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北京市燕山区 2019-2020 学年九年级上学期期末数学试题
一．选择题
1. 下列几何体中，主视图和左视图都为矩形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分别画出各几何体的主视图和左视图，然后进行判断．
【详解】A、主视图和左视图都为矩形的，所以A选项正确；
B、主视图和左视图都为等腰三角形，所以B选项错误；
C、主视图为矩形，左视图为圆，所以C选项错误；
D、主视图是矩形，左视图为三角形，所以D选项错误．
故选：A．
【点睛】本题考查了简单几何体的三视图：画物体的主视图的口诀为：主、俯：长对正；主、左：高平齐；
俯、左：宽相等．记住常见的几何体的三视图．
2. 小思去延庆世界园艺博览会游览，如果从永宁瞻胜、万芳华台、丝路花雨、九州花境四个景点中随机选
择一个进行参观，那么他选择的景点恰为丝路花雨的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据概率公式直接解答即可．
【详解】∵共有四个景点，分别是永宁瞻胜、万芳华台、丝路花雨、九州花境，
∴他选择的景点恰为丝路花雨的概率为 ；故选：B．
【点睛】本题考查了概率的知识．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
3. 如图，⊙O是 ABC的外接圆，∠C＝60°，则∠AOB的度数是（ ）
△
A. 30° B. 60° C. 120° D. 150°
【答案】C
【解析】
【分析】根据圆周角定理即可得到结论．
【详解】∵∠C＝60°，
∴∠AOB＝2∠C＝120°，
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
4. 函数y=(x+1)2－2的最小值是（ ）
A. 1 B. －1 C. 2 D. －2
【答案】D
【解析】
【分析】抛物线y=(x+1)2－2开口向上，有最小值，顶点坐标为(－1，－2)，顶点的纵坐标－2即为函数的
最小值．
【详解】解：根据二次函数的性质，当x=－1时，二次函数y=(x+1)2－2的最小值是－2．
故选D．
【点睛】本题考查了二次函数的最值，关键是把解析式配方成顶点式．
5. 如图，Rt ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝2，则cosA＝（ ）
△
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】【分析】根据勾股定理求出AC，根据余弦的定义计算得到答案．
【详解】由勾股定理得，AC＝ ＝ ＝ ，
则cosA＝ ＝ ＝ ，
故选：D．
【点睛】本题考查的是锐角三角函数的定义，掌握锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦是解题的
关键．
6. 如图， ABC中，∠A＝65°，AB＝6，AC＝3，将 ABC沿图中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三
角形不构成△相似的是（ ） △
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据相似三角形 的判定定理对各选项进行逐一判定即可．
【详解】A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意；
B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意；
C、两三角形的对应角不一定相等，故两三角形不相似，故本选项符合题意；
D、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
7. 同学们参加综合实践活动时，看到木工师傅用“三弧法”在板材边角处作直角，其作法是：如图：
（1）作线段AB，分别以点A，B为圆心，AB长为半径作弧，两弧交于点C；（2）以点C为圆心，仍以AB长为半径作弧交AC的延长线于点D；
（3）连接BD，BC．
根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ）
A. ∠ABD＝90° B. CA＝CB＝CD C. sinA＝ D. cosD＝
【答案】D
【解析】
【分析】由作法得CA＝CB＝CD＝AB，根据圆周角定理得到∠ABD＝90°，点C是 ABD的外心，根据三
