2023届高考数学三轮冲刺卷：空间向量的应用
一、选择题（共20小题；）
1. 平面 α 的法向量为 (1,2,−2)，平面 β 的法向量为 (−2,−4,k)，若 α∥β，则 k 等于 ()
A. 2 B. −4 C. 4 D. −2
2. 若平面 α，β 的法向量分别为 ⃗n =(2,3,5)，⃗n =(−3,1,−4)，则 ()
1 2
A. α∥β B. α⊥β
C. α，β 相交但不垂直 D. 以上均有可能
3. 若直线 l 的方向向量为 ⃗a=(1,−2,3)，平面 α 的法向量为 ⃗n=(−3,6,−9)，则 ()
A. l⊂α B. l∥α C. l⊥α D. l 与 α 相交
4. 已知 A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，则下列向量是平面 ABC 法向量的是 ()
A. (−1,1,1) B. (1,−1,1)
( √3 √3 √3) (√3 √3 √3)
C. − ,− ,− D. , ,−
3 3 3 3 3 3
5. 一条直线 l 的方向向量为 ⃗m=(1,0,1)，平面 α 的法向量 ⃗m=(0,1,−1)，则直线 l 与平面 α
的夹角为 ()
2π π π π
A. B. C. D.
3 3 4 6
6. 若直线 l 的方向向量为 ⃗a=(1,0,2)，平面 α 的法向量为 u⃗=(−2,0,−4)，则 ()
A. l∥α B. l⊥α C. l⊂α D. l 与 α 斜交
7. 如图，在四棱锥 P−ABCD 中，侧面 PAD 为正三角形，底面 ABCD 为正方形，侧面
PAD⊥面ABCD，M 为底面 ABCD 内的一个动点，且满足 MP=MC，则点 M 在正方形
ABCD 内的轨迹为下图中的 ()
A. B.C. D.
8. 在空间坐标系 O−xyz 中，已知 A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，D(1,1,√2)，若 S ，S ，S
1 2 3
分别表示三棱锥 D−ABC 在 xOy，yOz，zOx 在坐标平面上的正投影图形的面积，则 ()
A. S =S =S B. S =S 且 S ≠S
1 2 1 1 2 3 1
C. S =S 且 S ≠S D. S =S 且 S ≠S
1 3 3 2 2 3 1 3
9. 我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹
方程的方法，可以求出过点 A(−3,4)，且法向量为 ⃗n=(1,−2) 的直线（点法式）方程为：
1×(x+3)+(−2)×(y−4)=0，化简得 x−2y+11=0．类比以上方法，在空间直角坐标系中，
经过点 A(1,2,3)，且法向量为 ⃗m=(−1,−2,1) 的平面的方程为 ()
A. x+2y−z−2=0 B. x−2y−z−2=0
C. x+2y+z−2=0 D. x+2y+z+2=0
10. 设平面 α 与平面 β 的夹角为 θ，若平面 α，β 的法向量分别为 ⃗n 和 ⃗n ，则 cosθ= ()
