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昌平区 2021-2022 学年第二学期初一年级期末质量监控数学试卷
一、选择题（共16分，每题2分）下列各题均有4个选项，其中只有一个是符合题意的．
1. 如图， ， ，则 的度数为（ ）
A. 50° B. 60° C. 140° D. 160°
【答案】A
【解析】
【分析】根据OA⊥OB，可知∠BOC和∠AOC互余，即可求出∠AOC的度数．
【详解】解：∵OA⊥OB，
∴∠AOB=90°，
即∠BOC+∠AOC=90°，
∵∠BOC=40°，
∴∠AOC=90°-∠BOC=90°-40°=50°，
故选：A．
的
【点睛】本题考查了余角 知识，熟练掌握互余两角之和等于90°是关键．
2. 种子的重量一般用千粒重来表示，即1000粒种子的质量（克），一般番茄种子的平均千粒重为3.1克左
右，那么每粒种子的重量约为0.0031克，将0.0031用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|＜10，n为整数，据此判断即可．
【详解】解： ．
故选C．
【点睛】此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左
边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，确定a与n的值是解题的关键．3. 已知 ，下列变形不正确的是（ ）A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用不等式的性质对各选项进行判断．
【详解】解：A. 、由a＜b，得 ，故此选项不符合题意；
B. 、由a＜b，得 ，故此选项不符合题意；
C. 、由a＜b，得 ，故此选项不符合题意；
D. 、由a＜b，得 ，原变形错误，故此选项符合题意；
故选D
【点睛】本题考查了不等式的性质．解题的关键是掌握不等式的性质：不等式的两边同时加上（或减去）
同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，
不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
4. 下列调查中，适合用全面调查的是（ ）
A. 了解20万只节能灯的使用寿命 B. 了解某班35名学生的视力情况
C. 了解某条河流的水质情况 D. 了解全国居民对“垃圾分类”有关内容的认识程
度
【答案】B
【解析】
【分析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比
较近似．
【详解】解：A．了解20万只节能灯的使用寿命，具有破坏性，适合抽样调查，故本选项不合题意；
B．了解某班35名学生的视力情况，人员不多，适合用全面调查，故本选项符合题意；
C．了解某条河流的水质情况，范围广，适合抽样调查，故本选项不合题意；
D．了解全国居民对“垃圾分类”有关内容的认识程度，范围广，适合抽样调查，故本选项不合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵
活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查，
对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．5. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.【答案】A
【解析】
【分析】根据同底数的幂相乘，幂的乘方，积的乘方法则及合并同类项法则逐项判断．
【详解】解：a3•a5=a8，故A正确，符合题意；
a5+a5=2a5，故B不正确，不符合题意；
（-a3）2=a6，故C不正确，不符合题意；
（ab）2=a2b2，故D不正确，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查整式的运算，解题的关键是掌握整式相关运算的法则．
6. 如图，直线 ，直线 分别与直线 、 交于点 、 ，∠1=50°，则 的度数为
（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先根据对顶角的性质求出∠BEF，再利用平行线的性质即可求出∠2的度数．
【详解】解：∵∠BEF=∠1=50°，AB CD，
∴∠2=∠BEF=50°．
故选：B．
【点睛】本题考查平行线的性质，对顶角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握平行线的性质：两直线平
行，同位角相等．
