文档内容
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
2023-2024 学年度第二学期北京市
第十三中学分校 4 月验收九年级数学试卷
考生须知：
1．本试卷分为第I卷和第II卷，第I卷共2页，第II卷共6页．
2．本试卷满分100分，考试时间120分钟．
3．在试卷（包括第I卷和第II卷）密封线内准确填写学校、班级、姓名、学号．
4．考试结束，将试卷及答题纸一并交回监考老师．
第一部分 选择题
一、选择题（共16分，每题2分）第1－8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1. 下图是某几何体的三视图，该几何体是（ ）
A. 圆柱 B. 圆锥 C. 长方体 D. 三棱柱
【答案】A
【解析】
【分析】根据常见几何体的三视图逐一判断即可．
【详解】根据主视图和左视图为矩形，则几何体为柱体；
由俯视图为圆形，所以得几何体为圆柱．
故选A．
【点睛】本题主要考查由三视图判断几何体，解题的关键是掌握常见几何体的三视图．
2. 实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据数轴上点的位置推出 ，进而推出 ，由此即可得到答
案．
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
【详解】解：由题意得， ，
∴ ，
∴四个选项中只有B选项符合题意，
故选B．
【点睛】本题主要考查了实数与数轴，正确推出 是解题的关键．
3. 如图，直线 ， ，则 的大小是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
的
【分析】先利用对顶角 定义求得∠2的度数，再直接利用平行线的性质得出∠3的度数，进而得出答案．
【详解】解：∵直线a∥b，∠1=53°，
∴∠2+∠3=180°，∠1=∠2=53°，
∴∠3=180°-53°=127°．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，注意：两直线平行，同旁内角互补．
4. 如图，数轴上点P表示的数可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
【解析】
【详解】解：由 ＜ ＜3＜ ＜4＜ ，
点P表示的数大于3小于4，故C符合题意．
故选：C．
5. 下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，根据中心对称图形的定义和轴对称图形的定
义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫
做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转 ，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个
图形叫做中心对称图形．
【详解】解：A，既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；
B，是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意；
C，是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意；
D，是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意；
故选A．
6. 如图，直线 ， 平分 ， ，则 的度数是（ ）
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
.
A B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据邻补角求出 ，由 平分 可知 ，根据 得到
．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故选：C．
【点睛】此题考查了邻补角和平行线的性质、角平分线的定义．解题关键是掌握相关定义和性质．
7. 如图，在正方形ABCD中，AB＝4cm，动点E从点A出发，以1cm/秒的速度沿折线AB﹣BC的路径运动，
到点C停止运动．过点E作EF∥BD，EF与边AD（或边CD）交于点F，EF的长度y（cm）与点E的运动
时间x（秒）的函数图象大致是（ ）
A. B.
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据线段长度=运动速度×时间，再根据勾股定理，可得EF长即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，EF∥BD，
∴当0≤x≤4时，y＝ ，
当4＜x≤8，y＝ ＝ ，
只有选项A符合．
故答案为A．
【点睛】本题考查了动点的函数图像，根据题意确定函数解析式是解答本题的关键.
