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2023届高考数学三轮冲刺卷：空间位置关系
一、选择题（共20小题；）
1. 设 α，β 是两个不同的平面，m，n 是平面 α 内的两条不同直线，l ，l 是平面 β 内的两条
1 2
相交直线，则 α∥β 的一个充分不必要条件是 ()
A. m∥l 且 n∥l B. m∥β 且 n∥l
1 2 2
C. m∥β 且 n∥β D. m∥β 且 l ∥α
1
2. “∣x−1∣<2 成立”是“x(x−3)<0 成立”的 ()
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 给出下列结论：① 三点确定一个平面；② 若点 P 不在平面 α 内，A，B，C 三点都在平面
α 内，则 P，A，B，C 四点不在同一平面内；③ 两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
其中正确结论的个数是 ()
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
4. 已知直线 m，n 与平面 α，β，下列命题正确的是 ()
A. m∥α,n∥β 且 α∥β ，则 m∥n
B. m⊥α,n∥β 且 α⊥β ，则 m⊥n
C. α∩β=m,n⊥m 且 α⊥β ，则 n⊥α
D. m⊥α,n⊥β 且 α⊥β ，则 m⊥n
5. 下图中图形的画法正确的个数是 ()
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
6. 定义 max{a,b,c} 为 a，b，c 中的最大值，设 M=max{2x,2x−3,6−x}，则 M 的最小值
是 ()
A. 2 B. 3 C. 4 D. 67. 如图所示，ABCD−A B C D 是长方体，O 是 B D 的中点，直线 A C 交平面 AB D
1 1 1 1 1 1 1 1 1
于点 M，则下列结论正确的是 ()
A. A，M，O 三点共线 B. A，M，O，A 不共面
1
C. A，M，C，O 不共面 D. B，B ，O，M 共面
1
8. 下列命题正确的个数为 ()
①经过三点确定一个平面
②梯形可以确定一个平面
③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面
④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
9. 设 A 、 B 、 C 、 D 是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是 ()
A. 若 AC 与 BD 共面，则 AD 与 BC 共面
B. 若 AC 与 BD 是异面直线，则 AD 与 BC 是异面直线
C. 若 AB=AC，DB=DC，则 AD=BC
D. 若 AB=AC，DB=DC，则 AD⊥BC
10. 若直线 l 和 l 是异面直线，l 在平面 α 内，l 在平面 β 内，l 是平面 α 与平面 β 的交
1 2 1 2
线，则下列命题正确的是 ()
A. l 与 l ，l 都不相交 B. l 与 l ，l 都相交
1 2 1 2
C. l 至多与 l ，l 中的一条相交 D. l 至少与 l ，l 中的一条相交
1 2 1 2
11. 已知 m 是平面 α 的一条斜线，直线 l 过平面 α 内一点 A，那么下列选项中能成立的是 ()
A. l⊂α，且 l⊥m B. l⊥α，且 l⊥m
C. l⊥α，且 l∥m D. l⊂α，且 l∥m
12. 如图所示，如果 MC⊥平面ABCD，四边形 ABCD 是菱形，那么 MA 与 BD 的位置关
系是 ()
A. 平行 B. 垂直相交 C. 垂直但不相交 D. 相交但不垂直13. 下列命题正确的个数为 ()
①经过三点确定一个平面；
②梯形可以确定一个平面；
③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；
④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
14. 如图，四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且