角函数的定义计算出∠D＝30°，则∠A＝60°，利用特殊角的三角函数值即可得到结论△．
【详解】由作法得CA＝CB＝CD＝AB，故B正确；
∴点B在以AD为直径的圆上，
∴∠ABD＝90°，故A正确；
∴点C是 ABD的外心，
△
在Rt ABC中，sin∠D＝ ＝ ，
△
∴∠D＝30°，∠A＝60°，
∴sinA＝ ，故C正确；cosD＝ ，故D错误，
故选：D．
【点睛】本题考查了解直角三角形，三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平
分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了圆周角定理和解直角三角形．
8. 小悦乘座中国最高的摩天轮“南昌之星”，从最低点开始旋转一圈，她离地面的高度y（米）与旋转时间
x（分）之间的关系可以近似地用二次函数来刻画．经测试得出部分数据如表．根据函数模型和数据，可
推断出南昌之星旋转一圈的时间大约是（ ）
x（分） … 13.5 14.7 16.0 …y（米） … 156.25 159.85 158.33 …
A. 32分 B. 30分 C. 15分 D. 13分
【答案】B
【解析】
【分析】利用二次函数 的性质，由题意，最值在自变量大于14.7小于16.0之间，由此不难找到答案．
【详解】最值在自变量大于14.7小于16.0之间，
所以最接近摩天轮转一圈的时间的是30分钟．
故选：B．
【点睛】此题考查二次函数的实际运用，利用表格得出函数的性质，找出最大值解决问题．
二．填空题
9. 如图，△ABC中，D、E分别在AB、AC上，DE∥BC，AD：AB=2：3，则△ADE与△ABC的面积之
比为________．
【答案】4：9
【解析】
【分析】由DE与BC平行，得到两对同位角相等，利用两对角相等的三角形相似得到三角形ADE与三角
形ABC相似，利用相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可得到结果．
【详解】∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，∴△ADE∽△ABC，∴S ：S =（AD：AB）
△ADE △ABC
2=4：9．
故答案为4：9．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．
10. 体育课上，小聪，小明，小智，小慧分别在点O处进行了一次铅球试投，铅球分别落在图中的点A，
B，C，D处，则他们四人中，成绩最好的是______．【答案】小智
【解析】
【分析】通过比较线段的长短，即可得到OC＞OD＞OB＞OA，进而得出表示最好成绩的点为点C．
【详解】由图可得，OC＞OD＞OB＞OA，
∴表示最好成绩的点是点C，
故答案为：小智．
【点睛】本题主要参考了比较线段的长短，比较两条线段长短的方法有两种：度量比较法、重合比较法．
11. 将抛物线y＝﹣x2向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，得到的抛物线的解析式为______．
【答案】y＝﹣（x﹣1）2+2
【解析】
【分析】根据二次函数图象的平移规律：左加右减，上加下减，可得答案．
【详解】将抛物线y＝﹣x2向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，得到的抛物线的解析式为y＝﹣
（x﹣1）2+2．
故答案是：y＝﹣（x﹣1）2+2．
【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用函数图象的平移规律：左加右减，上加下减是解题关
键．
12. 已知点 ， 在反比例函数 的图象上，则 ________ ．（用“＞”，“＜”
或“=”）
【答案】＞
【解析】
【分析】分别把点A和点B的坐标代入 求出 、 ，然后比较大小即可．
【详解】解：把点 、 分别代入 得
，解得 ，
∴
故答案为：＞
【点睛】本题主要考查利用反比例函数解析式比较大小，反比例函数图像上的点的坐标满足函数解析式是
解题的关键．
13. 一个扇形的圆心角为120°，半径为3cm，则这个扇形的面积为_______cm2
【答案】3π
【解析】
【分析】此题考查扇形面积的计算，熟记扇形面积公式 ，即可求解.
【详解】根据扇形面积公式，计算这个扇形的面积为 .
【点睛】本题扇形面积的计算.熟记扇形面积公式是解题的关键.
14. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C都在格点上，过A，B，C三点作一圆弧，则圆心的坐标是
_____．
【答案】（2，1）
【解析】
【分析】根据垂径定理 的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即
为圆心．
【详解】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，
可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．
如图所示，则圆心是（2，1）．
故答案为：（2，1）．的
【点睛】本题考查垂径定理 应用，解答此题的关键是熟知垂径定理，即“垂直于弦的直径平分弦”．
15. 某物体对地面的压强P（Pa）与物体和地面的接触面积S（m2）成反比例函数关系（如图），当该物体
与地面的接触面积为0.25m2时，该物体对地面的压强是______Pa．
【答案】4000
【解析】
【分析】直接利用函数图象得出函数解析式，进而求出答案．
【详解】设P＝ ，把（0.5，2000）代入得：
k＝1000，
故P＝ ，
当S＝0.25时，
P＝ ＝4000（Pa）．
故答案为：4000．
【点睛】此题主要考查了反比例函数的应用，正确求出函数解析是解题关键．
16. 为了解早高峰期间A，B两邻近地铁站乘客的乘车等待时间（指乘客从进站到乘上车的时间），某部
门在同一上班高峰时段对A、B两地铁站各随机抽取了500名乘客，收集了其乘车等待时间（单位：分
钟）的数据，统计如表：
等待时的频数间 10＜ 15＜ 20＜ 25＜
5≤t≤10 合计
乘车等待时间 t≤15 t≤20 t≤25 t≤30地铁站
A 50 50 152 148 100 500
B 45 215 167 43 30 500
据此估计，早高峰期间，在A地铁站“乘车等待时间不超过15分钟”的概率为_____；夏老师家正好位于
A，B两地铁站之间，她希望每天上班的乘车等待时间不超过20分钟，则她应尽量选择从_____地铁站上
车．（填“A”或“B”）
【答案】 ①. ②. B
【解析】
【分析】用“用时不超过15分钟”的人数除以总人数即可求得概率；
先分别求出A线路不超过20分钟的人数和B线路不超过20分钟的人数，再进行比较即可得出答案．
【详解】∵在A地铁站“乘车等待时间不超过15分钟有50+50＝100人，
∴在A地铁站“乘车等待时间不超过15分钟”的概率为 ＝ ，
∵A线路不超过20分钟的有50+50+152＝252人，
B线路不超过20分钟的有45+215+167＝427人，
∴选择B线路，
故答案为： ，B．
【点睛】此题考查了用频率估计概率的知识，能够读懂图是解答本题的关键，难度不大；用到的知识点为：
概率=所求情况数与总情况数之比．
三．解答题
17. 计算：cos30°•tan60°+4sin30°．
【答案】 ．
【解析】
【分析】将特殊角的三角函数值代入求解．
【详解】原式＝ × +4× ，＝ +2，
＝ ．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．
18. 已知抛物线y＝x2+bx+c经过原点，对称轴为直线x＝1，求该抛物线的解析式．
【答案】y＝x2﹣2x．
【解析】
【分析】根据抛物线经过原点可得c=0，根据对称轴公式求得b，即可求得其解析式．
【详解】∵抛物线y＝x2+bx+c经过原点，
∴c＝0，
又∵抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为x＝1，
∴﹣ ＝1，
解得b＝﹣2
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，熟练掌握对称轴公式是解题的关键．
19. 如图， 中， ，点 在边 上，且 交 于点 ．
（1）求证： ．
（2）若 ， ， 是 中点，求 的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）由DE⊥AC，∠B＝90°可得出∠CDE＝∠B，再结合公共角相等，即可证出△CDE∽△CBA；
