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微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
平谷区 2023-2024 学年度第一学期教学质量监控试卷
初三数学
注意事项
1.本试卷共8页，包括三道大题，28道小题，满分100分.考试时间120分钟.
2.在答题卡上准确填写学校名称、班级和姓名.
3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.
4.在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答.
5.考试结束，请将试卷和答题卡一并交回.
一、选择题（本题共16分，每小题2分，下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意
的）
1. 已知 ，那么下列比例式中成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据比例的性质求解即可．
【详解】解：A、∵ ，
∴ ，故A不符合题意；
B、∵ ，
∴ ，故B符合题意；
C、∵ ，
∴ ，故C不符合题意；
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D、∵ ，
∴ ，故D不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了比例的性质，掌握比例的性质是解题的关键．
2. 如图， ，若 ，则 等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了平行线分线段成比例，根据平行线分线段成比例定理，得到比例式 ，进而
判断即可．
【详解】解： ，
，
，
，
，
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故选：C．
3. 将抛物线 向下平移1个单位长度，得到的抛物线是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求
函数解析式．根据平移的规律：左加右减，上加下减，求出得到的抛物线的解析式即可．
【详解】解：抛物线 向下平移1个单位长度后，
得到新抛物线的解析式为： ，
故选A．
4. 如图，⊙O的弦AB=8，OM⊥AB于点M，且OM=3，则⊙O的半径为（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】C
【解析】
【详解】试题分析：先由垂径定理求出AM，再由勾股定理求出OA即可．
解：∵OM⊥AB，
∴AM= AB=4，
由勾股定理得：OA= = =5；
故选C．
考点：垂径定理；勾股定理．
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5. 如图，在 的正方形网格中， 的顶点都在小正方形的顶点上，则 的值是（ ）
A. 1 B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查三角函数的定义，过点 作 ，交 延长线于点 ，利用正切函数的定
义求解可得．
【详解】如图，过点 作 ，交 延长线于点 ，
∴ ，
则 ，
故选D．
6. 关于反比例函数 ，下列说法正确的是（ ）
A. 图象分布在第一、三象限 B. 在各自的象限内， 随 的增大而增大
C. 函数图象关于 轴对称 D. 图象经过
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据解析式得出 ，逐项分析判断，即可求解．
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【详解】解：∵ ， ，
A. 图象分布在第二、四象限，故该选项不正确，不符合题意；
B. 在各自的象限内， 随 的增大而增大，故该选项正确，符合题意；
C. 函数图象关于 对称，故该选项不正确，不符合题意；
D. 图象经过 或 ，故该选项不正确，不符合题意；
故选：B．
7. 已知：二次函数 的图象上部分对应点坐标如下表，m的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题主要考查了二次函数图象的对称性，根据表格数据可知，抛物线的对称轴为 ，由抛物
线的对称性可知， 时 的值与 时的值相等，即可求解．
【详解】解：由表格可知，当 ， ，当 ， ，
由抛物线的对称性可知，抛物线的对称轴为 ，
∴ 时 的值与 时的值相等，
∴ 时 的值为 ，即 的值为 ，
故选：D．
8. 如图，矩形 中，点 是 边上一点，点 关于直线 的对称点点 恰好落在 边上，给
出如下三个结论：
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① ；
② ；
③若 ， ，则 ．
上述结论一定正确的是（ ）
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是勾股定理的应用，矩形的性质，轴对称的性质，三角形全等的判定与性质，相似三
角形的判定与性质，证明 ，即可判断①；由矩形的性质得 ，得到
， 根 据 ， 由 ， 推 出
，即 ，故有 ，得到 不一定等于 ，即
可判断②；由 ， ，得到 ，根据 ，得到 ，计算
出 ，设 ，则 ，利用勾股定理即可求出 ，从而得到 ，即可
判断③．
【详解】解： 点 是 边上一点，点 关于直线 的对称点点 恰好落在 边上，
，
，
，
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，故①正确；
，
，
， ，
，
，故有 ，
不一定等于 ，
，不一定成立，故②错误；
， ，
，
，
，
，
设 ，则 ，
，即 ，
解得： ，
，故③正确，
故选：B．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9. 函数y= 中的自变量 的取值范围是____________.