MD=NB=1，G 为 MC 的中点．则下列结论中不正确的是 ()
A. MC⊥AN B. GB∥平面AMN
C. 平面CMN⊥平面AMN D. 平面DCM∥平面ABN
15. 在空间中，设 l，m 为两条不同的直线，α，β 为两个不同的平面，则下列命题正确的是 ()
A. 若 l⊂α，m 不平行于 l，则 m 不平行于 α
B. 若 l⊂α，m⊂β，且 α，β 不平行，则 l，m 不平行
C. 若 l⊂α，m 不垂直于 l，则 m 不垂直于 α
D. 若 l⊂α，m⊂β，l 垂直于 m，则 α，β 不垂直
16. 设 a,b 是两条直线，α,β 是两个平面，则 a⊥b 的一个充分条件是 ()
A. a⊥α，b∥β，α⊥β B. a⊥α，b⊥β，α∥β
C. a⊂α，b⊥β，α∥β D. a⊂α，b∥β，α⊥β
17. 若 a,b 是空间两条不同的直线，α,β 是空间的两个不同的平面，则 a⊥α 的一个充分不必要
条件是 ()
A. a∥β，α⊥β B. a⊂β，α⊥β C. a⊥b，b∥a D. a⊥β，α∥β
18. 若 l，m 是两条不同的直线，m 垂直于平面 α，则“ l⊥m ”是“ l∥α ”的 ()
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
19. 设 l，m 是两条不同的直线，α 是一个平面，则下列命题正确的是 ()
A. 若 l⊥m，m⊂α，则 l⊥α B. 若 l⊥α，l∥m，则 m⊥α
C. 若 l∥α，m⊂α，则 l∥m D. 若 l∥α，m∥α，则 l∥m
20. 若直线 a 与平面 α 不平行，则下列结论正确的是 ()
A. α 内所有直线都与直线 a 异面
B. α 内不存在与 a 平行的直线C. α 内的直线与 a 相交
D. 直线 a 与平面 α 有公共点
二、填空题（共5小题；）
21. 已知 α，β 表示不同的平面，A，B，M，N 表示四个不同的点，a 表示直线，则下列推理错
误的是 ．（填序号）
① A∈α，A∈β，B∈α，B∈β⇒α∩β=AB；
② M∈α，M∈β，N∈α，N∈β⇒α∩β=MN；
③ A∈α，A∈β⇒α∩β=A．
22. 在 四 棱 锥 P−ABCD 中 ， 底 面 ABCD 是 矩 形 ， AB=2， BC=a， 又 侧 棱
PA⊥底面ABCD，则当 a= 时，BD⊥平面PAC．
23. 在正方体 ABCD−AʹBʹCʹDʹ 中，过对角线 BDʹ 的一个平面交 AAʹ 于 E，交 CCʹ 于 F，
给出下列四个结论：
①四边形 BFDʹE 一定是平行四边形；
②四边形 BFDʹE 有可能是正方形；
③四边形 BFDʹE 在底面 ABCD 内的投影一定是正方形；
④四边形 BFDʹE 有可能垂直于平面 BBʹD．
以上结论正确的是 ．（写出所有正确结论的编号）
24. 已知 m 、 n 是直线，α 、 β 、 γ 是平面，给出下列命题：
① 若 α⊥β，α∩β=m，n⊥m，则 n⊥α 或 n⊥β；
②若 α∥β，α∩γ=m，β∩γ=n，则 m∥n；
③若 m 不垂直于 α，则 m 不可能垂直于 α 内的无数条直线；
④若 α∩β=m，n∥m，且 n⊄α，n⊄β，则 n∥α 且 n∥β．
其中正确的命题的序号是 ．（注：把你认为正确的命题的序号都填上）
25. 如图，在三棱柱 ABC−A B C 中，平面 A A C C⊥平面ABC，AB=BC，若点 E 在
1 1 1 1 1
棱 BB 上，则当点 E 满足 时，有平面
1
A EC⊥平面A A C C．
1 1 1
三、解答题（共5小题；）
26. 学了异面直线的概念和作法后，老师出了下面一道题：“已知平面 α，β，直线 a，b 为异面
直线，a⊂α，b⊂β，α∩β=c ，请问：直线 c 与直线 a，b 有怎 样的位置关系?"甲、乙、丙、丁四位同学给出了四种不同的答案，甲：c 与 a，b 都不相交；乙：c 与 a，b 都相交；
丙：c 至少与 a，b 中的一条相交；丁：c 至多与 a，b 中的一条相交.
（1）问：他们的答案中哪些是正确的?哪些是错误的?请说明理由.
27. 如图，平面ABEF⊥平面ABCD，四边形 ABEF 与四边形 ABCD 都是直角梯形，
1 1
∠BAD=∠FAB=90∘，BC∥AD 且 BC= AD，BE∥AF 且 BE= AF，G，H 分别
2 2
为 FA，FD 的中点．
（1）证明：四边形 BCHG 是平行四边形；
（2）C，D，F，E 四点是否共面?为什么?
