专题3-3二次函数面积定值、比例问题以及米勒角问题（原卷版）_02中考总复习（2026版更新中）_02-数学-中考总复习_2024年中考复习资料_专项复习资料

关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 专题 3-3 二次函数面积定值、比例问题以及米勒角问题 01 题型·解读 【题型1】作铅垂高解决面积定值问题 例1－1湖北武汉市·中考真题 2023·齐齐哈尔·中考真题（删减） 南通·中考真题 2023·山东泰安·中考真题 【题型2】作平行线解决面积问题 例2－1山东省临沂市·中考真题 2023·四川甘孜·中考真题 四川凉山州·中考真题 连云港·中考真题 2023·黑龙江·中考真题 江苏徐州·中考真题 【题型3】面积比例问题的转化定值问题或函数表达式 例3－1内蒙古通辽市·中考真题 2023·辽宁盘锦·中考真题 2022·福建·统考模拟预测 【题型4】面积比例问题的转化为线段比 例4－1 深圳市中考真题 牡丹江中考真题 2022·四川内江中考真题 2023·四川泸州中考真题 2022·四川内江中考真题 【题型5】 米勒角（最大张角问题） 1关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 例题5-1 山东烟台中考真题 2023·四川宜宾中考真题 02 满分·技巧 一、面积定值与等值问题 1 .定值问题 【问题描述】 yx2 2x3 如图，抛物线 与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，连接 BC，抛物线在线段BC上方部分取一点P，连接PB、PC，若△PBC面积为3，求点P坐标． y P C A O B x 思路1：铅垂法列方程解．  m,m2 2m3  根据B、C两点坐标得直线BC解析式：y=-x+3，设点P坐标为 ， 过点P作PQ⊥x轴交BC于点Q，则点Q坐标为（m，-m+3）， 1 PQ  m2 2m3  m3  m23m ， S PBC  2 3 m2 3m 3 ，分类讨论去绝对值解方 程即可得m的值． 思路2：构造等积变形 2关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 y Q P 1 1 C P 2 A B C P 3 Q 2 A O B x P Q P 4 同底等高三角形面积相等． 取BC作水平宽可知水平宽为3，根据△PBC面积为3，可知铅垂高为2， 在y轴上取点Q使得CQ=2，过点Q作BC的平行线，交点即为满足条件的P点． x2 2x3x5 当点Q坐标为（0,5）时，PQ解析式为：y=-x+5，联立方程： ，解之即可． x2 2x3x1 当点Q坐标为（0,1）时，PQ解析式为：y=-x+1，联立方程： ，解之即可． 2 . 等值问题 【问题描述】 yx2 2x3 如图，抛物线 与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，连接 BC，抛物线上存在一点P使得△PBC的面积等于△BOC的面积，求点P坐标． y C P A O B x 思路1：铅垂法 计算出△BOC面积，将“等积问题”转化为“定积问题”，用铅垂法可解． 思路2：构造等积变形 过点O作BC的平行线，与抛物线交点即为所求P点， 另外作点O关于点C的对称点M，过点M作BC平行线与抛物线的交点亦为所求P点． 3关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 先求直线解析式，再联立方程即可求得P点坐标． y C P A O B x 二、面积比例问题 1、方法突破 除了三角形、四边形面积计算之外，面积比例也是中考题中常见的条件或结论，对面积比例的分析， 往往比求面积要复杂得多，这也算是面积问题中最难的一类． 大部分题目的处理方法可以总结为两种：（1）计算；（2）转化． 策略一：运用比例计算类 策略二：转化面积比 如图，B、D、C三点共线，考虑△ABD和△ACD面积之比． A B D C S :S BD:CD 转化为底：共高，面积之比化为底边之比：则 ABD ACD ． A B C D H 更一般地，对于共边的两三角形 △ABD 和△ACD，连接 BC，与 AD 交于点 E，则 S :S BM :CN BE:CE ABD ACD 4关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 S :S BM :CN BE:CE ABD ACD ． A N E C B D M 策略三：进阶版转化 在有些问题中，高或底边并不容易表示，所以还需在此基础上进一步转化为其他线段比值，比如常 见有：“A”字型线段比、“8”字型线段比． S :S BD:CDBA:AM “A”字型线段比： ABD ACD ． “8”字型线段比：S :S BD:CD AB:CM ． ABD ACD A M A D B C B C D M S :S BD:CDBM :CN 转化为垂线：共底，面积之比化为高之比： ABD ACD ． A N B C D M 5关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 总结：面积能算那就算，算不出来就转换；底边不行就作高，还有垂线和平行． 