（2）在Rt△ABC中，利用勾股定理可求出BC的长，结合点E为线段BC的中点可求出CE的长，再利用
相似三角形的性质，即可求出DE的长．
【详解】（1）
（2） 在 中，
又 点 是 的中点
由（1）知
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质以及勾股定理，解题的关键是：（1）利用“两角对应相等两
三角形相似”证出两三角形相似；（2）利用相似三角形的性质求出DE的长．
20. 如图，AB是⊙O的直径，点P是AB上一点，且点P是弦CD的中点．
（1）依题意画出弦CD，并说明画图的依据；（不写画法，保留画图痕迹）
（2）若AP＝2，CD＝8，求⊙O的半径．
【答案】（1）画图见解析，依据：平分弦（非直径）的直径垂直于弦；（2）⊙O的半径为5．【解析】
【分析】（1）过P点作AB的垂线即可，作图依据是垂径定理的推论．
（2）设⊙O的半径为r，在Rt OPD中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．
【详解】（1）过P点作AB的△垂线交圆与C、D两点， CD就是所求的弦，如图．
依据：平分弦（非直径）的直径垂直于弦；
（2）如图，连接OD，
∵OA⊥CD于点P，AB是⊙O的直径，
∴∠OPD＝90°，PD＝ CD，
∵CD＝8，
∴PD＝4．
设⊙O的半径为r，则OD＝r，OP＝OA﹣AP＝r﹣2，
在Rt ODP中，∠OPD＝90°，
∴OD△2＝OP2+PD2，
即r2＝（r﹣2）2+42，
解得r＝5，
即⊙O的半径为5．
【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
21. 2019年第六届世界互联网大会在乌镇召开，小南和小西参加了某分会场的志愿服务工作，本次志愿服
务工作一共设置了三个岗位，分别是引导员、联络员和咨询员．请你用画树状图或列表法求出小南和小西
恰好被分配到同一个岗位进行志愿服务的概率．
【答案】
【解析】
【分析】分别用字母A，B，C代替引导员、联络员和咨询员岗位，利用列表法求出所有等可能结果，再
根据概率公式求解可得．
【详解】分别用字母A，B，C代替引导员、联络员和咨询员岗位，用列表法列举所有可能出现的结果：
小西 A B C小南
A （A，A） （A，B） （A，C）
B （B，A） （B，B） （B，C）
C （C，A） （C，B） （C，C）
由表中可以看出，所有可能的结果有9种，并且这9种结果出现的可能性相等，所有可能的结果中，小南
和小西恰好被分配到同一个岗位的结果有3种，即AA，BB，CC，
∴小南和小西恰好被分配到同一个岗位进行志愿服务的概率= ＝ ．
【点睛】考查随机事件发生的概率，关键是用列表法或树状图表示出所有等可能出现的结果数，用列表法
或树状图的前提是必须使每一种情况发生的可能性是均等的．
22. 图1是一辆登高云梯消防车的实物图，图2是其工作示意图，起重臂AC是可伸缩的，其转动点A距
离地面BD的高度AE为3.5m．当AC长度为9m，张角∠CAE为112°时，求云梯消防车最高点C距离地面
的高度CF．（结果精确到0.1m，参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40．）
【答案】CF≈6.8m．
【解析】
【分析】如图，作AG⊥CF于点G，易得四边形AEFG为矩形，则FG＝AE＝3.5m，∠EAG＝90°，再计算
出∠GAC＝28°，则在Rt ACG中利用正弦可计算出CG，然后计算CG+GF即可．
【详解】如图，作AG⊥C△F于点G，
∵∠AEF＝∠EFG＝∠FGA＝90°，
∴四边形AEFG为矩形，
∴FG＝AE＝3.5m，∠EAG＝90°，
∴∠GAC＝∠EAC﹣∠EAG＝112°﹣90°＝22°，
在Rt ACG中，sin∠CAG＝ ，
△∴CG＝AC•sin∠CAG＝9sin22°≈9×0.37＝3.33m，
∴CF＝CG+GF＝3.33+3.5≈6.8m．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用：先将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三
角形转化为解直角三角形问题），然后利用勾股定理和三角函数的定义进行几何计算．
