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第 I 卷（选择题共 50 分）
一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的.
1．若集合A= i,i2,i3,i4 （i 是虚数单位），B=1,-1 ，则A B 等于 ( )
I
A．-1 B．1 C．1,-1 D．f
【答案】C
【考点定位】1、复数的概念；2、集合的运算．
【名师点睛】本题考查复数的概念和集合的运算，利用i2 =-1和交集的定义求解，属于基础题，要注意运
算准确度．
2．下列函数为奇函数的是( )
A．y = x B．y = sinx C．y =cosx D．y =ex -e-x
【答案】D
【考点定位】函数的奇偶性．
【名师点睛】本题考查函数的奇偶性，除了要掌握奇偶性定义外，还要深刻理解其定义域特征即定义域关
于原点对称，否则即使满足定义，但是不具有奇偶性，属于基础题．
x2 y2
3．若双曲线E: - =1 的左、右焦点分别为F,F ，点P在双曲线E上，且 PF =3，则 PF 等于
9 16 1 2 1 2
（ ）
A．11 B．9 C．5 D．3
【答案】B
第1页 | 共21页【考点定位】双曲线的标准方程和定义．
【名师点睛】本题考查了双曲线的定义和标准方程，利用双曲线的定义列方程求解，属于基础题，注意运
算的准确性．
4．为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：
收入x （万元） 8.2 8.6 10.0 11.3 11.9
支出y （万元） 6.2 7.5 8.0 8.5 9.8
根据上表可得回归直线方程yˆ =b ˆ x+aˆ ，其中b ˆ =0.76,aˆ = y-b ˆ x ，据此估计，该社区一户收入为15万
元家庭年支出为( )
A．11.4万元 B．11.8万元 C．12.0万元 D．12.2万元
【答案】B
【考点定位】线性回归方程．
【名师点睛】本题考查线性回归方程，要正确利用平均数公式计算和理解线性回归方程的意义，属于基础
题，要注意计算的准确性．
ìx+2y³0,
ï
5．若变量x,y 满足约束条件íx- y£0, 则z =2x- y 的最小值等于 ( )
ï
x-2y+2³0,
î
5 3
A．- B．-2 C．- D．2
2 2
【答案】A
第2页 | 共21页【考点定位】线性规划．
【名师点睛】本题考查线性规划，要正确作图，首先要对目标函数进行分析，什么时候目标函数取到最大
值，解该类题目时候，往往还要将目标直线的斜率和可行域边界的斜率比较，否则很容易出错，属于基
础题．
6．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为( )
第3页 | 共21页A．2 B． 1 C．0 D．-1
【答案】C
【考点定位】程序框图．
【名师点睛】本题考查程序框图，关键在于读懂框图有什么功能，要注意依序进行，认真判断条件来决
定程序的执行方向．理解每个变量和框图的关系．运算量不大，重在理解，重在细心，属于基础题．
7．若l,m 是两条不同的直线，m 垂直于平面a ，则“l ^m ”是“l//a 的 （ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【考点定位】空间直线和平面、直线和直线的位置关系．
第4页 | 共21页【名师点睛】本题以充分条件和必要条件为载体考查空间直线、平面的位置关系，要理解线线垂直和线
面垂直的相互转化以及线线平行和线面平行的转化还有平行和垂直之间的内部联系，长方体是直观认识
和描述空间点、线、面位置关系很好的载体，所以我们可以将这些问题还原到长方体中研究．
8．若a,b 是函数 f x= x2 - px+qp >0,q >0 的两个不同的零点，且a,b,-2 这三个数可适当排序
后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则 p+q 的值等于（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】D
【考点定位】等差中项和等比中项．
【名师点睛】本题以零点为载体考查等比中项和等差中项，其中分类讨论和逻辑推理是解题核心．三个数
成等差数列或等比数列，项与项之间是有顺序的，但是等差中项或等比中项是唯一的，故可以利用中项进
行讨论，属于难题．
uuur uuur
uuur uuur uuur 1 uuur uuur AB 4AC
9．已知AB^ AC, AB = , AC =t ，若P 点是DABC 所在平面内一点，且AP= + ，则
uuur uuur
t AB AC
uuur uuur
PB×PC 的最大值等于（ ）
A．13 B．15 C．19 D．21
【答案】A
第5页 | 共21页【考点】1、平面向量数量积；2、基本不等式．
【名师点睛】本题考查平面向量线性运算和数量积运算，通过构建直角坐标系，使得向量运算完全代数化，