7. 如图1，将边长为 的正方形纸片，剪去一个边长为 的小正方形纸片，再沿着图1中的虚线剪开，把
剪成的两部分（1）和（2）拼成如图2的平行四边形，这两个图能解释下列哪个等式．A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】用代数式分别表示各个部分的面积，再根据拼图前后面积之间的关系可得结论．
【详解】解：图1中（1）（2）两部分的面积和可以看作两个正方形的面积差，即a2-b2，
图2是由（1）（2）两部分拼成的底为a+b，高为a-b的平行四边形，因此面积为（a+b）（a-b），
因此有a2-b2=（a+b）（a-b），
故选：D．
【点睛】本题考查平方差公式的几何背景，用代数式分别表示图1、图2的面积是解决问题的关键．
8. 在一次数学活动课上，王老师将1～8共八个整数依次写在八张不透明的卡片上（每张卡片上只写一个
数字，每一个数字只写在一张卡片上，而且把写有数字的那一面朝下）．他先像洗扑克牌一样打乱这些卡
片的顺序，然后把甲、乙、丙、丁四位同学叫到讲台上，随机地发给每位同学两张卡片，并要求他们把自
己手里拿的两张卡片上的数字之和写在黑板上，写出的结果依次是：甲：12；乙：11；丙：9；丁：4，则
拿到数字5的同学是（ ）
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
【答案】B
【解析】
【分析】根据两数之和结果确定，对两个加数的不同情况进行分类讨论，列举出所有可能的结果后，再逐
一根据条件进行推理判断，最后确定出正确结果即可．
【详解】解：由题意可知，一共八张卡片八个数，四个人每人两张卡片，
∴每人手里的数字不重复．
由甲：12，可知甲手中的数字可能是4和8，5和7；
由乙：11，可知乙手中的数字可能3和8；4和7，5和6；由丙：9，可知丙手中的数字可能是1和8，2和7，3和6，4和5；
由丁：4，可知丁手中的数字可能是1和3，
∴丁只能 是1和3，
因为甲手中的数字可能是4和8，5和7；
所以乙不能是4和7，则只能是5和6，
故选B．
【点睛】本题考查了列举所有可能性，关键是把所有可能的结果列举出来，再进行推理．
二、填空题（共16分，每题2分）
9. 今年高考第一天（6月7日）昌平区最高气温是29℃，最低气温是19℃，请用不等式表示这一天气温：
（℃）的变化范围：______≤ ≤______．
【答案】 ①. 19 ②. 29
【解析】
【分析】找到最高气温和最低气温即可．
【详解】解：因为最低气温是19℃，所以19≤t，最高气温是29℃，t≤29，
则今天气温t（℃）的范围是19≤t≤29．
故答案为：19，29．
【点睛】本题主要考查了不等式的定义．解答此题要知道，t包括19℃和29℃，符号是≤，≥．
10. 分解因式： =_________________________．
【答案】 ．
【解析】
【详解】试题分析：原式= = ．
考点：提公因式法与公式法的综合运用．
11. 如果 是二元一次方程 的解，那么 的值是______．
【答案】5
【解析】
【分析】把x与y的值代入方程计算即可求出a的值．
【详解】解：把 代入方程ax+y=3得：a-2=3，
解得：a=5，故答案为：5．
【点睛】此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
12. 计算： _______．
【答案】2m+1##1+2m
【解析】
【分析】应用整式的除法法则进行计算即可得出答案．
【详解】解：原式=2m+1．
故答案为：2m+1．
【点睛】本题主要考查了整式 的除法，熟练掌握整式的除法法则进行求解是解决本题的关键．
13. 下列命题是真命题的有______（填写相应序号）．
①对顶角相等；②两个锐角的和是钝角；③两直线平行，同旁内角互补；④一个正数与一个负数的和是负
数．
【答案】①③##③①
【解析】
【分析】根据对顶角的性质判断①；根据平行线的性质判断③；通过举反例判断②④即可．
【详解】解：①对顶角相等，这是真命题，故①符合题意；
②例如两个锐角分别是20°，30°，它们的和是50°，不是钝角，这是假命题，故②不符合题意；
③两直线平行，同旁内角互补，这是真命题，故③符合题意；
④例如3和-1，3+（-1）=2，2不是负数，这是假命题，故④不符合题意；
故答案为：①③．
【点睛】本题考查了命题与定理，掌握两直线平行，同旁内角互补是解题的关键．
14. 在居家学习期间，某中学要求学生积极参加体育锻炼，坚持参加“仰卧起坐”、“跳绳”等项目，小
雨连续记录了自己5天一分钟“仰卧起坐”的个数：45，44，42，41，43，则这组数据的平均数为_______．
【答案】43
【解析】
【分析】根据算术平均数的计算方法进行计算即可．
【详解】解：这组数据的平均数为：
故答案为：43