【答案】x≠1
【解析】
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【分析】根据分母不等于0列式计算即可得解．
【详解】根据题意得，x-1≠0，
解得：x≠1．
故答案为x≠1．
10. 如图，点 是 中 边上的一点，请你添加一个条件使 ，这个条件可以是
________________．
【答案】 （答案不唯一）
【解析】
【分析】根据相似三角形的判定定理求解即可．
【详解】∵
∴可以添加的条件为
∴ ．
故答案为： （答案不唯一）．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理．
11. 在Rt ABC中，∠C=90°，如果cosA= ，AC=2，那么AB的长为________．
△
【答案】6
【解析】
【分析】根据余弦的定义可得 ，代入AC=2即可求得
【详解】解：如图，
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故答案为：6
【点睛】本题考查了已知余弦求边长，掌握余弦 的定义是解题的关键，在 中， ．
12. 如图，在 中， 是 的直径， ， 是 上的点，如果 ，那么 的度
数为______．
【答案】 ##63度
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理，直径所对圆周角为 ，根据同弧所对圆周角相等可得
，再根据直径所对圆周角为 ，利用直角三角形两锐角互余即可得出结果．
【详解】解： 是 的直径， ， 是 上的点， ，
， ，
，
故答案为： ．
13. 若抛物线 与x轴有交点，则k的取值范围是___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据抛物线与x轴有交点， ，列式计算即可．
【详解】解：∵抛物线 与x轴有交点，
∴ ，
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解得： ；
故答案为： ．
【点睛】本题考查二次函数图象与 轴交点问题．熟练掌握抛物线与 轴有交点： ，是解题的关键．
14. 如图，点A在双曲线 上，点B在双曲线 上，且AB∥x轴，C、D在x轴上，若四边形ABCD
为矩形，则它的面积为__．
【答案】2
【解析】
【详解】如图，过A点作AE⊥y轴，垂足为E，
∵点A在双曲线 上，∴四边形AEOD的面积为1
∵点B在双曲线 上，且AB∥x轴，∴四边形BEOC的面积为3
∴四边形ABCD为矩形，则它的面积为3－1＝2
15. 图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图 2所示，此时液面 _____
．
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【答案】
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的应用，根据两三角形相似列出比例式进而求解即可．
【详解】依题意，两高脚杯中的液体部分两三角形相似，则
解得 ．
故答案为： ．
16. “十一”黄金周期间，明明和妈妈到某商场购物，得知该商场节日促销活动，单笔消费每满50元立减
5元（即单笔消费有几个50元，就减几个5元，不足50元部分不减），累计消费满200元返20元购物券，
购物券当天可用，用券和减免部分不在累计范围内，明明和妈妈打算购买以下三件商品：商品 A：80元，
商品B：95元，商品C：160元，如果你是聪明的明明，帮妈妈参谋一下三件商品妈妈分次结账，可以享
受最多优惠；按此优惠方案，只需付款______元，即可购买以上三件商品．
【答案】305
【解析】
【分析】本题考查了有理数四则运算的实际应用，根据题意，分三次结账和两次结账和分一次结账，分别
计算比较即可．
【详解】解：当分三次结账：则 （元）；
当分两次结账：①商品A和商品B一起结账，商品C单独结账，则
（元）；
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②商品A和商品C一起结账，商品B单独结账，则 （元）；
③商品B和商品C一起结账，商品A单独结账，则 （元）；
当分一次结账：①满减方式： （元）；
②购物券方式： （元）；
，
当商品B和商品C一起结账，商品A单独结账，或商品B和商品C和商品A一起结账，满减方式，可以
享受最多优惠，只需付款305元，
故答案为：305．
三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分；第23-26题，每小题6分；第27、28
题，每小题7分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.）
17. 计算： .
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了实数的运算和三角函数，利用特殊角的三角函数值，负整数指数幂法则，二次根
式的化简以及绝对值的代数意义计算即可求出值．
【详解】解：原式
．
18. 如图，在 中，延长 到 ，使 ，连接 交 于点 ， ， ，
求 的长．
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【答案】
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，根据平行四边形的性质得 ，
易得 ，进而得到 ，由 ，即可求解．
【详解】解： 四边形 是平行四边形， ， ，
， ，
，
，即
，
．
19. 已知二次函数 .
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（1）求该抛物线的顶点坐标；
的
（2）求该二次函数图象与 轴、 轴 交点坐标；
（3）在平面直角坐标系 中，画出二次函数 的图象.
