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北京市日坛中学 2023－2024 学年度第二学期期中考试
八年级数学学科试题
（考试时间90分钟 满分100分）
一、选择题（本题共24分，每小题3分）
第1－8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1. 若二次根式 有意义，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件可得： ，再解不等式即可．
【详解】由题意得： ，
解得： ，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．
2. 下列各式中，化简后能与 合并的是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】【分析】分别化简，与 是同类二次根式才能合并.
【详解】因为
A. =2 ;
B. =2 ;
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学科网（北京）股份有限公司C. = ;
D. = .
所以，只有选项B能与 合并.
故选B
【点睛】本题考核知识点：同类二次根式.解题关键点：理解同类二次根式的定义.
3. 以下列长度的三条线段为边，能组成直角三角形的是（ ）
A. 2，3，4 B. ，3，5 C. 6，8，10 D. 5，12，12
【答案】C
【解析】
【分析】先分别求出两小边的平方和和最长边的平方，再看看是否相等即可．
【
详解】解：A． ，
以2，3，4为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
B． ，
以 ，3，5为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
C． ，
以6，8，10为边能组成直角三角形，故本选项符合题意；
D． ，
以5，12，12为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理是解此题的关键，注意：如果一个三角
形的两边 、 的平方和等于第三边 的平方，那么这个三角形是直角三角形．
4. 在平行四边形 中，若 ，则 的度数为（ ）．
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学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质邻角互补，对角线相等即可解答；
【详解】在平行四边形 中，
∴ ，
故选:B.
【点睛】本题考查平行四边形的性质，解题关键是熟练掌握平行四边形的角的性质：邻角互补，对角线相
等.
5. 若菱形的两条对角线的长分别为6和10，则菱形的面积为（ ）
A. 60 B. 30 C. 24 D. 15
【答案】B
【解析】
【分析】由菱形的面积等于对角线乘积的一半，即可求解．
【详解】解：菱形的面积= ×6×10=30，
故选：B．
【点睛】本题考查了菱形的性质，掌握菱形的面积公式是解题的关键．
6. 下列条件中，能判定平行四边形 是菱形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查菱形的判定，根据邻边相等的平行四边形是菱形，对角线垂直的平行四边形是菱形，进
行判断即可．
【详解】解：A、 ，对角线相等的平行四边形是矩形，不能判定平行四边形 是菱形，不
符合题意；
B、 ，不能判定平行四边形 是菱形，不符合题意；
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学科网（北京）股份有限公司C、 ，不能判定平行四边形 是菱形，不符合题意；
D、 ，对角线垂直的平行四边形是菱形，能判定平行四边形 是菱形，符合题意；
故选D．
7. 如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AB＝2，∠ABO＝60°，线段EF绕点O转动，与
AD，BC分别相交于点E，F，当∠AOE＝60°时，EF的长为（ ）.
A. 1 B. C. 2 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】证得△ABO为等边三角形，得出∠BAO＝60°，由三角形内角和求出∠AEO＝90°，得出四边形
ABFE为矩形，则可得出答案．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OB，∠ABC＝∠BAD＝90°，
又∵∠ABO＝60°，
∴△ABO为等边三角形，
∴∠BAO＝60°，
∴∠OAE＝30°，
∵线段EF绕点O转动，∠AOE＝60°，
∴∠AEO＝180°﹣60°﹣30°＝90°，
∴四边形ABFE为矩形，
∴AB＝EF＝2．
故选：C．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握等边三角形的判定与
性质是解题的关键．
8. 已知 为数轴原点，如图，
（1）在数轴上截取线段 ；
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学科网（北京）股份有限公司（2）过点 作直线 垂直于 ；
（3）在直线 上截取线段 ；
（4）以 为圆心， 的长为半径作弧，交数轴于点 .