【点睛】本题考查算术平均数，掌握算术平均数的计算方法是解决问题的前提．15. 已知 ， ，则 _______．
【答案】2
【解析】
【分析】根据同底数幂的除法法则解答即可．
【详解】解：∵2x=8，2y=4，
∴2x-y=2x÷2y=8÷4=2，
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了同底数幂的除法的逆用，熟练掌握幂的运算法则是解题的关键．
16. 某中学为积极开展校园足球运动，计划购买 和 两种品牌的足球，已知一个 品牌足球价格为120
元，一个 品牌足球价格为150元．学校准备用3000元购买这两种足球（两种足球都买），并且3000元
全部用完，请写出一种购买方案：买_______个 品牌足球，买________个 品牌足球．
【答案】 ①. 10 ②. 12
【解析】
【分析】设买 个 品牌足球，买 个 品牌足球，根据题意列出二元一次方程，根据整数解确定 的
值即可求解．
【详解】解：设买 个 品牌足球，买 个 品牌足球，根据题意得，
，
整理得： ，
， 是正整数，
是5的倍数，
．
故答案为： （答案不唯一）．
【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，整除，根据题意列出方程是解题的关键．
三、解答题（本题共68分，17，18题每小题4分，19，20题每小题5分，21-26题每小题6
分，27、28题每小题7分）
17. 计算：
【答案】3x+5x2-xy【解析】【分析】利用单项式乘多项式的运算法则进行求解即可．单项式与多项式相乘时，应注意以下几个问题：
①单项式与多项式相乘实质上是转化为单项式乘以单项式；②用单项式去乘多项式中的每一项时，不能漏
乘；③注意确定积的符号．
【详解】解：原式=3x+5x2-xy．
【点睛】本题主要考查单项式乘多项式，解答的关键是注意符号的变化．
18. 计算：
【答案】x2+x-2．
【解析】
【分析】直接利用多项式乘多项式运算法则计算得出答案．
【详解】解：原式=x2+2x-x-2
=x2+x-2．
【点睛】此题主要考查了多项式乘多项式，正确掌握相关运算法则是解题关键．
19. 解不等式 ，并在数轴上表示出不等式的解集．
【答案】x＞2，数轴见解析
【解析】
【分析】根据不等式的解法求解不等式，然后把解集在数轴上表示出来．
【详解】解：5x-2＞2x+4，
移项、合并同类项得：3x＞6，
系数化为1得：x＞2，
所以，不等式的解集为
在数轴上表示为：x＞2，
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，在数轴是表示不等式的解，数形结合是解题的关键．
20. 解方程组
【答案】
【解析】【分析】利用加减消元法求解可得．【详解】解： ，
①+②，得：4x=4，
解得：x=1，
将x=1代入①，得：1+2y=3，
解得：y=1，
所以方程组的解为 ．
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
21. 解不等式组 并写出它的整数解．
为
【答案】-1＜x＜2，整数解 0，1
【解析】
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无
解了确定不等式组的解集，从而得出答案．
【详解】解：解不等式：2（x-1）＞-4，得：x＞-1，
解不等式： ，得：x＜2，
则不等式组的解集为-1＜x＜2，
所以不等式组的整数解为0，1．
【点睛】本题考查的是一元一次不等式组的整数解，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；
同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
22. 请补全证明过程或推理依据：
已知：如图，点 在射线 上，点 在射线 上，点 在 内部， // ， ．求证： // ．证明：∵ // （已知）．
∴ （______）
∵ ，
∴ ______（等量代换）
∵ // （______）
【答案】两直线平行，内错角相等； ；内错角相等，两直线平行
【解析】
【分析】根据平行线的性质与判定填写理由以及证明过程即可．
【详解】证明：∵ // （已知）．
∴ （两直线平行，内错角相等），
∵ ，
∴ （等量代换），
∵ // （内错角相等，两直线平行）．
【点睛】本题考查了平行线 的性质与判定，掌握平行线的性质与判定是解题的关键．
23. 先化简，再求值：已知 ，求代数式 的值．
【答案】a2-5a+5，6
【解析】
【分析】先应用整式的混合运算法则进行计算可得原式=a2-5a+5，再由已知a2-5a-1=0，可得a2-5a=1，代入
计算即可得出答案．
【详解】解：（a-3）2-a（a-1）+（a+2）（a-2）