三、米勒角问题（最大张角） 【问题描述】 1471年，德国数学家米勒向诺德尔提出这样一个问题： 如图，点A、B直线l的同一侧，在直线l上取一点P，使得∠APB最大，求P点位置． l P A B 【问题铺垫】 圆外角：如图，像∠APB这样顶点在圆外，两边和圆相交的角叫圆外角． P C D O A B 相关结论：圆外角等于这个角所夹两条弧的度数差（大减小）的一半． P C D O A B ABCD 如图，PACBPBC  ． 2 换句话说，对同一个圆而言，圆周角>圆外角． 【问题解决】 结论：当点P不与A、B共线时，作△PAB的外接圆，当圆与直线l相切时，∠APB最大． 6关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 l M P O A B 证明：在直线l上任取一点M（不与点P重合），连接AM、BM， ∠AMB即为圆O的圆外角， ∴∠APB>∠AMB，∠APB最大． ∴当圆与直线l相切时，∠APB最大． 特别地，若点A、B与P分别在一个角的两边，如下图，则有OP2 OAOB．（切割线定理） P O A B 证明：∵∠POA=∠BOP，∠OPA=∠OBP（弦切角定理） OA OP ∴△AOP∽△POB，∴  ，∴ ． OP OB OP2 OAOB 即可通过OA、OB线段长确定OP长，便知P点位置． 03 核心·题型 03 核心·题型 7关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【题型1】作铅垂高解决面积定值问题 例1－1湖北武汉市·中考真题 1．抛物线L：yx2 bxc经过点A（0，1），与它的对称轴直线x＝1交于点B． （1）直接写出抛物线L的解析式； ykxk4k 0 （2）如图1，过定点的直线 与抛物线L交于点M、N．若△BMN的面积等于 1，求k的值． y B M A O x N 2023·齐齐哈尔·中考真题（删减） 2．如图，抛物线 上的点A，C坐标分别为 ， ，抛物线与x轴负半轴交于 点B，点M为y轴负半轴上一点，且 ，连接 ， ，点P是抛物线位于第一象限图 象上的动点，连接 ， ，当 时，求点P的坐标 【答案】 8关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【分析】过点P作 轴于点F，交线段AC于点E，用待定系数法求得直线AC的解析式为 ，设点 P 的横坐标为 ，则 ， ，故 ，先求得 ，从而得到 ，解出 p 的值，从而得出点P的坐标； 【详解】解：过点P作 轴于点F，交线段AC于点E， 设直线 的解析式为 ， 将 ， 代入 ，得 ，解得 ，∴直线AC的解析式为 设点P的横坐标为 则 ， ， ∴ ∵ ，∴ ，解得 ，∴ 南通·中考真题 3．定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”． 1 1 例如，点 是函数y x 的图象的“等值点”． (1,1) 2 2 yx2 yx2 x （1）分别判断函数 ， 的图象上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值 点”的坐标；如果不存在，说明理由； 3 （2）设函数y (x0)， 的图象的“等值点”分别为点 ， ，过点 作 轴， x yxb A B B BC x 垂足为C．当ABC 的面积为3时，求b的值； 9关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 2023·山东泰安·中考真题 4．如图1，二次函数 的图象经过点 ． (1)求二次函数的表达式； (2)若点P在二次函数对称轴上，当 面积为5时，求P坐标； (3)小明认为，在第三象限抛物线上有一点D，使 ；请判断小明的说法是否正 确，如果正确，请求出D的坐标；如果不正确，请说明理由． 【题型2】作平行线解决面积问题 例2－1山东省临沂市·中考真题 yx2 x A y B 5．在平面直角坐标系中，直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，抛物线 yax2 bxc(a0) A B 经过点 、 ． （1）求a、b满足的关系式及c的值． （2）如图，当a1时，在抛物线上是否存在点P，使PAB的面积为1？若存在，请求出符合条 件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 10关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 y B A O x 2023·四川甘孜·中考真题 6．已知抛物线 与x轴相交于 ，B两点，与y轴相交于点 ． (1)求b，c的值； (2)P为第一象限抛物线上一点， 的面积与 的面积相等，求直线 的解析式 四川凉山州·中考真题 yax2 bxc A(1,0) B(3,0) C(0,3) 7．如图，抛物线 的图象过点 、 、 ． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得PAC 的周长最小，若存在，请求出点P的坐标 及PAC 的周长；若不存在，请说明理由； （3）在（2）的条件下，在 x轴上方的抛物线上是否存在点 M （不与C点重合），使得 S S M PAM PAC？若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由． 11关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 y C A O B x 连云港·中考真题 ymx2 (m2 3)x(6m9) x A B y C 8．