23. 如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y＝ （x＜0）的图象经过点A（﹣1，6）．
（1）求k的值；
（2）已知点P（a，﹣2a）（a＜0），过点P作平行于x轴的直线，交直线y＝﹣2x﹣2于点M，交函数y
＝ （x＜0）的图象于点N．
①当a＝﹣1时，求线段PM和PN的长；
②若PN≥2PM，结合函数的图象，直接写出a的取值范围．
【答案】（1）k=-6；（2）①PM＝1，PN＝2；②a≤﹣3或﹣1≤a＜0．
【解析】
【分析】（1）把点A（﹣1，6）代入解析式即可求解；
（2）①当a＝﹣1时，点P的坐标为（﹣1，2），把y＝2分别代入y＝﹣2x﹣2与y＝﹣ 即可求得M、N
的坐标，进一步即可求得PM、PN；②先求出PN＝2PM时a的值，再根据函数的图象即可求解．
【详解】（1）∵函数y＝ （x＜0）的图象经过点A（﹣1，6）．
∴k＝﹣1×6＝﹣6．
（2）①当a＝﹣1时，点P的坐标为（﹣1，2）．
∵直线y＝﹣2x﹣2，反比例函数的解析式为y＝﹣ ，PN∥x轴，
∴把y＝2代入y＝﹣2x﹣2，求得x＝﹣2，代入y＝﹣ 求得x＝﹣3，
∴M（﹣2，2），N（﹣3，2），
∴PM＝1，PN＝2．
②把y＝-2a代入y＝﹣2x﹣2，求得x＝a-1；代入y＝﹣ 求得x＝ ，
∴M点的坐标为(a-1，-2a)，N点的坐标为( ，-2a)
当PN＝2PM时， ，解得：a=±1或±3（负值舍去）
∴当a＝﹣1或a＝﹣3时，PN＝2PM，
∴根据图象PN≥2PM，a的取值范围为a≤﹣3或﹣1≤a＜0．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的图象，反比例函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点
的坐标特征，利用数形结合是解题的关键．24. 如图， 中， ，以 为直径作 交 于点 ，连接 ．
（1）求证： ．
（2）若 ， ， 为线段 上一点，请写出一个 的值，使得直线 与 相切，
并说明理由．
【答案】（1）证明过程见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）利用圆周角定理得到∠ADB＝90°，然后就利用等角的余角相等得到结论；
（2）如图，取BC的中点M，连接DM、OD，先计算出BD和OA，再证明Rt△CBD∽Rt△BAD，利用相
似比得到BC，如图，证明∠2＝∠4得到∠ODM＝90°，根据切线的判定定理可确定DM为⊙O的切线，然
后计算BM的长即可．
【详解】（1）证明：∵AB为⊙O直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠A＋∠ABD＝90°．
∵∠ABC＝90°，
∴∠CBD＋∠ABD＝90°，
∴∠A＝∠CBD；
（2）解： ．
理由：如图，在BC上取一点M，连接OD，取BC的中点M，连接DM，∵∠ADB＝90°，AB＝10，AD＝6，
∴BD＝ ，OA＝5，
∵∠A＝∠CBD，∠ADB＝∠BDC，
∴Rt△CBD∽Rt△BAD，
∴ ，即 ，解得BC＝
∵DM为Rt△BCD斜边BC的中线，
∴DM＝BM，
∵∠2＝∠4，
∵OB＝OD，
∴∠1＝∠3，
∴∠1＋∠2＝∠3＋∠4＝90°，即∠ODM＝90°，
∴OD⊥DM，
∴DM为⊙O的切线，
此时BM＝ ．
【点睛】本题考查了圆周角定理、切线的判定定理和三角形相似的性质和判定，解决本题的关键是找到
BC的中点就为M的位置，进行切线的判定．
25. 阅读下面材料：
学习函数知识后，对于一些特殊的不等式，我们可以借助函数图象来求出它的解集，例如求不等式x﹣3＞
的解集，我们可以在同一坐标系中，画出直线y＝x﹣3与函数y＝ 的图象（如图1），观察图象可知：
1 2它们交于点A（﹣1，﹣4），B（4，1）．当﹣1＜x＜0，或x＞4时，y＞y，即不等式x﹣3＞ 的解集为
1 2
﹣1＜x＜0，或x＞4．
小东根据学习以上知识的经验，对求不等式x3+3x2﹣x﹣3＞0的解集进行了探究．下面是小东的探究过程，
请补充完整：
（1）将不等式按条件进行转化：当x＝0时，原不等式不成立；x＞0时，原不等式转化为x2+3x﹣1＞ ；
