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数学试卷
一、选择题：第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1. 2022年冬奥会会徽和冬残奥会会徽部分作品图中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴
折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 后与原图重合，利用中心对称图形与轴对称图
形的概念逐一判断即可．
【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：C．
2. 已知⊙ 的半径为 ，点 到圆心 的距离为 ，那么点 与⊙ 的位置关系是（ ）．
A. 点 在⊙ 外 B. 点 在⊙ 内 C. 点 在⊙ 上 D. 无法确定
【答案】A
【解析】
【详解】试题解析：∵OP=8＞5，∴点P与⊙O的位置关系是点在圆外．
故选A．
3. 如果在二次函数的表达式y=ax2+bx+c中，a＞0，b＜0，c＜0，那么这个二次函数的图象可能是（ ）
A. B.
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C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由a＞0，b＜0，c＜0，推出﹣ ＞0，可知抛物线的图象开口向上，对称轴在y轴的右边，交y
轴于负半轴，由此即可判断．
【详解】解：∵a＞0，b＜0，c＜0，
∴﹣ ＞0，
∴抛物线的图象开口向上，对称轴在y轴的右边，交y轴于负半轴，
故选C．
【点评】本题考查二次函数的图象，解题的关键是熟练掌握基本知识，灵活运用所学知识解决问题，属于
中考常考题型．
4. 如图，将 绕点 顺时针旋转 得到 ，连接 ．若线段 ，则 的长为（
）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】首先根据旋转的性质得到 ， ，然后证明出 是等边三角形，进而
得到 ．
【详解】∵将 绕点 顺时针旋转 得到 ，
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∴ ， ，
∴ 是等边三角形，
∴ ．
故选：B．
【点睛】此题考查了旋转的性质，等边三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
5. 如图，在⊙O中， ， . 则 的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先根据垂径定理得到
，然后根据圆周角定理求解．
【详解】∵BC⊥OA，
∴
∴∠AOC=2∠ADB=2×25°=50°
【点睛】本题考查了圆周角定理,也考查了垂径定理．
6. 根据下列表格中二次函数 的自变量x与函数值y的对应值，判断方程
（ ， ， ， 为常数）的一个解 的范围是（ ）
6.17 6.18 6.19 6.20
0.02 0.04
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A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】 应该在 与 之间，从表格中选择对应的数据即可．
【详解】解：由表格得：
时， ，
时， ，
的一个解 的范围为： ．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程解的范围，理解方程解得含义是解题关键．
7. 如图，四边形 内接于 ，且 ，则 的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理及圆内接四边形的性质，根据圆周角定理得 ，再根据圆内接四
边形的对角互补即可求解，解题的关键是熟记圆内接四边形的对角互补．
【详解】解： ，
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，
∵四边形 内接于 ，
∴ ，
，
故选：B．
8. 如图，在边长为4的等边 中，点D为 边上的动点．设 ， ， ，
则 ， 与对应的x满足的函数关系分别是（ ）
A. 二次函数，一次函数 B. 二次函数，二次函数
C. 一次函数，一次函数 D. 一次函数，正比例函数
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了等边三角形的性质、勾股定理、解直角三角形，过点 作 于 ，根据等边
三角形的性质及解直角三角形可得 ， ，利用三角形面积公式可得 ，
当 时，当 时，利用勾股定理可得 ，进而可求解，熟练掌握基础知识，添加适
当辅助线解决问题是解题的关键．
【详解】解：过点 作 于 ，如图：
是等边三角形，且边长为4，
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， ， ，
，为一次函数，
当 时， ，
在 中，根据勾股定理得：
，二次函数，
当 时， ，
在 中，根据勾股定理得：
，二次函数，
综上所述， 为二次函数， 为一次函数，
故选A．
二、填空题
9. 将抛物线 向下平移 个单位，则平移后的抛物线的解析式为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查二次函数图象的平移变换，根据函数图象平移的性质：左加右减，上加下减，结合题意
求出平移后的函数解析式即可．
【详解】解：∵抛物线 向下平移 个单位，
∴平移后的抛物线解析式为 ，
故答案为：
10. 二次函数 的最小值为__________．
【答案】
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【解析】
【分析】根据二次函数的性质，即可得到函数的最小值.