根据以上作图过程及所作图形，有如下四个结论：① ；② ；③ ；④
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ②④
【答案】C
【解析】
【分析】由勾股定理求得 ，进而得 ，再判断结论的正误．
【详解】根据题意得， ，
，
故 正确；
，
，
∵ ，
∴ ，
正确， 错误；
，
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学科网（北京）股份有限公司故 错误；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，数轴与实数的对应关系，无理数的估算，关键是由勾股定理求得 ．
二、填空题（本题共24分，每小题3分）
9. 计算：已知 ， ，则 __________．
【答案】2
【解析】
【分析】根据二次根式的乘法法则进行计算即可
【详解】解：∵ ，
∴
故答案为：2
【点睛】本题考查了二次根式的乘法和平方差公式，熟练掌握运算法则是解题的关键
10. 写出“菱形的四条边都相等”的逆命题______，并判断你写出的命题的真假______（填“真”或
“假”）．
【答案】 ①. 四条边都相等的四边形是菱形 ②. 真
【解析】
【分析】本题考查菱形的判定，写出逆命题，判断命题的真假．将原命题的条件和结论互换，写出逆命题，
根据菱形的判定方法，判定命题的真假即可．
【详解】解：逆命题为：四条边都相等的四边形是菱形，是真命题；
故答案为：四条边都相等的四边形是菱形，真．
11. 如图，△ABC中，∠ACB＝90°，以它的各边为边向外作三个正方形，面积分别为S，S，S，已知S
1 2 3 1
＝6，S＝8，则S＝_____．
2 3
【答案】14．
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：∵∠ACB＝90°，S＝6，S＝8，
1 2
∴AC2＝6，BC2＝8，
∴AB2＝14，
∴S＝14，
3
故答案为：14．
【点睛】本题考查了勾股定理，正方形的面积，正确的识别图形是解题的关键．
12. 在湖的两侧有A，B两个消防栓，为测定它们之间的距离，小明在岸上任选一点C，并量取了AC中点
D和BC中点E之间的距离为16米，则A，B之间的距离应为_________ 米．
【答案】32
【解析】
【分析】可得DE是 ABC的中位线，然后根据三角形的中位线定理，可得DE∥AB，且AB=2DE，再根
据DE的长度为16米△，即可求出A、B两地之间的距离.
【详解】解：∵D、E分别是CA,CB的中点,
∴DE是 ABC的中位线，
∴DE∥A△B,且AB=2DE，
∵DE=16米，
∴AB=32米，
故答案是：32
【点睛】本题考查了三角形的中位线定理的应用，解答本题的关键是：明确三角形的中位线平行于第三边，
并且等于第三边的一半．
13. 在平行四边形 中，若再增加一个条件__________，使平行四边形 能成为矩形（填写一
个你认为正确的即可）．
【答案】 （答案不唯一）
【解析】
【分析】本题考查矩形的判定，掌握矩形的判定定理是解题的关键．
【详解】∵有一个角为 的平行四边形为矩形；对角线相等的平行四边形为矩形
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学科网（北京）股份有限公司∴可增加一个条件是： 或 ，
故答案为： （答案不唯一）.
14. 如图，在Rt△ABC中，点D分别是边AB的中点，若AB＝4，则CD＝___________.
【答案】2
【解析】
【分析】根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，即可作答．
【详解】解：∵ ABC 是直接三角形，
∵点D是边AB的△中点，且AB＝4，
∴CD=2
故本题答案为：2．
【点睛】本题主要考查了直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，明确此知识点是解题的关键．
15. 如图，一个平行四边形的活动框架，对角线是两根橡皮筋，若改变框架的形状，则平行四边形内角
也随之变化，两条对角线长度也在发生改变．当 是________度时，两条对角线长度相等．
【答案】90
【解析】
【分析】本题主要考查了矩形的性质与判定，根据矩形的对角线相等，且有一个角是直角的平行四边形是
矩形即可得到答案．
【详解】解：∵在平行四边形中只有矩形和正方形的对角线相等，
∴ 时，即四边形 是平行四边形时，两条对角线长度相等，
故答案为：90．
16. “在 中，AB、BC、AC三边 的长分别为 、 、 ，求这个三角形的面积．”小明
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学科网（北京）股份有限公司同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点
（即 三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需求 的高，而借用网格就能计
算出它的面积，我们把上述求 面积的方法叫做构图法．
（1）直接写出图1中 的面积______；
（2）若 中有两边 的长分别为 、 ，且 的面积为 ，写出它的第三条边
长______（试运用构图法在图2的每个小正方形的边长为 的网格中画出符合题意的 ）．
【答案】 ①. ## ##3.5 ②.