如图，抛物线 与 轴交于点 、 ，与 轴交于点 ，已知 B(3,0) ． （1）求m的值和直线BC对应的函数表达式； P S S P （2） 为抛物线上一点，若 PBC ABC，请直接写出点 的坐标； 2023·黑龙江·中考真题 9．如图，抛物线 与 轴交于 两点，交 轴于点 ． 12关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 (1)求抛物线的解析式． (2)拋物线上是否存在一点 ，使得 ，若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在， 请说明理由． 江苏徐州·中考真题 1 10．如图，点 、 在y x2 的图象上．已知 、 的横坐标分别为 、4，直线 与 轴交 A B 4 A B 2 AB y 于点C，连接OA、OB． （1）求直线AB的函数表达式； （2）求AOB的面积； 1 （3）若函数y x2 的图象上存在点 ，使 的面积等于 的面积的一半，则这样的点 4 P PAB AOB P 共有 个． 13关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【题型3】面积比例问题的转化定值问题或函数表达式 例3－1内蒙古通辽市·中考真题 yax2 bxc(a0) M(1,9) A(3,7) 11．已知，如图，抛物线 的顶点为 ，经过抛物线上的两点 和 B(3,m) C 的直线交抛物线的对称轴于点 ． （1）求抛物线的解析式和直线AB的解析式． （2）在抛物线上 A、 M 两点之间的部分（不包含 A、 M 两点），是否存在点 D，使得 S 2S D DAC DCM ？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由． y M B C O x A 2023·辽宁盘锦·中考真题 12．如图，抛物线 与 轴交于点 ， ，与 轴交于点 ． (1)求抛物线的解析式． 14关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 (2)如图，点 是第一象限内一点，连接 交 轴于点 ， 的延长线交抛物线于点 ，点 在 线段 上，且 ，连接 ，若 ，求 面积． 13．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线 经过A（4，0），B（1，4）两点．P是抛 物线上一点，且在直线AB的上方． (1)求抛物线的解析式； (2)若△OAB面积是△PAB面积的2倍，求点P的坐标 2022·福建·统考模拟预测 14．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线 经过A（4，0），B（1，4）两点．P是抛 物线上一点，且在直线AB的上方． (1)求抛物线的解析式； (2)若△OAB面积是△PAB面积的2倍，求点P的坐标； 15关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【题型4】面积比例问题的转化为线段比 例4－1 yax2 2xc(a0) x A B A B 15．如图，抛物线 与 轴交于点 和点 （点 在原点的左侧，点 在原点 的右侧），与 y 轴交于点C，OBOC 3． （1）求该抛物线的函数解析式． （2）如图，连接BC，点D是直线BC上方抛物线上的点，连接OD，CD．OD交BC于点F ， S :S 3:2 D 当 COF CDF 时，求点 的坐标． y C D F A O B x 深圳市中考真题 yax2 bxc A(1,0) C(0,3) OBOC 16．如图抛物线经 过点 ，点 ，且 ． （1）求抛物线的解析式及其对称轴； （2）点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBPA的面积分为3:5两部分，求点P的 坐标． y C O B A x P 牡丹江中考真题 yx2 bxc A(3,0) C(0,3) 17．抛物线 经过点 和点 ． （1）求此抛物线所对应的函数解析式，并直接写出顶点D的坐标； 16关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 D ACD 1:2 x Q Q （2）若过顶点 的直线将 的面积分为 两部分，并与 轴交于点 ，则点 的坐标为 ． b 4acb2 注：抛物线 的顶点坐标( , ) yax2 bxc(a0) 2a 4a 2022·四川内江中考真题 18．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣4，0），B（2，0），与y轴交于点C（0，2）． (1)求这条抛物线所对应的函数的表达式； (2)点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBPA的面积分为1：5两部分，求点P的坐 标． 2023·四川泸州中考真题 19．如图，在平面直角坐标系 中，已知抛物线 与坐标轴分别相交于点A，B， 三点，其对称轴为 ． 17关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 (1)求该抛物线的解析式； (2)点 是该抛物线上位于第一象限的一个动点，直线 分别与 轴，直线 交于点 ， ． ①当 时，求 的长； ②若 ， ， 的面积分别为 ， ， ，且满足 ，求点 的坐标． 