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北京市日坛中学 2023－2024 学年度第二学期期中考试
八年级数学学科试题
（考试时间90分钟 满分100分）
一、选择题（本题共24分，每小题3分）
第1－8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1. 若二次根式 有意义，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
2. 下列各式中，化简后能与 合并的是( )
.
A B. C. D.
3. 以下列长度的三条线段为边，能组成直角三角形的是（ ）
A. 2，3，4 B. ，3，5 C. 6，8，10 D. 5，12，12
4. 在平行四边形 中，若 ，则 的度数为（ ）．
A. B. C. D.
的
5. 若菱形 两条对角线的长分别为6和10，则菱形的面积为（ ）
A. 60 B. 30 C. 24 D. 15
6. 下列条件中，能判定平行四边形 是菱形的是（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AB＝2，∠ABO＝60°，线段EF绕点O转动，与
AD，BC分别相交于点E，F，当∠AOE＝60°时，EF的长为（ ）.
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学科网（北京）股份有限公司A. 1 B. C. 2 D. 4
8. 已知 为数轴原点，如图，
在
（1） 数轴上截取线段 ；
（2）过点 作直线 垂直于 ；
（3）在直线 上截取线段 ；
（4）以 为圆心， 的长为半径作弧，交数轴于点 .
根据以上作图过程及所作图形，有如下四个结论：① ；② ；③ ；④
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ②④
二、填空题（本题共24分，每小题3分）
9. 计算：已知 ， ，则 __________．
10. 写出“菱形的四条边都相等”的逆命题______，并判断你写出的命题的真假______（填“真”或
“假”）．
11. 如图，△ABC中，∠ACB＝90°，以它的各边为边向外作三个正方形，面积分别为S，S，S，已知S
1 2 3 1
＝6，S＝8，则S＝_____．
2 3
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学科网（北京）股份有限公司12. 在湖的两侧有A，B两个消防栓，为测定它们之间的距离，小明在岸上任选一点C，并量取了AC中点
D和BC中点E之间的距离为16米，则A，B之间的距离应为_________ 米．
13. 在平行四边形 中，若再增加一个条件__________，使平行四边形 能成为矩形（填写一
个你认为正确的即可）．
14. 如图，在Rt△ABC中，点D分别是边AB的中点，若AB＝4，则CD＝___________.
15. 如图，一个平行四边形的活动框架，对角线是两根橡皮筋，若改变框架的形状，则平行四边形内角
也随之变化，两条对角线长度也在发生改变．当 是________度时，两条对角线长度相等．
16. “在 中，AB、BC、AC三边的长分别为 、 、 ，求这个三角形的面积．”小明同学
在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为 1），再在网格中画出格点 （即
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学科网（北京）股份有限公司三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需求 的高，而借用网格就能计算出
它的面积，我们把上述求 面积的方法叫做构图法．
（1）直接写出图1中 的面积______；
的
（2）若 中有两边 长分别为 、 ，且 的面积为 ，写出它的第三条边
长______（试运用构图法在图2的每个小正方形的边长为 的网格中画出符合题意的 ）．
三、解答题（本题共52分，第17－24题，每小题5分，第25－26题，每小题6分）解答应
写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17. 计算： ．
18. 已知 ，求代数式 的值．
19. 如图，在 中，点 分别在 上，且 ，连接 ．求证：
．
20. 如图，矩形 中， ，将矩形 沿对角线 折叠，使点B落在点E处，
交 于点F．
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学科网（北京）股份有限公司（1）写出折叠后的图形中的等腰三角形：______；
（2）求 的长．
21. 如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF＝BE，连接AF，
BF．
（1）求证：四边形BFDE是矩形；
（2）若AF平分∠DAB，CF＝3，BF＝4，求DF长．
22. 阅读下面材料，并回答问题．
在几何学习中，经常通过添加辅助线构造图形，将未知问题转化为已知问题．以下给出的“三角形中位线
定理”的两种不同证明方法，就体现了三角形问题和平行四边形问题的相互转化．
方法一
已知：如图①，在 中，D，E分别是边 的中点，连接 ．
求证： ，且 ．
证明：延长 到点F，使 ，连接 ．
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学科网（北京）股份有限公司， 四边形ADCF是平行四边形（依据a）
∴ ．∴ ．
∴四边形 是平行四边形（依据b）．∴ ．
又 ， ，且 ．
方法二
已知：如图②，在 中，D，E分别是边 的中点，连接 ．
求证： ，且 ．
证明：过点 作 ，与DE的延长线交于点 ． ．
， （依据c）． （依据d）．
又 ， ． 四边形 是平行四边形．
．（依据e）．
又 ， ，且 ．
写出上述证明过程中所标注的推理依据的具体内容：
依据a：______；依据b：______；依据c：______；依据d：______；依据e：______．
23. 如图，矩形 的对角线 相交于点O，延长 到E，使 ，连接 ．
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学科网（北京）股份有限公司（1）求证：四边形 是平行四边形：
（2）若 ，求 的长．
24. 下面是小明设计的作菱形 的尺规作图过程．
已知：四边形 是平行四边形．
求作：菱形 （点 在 上，点 在 上）．
作法：如图，
为
①以 圆心， 长为半径作弧，交 于点 ；
②以 为圆心， 长为半径作弧，交 于点 ；
③连接 ，所以四边形 为所求的菱形．
（1）根据小明设计的尺规作图过程，使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：∵ ， ，
∴______ ______，
在平行四边形 中， ，即 ，
∴四边形 为______形，
∵ ，
∴四边形 为菱形．
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学科网（北京）股份有限公司25. 在数学课上，老师说统计学中常用的平均数不是只有算术平均数一种，好学的小聪通过网络搜索，又
得到了两种平均数的定义，他把三种平均数的定义整理如下：
对于两个数a，b，
称为a，b这两个数的算术平均数，
称为a，b这两个数的几何平均数，
称为a，b这两个数的平方平均数．
小聪根据上述定义，探究了一些问题，下面是他的探究过程，请你补充完整：
（1）若a = -1，b = -2，则M = ，N = ，P = ；
（2）小聪发现当a，b两数异号时，在实数范围内N没有意义，所以决定只研究当a，b都是正数时这三种
平均数的大小关系．结合乘法公式和勾股定理的学习经验，他选择构造几何图形，用面积法解决问题：
如图，画出边长为a+b的正方形和它的两条对角线，则图1中阴影部分的面积可以表示N2．
①请分别在图2，图3中用阴影标出一个面积为M2，P2的图形；
②借助图形可知当a，b都是正数时，M，N，P的大小关系是： （把M，N，P从小到大排列，并用
“＜”或“≤”号连接）．
26. 如图，在菱形ABCD中，CE⊥AB交AB延长线于点E，点F为点B关于CE的对称点，连接CF，分别
延长DC，CF至点G，H，使FH=CG，连接AG，DH交于点P．
（1）依题意补全图1；
（2）猜想AG和DH的数量关系并证明；
（3）若∠DAB=70°，是否存在点G，使得 ADP为等边三角形？若存在，求出CG的长；若不存在，说明
理由． △
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