2015年高考数学试卷（理）（广东）（解析卷）_历年高考真题合集_数学历年高考真题_新·PDF版2008-2025·高考数学真题_数学（按省份分类）2008-2025_2008-2025·（广东）数学高考真题

2015年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷） 数学（理科） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分. 1．若集合M ={x|(x+4)(x+1)=0}，N ={x|(x- 4)(x-1)=0}，则M I N = A． B．1,4 C．0 D．1,4 2．若复数z=i ( 3 – 2 i ) ( i是虚数单位 )，则z= A．3-2i B．3+2i C．2+3i D．2-3i 3．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是 1 1 A．y  xex B．y  x C．y 2x  D．y  1x2 x 2x 4．袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球。从袋中任取2个球 ，所 取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为 11 10 5 A．1 B. C. D. 21 21 21 5．平行于直线2x y10且与圆x2  y2 5相切的直线的方程是 A．2x y 5 0或2x y 5 0 B. 2x y 5 0或2x y 5 0 C. 2x y50或2x y50 D. 2x y50或2x y50 4x5y8  6．若变量x，y满足约束条件1 x3 则z 3x2y的最小值为  0 y2  31 23 A． B. 6 C. D. 4 5 5 x2 y2 5 7．已知双曲线C：  1的离心率e= ，且其右焦点F ( 5 , 0 )，则双曲线C的方程为 a2 b2 4 2 （ ） x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2 A．  1 B.  1 C.  1 D.  1 4 3 16 9 9 16 3 4 8．若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值 第1页 | 共15页A．大于5 B. 等于5 C. 至多等于4 D. 至多等于3 二、填空题:本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9-13题） 9．在( x 1)4的展开式中，x的系数为 。 10．在等差数列{a }中，若a a a a a 25，则a a = 。 n 3 4 5 6 7 2 8 1 π 11．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c.若a = 3，sinB= ，C= ，则b = 。 2 6 12. 某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了 条毕业留言。（用数字作答） 13．某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写 了 条毕业留言。（用数字做答） （二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题） π 14．(坐标系与参数方程选做题)已知直线l的极坐标方程为2sin( ） 2，点A的极 4 7π 坐标为 A(2 2, )，则点A到直线l的距离为 。 4 15.（几何证明选讲选作题）如图1，已知AB是圆O的直径，AB=4，EC是圆O的切线，切点为 C， BC=1，过圆心O做BC的平行线，分别交EC和AC于点D和点P，则OD= 。 C B D O P E 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字 A 图1 说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分） 2 2 在平面直角坐标系xOy中，已知向量m=（ ， ），n=（sin x，cos x），x∈（0， 2 2 第2页 | 共15页 ）。 2  （1）若m⊥n，求tan x的值 （2）若m与n的夹角为 ，求x的值。 3 17．（本小题满分12分） 某工厂36名工人的年龄数据如下表。 工人编号 年龄 工人编号 年龄 工人编号 年龄 工人编号 年龄 1 40 10 36 19 27 28 34 2 44 11 31 20 43 29 39 3 40 12 38 21 41 30 43 4 41 13 39 22 37 31 38 5 33 14 43 23 34 32 42 6 40 15 45 24 42 33 53 7 45 16 39 25 37 34 37 8 42 17 38 26 44 35 49 9 43 18 36 27 42 36 39 （1）用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到 的年龄数据为44，列出样本的年龄数据； （2）计算（1）中样本的平均值x和方差s2； （3）36名工人中年龄在x s与x s之间有多少人？所占的百分比是多少（精确到0.01％ ）？ 18．（本小题满分14分） 如图2，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD=PC =4， AB=6，BC =3.点E是CD边的中点，点F，G分别在线段AB，BC上，且AF =2FB， CG=2GB. （1）证明：PE FG； （2）求二面角P- AD- C的正切值； H （3）求直线PA与直线FG所成角的余弦值. D E C G A F B 图2 第3页 | 共15页19．（本小题满分14分） 设a>1，函数 f(x)(1 x2)ex a。 (1) 求 f(x)的单调区间 ； (2) 证明： f(x)在（，+∞）上仅有一个零点； (3) 若曲线y= f(x)在点P处的切线与x轴平行，且在点M(m,n)处的切线与直线OP平行（O是 2 坐标原点）,证明：m3 a 1 e 20．（本小题满分14分） 已知过原点的动直线l与圆C :x2 +y2 - 6x+5=0相交于不同的两点A，B. 1 （1）求圆C 的圆心坐标； 1 （2）求线段AB的中点M的轨迹C的方程； （3）是否存在实数k ，使得直线L:y=k(x- 4)与曲线C只有一个交点：若存在，求出 k 的取值范围；若不存在，说明理由. 21．