28. 如图，AB 为 ⊙O 的直径，PA 垂直于 ⊙O 所在的平面，M 为圆周上任意一点，
AN⊥PM，N 为垂足．
（1）求证：AN⊥平面PBM．
（2）若 AQ⊥PB，垂足为 Q，求证：PB⊥NQ．
29. 如图所示，在四棱锥 PABCD 中，AB⊥平面PAD，AB∥CD，PD=AD，E 是 PB 的
1
中点，F 是 DC 上的点，且 DF= AB，PH 为 △PAD 中 AD 边上的高．求证：
2（1）PH⊥平面ABCD．
（2）EF⊥平面PAB．
30. 如图，四棱柱 ABCD−A B C D 中，四边形 ABCD 为梯形，AD∥BC，且 AD=2BC．
1 1 1 1
过 A ，C，D 三点的平面记为 α，BB 与 α 的交点为 Q．证明：Q 为 BB 的中点．
1 1 1答案
1. A 【解析】对于A，由 m∥l ，m⊂α，l ⊄α，得 l ∥α，同理 l ∥α，又 l ，l 相交，l ，
1 1 1 2 1 2 1
l ⊂β，所以 α∥β，反之不成立，所以 m∥l 且 n∥l 是 α∥β 的一个充分不必要条件．
2 1 2
2. B 【解析】由 ∣x−1∣<2，
解得：−2+1<x<2+1，即 −1<x<3．
由 x(x−3)<0，
解得 0<x<3．
所以“∣x−1∣<2 成立”是“x(x−3)<0 成立”的必要不充分条件．
3. A 【解析】① 注意三点共线情形；② A，B，C 三点共线时不符；③ 考虑空间四边形．
4. D 【解析】A中 m,n 可能平行、相交、异面；B中 m,n 可能平行；C可能 n∥α，或者 n
与 α 斜交．
5. D
6. C 【解析】分别作出 y=2x，y=2x−3，y=6−x 在 [0,+∞) 上的图象，
函数 M=max{2x,2x−3,6−x}(x≥0) 的图象为如图中的实线部分．
由图象可得 M 的最低点为 A，即为 y=2x 和 y=6−x 的交点，
由 6−x=2x 解得：x=2，所以 M 的最小值为 4．
7. A 【解析】连接 A C ，AC，则 A C ∥AC．从而 A ，C ，A，C 四点共面，
1 1 1 1 1 1
因为 M∈A C，A C⊂平面ACC A ．
1 1 1 1
所以 M∈平面ACC A ．
1 1
又 M∈平面AB D ，
1 1
所以 M 在平面 ACC A 与平面 AB D 的交线上．
1 1 1 1
同理 O 在平面 ACC A 与平面 AB D 的交线上．如图：
1 1 1 1所以 A，M，O 三点共线．故 A，M，O，A 四点共面，A，M，C，O 四点共面．
1
8. C 【解析】经过不共线的三点可以确定一个平面；
两条平行线可以确定一个平面；
两两相交的三条直线可以确定一个或三个平面；
两个平面相交，有一条公共交线，上面有无数个点．
9. C 【解析】若 AC 与 BD 共面，则 A 、 B 、 C 、 D 四点共面，所以 AD 与 BC 共面；
若 AC 与 BD 是异面直线，则 A 、 B 、 C 、 D 四点不共面，所以 AD 与 BC 一定是异面
直线；
若 AB=AC，DB=DC，取 BC 中点 E，连接 AE 、 DE，则 DE⊥BC，AE⊥BC，所以
BC⊥平面AED，故 BC⊥AD．
10. D
11. A
12. C
13. C 【解析】①④错误，②③正确．
14. C 【解析】显然该几何图形为正方体截去两个三棱锥所剩的几何体，把该几何体放置到正方体中
（如图），取 AN 的中点 H，连接 HB，MH，GB，
则 MC∥HB，
又 HB⊥AN，
所以 MC⊥AN，
所以A正确；
由题意易得 GB∥MH，
又 GB⊄平面AMN，MH⊂平面AMN，
所以 GB∥平面AMN，
所以B正确；
因为 AB∥CD，DM∥BN，且 AB∩BN=B，CD∩DM=D，
所以 平面DCM∥平面ABN，
所以D正确．15. C
【解析】对于A，m 可能与 α 相交、平行或在 α 内；
对于B，l 与 m 可能平行、相交或异面；
对于C，若 m⊥α，则 m⊥l，与条件不符，所以 m 不垂直于 α；
对于D，α 与 β 可能垂直．
16. C 【解析】以正方体为背景考虑，
A中，设平面 ABCD 为 α，平面 A A D D 为 β，若 A A 为 a，BB 为 b，显然 a⊥b 不
1 1 1 1
成立；
B中的条件可以推得 a∥b，所以不成立；
C中，由 b⊥β，α∥β 可得 b⊥α，而 a⊂α，所以可得到 b⊥a；反之，仅由 a⊥b 得不到C
中的条件，所以C为符合结论的选项．