【答案】（1）顶点坐标
（2）抛物线与 轴交点为 ， ；抛物线与 轴交点为
（3）见解析
【解析】
【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的图象、二次函数图象上点的坐标特征；
（1）将函数关系式运用配方法配成顶点式即可解答；
（2）令 ，得一元二次方程，求出 的值，可得函数图象与 轴的交点，令 ，可得 的值，从
而可得函数图象与 轴的交点；
（3）根据函数解析式，可以写出该函数的顶点坐标和图象上的几个点的坐标，从而可以画出相应的函数
图象．
【小问1详解】
∴顶点坐标
【小问2详解】
令 ，得
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解得，
抛物线与 轴交点为 ， ；
令 ，则
抛物线与 轴交点为
【小问3详解】
列表如下：
如图所示
20. 如图，平面直角坐标系 中，点 ， ， 作过点 、 、 的圆．
（1）依题意补全图形；
（2）圆心 坐标为______；
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（3）劣弧 的弧长为______；
（4）若点 为圆上任意一点（不与 、 点重合），则 的度数为_____．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）
（4） 或
【解析】
【分析】本题考查作图一复杂作图，坐标与图形的性质，三角形外接圆，垂径定理，圆周角定理，勾股定
理，垂直平分线的性质．
（1）根据 的外接圆圆心为 的外心，易得圆心在线段 ， 的垂直平分线上，即可作图；
（2）由（1）知，圆心在线段 的垂直平分线上，设 ，由 ，即可求解；
（3）由（2）可得 的外接圆的半径，连接 ，过点M作 交 于点H，由两点间距离
公式得 ，根据垂径定理得 ，由勾股定理易得 ，易得
，根据 ，求得 ，即可求劣弧 的弧长；
（4）由（3）知 ，分两种情况讨论：点 在劣弧 上；点P在优弧 上；根据圆周角
定理求解即可．
【小问1详解】
解：补全图形如图所示；
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【小问2详解】
解： 点M在线段 的垂直平分线上， ， ，
，
设 ，
， ，
，即 ，
，
，
故答案为： ；
【小问3详解】
解：由（2）得， ，
，
连接 ，过点M作 交 于点H，
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，
，
，
中，
，
， ，
，
，
，
，
劣弧 的弧长为： ，
故答案为： ；
【小问4详解】
解：如图，
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点P在优弧 上时，
，
；
点 在劣弧 上时，
四点共线， ，
；
综上， 的度数为 或 ，
故答案为： 或 ．
21. 某班同学们来到操场，想利用所学知识测量旗杆的高度，方法如下：
方法一：如图1，他们测得同一时刻长度为2米的竹竿 的影长 为 米，线段 表示旗杆，旗杆
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的影长 为 米；
方法二：如图 2，用 米高的测角仪在距离旗杆 8 米的点 处测得旗杆顶端 的仰角为 （
， ， ）
请选取一种方法，根据已知数据，计算旗杆 的长约为多少米．（结果精确到 ）
【答案】旗杆 的长约为 米
【解析】
【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是熟练掌握解直角三角形的方法和步骤．
方法一：由题意得 ，根据 即可求解；方法二：由题意得：
，根据 ，求出 ，即可求出 ．
【详解】解：方法一：由题意得 ，
∴ ，
∵ ， ，
，即 ，
，
答：旗杆 的长约为 米．
方法二：由题意得： ，
，
，即
，
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答：旗杆 的长约为 米．
22. 如图，在平面直角坐标系 中，反比例函数 的图象经过点A．
（1）求 的值；
（2）若直线 图象经过点A，求 的值；
（3）当 时，都有一次函数 的值大于反比例函数 的值，直接写出 的取值范
围．
【答案】（1）6 （2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查了一次函数图象与反比例函数的交点问题，函数与不等式的关系，数形结合是解题的关
键．
（1）由函数图象易得 ，把点 代入 ，即可得到答案；
（2）把点 代入函数 ，求出b的值，即可得到答案；
（3）求得当 时，此时直线与y轴交点的纵坐标的值，即b的值，利用数形结合思想即可求解．
【小问1详解】
解：由函数图象得： ，
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把点 代入 ，得 ，
解得： ；
【小问2详解】
解： 直线 图象经过点 ，
，
解得： ；
【小问3详解】
解：当 时， ，
