估计总体中满足条件的数
量等，解答本题的关键是注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，
如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．
20. 解答
（1）请你根据图甲中的直角三角形叙述勾股定理（用文字及符号语言叙述）．（2）以图甲中的直角三角形为基础，可以构造出以 ， 为底，以 为高的直角梯形，如图乙所示，
请你利用图乙验证勾股定理．
【答案】（1）在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方；
（2）验证见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意分别用文字和符号描述出勾股定理即可；
（2）根据题意可知 ，可得 ，进而求得 ，利用
整理可得验证出勾股定理．
【小问1详解】
文字语言叙述：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方，
符号语言叙述： ；
【小问2详解】
，
，又 ，
，
，
，
，
整理，得 ．
【点睛】本题考查了勾股定理的计算与证明，理解题意，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．
21. 如图，在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点A（﹣3，
0），与y轴交于点B，且与正比例函数y＝ x的图象的交点为C（m，4）．
（1）求一次函数y＝kx+b的解析式；
（2）D是平面内一点，以O、C、D、B四点为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点D的坐标．（不
必写出推理过程）．
【答案】(1) y＝ x+2;(2)（﹣3，﹣2）、（3，2）、（3，6）
【解析】
【分析】（1）先把点C的坐标代入正比例函数关系式，可求出m的值，再把点A，C的坐标代入一次函数
的解析式求出k，b即可．
（2）利用CD平行且等于OD，或BO DC进而求解．
【详解】解：（1）把点C（m，4），代入正比例函数y＝ x得，4＝ m，解得m＝3，
∴点C的坐标为（3，4），
∵A的坐标为（﹣3，0），
∴ ，
解得 ．
∴一次函数 解析式为：y＝ x+2．
的
（2）∵O、C、D、B四点为顶点的四边形是平行四边形，
∴只要CO平行且等于BD，即BD＝5，
①当点D在点O的左边时，点D的坐标为（﹣3，﹣2），
②当点D在点O的右边时，点D的坐标为（3，2），
③当BO∥DC时，D（3，6）
∴点D的坐标为（﹣3，﹣2）、（3，2）、（3，6）．
【点睛】此题主要考查一次函数与几何综合，解题的关键是熟知待定系数法的运用．
22. 如图，点 A 的坐标为 ，试在第一象限内网格的格点（网格线的交点）上找一点 ，使其与点
、A构成等腰三角形，请写出图中所有满足条件的点 的坐标．【答案】满足条件的 点有 个，分别为 、 、 、 、 、
【解析】
【分析】分三种情况，当 时，当 时， 是底边时，找出符合题意点B即可．
【详解】解：如图：
当 时，以 点为圆心，以 的长为半径作圆，交第一象限内网格的格点有 个，分别
为： ， ；
当 时，以A点为圆心，以 的长为半径作圆，交第一象限内网格的格点有 个，分别为：
、 、 、 ；
是底边时， 垂直平分线上的点均不在格点上．
∴满足条件的 点有6个，分别为 、 、 、 、 、 ．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形，等腰三角形的定义，解题的关键是根据题意找出符合题意的点 B的位置．
23. 如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE．
（1）求证：CE=CF；
（2）若点G在AD上，且∠GCE=45°，则GE=BE+GD成立吗？为什么？
【答案】（1）见解析（2）成立
【解析】
【分析】（1）由DF=BE，四边形ABCD为正方形可证△CEB和△CFD全等，从而证出CE=CF．
（2）由（1）得，CE=CF，∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD即∠ECF=∠BCD=90°又∠GCE=45°所以可得
∠GCE=∠GCF，故可证得△ECG和△FCG全等，即EG=FG=GD+DF．又因为DF=BE，所以可证出
GE=BE+GD成立．
【详解】解：（1）在正方形ABCD中，BC=CD，∠B=∠CDF=90°，
∵ ，
∴△CBE △CDF（SAS）．
∴CE=CF．
（2）GE=BE+GD成立．
理由：∵由（1）得：△CBE △CDF，
∴∠BCE=∠DCF，
∴∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD，即∠ECF=∠BCD=90°，
又∵∠GCE=45°，
∴∠GCF=∠GCE=45°，CE＝CF．
∵∠GCE＝∠GCF， GC＝GC，
∴△ECG △FCG（SAS）．
∴GE=GF．
∴GE=DF+GD=BE+GD．
【点睛】本题考查了以下内容：1.正方形的性质；2.全等三角形的判定与性质；解决本题的关键是理解题
意，灵活运用全等三角形的性质与判定．24. 如图，在正方形 中，对角线 ， 相交于点 ， ， 分别在 ， 上，
且 ，连接 ， ， 的延长线交 于点 ．求证： ．
【答案】见解析
【解析】
【分析】利用正方形的性质及 定理证 ，得出 ，证出
，得出 ，即可得出结论．
【详解】 四边形 是正方形，
， ， ， ．
在 与 中，
（ ），
．
，
，，即 ．
【点睛】此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质以及直角三角形的性质等知识；解答本题的
关键是通过全等的证明和利用等角代换解题，属于中考常考题型．
25. 如图，直线y=2x+3与x轴相交于点A，与y轴相交于点B.
（1）求A，B两点的坐标；
（2）过B点作直线BP与x轴相交于P，且使OP=2OA， 求ΔABP的面积.
【答案】（1）A（ ，0），B(0，3)；（2） 或
【解析】
【分析】(1) 根据坐标轴上点的坐标特征求A点和B点坐标；
(2) 有两种情况，若BP与x轴正方向相交于P点，则AP=3OA；若BP与x轴负方向相交于P点，则
AP=OA，由此求得 ABP的面积．
△
【详解】解(1)令y=0，得x= ∴A点坐标为( ，0).令x=0，得y=3
∴B点坐标为(0，3).
(2)设P点坐标为(x，0)，依题意，得x=±3.
∴P点坐标为P(3，0)或P(－3，0).∴S = =
1 2 ABP1
△
S = = . ∴△ABP的面积为 或 .
ABP2
△
【点睛】本题考查了一次函数的综合利用及三角形面积公式
26. 如图，在平行四边形 中，点 、 分别在边 和 上，且 ．（1）求证： ；
（2）求证： ．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）由平行四边形的性质即可证明；
（2）由（1）两个三角形全等，由全等三角形的性质即可得到结论．
【小问1详解】
解： 四边形 是平行四边形，
， ．
在 和 中，
．
【小问2详解】
解： ，
．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，掌握它们是关键．