实现了数形的紧密结合，同时将数量积的最大值问题转化为函数的最大值问题，本题容易出错的地方是对
uuur
AB
的理解不到位，从而导致解题失败．
uuur
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AB
10．若定义在R上的函数 f x 满足 f 0=-1 ，其导函数 f¢x 满足 f¢x>k >1 ，则下列结论中
一定错误的是（ ）
æ1ö 1 æ1ö 1 æ 1 ö 1 æ 1 ö k
A． f ç ÷ < B． f ç ÷ > C． f ç ÷ < D． f ç ÷ >
èk ø k èk ø k-1 èk-1ø k-1 èk-1ø k-1
【答案】C
【考点定位】函数与导数．
【名师点睛】联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等
式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值
等问题，常可使问题变得明了，属于难题．
第6页 | 共21页第 II 卷（非选择题共 100 分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.
11．x+25 的展开式中，x2的系数等于 ．（用数字作答）
【答案】80
【考点定位】二项式定理．
【名师点睛】本题考查二项式定理的特定项问题，往往是根据二项展开式的通项和所求项的联系解题，属
于基础题，注意运算的准确度．
12．若锐角DABC的面积为10 3 ，且AB=5,AC =8 ，则BC 等于________．
【答案】7
【考点定位】1、三角形面积公式；2、余弦定理．
【名师点睛】本题考查余弦定理，余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已
知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题；知道两边和其中一边的对角，利用余弦定理
可以快捷求第三边，属于基础题．
13．如图，点A 的坐标为1,0 ，点C 的坐标为2,4 ，函数 f x= x2 ，若在矩形ABCD 内随机
取一点，则此点取自阴影部分的概率等于 ．
5
【答案】
12
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第7页 | 共21页【考点定位】几何概型．
【名师点睛】本题考查几何概型，当实验结果由等可能的无限多个结果组成时，利用古典概型求概率显然
是不可能的，可以将所求概率转化为长度的比值（一个变量）、面积的比值（两个变量）、体积的比值（三
个变量或根据实际意义）来求，属于中档题．
ì-x+6,x£2,
14．若函数 f x=í （a>0 且a¹1 ）的值域是4,+¥ ，则实数a 的取值范围
3+log x,x>2,
î
a
是 ．
【答案】(1,2]
【考点定位】分段函数求值域．
【名师点睛】本题考查分段函数的值域问题，分段函数是一个函数，其值域是各段函数值取值范围的并集，
将分段函数的值域问题转化为集合之间的包含关系，是本题的一个亮点，要注意分类讨论思想的运用，属
于中档题．
15．一个二元码是由0和1组成的数字串x x x nÎN* ，其中x k =1,2, ,n 称为第k 位码元，
1 2L n k L
二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误（即码元由0变为1，或者由1变为0）
ìx Åx Åx Åx =0,
4 5 6 7
ï
已知某种二元码x
1
x
2L
x
7
的码元满足如下校验方程组：íx
2
Åx
3
Åx
6
Åx
7
=0,
ï
x Åx Åx Åx =0,
î
1 3 5 7
其中运算Å 定义为：0Å0=0,0Å1=1,1Å0=1,1Å1=0 ．
现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k 位发生码元错误后变成了1101101，那么利用上述校验方程
组可判定k 等于 ．
【答案】5．
第8页 | 共21页【考点定位】推理证明和新定义．
【名师点睛】本题以二元码为背景考查新定义问题，解决时候要耐心读题，并分析新定义的特点，按照所
给的数学规则和要求进行逻辑推理和计算等，从而达到解决问题的目的，．
三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16．某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定，小王到银行取钱时，
发现自己忘记了银行卡的密码，但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从
中不重复地随机选择1个进行尝试.若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定.