【详解】解：在二次函数 中，
∵ ，
∴当 时，函数有最小值 ；
为
故答案 ： .
【点睛】本题考查了二次函数的最值，解题的关键是掌握二次函数的性质，正确求出函数的最小值.
11. 若关于 的一元二次方程 有一个根是 ，则 的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的解，根据一元二次方程的解的定义直接代值求解即可．
【详解】解：将 代入 ，
得 ，
解得 ，
故答案为： ．
12. 将二次函数 化成 的形式为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是二次函数的顶点式，利用配方法把二次函数的一般形式配成二次函数的顶点式．
【详解】解： ，
．
故答案为： ．
13. 如图，在平面直角坐标系 中，点 ， ， 的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧，则
此圆弧的圆心坐标为_______．
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【答案】（2，1）
【解析】
【分析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆
心．
【详解】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，
可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．
如图所示，则圆心是（2，1）．
故答案为（2，1）．
【点睛】本题考查垂径定理的应用，解答此题的关键是熟知垂径定理，即“垂直于弦的直径平分弦”．
14. 如图，在 中， ， ，以点C为圆心．R为半径的圆与 相切，则半
径R为________．
【答案】1
【解析】
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【分析】本题考查了圆 的切线的性质，等腰三角形，直角三角形的性质等知识点，过C点作 ，
由 为圆的切线可得， 为 的半径R，再由 ， 可得 角的 ，
进而即可得到答案，利用切线的性质构造直角三角形是解决此题的关键．
【详解】过C点作 交 于点D，
∵ 为 的切线，
∴ 为 的半径R，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故 的半径R为1，
故答案为：1．
15. 如图， 是半径为4的 的弦， 于点 ，交 于点 ，若 ，则弦 为_____
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【答案】
【解析】
【分析】本题考查圆中求线段长，涉及垂径定理、勾股定理和圆的性质等知识，熟练掌握圆中求线段长的
两个定理：垂径定理构造直角三角形，勾股定理求线段长，数形结合是解决问题的关键．
【详解】解：连接 ，如图所示：
是 的弦， 是 的半径， 于点 ，交 于点 ，
由垂径定理可知 ，
的半径为4， ，
在 中，由勾股定理可得 ，
弦 的长为 ，
故答案为： ．
16. 对于一个半径为 的 ，有如下几个结论：①存在无数个 内接于 ．满足 ，
但 边的长是唯一确定的；②存在无数条弦 ，满足点 到 的距离等于 ，但 的
长是唯一确定的；③在所有与 相离的直线中，至少存在一条直线 ， 上存在一点 到 的距离等于
．上述结论中，所有正确结论的序号是________，
【答案】①②
【解析】
【分析】本题考查圆的综合，涉及圆周角定理、定弦对定角、圆心到线的距离和直线与圆的位置关系等知
识，熟记圆的基础知识及相关性质，数形结合是解决问题的关键．
【详解】解：①根据圆周角定理可知，存在无数个 内接于 ，满足 ，再由圆中定
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弦对定角可知 边的长是唯一确定的，故①正确；
②根据点到直线的距离可知，存在无数条弦 ，满足点 到 的距离等于 ，结合同圆中
弦心距相等则弦相等即可确定 的长是唯一确定的，故②正确；
③根据直线与圆的位置关系可知， 上存在一点 到圆心 的距离等于 ，这条直线与圆相切或相交，不
可能相离，故③错误；
故答案为：①②．
三、解答题
17. 解方程： ．
【答案】
【解析】
【分析】根据因式分解法解一元二次方程即可求解．
【详解】解： ，
，
解得 ．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
18. 如图，A，P，B，C是 上的四个点， ．求证： 是等边三角形．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了等边三角形的判定及圆周角定理，根据圆周角定理可得 ，
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，进而可求证结论，熟练掌握圆周角定理及等边三角形的判定是解题的关键．