∵当 时，对于x的每一个值，一次函数 的值大于反比例函数 的值，
∴ ．
23. 如图，在 中， ， ， ，求 的长．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形，勾股定理，过点 A 作 交底 延长线于点 D，由
，得 ，易得 ，根据 ，求出 ，即可求出
的长．
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【详解】解：如图，过点A作 交底 延长线于点D，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
∴
．
24. 如图， 为 的直径，弦 于 ，连接 、 ，过点 作 的切线， 的
平分线相交于点 ， 交 于点 ，交 于点 ，交 于点 ，连接 ．
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（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据垂径定理得到 ， ，证明 即
可；
（ 2 ） 根 据 圆 周 角 定 理 得 到 ， 由 垂 径 定 理 得 到 ，
，求出 ，利用勾股定理得到 ，根据 ，
， 得 到 ， 结 合 是 的 平 分 线 ， 推 出 ， 易 得
，由 证明 ，得到 ，即可求解．
【小问1详解】
证明： 为 的直径， ，
， ，
在 与 中，
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，
，
；
【小问2详解】
解： ，
，
，
，
，
， ，
，
，
是 的平分线，
，
，
，
，
，
，即 ，
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．
【点睛】本题考查了圆与三角形 的综合题，垂径定理，圆周角定理，勾股定理，三角形全等的判定与性质，
相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握垂径定理，圆周角定理，
证明三角形相似是解题的关键．
25. 电动汽车的续航里程也可以称作续航能力，是指电动汽车的动力蓄电池在充满电的状态下可连续行驶
的总里程，它是电动汽车重要的经济性指标.高速路况状态下，电动车的续航里程除了会受到环境温度的影
响，还和汽车的行驶速度有关.某科研团队为了分析续航里程与速度的关系，进行了如下的探究：
下面是他们的探究过程，请补充完整：
（1）他们调取了某款电动汽车在某个特定温度下的续航里程与速度的有关数据：
速度（千 14
10 20 30 40 60 80 100 120 160
米/小时） 0
续航里程 10 58 38
340 460 530 560 500 430 310
（千米） 0 0 0
则设______为 ，______为 ， 是 的函数；
（2）建立平面直角坐标系，在给出的格点图中描出表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；
（3）结合画出的函数图象，下列说法正确的有______：
① 随 的增大面减小；
②当汽车的速度在60千米/小时左右时，汽车的续航里程度大；
③实验表明，汽车的速度过快或过慢时，汽车的续航里程都会变小．
（4）若想要该车辆的续航里程保持在500千米以上，该车的车速大约控制在______至______千米/小时范
围内．
【答案】（1）续航里程，速度
（2）见解析 （3）②③
（4）40，100
【解析】
【分析】本题考查列表法表示函数关系，熟练掌握自变量、因变量 的定义．
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（1）根据表格，由函数定义求解即可；
（2）利用表格数据，描点法画函数图象即可；
（3）由函数图象即可得出结果；
（4）由函数图象即可得出结果．
【小问1详解】
为
解：由表格可设续航里程 ，速度 ，
故答案为：续航里程，速度；
【小问2详解】
解：函数图象如图所示：
【小问3详解】
解：根据函数图象得：当 时，y随x的增大而增大，当 时，y随x的增大而减小；
当汽车的速度在60千米/小时左右时，汽车的续航里程度大；
汽车的速度过快或过慢时，汽车的续航里程都会变小；
正确的有：②③，
故答案为：②③；
【小问4详解】
解：根据函数图象得：想要该车辆的续航里程保持在500千米以上，该车的车速大约控制在40至100千
米/小时范围内，
故答案为：40，100．
26. 在平面直角坐标系 中，二次函数 的图象上两个点 ， ，点 、
之间的部分（包含点 、点 ）记作图象 ，图象 上 的最大值与最小值的差记作 ．
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（1）求这个二次函数的对称轴（用含 的代数式表示）；
（2）当 ， ， 时，求 的值；
（3）当 ， 时，恒有 ，求 的取值范围．
【答案】（1）
（2）4 （3）
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是理解题意，掌握二次函数的性质．