D中，设平面 ABCD 为 α，平面 A A D D 为 β，若 AD 为 a，B C 为 b，则 a⊥b 不成立．
1 1 1 1
17. D 【解析】提示：A、B、C中的 a 与 α 的位置关系都不确定．D中，由 a⊥β，α∥β 可以
推得 a⊥α（事实上，这符合线面垂直的推论），反之 a⊥α 时，不能得到 a⊥β，α∥β．
18. B
19. B
20. D
【解析】直线 a 与平面 α 不平行时有两种可能：① 直线 a 在平面 α 内；②直线 a 与平面 α 相
交．本题容易忽视 ①而出错．
21. ③
22. 2
23. ①③④
24. ②④
【解析】对于①，若 α⊥β，α∩β=m，n⊥m，那么 n 与 α 、 β 不一定垂直，如图
n⊥m，但 n 与两平面相交，不垂直，故①不正确；对于③，设 m⊥b，b⊂α，但 m 不垂直于 α，则 m 与 α 内与 b 平行的所有直线都垂直，故③
不正确．
25. E 为棱 BB 的中点
1
【解析】如图，分别取 AC，A C 的中点 D，D ．
1 1 1
因为 AB=BC，所以 A B =B C ．所以 BD⊥AC，B D ⊥A C ．根据已知易得 D D∥A A，
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
D D=A A，B B∥A A，B B=A A，所以 B B∥D D，B B=D D．所以四边形 BDD B
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
是平行四边形，故 B D ∥BD．因为 平面 A A C C⊥平面ABC，所以 BD⊥平面ACC A ，
1 1 1 1 1 1
B D ⊥平面ACC A ．若 平面A EC⊥平面ACC A ，在平面 A EC 内，过 E 作
1 1 1 1 1 1 1 1
EF⊥A C，F 为垂足，则有 EF⊥平面ACC A ，所以 F 为 A C 与 DD 的交点，故 F
1 1 1 1 1
为 DD 中点，从而 E 为 BB 中点．
1 1
26. 只有丙的答案是正确的，其余同学的答案都是错误的.可以用反证法或作图说明 .
1
27. （1） 由已知 FG=GA，FH=HD，可得 GH= AD．
2
1
又 BC= AD，
2
所以 GH∥BC，
所以四边形 BCHG 为平行四边形．
1
（2） 因为 BE= AF，G 是 FA 的中点，
2
所以 BE∥FG，
所以四边形 BEFG 为平行四边形，
所以 EF∥BG．
由（1）知 BG∥CH，
所以 EF∥CH，
所以 EF 与 CH 共面．
又 D∈FH，
所以 C，D，F，E 四点共面．
28. （1） 因为 AB 为 ⊙O 的直径，
所以 AM⊥BM．又 PA⊥平面ABM，
所以 PA⊥BM．
又因为 PA∩AM=A，
所以 BM⊥平面PAM．
又 AN⊂平面PAM，
所以 BM⊥AN．
又 AN⊥PM，且 BM∩PM=M，
所以 AN⊥平面PBM．
（2） 由（1）知 AN⊥平面PBM，
又 PB⊂平面PBM，
所以 AN⊥PB．
又因为 AQ⊥PB，AN∩AQ=A，
所以 PB⊥平面ANQ．
又 NQ⊂平面ANQ，
所以 PB⊥NQ．
29. （1） 因为 AB⊥平面PAD，PH⊂平面PAD，
所以 PH⊥AB．
因为 PH 为 △PAD 中边 AD 上的高，
所以 PH⊥AD．
因为 AB∩AD=A，AB⊂平面ABCD，AD⊂平面ABCD，
所以 PH⊥平面ABCD．
（2） 如图，取 PA 的中点 M，连接 MD，ME．
因为 E 是 PB 的中点，
1
所以 ME= AB，ME∥AB．
2
1
又因为 DF= AB，DF∥AB，
2
所以 ME=DF，ME∥DF，
所以四边形 MEFD 是平行四边形，
所以 EF∥MD．
因为 PD=AD，
所以 MD⊥PA．
因为 AB⊥平面PAD，所以 MD⊥AB．
因为 PA∩AB=A，PA⊂平面PAB，AB⊂平面PAB，
所以 MD⊥平面PAB，
所以 EF⊥平面PAB．
30. 因为 BQ∥A A ，BC∥AD，BC∩BQ=B，
1
所以 平面QBC∥平面A AD．
1
从而平面 α 与这两个平面的交线相互平行，即 QC∥A D．
1
故 △QBC 与 △A AD 的对应边相互平行，
1
于是 △QBC∽△A AD．
1
BQ BQ BC 1
所以 = = = ，即 Q 为 BB 的中点．
BB A A AD 2 1
1 1