【详解】证明： ，
， ，
是等边三角形．
19. 已知 ， 是方程 的两个实数根：
（1）填空： ______； ______．
（2）求代数式 的值．
【答案】（1）1， ；
（2）3．
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系及运用完全平方公式求值，熟知这些知识点是正确解题
的关键．
（1）设 ， 是一元二次方程 的两个实数根，则 ，
．
（2）根据完全平方公式的变形，即可求解．
【小问1详解】
解：方程 中， ，
， ．
故答案为：1， ．
【小问2详解】
解： ，
故答案为：3．
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20. 已知关于x的一元二次方程 ．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程的两个根都是正整数，求a的最小值．
【答案】（1）证明见详解；（2）a的最小值为0．
【解析】
【分析】（1）根据一元二次方程根的个数情况与根的判别式关系可以证出方程总有两个实数根；
（2）根据题意利用十字相乘法解方程，求得 ，再根据题意两个根都是正整数，从而可以
确定a的取值范围，即可求出a的最小值．
【详解】（1）证明：依题意得：
，
，
∴ ．
∴方程总有两个实数根；
（2）由 ，
可化为：
得 ，
∵ 方程的两个实数根都是正整数，
∴ ．
∴ ．
∴a的最小值为0．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式与根的个数关系和利用十字相乘法解含参数的方程，熟
知根的判别式大于零方程有两个不相等的实数根，判别式等于零有两个相等的实数根或只有一个实数根，
判别式小于零无根和十字相乘法的法则是解题关键．
21. 小明在画一个二次函数的图象时，列出了下面几组 与 的对应值．
x … 0 1 2 …
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y … 3 4 3 0 …
（1）求该二次函数的表达式，并画出二次函数图象；
（2）当 时， 的取值范围是______；
（3）当 时， 的取值范围是______．
【答案】（1） ，图见解析
（2）
（3） 或
【解析】
【分析】本题主要考查了求二次函数的解析式，二次函数的图象和性质，
（1）利用待定系数法解答，即可求解，利用描点法画二次函数图象；
（2）把解析式化成顶点式求得最大值，然后根据图象即可写出 的取值范围；
（3）求出该函数图象与x轴的交点坐标，即可求解．
【小问1详解】
解：设二次函数的解析式为： ，
把点 代入得 ，
解得 ，
故抛物线解析式为： ．
二次函数图象如图所示：
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【小问2详解】
解：∵ ，
∴当 时，有最大值 ，
当 时， ，
当 时， ，
又对称轴为 ，
∴当 时， 的取值范围是 ．
【小问3详解】
解：令 ，则 ，
解得： ，
所以该函数图象与 轴交于点 ，
∵该函数图象开口向下，
所以当 时， 的取值范围是 或 ．
故答案为： 或 ．
22. 如图，点A的坐标为 ，点B的坐标为 ，作如下操作：
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（1）画出 关于原点对称的图形 ，点 的坐标为______．
（2）以点A为旋转中心，将 顺时针方向旋转 ，得到 ，在图中画出 ，点
的坐标为______．
【答案】（1）图见解析；
（2）图见解析；
【解析】
【分析】本题考查了图形的变换、关于原点对称的点的坐标．
（1）根据点 关于原点对称的点的坐标为： ，同理可得： ， ，依次
连接，即可求解；
（2）将 绕点A顺时针旋转 得到 ，同理可得： ，连接 ，即可求解；
熟练掌握轴对称图形的性质及旋转的性质是解题的关键．
【
小问1详解】
解：点 关于原点对称的点的坐标为： ，
同理可得： ， ，依次连接，
如图所示， 即为所求：
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故答案为： ．
【小问2详解】
将 绕点A顺时针旋转 得到 ，
同理可得： ，连接 ，
如图所示， 即为所求：
点 的坐标为： ，
故答案为： ．
23. 下面是小元设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程．
已知：如图，⊙O及⊙O上一点P．
求作：过点P的⊙O的切线．
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作法：如图，作射线OP；
① 在直线OP外任取一点A，以A为圆心，AP为半径作⊙A，与射线OP交于另一点B；
②连接并延长BA与⊙A交于点C；
③作直线PC；
