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平谷五中初三数学学科月考试卷
一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意
的．
1. 已知 ，则下列比例式中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了比例的性质，解题的关键是掌握比例的性质．根据比例的性质“如果 ，那么
”进行解答即可得．
【详解】解：A、 ，则 ，故该选项说法正确，符合题意；
B、 ，则 ，故该选项说法错误，不符合题意；
C、 ，则 ，故该选项说法错误，不符合题意；
D、 ，则 ，故该选项说法错误，不符合题意；
故选：A．
2. 如图，AD∥BE∥CF，直线l，l 与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F．已知AB＝1，BC
1 2
＝3，DE＝2，则EF的长为( )
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A. 4 B. 5 C. 6 D. 8
【答案】C
【解析】
【详解】解∶∵AD∥BE∥CF，根据平行线分线段成比例定理可得
，即 ，
解得：EF=6，
故选：C．
3. 抛物线 的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象性质：抛物线 的顶点坐标 ，据此即可作答．
【详解】解：∵抛物线 的顶点坐标是
故选：D
4. 若两个相似三角形的相似比为 ，则它们的面积比为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题关键．
根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求出即可．
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【详解】解：∵两个相似三角形的相似比为 ，
∴它们的面积之比是 ．
故选：B．
5. 下列四个三角形，与如图中的三角形相似的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】本题主要应用两三角形相似的判定定理和勾股定理，相似三角形的判定方法有：两角对应相等的
两个三角形相似，两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似，三边对应成比例的两个三角形相似，
解答此题先根据勾股定理求出三角形的边长，然后看三边是否对应成比例即可．
【解答】解：设单位正方形的边长为 ，则给出的三角形三边长分别为 ， ， ．
A.三角形三边分别是 ， ， ，与给出的三角形的各边不成比例，故A选项错误；
B.三角形三边 ， ， ，与给出的三角形的各边不成比例，故B选项错误；
C.三角形三边 ， ， ，与给出的三角形的各边不成比例，故C选项错误；
D.三角形三边 ， ， ， ，与给出的三角形的各边成正比例，故 D选项正
确．
故选D．
6. 将抛物线 先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是（ ）
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A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次函数解析式在平移中的变化规律，掌握规律“左加右减，上加下减．”是解题的关
键．
【详解】解：由题意得
；
故选：C．
7. 如图，为了测量某棵树的高度，小刚用长为2m的竹竿作测量工具，移动竹竿，使竹竿、树的顶端的影
子恰好落在地面的同一点，此时，竹竿与这一点相距6m，与树距15m，那么这颗树的高度为（ ）
A. 5m B. 7m C. 7.5m D. 21m
【答案】B
【解析】
【分析】先判定 和 相似，再根据相似三角形对应边成比例列式求解即可．
【详解】解：如图，
， ，
，
，
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，
， ， ，
，
解得 ．
这颗树的高度为 ，
故选：B．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，读懂题目信息，确定出相似三角形是解题的关键．
8. 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解为(
)
A. x＝－3，x＝0 B. x＝3，x＝－1
1 2 1 2
C. x＝－3 D. x＝－3，x＝1
1 2
【答案】D
【解析】
【分析】利用抛物线与x轴的交点关于对称轴对称,根据（-3,0）找到另一个交点即可解题.
【详解】解：由图可知,抛物线与x轴的交点关于对称轴对称,
∵对称轴为x=-1,其中一个交点为（-3,0）
∴另一个交点为（1,0）,
故选D.
【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质,抛物线与x轴的交点,属于简单题,读图能力是解题关键.
二．填空（本题共16分，每小题2分）
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9. 已知 ，则 的值为____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了比例的性质，由 ，可设 ， ，再代入所求式子中计算即可．
【详解】解： ，
设 ， ，
，
故答案为： ．
10. 请写出一个 开口向下，并且与y轴交于点（0,1）的抛物线的表达式_________
【答案】 （答案不唯一）
【解析】
【分析】根据二次函数的性质，抛物线开口向下a<0，与y轴交点的纵坐标即为常数项，然后写出即可．
【详解】∵抛物线开口向下，并且与y轴交于点（0,1）
∴二次函数的一般表达式 中，a<0，c=1，
∴二次函数表达式可以为： （答案不唯一）.