8. 如图1，矩形的一条边长为x，周长的一半为y．定义 为这个矩形的坐标．如图2，在平面直角坐
标系中，直线 ， 将第一象限划分成4个区域．已知矩形1的坐标的对应点A落在如图所示的双
曲线上，矩形2的坐标的对应点落在区域④中．
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
则下面叙述中正确的是（ ）
A. 点A的横坐标有可能大于3
B. 矩形1是正方形时，点A位于区域②
C. 当点A沿双曲线向上移动时，矩形1的面积减小
D. 当点A位于区域①时，矩形1可能和矩形2全等
【答案】D
【解析】
【分析】由图形可知：当 时， ，从而 可判断A；根据点A是直线 与双曲线的
交点可判断B；求出 可判断C；由点A位于区域①可得 ，由形2落在区域④中可得
，从而可判断D．
【详解】设点 （x，y均为正数），
A、设反比例函数解析式为： ，
由图形可知：当 时， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
即点A的横坐标不可能大于3，
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
故选项A不正确；
B、当矩形1 为正方形时，边长为x， ，
则点A是直线 与双曲线的交点，如图2，交点A在区域③，
故选项B不正确；
C、当一边为x，则另一边为 ，
∵当点A沿双曲线向上移动时，x的值会越来越小，
∴矩形1的面积会越来越大，
故选项C不正确；
D、当点A位于区域①时，
∵点 ，
∴ ，即另一边为： ，
矩形2落在区域④中， ，即另一边 ，
∴当点A位于区域①时，矩形1可能和矩形2全等；
如矩形的两条邻边长分别为0.9，2.9时，两个矩形都符合题意且全等，
故选项D正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数图象和新定义，理解x和y的意义是关键，并注意用数形结合的思想解决
问题．
二、填空题（共8个小题，每小题2分，共16分）
9. 若 在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是___________．
【答案】x≥8
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件，可得x-8≥0，然后进行计算即可解答．
【详解】解：由题意得：
x 8≥0，
解得：x≥8．
故答案为：x≥8．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式 是解题的关键．
10. 分解因式： _________．
【答案】
【解析】
【分析】直接把公因式y提出来即可．
【详解】解： ．
故答案为：
【点睛】本题主要考查提公因式法分解因式，准确找出公因式是y是解题的关键．
11. 若n为整数，且 ，则n的值为________________．
【答案】4
【解析】
【分析】依据夹逼法确定出 的大致范围，从而可得到n的值．
【详解】解：∵16＜21＜25，
∴4＜ ＜5．
∴n＝4．
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查的是估算无理数的大小，熟练掌握估算无理数大小的方法是解题的关键．
12. 分式方程 的解 __________________．
【答案】 ##
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
【解析】
【分析】本题考查解分式方程，去分母将分式方程转化为整式方程，求解后检验即可．
【详解】解：去分母得： ，
去括号得： ，
移项，合并同类项得： ，
∴ ，
经检验， 是原方程的解；
故答案为： ．
13. 中国古代数学著作《算法统宗》记载了这样一个题目：九百九十文钱，甜果苦果买一千，四文钱买苦
果七，十一文钱九个甜，甜苦两果各几个？其大意是：九百九十文钱共买一千个苦果和甜果，其中四文钱
可买苦果七个，十一文钱可买甜果九个．问苦、甜果各几个？设苦果x个，甜果y个；则可列方程为_____．
【答案】
【解析】
【分析】利用总价=单价×数量，结合用九百九十九文钱共买了一千个苦果和甜果，即可得出关于x，y的二
元一次方程组，此题得解．
【详解】解：∵共买了一千个苦果和甜果，
∴x+y=1000；
∵共花费九百九十九文钱，且四文钱可以买苦果七个，十一文钱可以买甜果九个，
∴ ，
∴可列方程组为 ．
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
故答案为： ．
14. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，以点C为圆心，CA长为半径作弧，交直线BC于点P，连接
AP，则 的度数是_______°．
【答案】15或75##75或15
【解析】
【分析】根据等腰三角形的性质可以得到△ABC各内角的关系，然后根据题意，画出图形，利用分类讨论
的方法求出∠BAP的度数即可．
【详解】解：如图所示，
当点P在点B的左侧时，
∵AB=AC，∠BAC=40°，
∴∠ACB=ABC=70°，
∵ ，
∴ ，
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
∴ =55°−40°=15°；