1 2
⃗n ⋅⃗n ∣⃗n ⋅⃗n ∣
1 2 1 2
A. B.
∣⃗n ∣∣⃗n ∣ ∣⃗n ∣∣⃗n ∣
1 2 1 2
∣⃗n ∣∣⃗n ∣ ∣⃗n ∣∣⃗n ∣
1 2 1 2
C. D.
⃗n ⋅⃗n ∣⃗n ⋅⃗n ∣
1 2 1 2
11. 如图是一个正方体的展开图，则在原正方体中 ()
A. AB∥CD B. AB∥EF C. CD∥GH D. AB∥GH
12. 若直线 l 的方向向量为 ⃗b，平面 α 的法向量为 ⃗n，则可能使 l∥α 的是 ()
A. ⃗b=(1,0,0)，⃗n=(−2,0,0)
B. ⃗b=(1,3,5)，⃗n=(1,0,1)
C. ⃗b=(0,2,1)，⃗n=(−1,0,−1)
D. ⃗b=(1,−1,3)，⃗n=(0,3,1)13. 在直角坐标系中，A(−2,3)，B(3,−2)．沿 x 轴把直角坐标系折成 120∘ 的二面角，则此时线
段 AB 的长度为 ()
A. 2√5 B. 2√11 C. 5√2 D. 4√2
14. 已知向量 ⃗a=(x ,y ,z )，⃗b=(x ,y ,z )，若 ⃗a≠⃗b，设 ∣⃗a−⃗b∣=k，则 ⃗a−⃗b 与 x 轴的
1 1 1 2 2 2
方向的单位向量夹角的余弦值为 ()
x −x x −x ∣x −x ∣ ±(x −x )
A. 1 2 B. 2 1 C. 1 2 D. 1 2
k k k k
15. 在正方体 ABCD−A B C D 中，若 E 为 A C 的中点，则直线 CE 垂直于 ()
1 1 1 1 1 1
A. AC B. BD C. A D D. A A
1 1
16. 在空间直坐标系 Oxyz 中，已知 A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，D(1,1,√2)，若 S ，S ，
1 2
S 分别表示三棱锥 D−ABC 在 xOy，yOz，zOx 坐标平面上的正投影图形的面积，则 ()
3
A. S =S =S B. S =S 且 S ≠S
1 2 3 1 2 3 1
C. S =S 且 S ≠S D. S =S 且 S ≠S
1 3 3 2 2 3 1 3
17. 在正方体 ABCD−A B C D 中，P 为底面 ABCD 上一动点，如果 P 到点 A 的距离等
1 1 1 1 1
于 P 到直线 CC 的距离，那么点 P 的轨迹所在的曲线是 ()
1
A. 直线 B. 圆 C. 抛物线 D. 椭圆
π
18. 在直三棱柱 A B C −ABC 中，∠BAC= ，AB=AC=A A =1，已知 G 与 E 分别为
1 1 1 2 1
A B 和 CC 的中点，D 与 F 分别为线段 AC 和 AB 上的动点（不包括端点）．若
1 1 1
GD⊥EF，则线段 DF 长度的取值范围为 ()
[1 ) [ 1 ) [ 1 )
A. [1,√2) B. ,2 C. ,1 D. ,√2
5 √5 √5
1
19. 如图，正方体 ABCD−A B C D 的棱长为 1，点 M 在棱 AB 上，且 AM= ，点 P
1 1 1 1 3
是平面 ABCD 上的动点，且动点 P 到直线 A D 的距离与点 P 到点 M 的距离的平方差
1 1
为 1，则动点 P 的轨迹是 ()A. 圆 B. 抛物线 C. 双曲线 D. 椭圆
20. 如图，在正方体 ABCD−A B C D 中，P 为对角线 BD 的三等分点，P 到各顶点的距
1 1 1 1 1
离的不同取值有 ()
A. 3 个 B. 4 个 C. 5 个 D. 6 个
二、填空题（共5小题；）
21. 已知点 A(−1,2,7)，B(−3,−10,−9)，则线段 AB 的中点坐标为 ，
∣⃗AB∣= ．
22. 若 A(0,2,1)，B(1,1,0)，C(−2,1,2) 是平面 α 内的三点，设平面 α 的法向量 ⃗a=(x,y,z)，
则 x:y:z= ．
D P
23. 若动点 P 是棱长为 1 的正方体 ABCD−A B C D 的对角线 BD 上一点，记 λ= 1 ，
1 1 1 1 1 D B
1
则当 ∠APC 为钝角时，λ 的取值范围为 ．
24. 正方体 ABCD−A B C D 的棱长为 a，E，F 分别是 BB ，CD 的中点，则点 F 到平