【点睛】本题考查二次函数的性质，掌握开口方向、与y轴的交点与二次函数二次项系数、常数项的关系
是解题的关键.
11. 如图，在 中，点D、E分别在 、 边上， ，若 ， ，则
等于____________．
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【答案】2
【解析】
【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
首先由 得到 ，得到 ，然后代数求出 ，由此即可求出 ．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，即
∴
∴ ．
故答案为：2．
12. 如图，点 是 中 边上的一点，请你添加一个条件使 ，这个条件可以是
________________．
【答案】 （答案不唯一）
【解析】
【分析】根据相似三角形的判定定理求解即可．
【详解】∵
∴可以添加的条件为
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∴ ．
故答案为： （答案不唯一）．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理．
13. 若点 在二次函数 的图像上，则 ____________．
【答案】0或4
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解一元二次方程，熟练掌握二次函数图象上点的横纵
坐标满足函数解析式是解答本题的关键．将 代入 求解即可．
【详解】解：将 代入
得，
解得 或4．
故答案为：0或4．
14. 若二次函数 的图象上有两点 , 则 _____ .（填“>”，“=”或“<”）
【答案】<
【解析】
【分析】直接把点A和点B的坐标代入二次函数解析式，求出a和b，然后比较大小即可．
【详解】当x=0时，a=（0-1）2+3=4；
当x=-5时，b=（5-1）2+3=19，
所以a＜b．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．
15. 在平行四边形 中， 是 上一点， 交于点 ，若 ，则
的长为______．
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【答案】6
【解析】
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质以及相似三角形的知识，先利用平行四边形的性质得到
， ，则由 得到 ，然后证明 ，再利用
相似比可计算出 的长．
【详解】解：∵四边形 为平行四边形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
故答案为：6．
的
16. 已知抛物线 上部分点 横坐标 与纵坐标 的对应值如下表：
… …
… …
下列结论：①抛物线开口向下；②当 时， 随 的增大而减小；③线的对称轴是直线 ；④
函数的最大值为 ．其中所有正确的结论为____________．
【答案】①②③
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【解析】
【分析】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数最值的求法，熟练掌握二次函数的性
质是解题关键．利用待定系数法可得二次函数解析式，根据二次函数的性质对各选项判断即可得答案.
【详解】解： 抛物线 经过 ， ， 三点，
，
解得： ，
的
抛物线 解析式为 ，
∵ ，
抛物线开口向下，故①正确；
，
对称轴为直线 ，最大值为 ，故③正确，④错误；
当 时， 随 的增大而减小，
当 时， 随 的增大而减小，故②正确；
综上所述：正确的结论有①②③，
故答案为：①②③．
三、解答题（17题5分，18-23题、25题每题6分，24、26、27题每题7分，共68分）
17. 如图， ABC中，DE∥BC，如果AD = 2，DB = 3，AE = 4，求AC的长.
△
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【答案】AC＝10．
【解析】
【详解】试题分析：根据平行线分线段成比例定理求得EC的长即可得.
试题解析：∵DE∥BC，
∴
即 ．
∴EC＝6．
∴AC＝AE + EC＝10．
18. 如图，在△ABC中，点D在AB边上，∠ABC=∠ACD，
（1）求证：△ABC∽△ACD
（2）若AD=2，AB=5.求AC的长．
【答案】（1）详见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）根据∠ABC=∠ACD，∠A=∠A即可证明,
（2）由上一问列出比例式,代入求值即可.
【详解】证明：
（1）∵∠ABC=∠ACD，∠A=∠A
∴△ABC∽△ACD
（2）解：△ABC∽△ACD
∴
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∵AD=2, AB=5
∴
∴AC=
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质,属于简单题,列比例式是解题关键.
19. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是边AB上的高．
（1）求证：△ABC∽△CBD；
（2）如果AC = 4，BC = 3，求BD的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）根据相似三角形的判定，由已知可证∠A=∠DCB，又因为∠ACB=∠BDC=90°，即证
△ABC∽△CBD；
（2）根据勾股定理得到AB=5，根据三角形 的面积公式得到CD= ，然后根据勾股定理即可
得到结论．
【
详解】解：（1）∵CD⊥AB，
∴∠BDC=90°．
∴∠A+∠ACD=90°．
∵∠ACB=90°，
∴∠DCB+∠ACD=90°．
∴∠A=∠DCB．
又∵∠ACB=∠BDC=90°，
∴△ABC∽△CBD；
（2）解：∵∠ACB=90°，AC=4，BC=3，
∴AB=5，
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∴CD= ，
∵CD⊥AB，
∴BD= ．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答的关键．
20. 在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝12，点E为DC的中点，连接BE，过点A作AF⊥BE，垂足为点F．
（1）求证：△BEC∽△ABF；
（2）求AF的长．
【答案】（1）证明见解析；（2） .
【解析】
【详解】试题分析：由矩形ABCD中，AB=10，BC=12，E为DC的中点，由勾股定理可求得BE的长，又
由AF⊥BE，易证得 ABF∽△BEC，然后由相似三角形的对应边成比例，求得AF的长．
试题解析：（1）证明△：在矩形ABCD中，有
∠C=∠ABC=∠ABF+∠EBC=90°，
∵AF⊥BE，∴∠AFB=∠C=90°
∴∠ABF+∠BAF=90°
∴∠BAF=∠EBC
∴△BEC∽△ABF
（2）解：在矩形ABCD中，AB=10，∴CD=AB=10，
∵E为DC的中点，∴CE=5，
又BC=12，在Rt BEC中，由勾股定理得BE=13，
由 ABF∽△BEC△得
△
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即 ，解得AF=
的
考点: 1.相似三角形 判定与性质；2.勾股定理；3.矩形的性质．
21. 如图，在 中，点D、E分别在边 、 上， ， ．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定，熟练掌握相似三角形的判定是解此题的关键．
（1）首先得到 ，然后结合 得到 ；
（2）根据相似三角形的性质求解即可．
【小问1详解】
解：∵ ，
∴
又∵
∴ ；
【小问2详解】
解：∵
∴ ，即
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∴ ．
22. 如图，小明用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB.他调整自己的位置，设法使斜边DF保持
水平，并且边DE与点B在同一直线上.已知纸板的两条直角边 ， ，测得
，边DF离地面的高度 ，求树高AB.
【答案】
【解析】
【分析】利用直角三角形DEF和直角三角形BCD相似求得BC的长后加上小明同学的身高即可求得树高
AB．
【详解】解： ， .
由题意得 ， .
∵ ， ，
∴ .
∴ .
∴ ，
∴ .
∴ .
【点睛】本题考查相似三角形的应用，解题关键是从实际问题中整理出相似三角形的模型．
23. 已知：抛物线 ，经过 ．
（1）求a的值．
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（2）求出抛物线与x轴、y轴的交点坐标．
【答案】（1）
（2）抛物线与x轴的交点坐标为 和 ；与y轴的交点坐标为
【解析】
【分析】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，抛物线与x轴、y轴的交点坐标．
（1）将 代入 即可求解；
（2）首先得到抛物线解析式为 ，然后分别令 和 即可求出抛物线与x轴、y轴的
交点坐标．
【小问1详解】
解：将 代入
得，
解得 ；
【小问2详解】
解：∵
∴
当 时，
∴抛物线与y轴的交点坐标为 ；
当 时，
解得 ，
∴抛物线与x轴的交点坐标为 和 ．
24. 已知二次函数 ．
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（1）用配方法化成 的形式，并指出该二次函数图象的顶点坐标与对称轴；
（2）画出此函数的图像；
（3）利用图象回答：当x取什么值时， ．
（4）当 时，y的取值范围是什么？
【答案】（1） ，顶点坐标为 ，对称轴为直线 ；
（2）见解析 （3） 或
（4）
【解析】
【分析】本题主要考查了画二次函数的图象，把二次函数的一般式化为顶点式，熟练掌握利用配方法把二
次函数的一般式化为顶点式，二次函数图象的画法是解题的关键．
（1）用配方法即可求解；
（2）先求出该函数图像上点的坐标，再用描点法画出图象即可；
（3）根据函数图象，找出函数图象在x轴上方的时候x的取值范围即可；