【解析】
【分析】本题考查勾股定理与无理数，借助网格计算三角形的面积：
（1）利用分割法求三角形的面积即可；
（2）根据题意，画出 ，求解即可．
【详解】解：（1）由图可知：
的面积 ；
故答案为： ．
（2）如图：
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学科网（北京）股份有限公司此时： ，
，满足题意，
∴ ；
故答案为： ．
三、解答题（本题共52分，第17－24题，每小题5分，第25－26题，每小题6分）解答应
写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17. 计算： ．
【答案】
【解析】
【分析】直接利用二次根式的乘法运算法则计算得出答案．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算、二次根式的性质，正确化简各数是解题关键．
18. 已知 ，求代数式 的值．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的化简求值，平方差公式．熟练掌握二次根式的化简求值，平方差公式是解
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学科网（北京）股份有限公司题的关键．
根据 ，然后代值，利用平方差公式计算求解即可．
【详解】解：由题意知， ，
∴代数式 的值为2．
19. 如图，在 中，点 分别在 上，且 ，连接 ．求证：
．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定方法，证明四边形是平行四边
形是解决问题的关键．先证明四边形 是平行四边形，从而得到 ，从而即可得出结论．
【详解】证明：∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∵点E，F分别在 边上， ，
∴ ，即 ，
又∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ．
20. 如图，矩形 中， ，将矩形 沿对角线 折叠，使点B落在点E处，
交 于点F．
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学科网（北京）股份有限公司（1）写出折叠后的图形中的等腰三角形：______；
（2）求 的长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查矩形与折叠，等腰三角形的判定，勾股定理：
（1）依据折叠的性质以及平行线的性质，即可得到 ，进而得出 是等腰三角形；
（2）设 ，则 ，依据勾股定理即可得到 的值．
【小问1详解】
解：由折叠可得， ，
∵矩形 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰三角形．
故答案为：
【小问2详解】
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学科网（北京）股份有限公司解：设 ，则 ，
∵ ，
∴ 中， ，即 ，
解得 ，
∴ ．
21. 如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF＝BE，连接AF，
BF．
（1）求证：四边形BFDE是矩形；
（2）若AF平分∠DAB，CF＝3，BF＝4，求DF长．
【答案】（1）见详解；（2）5
【解析】
【分析】（1）先求出四边形BFDE是平行四边形，再根据矩形的判定推出即可；
（2）根据勾股定理求出BC长，求出AD＝DF，即可得出答案．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，
∵DF＝BE，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB＝90°，
∴四边形BFDE是矩形；
（2）解：∵四边形BFDE是矩形，
∴∠BFD＝90°，
∴∠BFC＝90°，
在Rt△BCF中，CF＝3，BF＝4，
∴BC＝5，
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学科网（北京）股份有限公司∵AF平分∠DAB，
∴∠DAF＝∠BAF，
∵AB∥DC，
∴∠DFA＝∠BAF，
∴∠DAF＝∠DFA，
∴AD＝DF，
∵AD＝BC，
∴DF＝BC，
∴DF＝5．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，矩形的性质和判定，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，能综
合运用定理进行推理是解此题的关键．
22. 阅读下面材料，并回答问题．
在几何学习中，经常通过添加辅助线构造图形，将未知问题转化为已知问题．以下给出的“三角形中位线
定理”的两种不同证明方法，就体现了三角形问题和平行四边形问题的相互转化．
方法一
已知：如图①，在 中，D，E分别是边 的中点，连接 ．
求证： ，且 ．
证明：延长 到点F，使 ，连接 ．
， 四边形ADCF是平行四边形（依据a）
∴ ．∴ ．
∴四边形 是平行四边形（依据b）．∴ ．
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学科网（北京）股份有限公司又 ， ，且 ．
方法二
已知：如图②，在 中，D，E分别是边 的中点，连接 ．
求证： ，且 ．
证明：过点 作 ，与DE的延长线交于点 ． ．
， （依据c）． （依据d）．
又 ， ． 四边形 是平行四边形．
．（依据e）．
又 ， ，且 ．
写出上述证明过程中所标注的推理依据的具体内容：
依据a：______；依据b：______；依据c：______；依据d：______；依据e：______．
【答案】对角线互相平分的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； ；
全等三角形的对应边相等；平行四边形的对边平行且相等
【解析】
【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，根据平行四边形的判定和性质，
全等三角形的判定和性质进行作答即可．
【详解】方法一：证明：延长 到点F，使 ，连接 ．
，
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学科网（北京）股份有限公司四边形ADCF是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）
∴ ．
∴ ．
∴四边形 是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）．
∴ ．
又 ，
，且 ．
方法二：证明：过点 作 ，与DE的延长线交于点 ．
