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2021-2022 学年北京市平谷三中八年级（下）月考数学试卷（6 月份）
一、选择题（本题共10小题，共30分）
1. 如果一个多边形的每个外角都是 ，那么这个多边形是（ ）
A. 五边形 B. 六边形 C. 七边形 D. 八边形
【答案】B
【解析】
【分析】根据多边形的外角和等于360°和已知即可求出答案．
【详解】解：∵一个多边形的每个外角都是60°，
∴这个多边形的边数为 ，
即这个多边形是六边形，
故选：B．
【点睛】本题考查了多边形的外角与内角，能灵活运用多边形的外角和等于360°进行计算是解此题的关
键．
2. 在平面直角坐标系 中，点 关于 轴对称的点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据关于x轴对称的点的特点是横坐标不变，纵坐标变为相反数即可．
【详解】解：点 关于 轴对称的点的坐标是 ，
故答案为：C．
【点睛】本题考查了关于x轴对称的点的特点，熟知关于x轴对称的点的特点是横坐标不变，纵坐标变为
相反数是解题的关键．
3. 下面是入围 年北京冬奥会会徽设计评选的四副作品的主体图案，其中可以抽象为中心对称图形的
是（ ）A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据把一个图形绕某一点旋转 ，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就
叫做中心对称图形可得答案．
【详解】解： 、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了中心对称图形的概念：把一个图形绕某一点旋转 ，如果旋转后的图形能够与原来
的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心，中心对称图形关键是要找准对称
中心．
4. 如图，公路 ， 互相垂直，公路 的中点 与点 被湖隔开，若测得 的长为 ，则
， 两点间的距离为（ ）
A. 0.6km B. 1.2km C. 1.5km D. 2.4km
【答案】B
【解析】
【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质得出 ，代入求出即可．
【详解】解： ，，
为 的中点，
，
，
，
故选： ．
【点睛】本考考查了直角三角形斜边上的中线性质，能根据直角三角形斜边上的中线性质得出
是解此题的关键．
5. 方程 的解是（ ）
A. B.
C. ， D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【详解】解： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ， ．
故选： ．
【点睛】本题考查了解一元二次方程的应用，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．
6. 矩形 中，对角线 ， 相交于点 ，如果 ，那么 的度数是（ ）
A. B. C. D.【答案】D
【解析】
【分析】只要证明OA=OD，根据三角形的外角的性质即可解决问题．
【详解】解：如图所示：
四边形 是矩形，
，
，
，
∴ ．
故选： ．
【点睛】本题考查矩形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问
题，属于中考常考题型．
7. 如果用配方法解方程 ，那么原方程应变形为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据完全平方公式即可变形判断.
【详解】∵
∴
故 ，选D.
【点睛】此题主要考查配方法，解题的关键是熟知完全平方公式的应用.
8. 如图，两把完全一样的直尺叠放在一起，重合的部分构成一个四边形，这个四边形一定是( )A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 无法判断
【答案】B
【解析】
【分析】作DF⊥BC，BE⊥CD，先证四边形ABCD是平行四边形，再证Rt△BEC≌Rt△DFC，得
BC=DC，即可得出四边形ABCD是菱形．
【详解】解：如图，作DF⊥BC,BE⊥CD
由已知可得，AD BC,AB CD
∴四边形ABCD是平行四边形
在Rt BEC和Rt DFC中
△ △
∴Rt BEC≌Rt DFC，
∴BC△=DC △
∴四边形ABCD是菱形
故选B．
【点睛】本题考核知识点：菱形的判定，解题关键是通过全等三角形证一组邻边相等．
9. 下列函数的图象不经过第一象限，且y随x的增大而减小的是（ ）
A. B. C. D.【答案】A
【解析】
【分析】可用正比例函数的性质和一次函数的性质进行分析即可．
【详解】解：A、 的图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小，故此选项合题意；
B、 的图象经过第一、二、三象限，y随x的增大而增大，故此选项不合题意；
C、 的图象经过第一、二、四象限，y随x的增大而减小，故此选项不合题意；
D、 的图象经过第一、三、四象限，y随x的增大而增大，故此选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】此题主要考查了一次函数的性质，关键是熟练掌握一次函数的性质：k>0，y随x的增大而增大，
函数从左到右上升；k<0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．
10. 如图，是用图象反映的某地男女生身高生长速度y（厘米/年）与年龄x（岁）的对应关系．根据图象，
有以下四个推断：
①13岁时，男生、女生的身高增长速度相同
②13岁以后，男生的身高增长速度比女生的身高增长速度快
③15岁时，男生、女生的身高增长速度达到最高值
④13岁以前，男生的身高增长速度比女生的身高增长速度快
其中合理的是（ ）
A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ③④
【答案】A
【解析】
【分析】根据男女在青春期的发育特点，并会结合图形分析做出解答，根据平均数与中位数的意义说明即
可．
【详解】①13岁时，男生、女生的身高增长速度相同，正确；
②13岁以后，男生的身高增长速度比女生的身高增长速度快，正确；
③15岁时，男生身高增长速度达到最高值，错误；④13岁以前，男生的身高增长速度比女生的身高增长速度慢，错误；
故选A.