（1）根据二次函数 对称轴公式 即可求解；
（2）由题意得二次函数解析式 ，二次函数图象开口向上，则函数关于 对称，则 时
y有最小值， 时，y有最大值，即可求出 ；
（3）由题意得，二次函数图象开口向上，根据 ，可得点 ， 在函数对称轴
的同侧，由 ， ，易得 ，则点 ， 在函数对称轴的左侧，
求解即可．
【小问1详解】
解： 二次函数 中， ，
这个二次函数的对称轴为： ；
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【小问2详解】
解： ，
这个二次函数的对称轴为： ，二次函数图象开口向上，
， ，
时，y有最小值，最小值为： ，
时，y有最大值，最大值为： ，
；
【小问3详解】
解： 二次函数图象开口向上， ，
为图象 的最大值， 为图象 的最小值，
点 ， 在函数对称轴的同侧，
， ，即 ，
，
点 ， 在函数对称轴的左侧，
，
解得： ．
27. 如图， 中， ， ， 为 边中点， 为 外部射线 上一点，连
接 ，过 作 于 ．
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（1）依题意补全图形；
（2）找出图中与 相等的角，并证明；
（3）连接 ，猜想 的度数，并证明．
【答案】（1）见解析 （2） ，证明见解析
（3） ，证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意补全图形即可；
（2）根据 ， ， 为 边中点，得到 ，由直角三角形的特征
即可证明 ；
（3）取 的中点O，连接 ，证明 四点共圆，利用圆周角定理证明．
【小问1详解】
解：如图所示，补全图形：
【小问2详解】
，
证明： ， ，
是等腰直角三角形，
为 边中点，
，
，
，
；
【小问3详解】
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，
证明：理由：取 的中点O，连接 ，
，
四点共圆，
，
， ，
，
．
【点睛】本题考查作图-复杂作图，等腰直角三角形的性质，四点共圆，圆周角定理等知识，解题的关键是
学会添加常用辅助线，再利用四点共圆解决问题．
28. 如图，平面直角坐标系 中，已知点 、点 ，连接 ，若点 为平面上一点，且 为等边
三角形，则称点 为线段 的“关联点”．
（1）已知点 和点 ，点 为线段 的“关联点”，直接写出点 的坐标______；
（2）若 ， ，点 是线段 上一点，点 为线段 的“关联点”，当点 在 右
侧时，判断 与 的位置关系，并证明；
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（3） 半径为2，点 是 上一点，点 ，若点 为线段 的“关联点”，直接写出 长
度的最大值和最小值．
【答案】（1） 或
（2） ，证明见解析
（3） 长度的最大值为 ，最小值为
【解析】
【分析】（1）根据“ 为线段 的关联点”，结合 是等边三角形，即可求解；
（2）结论： ，连接 ，先证明 是等边三角形，根据已知得 是等边三角形，再
证明 ，得到 ，易得 ，即可证明
；
（3）分两种情况讨论：当点P在 上方，当点P在 下方，利用等边三角形的性质求出点P在
上运动，由两个等圆的圆心距求解即可．
【小问1详解】
解：如图，
是等边三角形，
点P与点A关于y轴对称，
，
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，
是等边三角形，
，
，
， ，
，
综上，点P的坐标为 或 ；
【小问2详解】
，
证明：如图，连接 ，
， ，
， ， ，
是等边三角形，
，
为线段 的“关联点”，
是等边三角形，
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，
，
，
在 与 中，
，
，
，
，
，
；
【小问3详解】
解： 为线段 的“关联点”，
是等边三角形，
，
点P随点A的运动而运动，且点P在与 相同大小的圆上运动，
设点P在 上运动，
由（1）知线段 的“关联点”点P的坐标由两个，分别在线段 的上方和下方，
当点P在 上方时，如图：
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当 时，过点 作 轴，交x轴于点G，
，则
，
，
；
当 时，过点 作 轴，交x轴于点G，
同理得： ，
是 的直径，
是 的直径，
，
，
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当 过点M时， 有最大值，最大值为 ；当 延长线过点M时， 有最小值，最
小值为 ；
当点P在 下方时，同理得 长度的最大值为 ，最小值为 ，
长度的最大值为 ，最小值为 ．
【点睛】本题是圆的综合题，考查了最值问题，切线的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判
定与性质，勾股定理，锐角三角函数的应用，熟练掌握新概念“关联点”是解题的关键．
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