．
，
（ ）．
（全等三角形的对应边相等）．
又 ，
．
四边形 是平行四边形．
．（平行四边形的对边平行且相等）．
又 ，
，且 ．
故答案为：对角线互相平分的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； ；
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学科网（北京）股份有限公司全等三角形的对应边相等；平行四边形的对边平行且相等．
23. 如图，矩形 的对角线 相交于点O，延长 到E，使 ，连接 ．
（1）求证：四边形 是平行四边形：
（2）若 ，求 的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据矩形的性质，得到 ， ，进而得到 ，即可得证；
（2）先证明矩形 是正方形，然后根据正方形的性质和勾股定理，即可求出答案．
【小问1详解】
解： 四边形 是矩形，
， ，
，
，
四边形 是平行四边形．
【小问2详解】
解： ， ，
，
．
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学科网（北京）股份有限公司在 中， 为 中点，
．
，
矩形 是正方形，
，
．
【点睛】本题考查矩形的性质，正方形的判定和平行四边形的判定定理，勾股定理，解题的关键是熟练运
用矩形的性质以及平行四边形的判定，本题属于中等题型．
24. 下面是小明设计的作菱形 的尺规作图过程．
已知：四边形 是平行四边形．
求作：菱形 （点 在 上，点 在 上）．
作法：如图，
①以 为圆心， 长为半径作弧，交 于点 ；
②以 为圆心， 长为半径作弧，交 于点 ；
③连接 ，所以四边形 为所求的菱形．
（1）根据小明设计的尺规作图过程，使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：∵ ， ，
∴______ ______，
在平行四边形 中， ，即 ，
∴四边形 为______形，
∵ ，
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学科网（北京）股份有限公司∴四边形 为菱形．
【答案】（1）见详解 （2） ， ，平行四边
【解析】
【分析】本题主要考查了尺规作图、平行四边形的判定以及菱形的判定，准确分析证明是解题的关键．
（1）根据题意作图即可；
（2）根据平行四边形的判定定理和菱形的判定定理证明即可．
【小问1详解】
解：如图即为所求，
【小问2详解】
证明：∵ ， ，
∴ ，
在平行四边形 中， ，即 ，
∴四边形 为平行四边形，
∵ ，
∴四边形 为菱形．
故答案为： ， ，平行四边．
25. 在数学课上，老师说统计学中常用的平均数不是只有算术平均数一种，好学的小聪通过网络搜索，又
得到了两种平均数的定义，他把三种平均数的定义整理如下：
对于两个数a，b，
称为a，b这两个数的算术平均数，
称为a，b这两个数的几何平均数，
称为a，b这两个数的平方平均数．
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学科网（北京）股份有限公司小聪根据上述定义，探究了一些问题，下面是他的探究过程，请你补充完整：
（1）若a = -1，b = -2，则M = ，N = ，P = ；
（2）小聪发现当a，b两数异号时，在实数范围内N没有意义，所以决定只研究当a，b都是正数时这三种
平均数的大小关系．结合乘法公式和勾股定理的学习经验，他选择构造几何图形，用面积法解决问题：
如图，画出边长为a+b的正方形和它的两条对角线，则图1中阴影部分的面积可以表示N2．
①请分别在图2，图3中用阴影标出一个面积为M2，P2的图形；
②借助图形可知当a，b都是正数时，M，N，P的大小关系是： （把M，N，P从小到大排列，并用
“＜”或“≤”号连接）．
【答案】（1） ， ， ；（2）①见解析；② ．
【解析】
【分析】（1）将 分别代入 求值即可得；
（2）①分别求出 ，再根据正方形的性质、矩形和直角三角形的面积公式即可得；
②根据（2）①中的所画的图形可得 ，由此即可得出结论．
【详解】解：（1）当 时，
，
，
，
故答案为： ， ， ；
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学科网（北京）股份有限公司（2）① ，
则用阴影标出一个面积为 的图形如下所示：
，
则用阴影标出一个面积为 的图形如下所示：
②由（2）①可知， ，当且仅当 ，即 时，等号成立，
都是正数，
都是正数，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了二次根式的应用、完全平方公式、正方形的性质等知识点，较难的是题（2）①，正
确利用完全平方公式进行变形运算是解题关键．
26. 如图，在菱形ABCD中，CE⊥AB交AB延长线于点E，点F为点B关于CE的对称点，连接CF，分别
延长DC，CF至点G，H，使FH=CG，连接AG，DH交于点P．
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学科网（北京）股份有限公司（1）依题意补全图1；
（2）猜想AG和DH的数量关系并证明；
（3）若∠DAB=70°，是否存在点G，使得 ADP为等边三角形？若存在，求出CG的长；若不存在，说明
理由． △
【答案】(1)见解析;(2) AG=DH,理由见解析;(3) 不存在．理由见解析.
【解析】
【详解】【分析】(1)依题意画图；
（2）根据菱形性质得 ， ∥ ， ；由点 为点 关于 的对称
点，得 垂直平分 ，故 ， ，所以 ，再证 ，
由 ， ，得 ．可证△ ≌△ ．
（3）由（2）可知，∠DAG=∠CDH，∠G=∠GAB，
证得∠DPA=∠PDG＋∠G=∠DAG+∠GAB=70°>60°，故△ADP不可能是等边三角形．
【详解】
（1）补全的图形，如图所示．
（2）AG=DH．
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴ ， ∥ ， ．
∵点 为点 关于 的对称点，
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学科网（北京）股份有限公司∴ 垂直平分 ．
∴ ， ．
∴ ．
又∵ ，
∴ ．
∵ ， ，
∴ ．
∴△ ≌△ ．
∴ ．
（3）不存在．
理由如下：
由（2）可知，∠DAG=∠CDH，∠G=∠GAB，
∴∠DPA=∠PDG＋∠G=∠DAG+∠GAB=70°>60°．
∴△ADP不可能是等边三角形．
【点睛】本题考核知识点：菱形，轴对称,等边三角形. 解题关键点：此题比较综合，要熟记菱形性质，全
等三角形的判定和性质，轴对称性质，等边三角形判定.
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学科网（北京）股份有限公司