【点睛】此题考查函数图象，解题关键在于看懂图中数据.
二、填空题（本题共10小题，共30分）
11. 函数 中，自变量 的取值范围是_______.
【答案】
【解析】
【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，二次根式有意义的条件是：被开方
数为非负数．
【详解】依题意，得x-3≥0，
解得：x≥3．
【点睛】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
12. 在平面直角坐标系中，点A(3,-5)在第______象限.
【答案】四
【解析】
【分析】根据各象限内点的坐标特征解答.
【详解】解：∵所给点的横坐标是3为正数，纵坐标是-5为负数，
∴点（3，-5）在第四象限，
故答案为四．
【点睛】本题考查了点 的坐标特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特
点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）；还要熟记坐
标轴上的点的特征．
13. 已知 x=1 是关于 x 的一元二次方程 2x2+kx﹣1=0 的一个根，则实数 k的值是__________．
【答案】﹣1
【解析】
【分析】已知x=1是关于x的一元二次方程2x2+kx﹣1=0的一个根，把x=1代入方程，即可得到一个关于k
的方程，解方程即可求出k值．
【详解】解：把x=1代入方程得：2+k﹣1=0，
解方程得k=﹣1．
故答案为﹣1．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是掌握方程的解是能使得等式两边相等的值．14. 如图，在 中， 、 分别是边 、 的中点， ，则 ______．
【答案】4
【解析】
【分析】根据三角形中位线定理可直接进行求解．
【详解】解：∵ 、 分别是边 、 的中点， ，
∴ ；
为
故答案 4．
【点睛】本题主要考查三角形中位线，熟练掌握三角形中位线是解题的关键．
15. 如果一次函数 的图像经过一、二、三象限，写出一组满足条件的 ， 的值： ______，
______．
【答案】 ①. 1(答案不唯一) ②. 2(答案不唯一)
【解析】
【分析】先画出符合条件的一次函数的图像，再根据图像取符合条件的数即可．
【详解】解： 一次函数 的图像经过一、二、三象限，
其图像如图所示，
直线从左向右逐渐上升，，
直线与 轴的交点在 轴的上方，
，
∴可取 ，
故答案为： ， 答案不唯一
【点睛】本题主要考查一次函数的图像，根据条件画出函数图像是解答本题的关键．
16. 如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若再补充一个条件能使菱形ABCD成为正方形，
则这个条件 是____________．(补充一个即可)
【答案】∠ABC＝90°或AC＝BD（答案不唯一）
【解析】
【详解】解：要使菱形成为正方形，只要菱形满足以下条件之一即可，①有一个内角是直角；②对角线相
等．
即∠ABC=90°或AC=BD．
故答案为：∠BAD=90°或AC=BD（答案不唯一）．
17. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，2），B（4，0），点N为线段AB的中点，则点N的坐标
为_____________．
【答案】(2，1)
【解析】
【详解】【分析】直接运用线段中点坐标的求法，易求N的坐标.
【详解】点N的坐标是：（ ），即（2，1）.
故答案为(2，1)【点睛】本题考核知识点：平面直角坐标系中求线段的中点. 解题关键点：理解线段中点的坐标求法.