1 1 1 1 1
面 A D E 的距离为 ．
1 1
25. 在棱长为 a 的正方体 ABCD−A B C D 中，点 A 到平面 A BD 的距离为
1 1 1 1 1
．
三、解答题（共5小题；）
26. 如图，在长方体 ABCD−AʹBʹCʹDʹ 中，AB=2，AD=1，AAʹ=1，证明直线 BCʹ 平行于平
面 DʹAC，并求直线 BCʹ 到平面 DʹAC 的距离．27. 如图所示，正方体 ABCD−A B C D 的棱长为 1，在三棱锥 A −ABD 中，求 A 到平面
1 1 1 1 1
A BD 的距离 d．
1
28. 如图，在正四棱柱 ABCD−A B C D 中，AB=2，A A =4，E，F，M，N 分别是
1 1 1 1 1
A D ，D D，BC，BB 的中点．求证：平面EFC ∥平面AMN．
1 1 1 1 1
29. 如图，四棱锥 P−ABCD 的底面是正方形，PD⊥ 底面 ABCD，点 E 在棱 PB 上．求证：
平面 AEC⊥ 平面 PDB．
kπ 1 1
30. 已知 α,θ≠ ,k∈Z，求 + 的最小值．
2 sin2θ cos2θsin2αcos2α答案
−2 −4 k
1. C 【解析】因为 α∥β，所以两平面法向量平行，所以 = = ，所以 k=4．
1 2 −2
2 3
2. C 【解析】由于 ≠ ，因此 ⃗n 与 ⃗n 不平行，又
−3 1 1 2
⃗n ⋅⃗n =2×(−3)+3×1+5×(−4)=−23≠0，所以 ⃗n 与 ⃗n 不垂直，从而平面 α，β 相交但不垂
1 2 1 2
直．
3. C 【解析】因为直线 l 的方向向量为 ⃗a=(1,−2,3)，
平面 α 的法向量为 ⃗n=(−3,6,−9)，
1
所以 ⃗a=− ⃗n，
3
所以 ⃗a∥⃗n，
所以 l⊥α．
4. C 【解析】设 ⃗n=(x,y,z) 为平面 ABC 的法向量，
{⃗n⋅⃗AB=0, {−x+ y=0,
则 化简得
⃗n⋅⃗AC=0, −x+z=0,
所以 x= y=z．
5. D
⃗m⋅⃗n −1 1
【解析】因为 cos⟨⃗m⋅⃗n⟩= = =− ．
∣⃗m∣∣⃗n∣ √2⋅√2 2
1
所以直线 l 与平面 α 夹角正弦值为 ，
2
π
即直线 l 与平面 α 的夹角为 ．
6
6. B
7. A
8. D 【解析】D−ABC 在平面上的投影为 △ABC，故 S =2．
1
设 D 在 yOz 和 zOx 平面上的投影分别为 D 和 D ，则 D−ABC 在 yOz 和 zOx 平面上的
2 3
投影分别为 △OCD 和 △OAD ，
2 3
因为 D (0,1,√2)，D (1,0,√2)，
2 3
故 S =S =√2．
2 3
综上，选项D正确．9. A
10. B
11. C 【解析】把正方体的展开图还原成正方体，得到如图所示的正方体，由正方体性质得：AB 与
CD 相交，AB 与 EF 异面，CD 与 GH 平行，AB 与 GH 异面．
12. D
13. B 【解析】如图，作 AC 垂直 x 轴，BD 垂直 y 轴，过 C 作 CD 平行于 y 轴，与 BD
交于 D，则 ∠ACD 就是二面角的平面角．
∴ ∠ACD=120∘，连接 AB,AD，则 CD=2，BD=5，AC=3，在 △ACD 中，
√ ( 1)
AD= 9+4−2×3×2× − =√19，∴ AB=√19+25=2√11．
2
14. D 【解析】∵⃗a−⃗b=(x −x ,y −y ,z −z )，x 轴方向向量的单位向量可设为 ⃗n=(1,0,0) 或
1 2 1 2 1 2
(−1,0,0)，
∴(⃗a−⃗b)⋅⃗n=±(x −x )．
1 2
又 ∣⃗a−⃗b∣=k，∣⃗n∣=1，±(x −x )
∴ 夹角的余弦值为 1 2 ．
k
15. B
【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，
设正方体的棱长为 1，
(1 1 )
则 A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D(0,0,0)，A (1,0,1)，C (0,1,1)，E , ,1 ．