当x＜0时，原不等式转化为______；
（2）构造函数，画出图象：设y＝x2+3x﹣1，y＝ ，在同一坐标系（图2）中分别画出这两个函数的图
3 4
象．
（3）借助图象，写出解集：观察所画两个函数的图象，确定两个函数图象交点的横坐标，结合（1）的讨
论结果，可知：不等式x3+3x2﹣x﹣3＞0的解集为______．
【答案】（1）x2+3x﹣1＜ ；（2）画图见解析；（3）﹣3＜x＜﹣1或x＞1．
【解析】
【分析】（1）根据不等式的基本性质，不等式的两边同时除以一个负数，不等号的方向发生改变，先在
不等式的两边同时除以x，在移项即可；
（2）根据列表，描点，连线的步骤画出y＝x2+3x﹣1与y＝ 的图象即可；
3 4
（3）观察函数图象即可确定交点坐标，再根据（1）中的变形观察图象即可．【详解】（1）由题意得：当x＜0时，x2+3x﹣1－ ＜0，
∴x2+3x﹣1＜
故答案为：x2+3x﹣1＜ ；
（2）列表：
x -4 -3 -2 -1.5 -1 0 1
y＝x2+3x﹣1 3 -1 -3 -3.25 -3 -1 3
3
x -3 -2 -1 1 2 3
y＝ -1 -1.5 -3 3 1.5 1
4
描点、连线，画出y＝x2+3x﹣1与y＝ 的图象如图所示：
3 4
（3）由（1）可得：不等式x3+3x2﹣x﹣3＞0当x＞0时，可转化为x2+3x﹣1＞ ；当x＜0时，可转化为
x2+3x﹣1＜ ，
由图象可得：不等式x3+3x2﹣x﹣3＞0的解集为：﹣3＜x＜﹣1或x＞1；故答案为：﹣3＜x＜﹣1或x＞1．
【点睛】本题考查 的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、反比例函数的图象和性质，此类题目通
常通过画出函数图象，通过图象的性质求解．
26. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1．
（1）求抛物线顶点C的坐标（用含m的代数式表示）；
（2）已知点A（0，3），B（2，3），若该抛物线与线段AB有公共点，结合函数图象，求出m的取值范
围．
【答案】（1）C（m，﹣1）；（2）﹣2≤m≤0或2≤m≤4．
【解析】
【分析】（1）化成顶点式，即可求得顶点C的坐标；
（2）由顶点C的坐标可知，抛物线的顶点C在直线y＝﹣1上移动．分别求出抛物线过点A、点B时，m
的值，画出此时函数的图象，结合图象即可求出m的取值范围．
【详解】（1）y＝x2﹣2mx+m2﹣1＝（x﹣m）2﹣1，
∴抛物线顶点为C（m，﹣1）．
（2）把A（0，3）的坐标代入y＝x2﹣2mx+m2﹣1，
得3＝m2﹣1，
解得 m＝±2．
把B（2，3）的坐标代入y＝x2﹣2mx+m2﹣1，
得3＝22﹣2m×2+m2﹣1，
即m2﹣4m＝0，
解得m＝0 或m＝4．
结合函数图象可知：﹣2≤m≤0或2≤m≤4．【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，提现了转化思想和数
形结合思想的应用．
27. 如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是线段AB上一点（0＜AD＜ AB）．过点B作
BE⊥CD，垂足为E．将线段CE绕点C逆时针旋转90°，得到线段CF，连接AF，EF．设∠BCE的度数为
α．
（1）①依题意补全图形．
②若α＝60°，则∠CAF＝_____°； ＝_____；
（2）用含α的式子表示EF与AB之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）①补图见解析；②30， ；（2）EF＝ABcosα；证明见解析．
【解析】
【分析】（1）①利用旋转直接画出图形，
②先求出∠CBE＝30°，再判断出 ACF≌△BCE，得出∠CAF＝30°，再利用等腰直角三角形的性质计算即
可得出结论； △
（2）先判断出 ACF≌△BCE，得出∠CAF＝α，再同（1）②的方法即可得出结论．
【详解】（1）△①将线段CE绕点C逆时针旋转90°，得到线段CF，连接AF，EF，如图1；②∵BE⊥CD，∠CEB＝90°，
∵α＝60°，
∴∠CBE＝30°，
在Rt ABC中，AC＝BC，
△
∴AC＝ AB，