18. 如图，在平面直角坐标系 中，直线 ， 分别是函数 和 的图象，则可以
估计关于 的不等式 的解集为______．
【答案】
【解析】
【分析】结合题意及图像可直接进行求解．
【详解】解：由题意及图像可知：
因为直线 与 的交点的横坐标大致为 ，所以估计关于 的不等式 的解集是
；
故答案为 ．
【点睛】本题主要考查一次函数与不等式的关系，关键是根据图像得到两个一次函数图像的交点横坐标，
然后根据图像直接进行求解即可．
19. 如图，点 ， ， 在同一条直线上，正方形 ， 的边长分别为 ， ， 为线段
的中点，则 ______．【答案】
【解析】
【分析】作辅助线，连接BD，BF，可得三角形DBF为直角三角形，求出DF，根据直角三角形斜边中线
可得结论．
【详解】解：连接 、 ，
四边形 ， 是正方形，且边长分别为 和 ，
， ， ，
，
由勾股定理得： ，
为线段 的中点，
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了正方形的性质、勾股定理、直角三角形斜边中线的性质；作辅助线构建直角三角形是
关键．
20. 在研究平面图形的面积时，我们经常用到割补法．割补法在我国古代数学著作中称为“出入相补”，
刘徽称之为“以盈补虚”，即以多余补不足，是数量的平均思想在几何上的体现． 九章算术 已经能十分灵活地应用“出入相补”原理解决平面图形的面积问题．下面举例说明：在 九章算术 中，三角形被
称为圭田．圭田术曰：“半广以乘正纵”，也就是说三角形的面积等于底的一半乘高．刘徽注为：“半广
者，以盈补虚，为直田也”，说明三角形的面积是应用出入相补原理，由长方形面积导出的．如图中的三
角形下盈上虚，以下补上．如果图中阴影部分的面积为 ，那么图中长方形的面积是______．
【答案】16
【解析】
【分析】根据题意得到长方形的面积=阴影部分的面积4倍．
【详解】解：如图，连接 ，
则 阴影部分的面积 ，
图中长方形的面积是 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形的面积，正确的连接题意是解题的关键．
三、解答题（本题共7小题，共40分）
21. 解方程： ．
【答案】
【解析】
【分析】根据因式分解法解一元二次方程即可求解．
【详解】解： ，
，解得 ．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
22. 已知： ，CD平分 ．
求作：菱形DFCE，使点F在BC边上，点E在AC边上，下面是尺规作图过程．
作法：①分别以C、D为圆心，大于 为半径作弧，两弧分别交于点M、N；
②作直线MN分别与AC、BC交于点E、F；
③连接DE、DF，DC与EF的交点记为点G；四边形DFCE为所求作的菱形．
（1）利用直尺和圆规依做法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明： ，
为DC的垂直平分线．
，
．
平分 ，
．
，
_____ _____（ ）（填推理依据）
同理可证 ，
四边形DFCE为平行四边形．又 ____________________，
四边形DFCE为菱形．
【答案】（1）作图见解析；（2）DE；FC；内错角相等，两直线平行；DE=EC（或DF=FC）．
【解析】
【分析】（1）根据题目作法可以得到求作图形；
（2）由题意可以推得四边形DFCE为平行四边形，再由DE=EC可以得到四边形DFCE为菱形．
【详解】（1）根据题目作法可以得到下面图形：
其中四边形DFCE为所求作的菱形；
（2）证明： ，
为DC的垂直平分线．
，
．
平分 ，
．
，
DE FC（ 内错角相等，两直线平行 ）（填推理依据）
同理可证 ，
四边形DFCE为平行四边形．又 ，
四边形DFCE为菱形．
故答案为DE；FC；内错角相等，两直线平行；DE=EC（或DF=FC）．
【点睛】本题考查菱形的判定及作图，熟练掌握菱形的判定方法及作图要领是解题关键．
23. 在平面直角坐标系 中，直线 ： 和直线 ： 相交于点A（2，m）．
（1）求 的值；
（2）在给定的坐标系中画出直线 和直线 ；
（3）过动点P（n，0）且垂于 轴的直线与 、 的交点分别为 ， ，当点 位于点 上方时，直接写
出 的取值范围．
【答案】（1） ；
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）先求出点A坐标，再利用待定系数法即可解决问题；
（2）利用函数解析式，在给定的坐标系中画出直线 和直线 ；
（3）由图象可知直线 在直线 上方即可，由此即可写出n的范围．
【小问1详解】
解： 直线 ： 过点 ，
，
点 的坐标为 ．
直线 ： 过点 ，
；
【小问2详解】解：如图所示：
【小问3详解】
解：由题可得，当点 位于点 上方时，垂于 轴的直线在点 的右侧，即 ．
【点睛】本题考查两条直线平行或相交问题，解题的关键是灵活应用待定系数法，学会利用图象根据条件
确定自变量取值范围．
24. 如图，在 中， ， 相交于点 ，点 在 上，点 在 上， 经过点 .求证：
四边形 是平行四边形.
【答案】见解析.
【解析】
【分析】先利用平行四边形的性质得到 ， ；再利用平行线性质证得 ，
；利用三角形全等可得 ，即可求证.
【详解】 在 中， ， 相交于点 ，
， ．
， ．
（AAS）．．
四边形 是平行四边形．
【点睛】本题考查了平行四边形的证明，难度适中，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键.
25. 已知关于 的一元二次方程 ．
（1）若方程有两个不相等的实数根，求 的取值范围；
的
（2）在（1） 条件下，选择一个恰当的 的值，使方程的两个实数根为整数，并求出这两个根．
【答案】（1）
（2） ，
【解析】
【分析】（1）根据判别式的意义得到 ，然后解关于m的不等式即可；
（2）取m=1，方程化为 ，然后利用因式分解法解方程即可．
【小问1详解】
解：根据题意得 ，
解得： ；
【小问2详解】
解：在 的条件下，当 时，该方程可化为 ，
解得 ， ．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程 （a≠0）的根与 有如下关系：
当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数
根．
26. 如图，在菱形ABCD中，CE⊥AB交AB延长线于点E，点F为点B关于CE的对称点，连接CF，分别
延长DC，CF至点G，H，使FH=CG，连接AG，DH交于点P．
（1）依题意补全图1；
（2）猜想AG和DH的数量关系并证明；（3）若∠DAB=70°，是否存在点G，使得 ADP为等边三角形？若存在，求出CG的长；若不存在，说明
理由． △
【答案】(1)见解析;(2) AG=DH,理由见解析;(3) 不存在．理由见解析.