则直线PC即为所求．根据小元设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明：
证明：∵ BC是⊙A的直径，
∴ ∠BPC=90° （填推理依据）．
∴ OP⊥PC．
又∵ OP是⊙O的半径，
∴ PC是⊙O的切线 （填推理依据）．
【答案】（1）见解析；（2）直径所对的圆周角是直角；过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切
线
【解析】
【分析】（1）根据题意作出图形即可；
（2）根据圆周角定理得到∠BPC=90°，根据切线的判定定理即可得到结论．
【详解】解：（1）补全图形如图所示，则直线PC即为所求；
（2）证明：∵BC是⊙A的直径，
∴∠BPC=90°（圆周角定理），
∴OP⊥PC．
又∵OP是⊙O的半径，
∴PC是⊙O的切线（切线的判定）．
故答案为：圆周角定理；切线的判定．
【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理，正确的作出图形是解题的关键．
24. 如图， 是 的外接圆，AB是 的直径， 于点E，P是AB延长线上一点，且
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．
（1）求证： 是 的切线；
（2）若 ， ，求 的半径．
【答案】（1）见详解 （2）5
【解析】
【分析】（1）连接 ．根据圆周角定理和同角的余角相等可得 ．然后由切线的
判定方法可得结论；
（2） 的半径为 ， ，由垂径定理知 再结合勾股定理进行列式
，即可作答．
【小问1详解】
证明：连接 ．
∵ ，
∴ ．
∵ 于点E，
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∴ ．
∴ ．
∴
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∵ 是半径，
∴ 是 的切线．
【小问2详解】
的
解：设 半径为 ，
因为 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
在 中， ，
即 ，
，
所以 的半径为 ．
【点睛】本题考查了切线的判定与圆周角定理、垂径定理、勾股定理等知识内容，难度适中，正确掌握切
线的判定内容以及垂径定理运用是解题的关键．
25. 悬索桥，又名吊桥，指的是以通过索塔悬挂并锚固于两岸(或桥两端)的缆索(或钢链)作为上部结构主要
承重构件的桥梁．其缆索几何形状一般近似于抛物线．从缆索垂下许多吊杆(吊杆垂直于桥面)，把桥面吊
住．某悬索桥(如图1)，是连接两个地区的重要通道．图2是该悬索桥的示意图，小明在游览该大桥时，被
这座雄伟壮观的大桥所吸引，他通过查找资料了解到此桥的相关信息；这座桥的缆索(即图2中桥上方的曲
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线)的形状近似于抛物线，两端的索塔在桥面以上部分高度相同，即 ，两个索塔均与桥面垂直，
主桥 的长为 m，索塔顶端 与锚点 的距离DE为 m．缆索最低处的吊杆 长为 m，桥面
上与点M相距 m处的吊杆 长为 m．若将缆索的形状视为抛物线，请你根据小明获得的信息解决
问题．
（1）根据题意，在图3中建立适当的坐标系，并写出以下点的坐标： ______， ______
（2）求这条抛物线的解析式；
（3）求引桥 的长．
【答案】（1）
（2）
（3） m
【解析】
【分析】本题考查二次函数的实际应用
（1）根据建立平面直角坐标系，题目已知的线段长度，即可表示出 坐标；
（2）根据 点坐标，即可求得抛物线对应的函数表达式；
（3）令 ，求得 的长，然后利用勾股定理求得 的长。
【小问1详解】
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解：建立如图所示的平面直角坐标系．
依题意可知 m， 13m， m， m
故可得
【小问2详解】
解：∵主桥 的长为 m
∴由抛物线的对称性可知 (m)，
∴可得
设抛物线对应的函数表达式为
∵抛物线经过点 ，
∴将点 的坐标代入 得
，
解得
∴
故这条抛物线的解析式为：
【小问3详解】
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解：∵抛物线对应的函数表达式为
当 时， ,即 m
∵
∴ ，
在 中，
∴ (m)
答∶引桥 的长为 m．
26. 在平面直角坐标系xOy中，点 ， 在抛物线 上．设抛物线的对称轴
为直线 ．
（1）若 ．比较 的大小关系，并说明理由；
（2）点 在抛物线上，若 ，求 及 的取值范围．
【答案】（1）
（2） ，
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征
（1）根据二次函数的增减性，利用对称轴与点横坐标进行比较即可判断大小关系．
（2）由题意得，将 ， 两点代入解析式，进而结合 ，即可求出 的取值范围，又根