（本小题满分14分） n2 数列a 满足a 2a na 4 , nN*. n 1 2 n 2n1 (1) 求a 的值； 3 (2) 求数列a 前n项和Tn； n 第4页 | 共15页T 1 1 1 (3) 令b a ，b  n1 (1   ）a （n2），证明：数列{b }的前n项和 1 1 n n 2 3 n n n S n 满足S 22lnn n 2015广东高考数学（理）试题（参考答案 ） 1、A 2、D 3、A 4、C 5、D 6、C 7、B 8、C 1 5 9、6 10、10 11、1 12、1560 13、 2 15、8 3 2 16、 第5页 | 共15页第6页 | 共15页第7页 | 共15页第8页 | 共15页第9页 | 共15页第10页 | 共15页第11页 | 共15页以下为选择填空解析！ 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有 一个选项是符合题目要求的。 1.若集合M x|(x4)(x1)0,N x|(x4)(x1)0，则M ÇN  A. 1,4 B. 1,4 C. 0 D.  【答案】D         【解析】 M  x(x4)(x1) 0  4,1 ，N  x(x4)(x1) 0  1,4  第12页 | 共15页M ÇN  2.若复数zi(32i)（i是虚数单位），则z  A. 23i B. 23i C. 32i D. 32i 【答案】A 【解析】 z i(32i) 3i2，  z  23i 3. 下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是 1 1 A. y 1x2 B. yx C. y2x  D. yxex x 2x 【答案】D 【解析】A和C选项为偶函数，B选项为奇函数， D选项为非奇非偶函数 4. 袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球，从袋中任取2个球， 所取的2个球中恰好有1个白球，1个红球的概率为 5 10 11 A. B. C. D. 1 21 21 21 【答案】B C1 C1 10 【解析】P  10 5  C2 21 15 5. 平行于直线2x+y+1=0且与圆x2y2 5相切的直线的方程是 A. 2xy50或2xy50 B. 2xy 5 0或2xy 5 0 C. 2xy50或2xy50 D. 2xy 50或2xy 50 【答案】A 【解析】设所求直线为2x yc 0，因为圆心坐标为（0，0），则由直线与圆相切可 c c 得 d    5，解得c  5，所求直线方程为 22 1 5 2x y50或2x y50 4x5y8  6. 若变量x,y满足约束条件1x3 ，则z3x2y的最小值为  0 y2 第13页 | 共15页23 31 A. 4 B. C. 6 D. 5 5 【答案】B 【解析】如图所示，阴影部分为可行域，虚线表示目标 8 函数z3x2y，则当目标函数过点（1， ）， 5 23 z3x2y取最小值为 5 x2 y2 5 7. 已知双曲线C:  1的离心率e ，且其右焦点为F (5,0)，则双曲线C的方程为 a2 b2 4 2 x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2 A.  1 B.  1 C.  1 D.  1 4 3 9 16 16 9 3 4 【答案】C c 5 【解析】由双曲线右焦点为F 2 (5,0)，则c=5，  e  a  4 a  4 x2 y2 b2 c2 a2 9，所以双曲线方程为  1 16 9 8. 若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值 A. 至多等于3 B. 至多等于4 C. 等于5 D. 大于5 【答案】B 【解析】当n 3时，正三角形的三个顶点符合条件；当n  4时，正四面体的四个顶点符 合条件 故可排除A，C，D四个选项，故答案选B 二、填空题：本大题 共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分. （一）必做题（9-13题） 9. 在（ x-1）4的展开式中，x的系数为 . 【答案】6 【解析】Cr  x 4r 1 r   1 rCrx 4 2 r ，则当r  2时，x的系数为  12C2 6 4 4 4 10. 在等差数列{a }中，若a a a a a 25，则a a  . n 3 4 5 6 7 2 8 【答案】10 【解析】由等差数列性质得， a a a a a 5a  25，解得a 5，所以 3 4 5 6 7 5 5 a a  2a 10 2 8 5 1  11. 设DABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a 3，sinB ，C  ，则b= 2 6 . 【答案】1 第14页 | 共15页1  5   2 【解析】  sinB  ,B  或 ，又  C  ，故B  ，所以 A 2 6 6 6 6 3 a b 由正弦定理得，  ，所以b 1 sin A sinB 12. 某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了 条毕业留言。（用数字作答） 【答案】1560 13. 已知随机变量X服从二项分布B(n,p)，E(X)30，D(X)20，则 p . 1 【答案】 3 1     【解析】E X  np 30，D X  np(1 p)  20，解得 p  3 （二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题）， 14. (坐标系与参数方程选做题)  7 已知直线l的极坐标方程为2sin( ) 2，点A的极坐标为A(2 2, )，则点A到直线 4 4 l的距离为 . 5 2 【答案】 2  2 2 【解析】 2sin( )  2( sin cos)  2sincos1  4 2 2 即直线l的直角坐标方程为yx 1，即x y10，点A的直角坐标为（2，-2） 221 5 2 A到直线的距离为d   2 2 15. (几何证明选讲选做题)如图1，已知AB是圆O的直径，AB4,EC 是圆O的切线，切点为 C，BC 1，过圆心O作BC 的平行线，分别交EC 和AC于点D和点P，则OD= . 【答案】8 【解析】 图1 如图所示，连结O，C两点，则OC CD, OD  AC  CDOACD 90 ACD CBA，CBACAB 90,CDO CAB  OD OC 则，所以  ,所以OD 8 AB BC 第15页 | 共15页