=a2-6a+9-a2+a+a2-4
=a2-5a+5
∵a2-5a-1=0，
∴a2-5a=1，
原式=1+5=6．
【点睛】本题主要考查了整式的混合运算—化简求值，熟练掌握整式的混合运算—化简求值的计算方法进
行求解是解决本题的关键．
24. 2022年6月5日10时44分，我国神舟十四号载人飞船发射成功，航天员乘组将在轨工作生活6个月，
某校为了解学生对中国航天事业的关注程度，开展了一次竞赛答题活动，随机抽取了部分同学的得分情况，绘制了下面两幅不完整的统计图，请根据图中信息，回答下列问题：（1）本次共抽取了______名同学；
（2）扇形统计图中“10分”所对应的扇形圆心角度数为_______；
（3）补全条形统计图；
（4）本次调查中，学生得分的众数是_______分，中位数是_______分；
（5）该校共有1000名学生，请你估计该校“不低于6分”的同学有多少人？
【答案】（1）100 （2）36
（3）见解析 （4）6,6
（5）700
【解析】
【分析】（1）根据统计图中，10分的人数为10，占比为 ，即可求解；
（2）用360°×10%即可求解；
（3）根据总人数减去其他分数的人数得到成绩为8分的人数，进而补全统计图；
（4）根据条形图可得众数为6，第50和第51个数据，分数都为6，即可求得中位数；
（5）根据样本估计总体，用1000乘以70%即可求解．
【小问1详解】
解：本次共抽取了10÷10%=100（人）；
故答案为：100
【小问2详解】
扇形统计图中“10分”所对应的扇形圆心角度数为360°×10%=36°，
故答案为：36°；
【小问3详解】
成绩为8分的人数为 （人），补全统计图如图，【小问4详解】
根据条形图可得，众数为6，第50和第51个数据，分数都为6，则中位数为 ；
故答案为：6,6；
【小问5详解】
估计该校“不低于6分”的同学有 （人）．
【点睛】本题考查了条形统计图与扇形统计图信息关联，求中位数与众数，样本估计总体，补全统计图，
求扇形统计图的圆心角度数，从统计图获取信息是解题的关键．
25. 每年的4月23日是世界读书日.某校计划购入 ， 两种规格的书柜用于放置图书．经市场调查发现，
若购买 种书柜3个， 种书柜2个，共需资金1020元；若购买 种书柜1个， 种书柜3个，共需资金
900元．
（1） 、 两种规格的书柜的单价分别是多少？
（2）若该校计划购买这两种规格的书柜共20个，学校至多投人4350元的资金购买书柜，则 种书柜最多
可以购买多少个？
【答案】（1）A种书柜的单价熟练掌握180元，B种书柜的单价是240元
（2）B种书柜最多可以买12个
【解析】
【分析】（1）设A种书柜的单价是x元，B种书柜的单价是y元，根据“购买A种书柜3个、B种书柜2个，
共需资金1020元；购买A种书柜5个、B种书柜3个，共需资金1620元”，即可得出关于x，y的二元一次
方程组，解之即可得出结论；
（2）设A种书柜可以买m个，则B种书柜可以买（20﹣m）个，根据学校至多有4350元的资金，即可得
出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为整数即可求解．【小问1详解】解：设A种书柜的单价是x元，B种书柜的单价是y元，依题意得：
，
解得 ，
答：A种书柜的单价是180元，B种书柜的单价是240元；
【小问2详解】
设A种书柜可以买m个，则B种书柜可以买（20﹣m）个，依题意得：
180m+240（20﹣m）≤4350，
解得：m≥7.5，
则20﹣m≤12.5，
∵m为整数，
∴B种书柜最多可以买12个．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等
量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
26. 数学王老师在探索乘法公式时利用了面积法，面积法可以帮助我们直观地推导或验证公式，俗称“无
字证明”，我国三国时期的数学家赵爽创造了一幅“勾股圆方图”（也称“赵爽弦图”）证明了勾股定理．
2002年在北京召开的国际数学家大会把“赵爽弦图”作为会徽（如图1），彰显了这一中国古代的重大成
就．
运用“赵爽弦图”证明勾股定理的基本思路如下：
“赵爽弦图”是将四个完全相同的直角三角形（如图2，其中构成直角的两条边叫直角边，边长分别为
和 ，且 ；最长的那条边叫做斜边，边长为 ）围成一个边长为 的大正方形（如图3），中间空的部分是一个边长为 的小正方形．（1）验证过程：大正方形的面积可以表示为 ，又可用四个直角三角形和一个小正方形的和表示为
，∴ ．
化简等号右边的式子可得∴ _______．
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