【解析】
【详解】【分析】(1)依题意画图；
（2）根据菱形性质得 ， ∥ ， ；由点 为点 关于 的对称
点，得 垂直平分 ，故 ， ，所以 ，再证 ，
由 ， ，得 ．可证△ ≌△ ．
（3）由（2）可知，∠DAG=∠CDH，∠G=∠GAB，
证得∠DPA=∠PDG＋∠G=∠DAG+∠GAB=70°>60°，故△ADP不可能是等边三角形．
【详解】
（1）补全的图形，如图所示．
（2）AG=DH．
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴ ， ∥ ， ．
∵点 为点 关于 的对称点，
∴ 垂直平分 ．∴ ， ．
∴ ．
又∵ ，
∴ ．
∵ ， ，
∴ ．
∴△ ≌△ ．
∴ ．
（3）不存在．
理由如下：
由（2）可知，∠DAG=∠CDH，∠G=∠GAB，
∴∠DPA=∠PDG＋∠G=∠DAG+∠GAB=70°>60°．
∴△ADP不可能是等边三角形．
【点睛】本题考核知识点：菱形，轴对称,等边三角形. 解题关键点：此题比较综合，要熟记菱形性质，全
等三角形的判定和性质，轴对称性质，等边三角形判定.
27. 在平面直角坐标系xOy中，M为直线l：x＝a上一点，N是直线l外一点，且直线MN与x轴不平行，
若MN为某个矩形的对角线，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为直线l的“伴随矩形”．如
图为直线l的“伴随矩形”的示意图．（1）已知点A在直线l：x＝2上，点B的坐标为（3，﹣2）
①若点A的纵坐标为0，则以AB为对角线的直线l的“伴随矩形”的面积是 ；
②若以AB为对角线的直线l的“伴随矩形”是正方形，求直线AB的表达；
（2）点P在直线l：x＝m上，且点P的纵坐标为4，若在以点（2，1），（﹣2，1），（﹣2，﹣1），
（2，﹣1）为顶点的四边形上存在一点Q，使得以PQ为对角线的直线l的“伴随矩形”为正方形，直接写出
m的取值范围．
【答案】（1）①以AB为对角线的直线l的“伴随矩形”AMBN的面积为2；②直线AB的表达式为y＝﹣
x+1或y＝x﹣5；（2）m的范围为﹣7≤m≤﹣1或1≤m≤7．
【解析】
【分析】（1）①根据“伴随矩形”的定义画出图形即可解决问题；
②根据题意，当以AB为对角线的直线l的“伴随矩形”为正方形时，点A的坐标为（2，-1）或（2，-3），
利用待定系数法即可解决问题；
（2）如图3中，求出经过特殊位置时当P坐标即可解决问题：当Q 坐标为（-2，-1）时，可得P（-7，
1 1
4）；当Q 坐标为（2，1）时，可得P（-14）；当Q 坐标为（2，-1）时，可得P（7，4）；当Q 坐标为
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（-2，1）时，可得P（1，4）；再结合图象即可解决问题；
4
【详解】（1）①如图1中，∵A（2，0），B（3，﹣2）．∴以AB为对角线的直线l的“伴随矩形”AMBN的面积＝1×2＝2．
②如图2中，
的
根据题意，当以AB为对角线 直线l的“伴随矩形”为正方形时，
点A的坐标为（2，﹣1）或（2，﹣3）．
可得，直线AB的表达式为：y＝﹣x+1或y＝x﹣5．
（2）如图3中，
当Q 坐标为（﹣2，﹣1）时，可得P（﹣7，4）；
1 1
当Q 坐标为（2，1）时，可得P（﹣14）；
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当Q 坐标为（2，﹣1）时，可得P（7，4）；
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当Q 坐标为（﹣2，1）时，可得P（1，4）；
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观察图象可知：在以点（2，1），（﹣2，1），（﹣2，﹣1），（2，﹣1）为顶点的四边形上存在一点
Q，使得以PQ为对角线的直线l的“伴随矩形”为正方形时，m的范围为﹣7≤m≤﹣1或1≤m≤7．
【点睛】本题考查一次函数综合题、矩形的性质、正方形的性质、“伴随矩形”的定义等知识，解题的关键
是理解题意，学会取特殊点解决问题，属于中考压轴题．