(Ⅰ)求当天小王的该银行卡被锁定的概率；
(Ⅱ)设当天小王用该银行卡尝试密码次数为X，求X的分布列和数学期望．
1 5
【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ)分布列见解析，期望为 ．
2 2
1 1 2 5
所以E(X)=1´ +2´ +3´ = ．
6 6 3 2
【考点定位】1、古典概型；2、离散型随机变量的分布列和期望．
【名师点睛】本题考查古典概型和随机变量的期望，第一问，将事件转化为所选的三个密码都不是该银行
卡密码，共有A3种，而基本事件总数为A3，代入古典概型概率计算公式；第二问，写出离散型随机变量所
5 6
有可能取值，并求取相应值的概率，写成分布列求期望即可．确定离散型取值时，要科学兼顾其实际意义，
第9页 | 共21页做到不重不漏，计算出概率后要注意检验概率和是否为1，以便及时矫正。
17．如图，在几何体ABCDE中，四边形ABCD是矩形，AB^ 平面BEC，BE^ EC，AB=BE=EC=2，G，
F分别是线段BE，DC的中点.
(Ⅰ)求证：GF //平面ADE ；
(Ⅱ)求平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值．
2
【答案】(Ⅰ)详见解析；(Ⅱ) ．
3
第10页 | 共21页第11页 | 共21页（Ⅱ）同解法一．
【考点定位】1、直线和平面平行的判断；2、面面平行的判断和性质；3、二面角．
【名师点睛】本题考查直线和平面平行的证明和二面角求法，直线和平面平行首先是利用其判定定理，或
者利用面面平行的性质来证，注意线线平行、线面平行、面面平行的转化；利用坐标法求二面角，主要是
空间直角坐标系的建立要恰当，便于用坐标表示相关点，求出半平面法向量夹角后，要观察二面角是锐角
还是钝角，正确写出二面角的余弦值．
x2 y2 2
18.．已知椭圆E： + =1(a >b>0)过点(0, 2），且离心率为 ．
a2 b2 2
(Ⅰ)求椭圆E的方程；
(Ⅱ)设直线x=my-1，(mÎ R)交椭圆E于A，B两点，
9
判断点G(- ,0)与以线段AB为直径的圆的位置关系，并说明理由．
4
x2 y2 9
【答案】(Ⅰ) + =1；(Ⅱ) G(- ,0)在以AB为直径的圆外．
4 2 4
第12页 | 共21页第13页 | 共21页【考点定位】1、椭圆的标准方程；2、直线和椭圆的位置关系；3、点和圆的位置关系．
【名师点睛】本题通过判断点和圆的位置关系来考查中点问题，利用韦达定理确定圆心，然后计算圆心到
点G的距离并和半径比较得解；也可以构造向量，通过判断数量积的正负来确定点和圆的位置关系：
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
GA×GB<0 Û点G在圆内；GA×GB>0 Û点G在圆外；GA×GB=0 Û点G在圆上，本题综合性较
高，较好地考查分析问题解决问题的能力．
19．已知函数f(x)的图像是由函数g(x)=cosx的图像经如下变换得到：先将g(x)图像上所有点的纵坐标
p
伸长到原来的2倍（横坐标不变），再将所得到的图像向右平移 个单位长度.
2
(Ⅰ)求函数f(x)的解析式，并求其图像的对称轴方程；
(Ⅱ)已知关于x的方程f(x)+g(x)=m在[0,2p)内有两个不同的解a,b．
（1)求实数m的取值范围；
2m2
（2)证明：cos(a- b)= -1.
