文档内容
重庆市乌江新高考协作体 2025 届高考质量调研（二）
数学试题
（分数：150分，时间：120分钟）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 由1，2，3抽出一部分或全部数字所组成的没有重复数字的自然数集合有（ ）个元素
A. 15 B. 16 C. 17 D. 18
2. 若直线 是曲线 的切线，则 （ ）
A. B. C. 1 D. e
3. 已知 ，则 （ ）
A. 3 B. C. 2 D.
4. 若 ， ， 三点共线，则 （ ）
A. B. C. D.
5. 《九章算术》中有“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步．问：勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘
徽在《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图1，用对角线将长和宽分别为
b和a的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形（黄）和两个小直角三角形
（朱、青）将三种颜色的图形进行重组，得到如图2所示的矩形，该矩形长为 ，宽为内接正方形的
边长d．由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论，如图3，设D为斜边 的中点，作直角三角形
的内接正方形对角线 ，过点A作 于点F，则下列推理正确的是（ ）A. 由图1和图2面积相等得 B. 由 可得
C. 由 可得 D. 由 可得
的
6. 已知设 ，则 ，则 最小值为（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
7. 若数列 为正项等比数列， ，数列 为公差为6，首项为1的等差数列，则数列 前5
项和的最小值为（ ）
A. B. C. D. 65
8. 设 ， , ，则下列大小关系正确的是 （ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得2分.
9. 已知非零向量 ，则下列结论正确的是（ ）
A. 若 ，则 B. 若 则
C. 若 ，则 D. 向量 与向量 垂直10. 已知 ，若 ，则下列命题正确的是（ ）
A. 若 ，则 B. 若 ，则
C. 若 ，则 D. 若 ，则
11. 已知 ，则 可以是（ ）
A.
B.
.
C
D.
12. 1843年，Hamilton在爱尔兰发现四元数．当时他正研究扩展复数到更高的维次（复数可视为平面上的
点）．他不能做到三维空间的例子，但四维则造出四元数．根据哈密顿记述，他于10月16日跟妻子在都
柏林的皇家运河上散步时突然想到的方程解．之后哈密顿立刻将此方程刻在Broughant Bridge．对四元数
， 的单位 ，其运算满足： ， ， ，
， ， ， ；记 ， ，
，定义 ，记所有四元数构成的集合为 ，则以下说法中正确的有（
）
A. 集合 的元素按乘法得到一个八元集合
B. 若非零元 ，则有：
C. 若 ，则有：D. 若非零元 ，则有：
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
13. 若函数 在区间 上单调递增，则实数 的取值范围是______．
14. 若 是偶函数，则实数 的值为__________.
15. 小澄玩一个游戏：一开始她在2个盒子 中分别放入3颗糖，然后在游戏的每一轮她投掷一个质地
均匀的骰子，如果结果小于3她就将 中的1颗糖放入 中，否则将 中的1颗糖放入 中，直到无法继
续游戏．那么游戏结束时 中没有糖的概率是__________．
16. 已知 ，如果有且仅有四个不同的复数 ，同时满足 和 ，则 的取值范
围是__________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知函数 ．
的
（1）判断并证明 奇偶性；
（2）若对任意 ， ，不等式 恒成立，求实数a的取值范围．
18. 海水受日月引力会产生潮汐．以海底平面为基准，涨潮时水面升高，退潮时水面降低．现测得某港口
的
某天 时刻与水深的关系表如下所示：（3.1时即为凌晨3点06分）
时刻：x（时） 0 3.1 6.2 9.3 12.4 15.5 18.6 21.7 24
水深：y（米） 5.0 7.4 5.0 2.6 5.0 7.4 5.0 2.6 4.0
（1）根据以上数据，可以用函数 来近似描述这一天内港口水深与
时间的关系，求出这个函数的解析式；
（2）某条货船的吃水深度（水面高于船底的距离）为4.2米．安全条例规定，在本港口进港和在港口停靠时，船底高于海底平面的安全间隙至少有2米，根据（1）中的解析式，求出这条货船最早可行的进港时间
及这条货船一天最多可以在港口中停靠的总时长．
19. 在 中，角 对边分别为 ， ， ，已知 .
的
（1）求角 ；
（2）若 是 边 上的一点， 且满足 ， ，求 的最大值．
20. 某汽车公司最新研发了一款新能源汽车，并在出厂前对100辆汽车进行了单次最大续航里程（理论上
是指新能源汽车所装载的燃料或电池所能够提供给车行驶的最远里程）的测试.现对测试数据进行整理，得
到如下的频率分布直方图：
（1）估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值 （同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
（2）由频率分布直方图计算得样本标准差s的近似值为49.75.根据大量的汽车测试数据，可以认为这款汽
车的单次最大续航里程X近似地服从正态分布 ，其中μ近似为样本平均数 ，σ近似为样本标
准差S.
（ⅰ）利用该正态分布，求 ；
（ⅱ）假设某企业从该汽车公司购买了20辆该款新能源汽车，记Z表示这20辆新能源汽车中单次最大续
航里程位于区间（250.25，399.5）的车辆数，求E（Z）；
参考数据：若随机变量ξ服从正态分布 ，则 ，
.
（3）某汽车销售公司为推广此款新能源汽车，现面向意向客户推出“玩游戏，送大奖”活动，客户可根据抛掷硬币的结果，操控微型遥控车在x轴上从原点O出发向右运动，已知硬币出现正、反面的概率都 ，客
户每掷一次硬币，遥控车向右移动一次，若掷出正面，则遥控车向移动一个单位，若掷出反面，则遥控车
向右移动两个单位，直到遥控车移到点（59，0）（胜利大本营）或点（60，0）（失败大本营）时，游戏
结束，若遥控车最终停在“胜利大本营”，则可获得购车优惠券.设遥控车移到点 的概率为
，试证明数列 是等比数列 ，求出数列 的通项公式，
并比较 和 的大小.
21. 已知 的三个角A，B，C的对边分别是a，b，c，且 ．
（1）若 ，求C；
（2）若 ， ，求 的面积．
22. 设函数 .
（1）当 时，求 在 上的最小值；
（2）若 与 关于 轴对称，当 时， 恒成立，求实数 的取值范围.