∵∠FCA＝90°﹣∠ACE，∠ECB＝90°﹣∠ACE，
∴∠FCA＝∠ECB＝α．
在 ACF和 BCE中，
AC△＝BC，∠△FCA＝∠ECB，FC＝EC，
∴△ACF≌△BCE（SAS），
∴∠AFC＝∠BEC＝90°，∠CAF＝∠CBE＝30°，
∴CF＝ AC，
由旋转知，CF＝CE，∠ECF＝90°，
∴EF＝ CF＝ AC＝ × AB＝ AB，
∴ ＝ ，
故答案为30， ；
（2）EF＝ABcosα．
证明：∵∠FCA＝90°﹣∠ACE，∠ECB＝90°﹣∠ACE，
∴∠FCA＝∠ECB＝α．
同（1）②的方法知， ACF≌△BCE，
∴∠AFC＝∠BEC＝90△°，∴在Rt AFC中，cos∠FCA＝ ．
△
∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠CAB＝∠CBA＝45°．
∵∠ECF＝90°，CE＝CF，
∴∠CFE＝∠CEF＝45°．
在 FCE和 ACB中，
∠△FCE＝∠A△CB＝90°，
∠CFE＝∠CAB＝45°，
∴△FCE∽△ACB，
∴ ＝cos∠FCA＝cosα，
即EF＝ABcosα．
【点睛】此题是相似形综合题，主要考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性
质，判断出 ACF≌△BCE是解本题的关键．
28. 对于平面△直角坐标系xOy中的点P和图形G，给出如下定义：将点P沿向右或向上的方向平移一次，
平移距离为d（d＞0）个长度单位，平移后的点记为P′，若点P′在图形G上，则称点P为图形G的“达成
点”．特别地，当点P在图形G上时，点P是图形G的“达成点”．例如，点P（﹣1，0）是直线y＝x的“达
成点”．
已知⊙O的半径为1，直线l：y＝﹣x+b．
（1）当b＝﹣3时，
①在O（0，0），A（﹣4，1），B（﹣4，﹣1）三点中，是直线l的“达成点”的是：_____；
②若直线l上的点M（m，n）是⊙O的“达成点”，求m的取值范围；
（2）点P在直线l上，且点P是⊙O的“达成点”．若所有满足条件的点P构成一条长度不为0的线段，请
直接写出b的取值范围．【答案】（1）①A，B；②﹣4≤m≤﹣2或﹣1≤m≤1；（2）﹣2≤b＜ ．
【解析】
【分析】（1）①根据“达成点”的定义即可解决问题．
②过点（0，1）和点（0，﹣1）作x轴的平行线分别交直线l于M，M，过点（1，0）和点（﹣1，0）作
1 2
y轴的平行线分别交直线l于M，M，由此即可判断．
3 4
（2）当M 与M 重合，坐标为（﹣1，﹣1）时，﹣1＝1+b，可得b＝﹣2；当直线l与⊙O相切时，设切点
2 3
为E，交y轴于F，求出点E的坐标，即可判断．
【详解】（1）①∵b＝﹣3时，直线l：y＝﹣x﹣3，
∴直线l与x轴的交点为：（﹣3，0），直线l与y轴的交点为：（0，﹣3），
∴O（0，0）在直线l的上方，
∴O（0，0）不是直线l的“达成点”，
∵当x＝﹣4时，y＝4﹣3＝1，
∴点A（﹣4，1）在直线l上，
∴点A是直线l的“达成点”，
∵点B（﹣4，﹣1）在直线l的下方，把点B（﹣4，﹣1）向上平移2个长度单位为（﹣4，1），
∴点B是直线l的“达成点”，
故答案为：A，B；
②设直线l：y＝﹣x﹣3，分别与直线y＝1、y＝﹣1、x＝﹣1、x＝1依次交于点M、M、M、M，如图1
1 2 3 4
所示：则点M，M，M，M 的横坐标分别为﹣4、﹣2、﹣1、1，
1 2 3 4
线段MM 上的点向右的方向平移与⊙O能相交，线段MM 上的点向上的方向平移与⊙O能相交，
1 2 3 4
∴线段MM 和线段MM 上的点是⊙O的“达成点”，
1 2 3 4
∴m的取值范围是﹣4≤m≤﹣2或﹣1≤m≤1；
（2）如图2所示：
当M 与M 重合，坐标为（﹣1，﹣1）时，﹣1＝1+b，∴b＝﹣2；
2 3
②当直线l与⊙O相切时，设切点为E，交y轴于F．
由题意，在Rt OEF中，∠OEF＝90°，OE＝1，∠EOF＝45°，
∴△OEF是等腰△直角三角形，
∴OF＝ OE＝ ；
观察图象可知满足条件的b的值为﹣2≤b＜ ．
【点睛】本题是圆的综合题，考查了直线与圆的位置关系，点P为图形G的“达成点”的定义、等腰直角三
角形的判定与性质、切线的性质等知识，解题的关键是理解题意，属于中考压轴题．
