文档内容
石景山区 2020—2021 学年第一学期初三期末试卷
数学
考生须知：
1.本试卷共6页，共三道大题，25道小题．满分100分，考试时间120分钟．
2.在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号．
3.试卷答案一律填涂或书写在答题卡上，选择题、作图题请用2B铅笔作答，其他试题请用黑
色字迹签字笔作答，在试卷上作答无效．
4.考试结束，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题（本题共24分，每小题3分）
1. 已知 ，则下列各式正确的是（ ）
A. B. C. D.
2. 在 中， ， ，则 的值是（ ）
A. B. C. D.
3. 如图所示，将一根长 m的铁丝首尾相接围成矩形，则矩形的面积与其一边满足的函数关系是（ ）
A. 正比例函数关系 B. 一次函数关系 C. 二次函数关系 D. 反比例函数关系
4. 如图，PA，PB为⊙O的两条切线，点A，B是切点，OP交⊙O于点C，交弦AB于点D．下列结论中错
误的是（ ）
A. PA＝PB B. AD＝BD C. OP⊥AB D. ∠PAB＝∠APB
5. 下列函数中，当 时， 随 的增大而减小的是（ ）A. B. C. D.
的
6. 不透明 袋子中有三个小球，上面分别写着数字“ ”，“ ”，“3”，除数字外三个小球无其他
差别．从中随机摸出一个小球，记录其数字，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，记录其数字，那么
两次记录的数字之和为4的概率是（ ）
A. B. C. D.
7. 大约在两千四五百年前，如图1墨子和他的学生做了世界上第一个小孔成倒像的实验．并在《墨经》中
有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图2所示的小孔成像实验中，若物距为
，像距为 ，蜡烛火焰倒立的像的高度是 ，则蜡烛火焰的高度是（ ）
A. B. C. D.
8. 已知某函数的图象过 ， 两点，下面有四个推断：
①若此函数的图象为直线，则此函数的图象和直线 平行
②若此函数的图象为双曲线，则此函数的图象分布在第一、三象限
③若此函数 的图象为抛物线，且开口向下，则此函数图象一定与 轴的负半轴相交
④若此函数的图象为抛物线，且开口向上，则此函数图象对称轴在直线 左侧
所有合理推断的序号是（ ）
A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④
二、填空题（本题共24分，每小题3分）
的
9. 若抛物线 与 轴有两个交点，则 取值范围是__________．10. 如图，菱形 中， ， 交于点 ， ， ，则菱形的边长是_________．
11. 如图,正方形ABCD内接于⊙O,点E在 上,则∠BEC=_______°.
12. 如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，四边形 的面积是_____．若四边形
与四边形 相似，则四边形 的面积是_____．
13. 如图， ， 两点在函数 （ ）图象上， 垂直 轴于点 ， 垂直 轴于点 ，
， 面积分别记为 ， ，则 ___ ．（填“＜”，“＝”，或“＞”）．14. 如图在以点 为圆心的两个同心圆中，大圆的半径为 ，小圆的半径为 ， ．则阴影部
分的面积是_____________．
15. 在平面直角坐标系 中，函数 的图象 与直线 交于点A（ ），B（
）（其中点 横坐标小于点 横坐标）．记图象 在点 ， 之间的部分与线段 围成的区域（不含边
界）为 ．若横、纵坐标都是整数的点叫做整点，则区域 内的整点有________个．
16. 某地区林业局要考察一种树苗移植的成活率，对该地区这种树苗移植成活情况进行调查统计，并绘制
了统计表．
树苗数 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000
成活树苗数 1862 3487 5343 7234 9108 10931 12752
成活频率 0.931 0.8718 0.8905 0.9043 0.9108 0.9109 0.9109
根据统计表提供的信息解决下列问题：
（1）请估计树苗成活的概率是________（精确到小数点后第3位）；
（2）该地区已经移植这种树苗5万棵，估计这种树苗能成活________万棵．
三、解答题（本题共52分，第17－21题，每小题5分，第22题6分，第23－25题，每小题
7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17. 计算： ．
18. 已知关于 的二次函数 ．
（1）该函数图象经过点 ．
①求这个二次函数的表达式及顶点坐标；
②分别求出这个二次函数图象与 轴， 轴的交点坐标；
（2）将这个二次函数的图象沿 轴平移，使其顶点恰好落在 轴上，请直接写出平移后的函数表达式．
19. 下面是小石设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图的过程．
已知：如图1，⊙ 及⊙ 上一点 ．
求作：直线PN，使得PN与⊙ 相切．
作法：如图2，
①作射线OP；
②在⊙ 外取一点Q（点Q不在射线OP上），以Q为圆心，QP为半径作圆，⊙Q与射线OP交于另一点
M；
③连接MQ并延长交⊙Q于点N；
④作直线PN．
所以直线PN即为所求作直线．
根据小石设计的尺规作图的过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：∵ 是⊙ 的直径，
∴ ＝ （ ）（填推理的依据）．
∴ ．
又∵ 是⊙ 的半径，
∴ 是⊙ 的切线（ ）（填推理的依据）．20. 如图， 中， 是 边上任意一点， 是 中点，过点 作 // 交 的延长线于点
，连接 ， ．
（1）求证：四边形 是平行四边形；
（2）若 ， ， ， ，求 的长．
21. 在平面直角坐标系 中，直线 与函数 ， 的图象交于点 ．
（1）求 ， 的值；
（2）点 是函数 ， 的图象上任意一点（不与点 重合），点 ， 在直线 上，点
横坐标为 ．若 ，求点 横坐标的取值范围．
22. 如图， 是⊙ 的半径，点 是直径 上一点，点 在 的延长线上，连接 ，使得
．
（1）求证： 是⊙ 的切线；（2）连接 ，若 ， ， ，求 的长．
23. 已知关于 的二次函数 ．
（1）求该抛物线的对称轴（用含 的式子表示）；
（2）若点 ， 在抛物线上，则 ；（用“＜”，“＝”，或“＞”填空）
（3） ， 是抛物线上的任意两个点，若对于 且 ，都有 ，求
的取值范围．
24. 已知矩形 的顶点 是线段 上一动点， ，矩形 的对角线交于点 ，连接
， ．点 为射线 上一动点（与点 不重合），连接 ，作 交射线 于点 ．
在
（1）如图1，当点 与点 重合时，且点 线段 上．
①依题意补全图1；
②写出线段 与 的数量关系并证明．
（2）如图2，若 ，当点 在 的延长线上时，请补全图形并直接写出 与 的数量关
系．25. 对于平面直角坐标系 中第一象限内的点 和图形 ，给出如下定义：
过点 作 轴和 轴的垂线，垂足分别为M，N，若图形 中的任意一点 满足 且 ，则
称四边形 是图形 的一个覆盖，点 为这个覆盖的一个特征点．
例： 已知 ， ，则点 为线段 的一个覆盖的特征点．
（1）已知： ， ，点 ，
① 在 ， ， 中，是 的覆盖特征点的为___________；
② 若在一次函数 的图像上存在 的覆盖的特征点，求 的取值范围．
（2）以点D（3，4）为圆心，半径为 作圆，在抛物线 上存在⊙ 的覆盖的特
征点，直接写出 的取值范围__________________．