据 、 关于对称轴对称，借助 的范围即可求出 的范围．
【小问1详解】
解：∵ ，即 ，
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∴对称轴为： ，
故
∵ ，故离对称轴越远的点纵坐标越大，
，
∴ ，
当 ， ，
∵ 故
【小问2详解】
解：由题意，由抛物线 的对称轴为 ，得 ，
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∵ ，
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∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
∵点 与 是对称点，
∴ ．
∴ ，
∴ ．
综上可得， ， ．
27. 在 中， ， 于点D，P为线段 上的动点（不与点B、
D重合），连接 并将线段 绕点A逆时针旋转 ，得到线段 ，连接 ，取 的中
点Q．
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（1）依题意补全图形；
（2）用含 的式子表示 ，并说明理由；
（3）点M为线段 上一点，当 与 满足的数量关系为______时，对于任意的点P，总有
．证明你的结论．
【答案】（1）见解析；
（2） ，理由见解析；
（3） ，理由见解析．
【解析】
【分析】（1）依题意补全图形即可；
（2）根据 证明 ，即可求解；
（3）当 时，由（2）知： ，可得 ，再根据Q为 中点，可得
为 的中点，最后根据 ， 即可求解．
【小问1详解】
解：补全图形如图所示：
；
【小问2详解】
解： ,理由如下：
，
又由旋转可知：
即
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，又
，
；
【小问3详解】
解： 时，有 ，理由如下：
当 时，由（2）知：
则 ，又Q为 中点
为 的中点，
又 ， ，
．
【点睛】此题是几何变换的综合题，主要考查了旋转变换的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定
和性质、平行线的判定等知识，熟练进行逻辑推理是解题关键．
28. 在平面直角坐标系 中， 的半径为1．对于点 和线段 ，给出如下定义：若将线段 绕
点 旋转可以得到 的弦 （ ， 分别是 ， 的对应点），则称线段 是 的以点 为
中心的“关联线段”．
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（1）如图，点 ， ， ， ， ， ， 的横、纵坐标都是整数．在线段 ， ， 中，
的以点 为中心的“关联线段”是______；
（2） 是边长为1的等边三角形，点 ，其中 ．若 是 的以点 为中心的“关联线
段”，求 的值；
（3）在 中， ， ．若 是 的以点 为中心的“关联线段”，直接写出 的
最小值和最大值，并说明理由．
【答案】（1）
（2） 或
（3） 的最小值为1，最大值为2
【解析】
【分析】（1）利用旋转的性质、点 到圆上一点的距离范围及“关联线段”的定义来进行判别即可；
（2）先利用旋转的性质，“关联线段”的定义以及等边三角形的性质求出 的位置，进而求出 的值
即可；
（3）利用旋转的性质以及“关联线段”的定义，求出四边形 的各边长，利用四边形的不稳定性
画出 最小和最大的图形，然后问题可求解．
【小问1详解】
解：由旋转的性质可知： ， ， ，
由图可知点 到圆上一点的距离 的范围为 ，
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，
点不可能在圆上，
不是 的以点 为中心的“关联线段”，
，
， ，
是 的以点 为中心的“关联线段”，
，
当 在圆上时，则 或 ，
由图可知此时 不在圆上，
不是 的以点 为中心的“关联线段”，
故答案为 ；
【小问2详解】
解：设 绕点 旋转得到 的弦 ，则 ， ， ，
是边长为1的等边三角形，
根据旋转的性质可知 也是边长为1的等边三角形，
，
是边长为1的等边三角形，
，且 ，
点 与点 不重合，
轴，且 ，
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为 边上的高的2倍，且此高的长为 ，
或 ；
【小问3详解】
解：由旋转的性质和“关联线段”的定义可知： ， ，如图1所
示：
利用四边形的不稳定性可知，当 、 、 在同一直线上时， 最小，最小值为1，如图2所示：
当 、 、 在同一直线上时， 最大，如图3所示：
此时 ；
综上所述： 的最小值为1，最大值为2．
【点睛】本题主要考查旋转的性质、等边三角形及圆的综合，需要具有较强的运算能力和推理能力，理解
新定义的“关联线段”，熟练掌握旋转的性质、等边三角形及圆的综合问题是解题的关键．
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