（2）爱动脑筋的小新把这四个相同的直角三角形拼成了另一个大的正方形（如图4），模仿上述过程也能
验证这个结论，请你帮助小新完成验证的过程．
【答案】（1）a2+b2；
（2）见解析
【解析】
【分析】（1）化简等号右边的式子，即可得出答案；
（2）利用以c为边的正方形和4个直角三角形的面积和等于以边为a+b的正方形的面积建立方程，即可得
出结论．
【小问1详解】
解：（1）验证过程：大正方形的面积可以表示为S=c2，又可用四个直角三角形和一个小正方形的和表示
为S=4× ab+（b-a）2，
∴c2=4× ab+（b-a）2．
化简等号右边的式子可得c2=a2+b2．
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
故答案为：a2+b2；
【小问2详解】如图4，
∵大的正方形的面积可以表示为（a+b）2，大的正方形的面积又可以表示为c2+4× ab，
∴c2+2ab=a2+b2+2ab，
∴a2+b2=c2．
【点睛】本题考查了勾股定理的证明．求面积时，利用了“分割法”．
27. 若关于 的一个一元一次不等式组的解集为 （ 、 为常数且 ），则称 为这个不
等式组的解集中点．如果一个一元一次方程的解与一个一元一次不等式组的解集中点相等，则称这个一元
一次方程为此一元一次不等式组的关联方程．
（1）在方程① ，② ，③ 中，不等式组 的关联方
程是_______．（填序号）
（2）已知不等式组 ，请写出这个不等式组的一个关联方程_______．
（3）若关于 的不等式组 的解集中点大于方程 的解且小于方程
的解，求 的取值范围．
【答案】（1）①③； （2）x=-2
（3）0＜m＜1．
【解析】
【分析】（1）先分别求出三个方程的解和不等式组的解集，再根据关联方程的定义即可判断；
（2）先求出不等式组的解集，根据关联方程的定义即可求解；
（3）先求出不等式组的解集和两个一元一次方程的解，再根据题意列出不等式组，求解即可．
【小问1详解】
解：（1）解不等式组 得：1＜x＜2，而 ，
解方程①得：x= ，故方程①是不等式组 的关联方程；解方程②得：x=-2，故方程②不是不等式组 的关联方程；解方程③得：x= ，故方程③是不等式组 的关联方程；
故答案为：①③；
【小问2详解】
解不等式组 得：-3＜x＜-1，而 ，
∴这个不等式组的一个关联方程可以是x=-2（答案不唯一）．
故答案为：x=-2（答案不唯一）；
【小问3详解】
解不等式组 得：m＜x＜m+4，
解集中点为 =m+2．
解方程3（x+ ）=2x+3得：x=2，
解方程2x+6=4x得：x=3，
∵关于x的不等式组 的解集中点大于方程3（x+ ）=2x+3的解且小于方程2x+6=4x的解，
∴ ，
解得：0＜m＜1，
即m的取值范围是 0＜m＜1．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式（组），解一元一次方程，理解材料中不等式组的“关联方程”是解
题的关键．
28. 如图1，直线 与直线 、 分别交于点 、 ， ．（1）请直接写出直线 与 的位置关系______；
（2）如图2，动点 在直线 ， 之间，且在直线 左侧，连接 ， ，探究 ，
， 之间的数量关系．
小明经过分析证明的过程如下：过点 作 // ．∴ ______（两直线平行，内错角相等）．
∵ // （已知），
∴ // （平行于同一条直线的两条直线平行）．
∴ （两直线平行，内错角相等）．
∵ ，
∴_______（等量代换）．
请你补全上述的证明过程．（3）小明进一步探究，分别作出 和 的角平分线，若两条角平分线交于点 ，如图3．①若 ，则 _______．
②探究 与 的数量关系，小明思路如下：设 ，进一步可知
_______（用含 的式子表示）．设 ．用等式表示 与 的数量关系______．
【答案】（1）
（2） ；
（3）①135°，② ，
【解析】
【分析】（1）根据已知条件可得 ，根据同位角相等两直线平行即可求解；
（2）根据平行线的性质与判定填写证明过程，进而可得 ；
（3）①②方法一致，过点 作 ，同理可得 ，由（2）可得
，进而可得 ，根据 分别为 和
的角平分线，得出 ，即 ，即可
求解．【小问1详解】
，
，
；
【小问2详解】
过点 作 // ．∴ （两直线平行，内错角相等）．
∵ // （已知），∴ // （平行于同一条直线的两条直线平行）．
∴ （两直线平行，内错角相等）．
∵ ，
∴ （等量代换）．
故答案为： ； ；
【小问3详解】
①如图，过点 作 ，
同理可得 ，
，
，
分别为 和 的角平分线，
，
，
②设 ， ，
，
设 ，分别为 和 的角平分线，
，
．故答案为： ， ．
【点睛】本题考查了平行线的性质与判定求角度，探究角的数量关系，掌握平行线的性质与判定是解题的
关键．