1 1 2 2
所以 ⃗CE= (1 ,− 1 ,1 ) ，⃗AC=(−1,1,0)，⃗BD=(−1,−1,0)，⃗A D=(−1,0,−1)，⃗A A=(0,0,−1)．
2 2 1 1
所以 ⃗CE⋅⃗AC≠0，⃗CE⋅⃗A D≠0，⃗CE⋅⃗A A≠0．
1 1
因为 ⃗CE⋅⃗BD= (1 ,− 1 ,1 ) ⋅(−1,−1,0)=− 1 + 1 +0=0，
2 2 2 2
所以 ⃗CE⊥⃗BD，所以 CE⊥BD．
16. D
17. A 【解析】以 B 为坐标原点，BA 为 x 轴，BC 为 y 轴，BB 为 z 轴建立空间直角坐标系，
1
设 P(x,y,0)，正方体边长为 1，则 ∣PA ∣=√(x−1) 2+ y2+1，P 到直线 CC 的距离
1 1
d=√x2+(1−y) 2，所以 √(x−1) 2+ y2+1=√x2+(1−y) 2，整理有 2y−2x+1=0，所以点 P 的轨迹
所在的曲线是直线．
18. C 【解析】如图以 A 为坐标原点建立空间直角坐标系 A−xyz，(1 ) ( 1)
所以 G ,0,1 ，E 0,1, ，设 F(n,0,0)，D(0,m,0)，且 0<m<1，0<n<1，又 ⃗DG⋅⃗FE=0，
2 2
1 1 (2)
得 n=1−2m，且 0<m< ，所以 DF=f (m)=√5m2−4m+1，且 0<m< ，f ≤DF<f (0)，
2 2 5
1
所以 ≤DF<1．
√5
19. B 【解析】以 D 为坐标原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DD 为 z 轴建立空间直角坐标
1
系，设 P(x,y,0)，M ( 1, 1 ,0 ) ，则 ∣PM∣= √ (x−1) 2+ ( y− 1) 2 +(0−0) 2，点 P 到直线
3 3
2 1
A D 的距离设为 d，则 d=√y2+1，根据题意有 d2−∣PM∣ 2=1，整理得 (x−1) 2= y− ，
1 1 3 9
所以点 P 的轨迹是抛物线．
20. B
【解析】如图，取底面 ABCD 的中心 O，连接 PA，PC，PO．
因为 AC⊥平面DD B，又 PO⊂平面DD B，所以 AC⊥PO．
1 1
又 O 是 BD 的中点，所以 PA=PC．
同理，取 B C 与 BC 的交点 H，易证 B C⊥平面D C B，所以 B C⊥PH．
1 1 1 1 1 1
又 H 是 B C 的中点，所以 PB =PC，故 PA=PB =PC．
1 1 1
同理可证 PA =PC =PD．又 P 是 BD 的三等分点，所以 PB≠PD ≠PB ≠PD．
1 1 1 1 1
故点 P 到正方体的顶点的不同距离有 4 个．
21. (−2,−4,−1)，2√101
22. 2:(−1):3(1 )
23. ,1
3
3√5
24. a
10
【解析】建立空间直角坐标系，如图所示，
( a) ( a )
则 A (a,0,a)，D (0,0,a)，A(a,0,0)，B(a,a,0)，B (a,a,a)，E a,a, ，F 0, ,0 ．
1 1 1 2 2
设平面 A D E 的法向量为 ⃗n=(x,y,z)，则 ⃗n⋅⃗A D =0，⃗n⋅⃗A E=0，即
1 1 1 1 1
{
(x,y,z)⋅(−a,0,0)=0,
( a)
(x,y,z)⋅ 0,a,− =0,
2
a
∴−ax=0，ay− z=0．
2
{x=0,
∴ z 令 z=2，得 ⃗n=(0,1,2)．
y= ,
2
( a )
又 ⃗FD = 0,− ,a ，
1 2
3
a
∴ 所求距离 ∣⃗FD ⋅⃗n∣ 2 3√5 ．
d= 1 = = a
∣⃗n∣ √5 10
√3
25. a
3
【解析】以 D 为原点，以 DA，DC，DD 所在直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐
1
标系，则 D(0,0,0)，A(a,0,0)，B(a,a,0)，A (a,0,a)．
1
设 ⃗n=(x,y,z) 为平面 A BD 的法向量，
1
{⃗n⋅⃗DA =0, {(x,y,z)(a,0,a)=0,
则有 1 即
⃗n⋅⃗DB=0, (x,y,z)(a,a,0)=0.