2022·四川内江中考真题 20．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣4，0），B（2，0），与y轴交于点C（0，2）． (1)求这条抛物线所对应的函数的表达式； (2)点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBPA的面积分为1：5两部分，求点P的坐 标． 【题型5】 米勒角（最大张角问题） 例题5-1 21．如图，在平面直角坐标系中，A（1，0）、B（5，0）直线l经过点C（-1，2），点P是直线l 上的动点，若∠APB的最大值为45°，求直线l的解析式． 18关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 l y C A B x 【分析】 考虑到直线l未知但∠APB的最大值已知为45°，故构造圆． 记△ABP外接圆圆心为M点，则∠AMB=2∠APB=90°， 故可确定M点位置． y P C M A B x 根据A（1，0）、B（5，0），不难求得M点坐标为（3，2）， 连接MC、MP，考虑到圆M与直线CP相切，故MP⊥CP，△CPM是直角三角形． ∵MC=4，MP=MA=2 2， ∴CP2 2，即△CPM是等腰直角三角形， 易求P点坐标为（1，4）， 又C点坐标为（-1，2）， 可求直线l的解析式为y=x+3． 山东烟台中考真题 22．如图，抛物线 yax2 bx3 与x轴交于A（-1，0）、B两点，与y轴交于点C，过点C作 6 y x0 CD⊥y轴交抛物线于另一点D，作DE⊥x轴，垂足为点E，双曲线 x 经过点D， BD． （1）求抛物线的表达式； （2）动点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿OC方向运动，运动时间为t秒，当t为何 值时，∠BPD的度数最大？（请直接写出结果） 19关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 y y C D C D A B A B O x O x 备用图 【分析】 （1）考虑到点D纵坐标与点C相同，为3，代入反比例解析式，可得D点坐标为（2，3）， 根据A、D坐标可得抛物线解析式：yx2 2x3． （2）求t即求P点位置． 思路2：切割线定理 延长BD交y轴于M点，则当MP2 MDMB时，∠BPD最大． y M C D P A B O x 考虑到B（3，0）、D（2，3），可得直线BD解析式：y3x9， 故直线BD与y轴交点M点坐标为（0，9）， MD2 10 ，MB3 10， ∴MP2 MDMB60， ∴MP2 15，   ∴P点坐标为 0,92 15 ， 故t的值为92 15． 20关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 2023·四川宜宾中考真题 23．如图，抛物线 与x轴交于点 、 ，且经过点 ． (1)求抛物线的表达式； (2)在x轴上方的抛物线上任取一点N，射线 、 分别与抛物线的对称轴交于点P、Q，点Q关 于x轴的对称点为 ，求 的面积； (3)点M是y轴上一动点，当 最大时，求M的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设抛物线的解析式为 ，代入点C的坐标，确定a值即可． （2）设 ，直线 的解析式为 ，直线 的解析式为 ，表 示出P，Q， 的坐标，进而计算即可． （3）当M是y轴与经过A，C，M三点的圆的切点是最大计算即可. 【详解】（1）∵抛物线 与x轴交于点 、 ， ∴设抛物线的解析式为 ， ∵经过点 ， ∴ ， 解得 ， ∴ ， ∴ ． （2）如图，当点N在对称轴的右侧时， 21关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∵ ， ∴对称轴为直线 ， 设 ，直线 的解析式为 ，直线 的解析式为 ， ∴ 解得 ， ∴ 直 线 的 解 析 式 为 ， 直 线 的 解 析 式 为 ， 当 时， ， ， ∴ ， ， ， 22关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴ ， ∴ ． 如图，当点N在对称轴的左侧时， ∵ ， ∴对称轴为直线 ， 设 ， ， ， ， ∴ ， ∴ ． 综上所述， ． （3）当 的外接圆与 相切，切点为M时， 最大， 设外接圆的圆心为E，Q是异于点M的一点，连接 ， ， 交圆于点T， 则 ，根据三角形外角性质，得 ，故 ， ∴ 最大， 设 与圆交于点H，连接 ， ，根据切线性质， ∴ ， 作直径 ，连接 ， ∴ ， ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 23关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴ ， 设 ，则 ， ∴ ， ∴ ， 过点E作 ，垂足为F，过点C作 ，垂足为G，交 于点P， 根据垂径定理，得 ，四边形 是矩形， ∴ ， 根据 ，得 ， ∴ ， ∴ ， 在直角三角形 中， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 解得 ， （舍去）， ∴ ， 故 ，∴当 最大时， ． 24