5
p
【答案】(Ⅰ) f(x)=2sinx，x=kp+ (kÎ Z).；(Ⅱ)（1）(- 5, 5)；（2）详见解析．
2
第14页 | 共21页第15页 | 共21页【考点定位】1、三角函数图像变换和性质；2、辅助角公式和诱导公式．
【名师点睛】本题通过判断点和圆的位置关系来考查中点问题，利用韦达定理确定圆心，然后计算圆心到
点G的距离并和半径比较得解；也可以构造向量，通过判断数量积的正负来确定点和圆的位置关系：
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
GA×GB<0 Û点G在圆内；GA×GB>0 Û点G在圆外；GA×GB=0 Û点G在圆上，本题综合性较
高，较好地考查分析问题解决问题的能力．
20．已知函数f(x)=ln(1+x)，g(x)=kx,(kÎ R),
(Ⅰ)证明：当x>0时，f(x)0,使得对任意xÎ (0，x ),恒有f(x)>g(x)；
0 0
(Ⅲ)确定k的所以可能取值，使得存在t >0，对任意的xÎ (0，t),恒有|f(x)- g(x)| g(x)与 f(x) > g(x) 不等价， f(x) > g(x) 只是
min max min max
f(x)> g(x)的特例，但是也可以利用它来证明，在2014年全国Ⅰ卷理科高考21题中，就是使用该种方法
证明不等式；导数的强大功能就是通过研究函数极值、最值、单调区间来判断函数大致图象，这是利用研
究基本初等函数方法所不具备的，而是其延续．
21．本题设有三个选考题，请考生任选2题作答.
选修4-2：矩阵与变换
æ2 1ö æ1 1 ö
已知矩阵A=ç ÷,B=ç ÷.
ç ÷ ç ÷
è4 3ø è0 -1ø
(Ⅰ)求A的逆矩阵A-1；
(Ⅱ)求矩阵C，使得AC=B.
æ 3 1ö æ 3 ö
- 2
ç ÷ ç ÷
【答案】(Ⅰ) 2 2 ； (Ⅱ) 2 ．
ç ÷ ç ÷
è-2 1 ø è-2 -3ø
【考点定位】矩阵和逆矩阵．
【名师点睛】本题考查逆矩阵和逆矩阵的性质，是通过伴随矩阵和矩阵的乘法求解，属于基础题，注意运
算的准确性．
选修4-4：坐标系与参数方程
第19页 | 共21页ì ï x=1+3cost
在平面直角坐标系xoy中，圆C的参数方程为í (t为参数).在极坐标系（与平面直角坐标系
ïî y =-2+3sint
xoy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以 x轴非负半轴为极轴）中，直线l的方程为
p
2rsin(q- )=m,(mÎ R).
4
(Ⅰ)求圆C的普通方程及直线l的直角坐标方程；
(Ⅱ)设圆心C到直线l的距离等于2，求m的值．
【答案】(Ⅰ)
(x-1)2 +(y+2)2
=9，x- y- m=0；(Ⅱ) m=-3±2 2．
【考点定位】1、参数方程和普通方程的互化；2、极坐标方程和直角坐标方程的互化；3、点到直线距离公
式．
【名师点睛】本题考查圆的参数方程和普通方程的转化、直线极坐标方程和直角坐标方程的转化以及点到
直线距离公式，消去参数方程中的参数，就可把参数方程化为普通方程，消去参数的常用方法有：①代入
消元法；②加减消元法；③乘除消元法；④三角恒等式消元法，极坐标方程化为直角坐标方程，只要将rcosq
和rsinq换成y和x即可
选修4-5：不等式选讲
已知a>0,b>0,c>0，函数 f(x)=|x+a|+|x- b|+c的最小值为4．
(Ⅰ)求a+b+c的值；
[来源:学科网]
1 1
(Ⅱ)求 a2 + b2 +c2的最小值．
4 9
8
【答案】(Ⅰ) 4；(Ⅱ) ．
7
[来源:Z|xx|k.Com]
第20页 | 共21页【考点定位】1、绝对值三角不等式；2、柯西不等式．
【名师点睛】当x的系数相等或相反时，可以利用绝对值不等式求解析式形如 f(x)= x+a + x+b 的函数
的最小值，以及解析式形如 f(x)= x+a - x+b 的函数的最小值和最大值，否则去绝对号，利用分段函数
的图象求最值．利用柯西不等式求最值时，要注意其公式的特征，以出现定值为目标．
第21页 | 共21页