（4）根据图象得到 时图象的最高点和最低点的函数值即可求解．
【小问1详解】
解： ，
∴顶点坐标为 ，对称轴为直线 ；
【小问2详解】
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解：列表如下：
x 0 1 2 3 4
y 3 0 0 3
画出函数图象如下：
【小问3详解】
解：由图象可得，
当 或 时， ；
【小问4详解】
解：由图象可得，
当 时， ．
25. 已知：二次函数 中的 与 满足下表：
… …
… …
（1）可求得 的值为____________；
（2）二次函数图像所对应的顶点坐标为____________；
（3）求出这个二次函数的解析式．
【答案】（1）
（2）
（3）
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【解析】
【分析】此题考查待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，掌握待定系数法求函数解析式的方法与步
骤是解决问题的关键．
（1）先求得抛物线的对称轴，然后根据抛物线的对称性即可求得 ；
（2）根据抛物线的对称轴，并结合表格即可求解；
（3）把点 ， ， 代入抛物线解析式 ，利用待定系数法求函数解析
式．
【小问1详解】
解： 抛物线 过点 ， ，
抛物线对称轴为直线 ，
点 关于对称轴的对称点是 ，
，
故答案为： ；
【小问2详解】
由表可知，二次函数图像所对应的顶点坐标为 ，
故答案为： ；
【小问3详解】
把点 ， ， 代入设抛物线解析式 得：
，
解得： ，
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抛物线的解析式为 ．
26. 在平面直角坐标系中，已知抛物线L：
（1）当 时
①抛物线L的对称轴为直线 .
②若在抛物线L上有两点 ， ，且 ，则m的取值范围是 .
（2）抛物线L的对称轴与x轴交于点M，点M与点A关于y轴对称，将点M向右平移3个单位得到点B，
若抛物线L与线段 恰有一个公共点，结合图象，求a的取值范围.
【答案】（1） ①. 1 ②. 或
（2） 或
【解析】
【分析】（1）把 代入抛物线解析式，①利用对称轴公式即可求得抛物线 的对称轴；
②先画二次函数的简易图象，根据二次函数的图象和性质，抛物线 上有两点 ， ，且
，进而可得 的取值范围；
（2）根据题意先求出点 、 、 的坐标，再结合图象，即可求 的取值范围．
【小问1详解】
①∵当 时，抛物线 为 ，
∴抛物线 的对称轴为 ，
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故答案为：1；
②当 时，抛物线为 ，
如图，当 或 时， ，
∵抛物线 上有两点 ， ，且 ，
∴ 在点 左边抛物线上或点 右边的抛物线上，
∴ 的取值范围是 或 ；
故答案为： 或 ；
【小问2详解】
∵抛物线 ： 的对称轴为 ，且对称轴于 轴交于点 ，
∴点 的坐标为（1，0），
∵点 与点 关于 轴对称，
∴点 的坐标为（ ，0），
∵点 向右移3个单位长度得到点 ，
∴点 的坐标为（4，0），
依题意，抛物线 与线段 恰有一个公共点，
把点 （ ，0）代入 可得 ；
把点 （4，0）代入 可得 ；
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把点 （1，0）代入 可得 ；
根据图象可知抛物线 与线段 恰有一个公共点时可得 或 ．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上的点的坐标特征、二次函数图象与几何
变换，结合图象作答是解题的关键．
27. 在 中， ，D为 内一点，连接 ， ，延长 到点 ，使得
（1）如图1，延长 到点 ，使得 ，连接 ， ，若 ，求证： ；
（2）连接 ，交 的延长线于点 ，连接 ，依题意补全图2，若 ，用等式表
示线段 与 的数量关系，并证明．
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【答案】（1）见解析 （2） ；证明见解析
【解析】
【分析】（1）先利用已知条件证明 ，得出 ，推出 ，再由
即可证明 ；
（2）延长BC到点M，使CM＝CB，连接EM，AM，先证 ，推出 ，通过
等量代换得到 ，利用平行线的性质得出 ，利用直角三角形斜
边中线等于斜边一半即可得到 ．
【小问1详解】
证明：在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
【小问2详解】
解：补全后的图形如图所示， ，证明如下：
延长BC到点M，使CM＝CB，连接EM，AM，
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∵ ，CM＝CB，
∴ 垂直平分BM，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，平行线的判定与性质，勾股定理的逆用，
直角三角形斜边中线的性质等，第二问有一定难度，正确作辅助线，证明 是解题的关键．
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