{x+z=0,
∴
x+ y=0.
令 x=1．∴⃗n=(1,−1,−1)．
∣⃗DA⋅⃗n∣ a √3
∴ 点 A 到平面 A BD 的距离 d= = = a．
1 ∣⃗n∣ √3 3
26. 因为 ABCD−AʹBʹCʹDʹ 为长方体，故 AB∥CʹDʹ，AB=CʹDʹ，
故 ABCʹDʹ 为平行四边形，故 BCʹ∥ADʹ，显然 直线BCʹ 不在平面 DʹAC 上，
于是直线 BCʹ 平行于平面 DʹAC；
直线 BCʹ 到平面 DʹAC 的距离即为点 B 到平面 DʹAC 的距离，设为 ℎ．
考虑三棱锥 ABCDʹ 的体积，以 ABC 为底面，可得
1 (1 ) 1
V = × ×1×2 ×1= .
3 2 3
而 △ADʹC 中，AC=DʹC=√5，ADʹ=√2，故
3
S = .
△ADʹC 2
所以，
1 3 1 2
V = × ×ℎ = ⇒ℎ = ,
3 2 3 3
2
即直线 BCʹ 到平面 DʹAC 的距离为 ．
3
27. 在三棱锥 A −ABD 中，A A 是三棱锥 A −ABD 的高，AB=AD=A A =1，
1 1 1 1
A B=BD=A D=√2，
1 1
1 1 1 1 √3
因为 × ×12×1= × ×√2× ×√2×d，
3 2 3 2 2
√3
所以 d= ．
3
28.
如图，建立空间直角坐标系 D−xyz，可得 A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，B (2,2,4)，D (0,0,4)，
1 1
C (0,2,4)，E(1,0,4)，F(0,0,2)，M(1,2,0)，N(2,2,2)．
1{⃗EC ⋅⃗m=0,
平面 EFC 的一个法向量为 ⃗m=(x,y,z)，⃗EC =(−1,2,0)，⃗EF=(−1,0,−2)， 1
1 1 ⃗EF⋅⃗m=0,
{−x+2y=0,
所以
−x−2z=0.
令 y=1，得 x=2，z=−1，⃗m=(2,1,−1)．
设平面 AMN 的一个法向量为 ⃗n=(a,b,c)．
⃗AM=(−1,2,0)，⃗AN=(0,2,2)，
{−a+2b=0,
所以
2b+2c=0.
令 b=1，得 a=2，c=−1，⃗n=(2,1,−1)．
因为 ⃗m=⃗n，
所以平面 EFC ∥平面AMN．
1
29. 如图，以 D 为原点建立空间直角坐标系 D−xyz，
设 AB=a，PD= ℎ，则 A(a,0,0)，B(a,a,0)，C(0,a,0)，D(0,0,0)，P(0,0,ℎ)．因为
⃗AC=(−a,a,0)，⃗DP=(0,0,ℎ)，⃗DB=(a,a,0)，所以 ⃗AC⋅⃗DP=0，⃗AC⋅⃗DB=0，所以
AC⊥DP，AC⊥DB．又 DP∩DB=D，所以 AC⊥ 平面 PDB，所以平面 AEC⊥ 平面
PDB．
1 1
+ 1 sin2α+cos2α 1 1 1
30. sin2θ cos2θsin2αcos2α + ¿=¿ + + .¿
sin2θ cos2θsin2αcos2α sin2θ cos2θcos2α cos2θsin2α
¿
( 1 1 1 )
设 ⃗m= , , ，⃗n=(sinθ,cosθcosα,cosθsinα)，
sinθ cosθcosα cosθsinα
1 1 1
则 ∣⃗m∣ 2= + + ，∣⃗n∣=1，⃗m⋅⃗n=3．
sin2θ cos2θcos2α cos2θsin2α
因为 ⃗m⋅⃗n≤∣⃗m∣∣⃗n∣，所以 ∣⃗m∣ 2≥ ( ⃗m⋅⃗n ) 2 ，即 1 + 1 ≥9．
∣⃗n∣ sin2θ cos2θsin2αcos2α
1 1
故 + 的最小值为 9．
sin2θ cos2θsin2αcos2α