当点P在点C的右侧时，
∵AB=AC，∠BAC=40°，
∴∠ACB=∠ABC=70°，
∵ ，
∴ ，
∴ =35°+40°=75°，
综上可知，∠BAP的度数是15°或75°，
故答案为15或75．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质、圆的性质，解答本题的关键是画出合适的辅助线，利用分类讨论的
方法解答．
15. 一组学生春游，预计共需要费用120元，后来又有2人参加进来，总费用不变，于是每人可少摊3元，
若设原来这组学生人数为x，那么可列方程为_____．
【答案】
【解析】
【分析】理解题意找出题意中存在的等量关系，未增加人前每人摊的费用 增加人后每人摊的费用 ，
列出方程即可．
【详解】解：解：设原来这组学生人数为x，
则原来每人摊的费用为 ，又有2人参加进来，此时每人摊的费用为 ，
根据题意可列方程为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解题的关键在于找出题中的等量关系．
16. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠A=32°，点B、C在 上，边AB、AC分别交 于D、E两
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
点﹐点B是 的中点，则∠ABE=__________．
【答案】
【解析】
【分析】如图，连接 先证明 再证明 利用三角形的外角可得：
再利用直角三角形中两锐角互余可得：
再解方程可得答案．
【详解】解：如图，连接
是 的中点，
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
故答案为：
【点睛】本题考查的是圆周角定理，三角形的外角的性质，直角三角形的两锐角互余，掌握圆周角定理的
含义是解题的关键．
三、解答题（共68分，17~20题，每题5分，21题6分，22~23题，每题5分，24~26题，每
题6分，27~28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17. 计算： ．
【答案】 ．
【解析】
【分析】分别计算零次幂，负整数指数幂，绝对值，特殊角的三角函数值，再合并即可.
【详解】解：原式
．
【点睛】本题考查的是求解特殊角的三角函数值，零次幂与负整数指数幂的含义，绝对值的化简，熟练以
上运算的运算法则是解题的关键.
18. 解不等式组 ，并将解集在数轴上表示出来．
【答案】 ，见解析
【解析】
【分析】分别求出每个不等式的解集，并将其解集表示在数轴上即可．
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
【详解】解：
解不等式①，得 ，
解不等式②，得x＜3，
的
∴原不等式组 解集为 ，
∴将不等式组的解集在数轴上表示为：
【点睛】本题考查解不等式组，并将不等式组的解集表示在数轴上，正确的计算能力是解决问题的关键．
19. 下面是小星同学设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程：
已知：如图，直线l和直线l外一点A
求作：直线AP，使得AP∥l
作法：如图
①在直线l上任取一点B（AB与l不垂直），以点A为圆心，AB为半径作圆，与直线l交于点C．
②连接AC，AB，延长BA到点D；
③作∠DAC的平分线AP．
所以直线AP就是所求作的直线
根据小星同学设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明
证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB （填推理的依据）
∵∠DAC是△ABC的外角，
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
∴∠DAC＝∠ABC+∠ACB （填推理的依据）
∴∠DAC＝2∠ABC
∵AP平分∠DAC，
∴∠DAC＝2∠DAP
∴∠DAP＝∠ABC
∴AP∥l （填推理的依据）
【答案】(1)详见解析；（2）（等边对等角），（三角形外角性质），（同位角相等，两直线平行）．
【解析】
【分析】（1）根据角平分线的尺规作图即可得；
（2）分别根据等腰三角形的性质、三角形外角的性质和平行线的判定求解可得．
【详解】解：（1）如图所示，直线AP即为所求．
（2）证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB（等边对等角），
∵∠DAC是△ABC的外角，
∴∠DAC＝∠ABC+∠ACB（三角形外角性质），
∴∠DAC＝2∠ABC，
∵AP平分∠DAC，
∴∠DAC＝2∠DAP，
∴∠DAP＝∠ABC，
∴AP∥l（同位角相等，两直线平行），
故答案为（等边对等角），（三角形外角性质），（同位角相等，两直线平行）．
【点睛】本题主要考查作图能力，解题的关键是掌握角平分线的尺规作图、等腰三角形的性质、三角形外
角的性质和平行线的判定．
20. 已知关于 的一元二次方程 ．
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
（1）如果该方程有两个不相等的实数根，求 的取值范围．
（2）在（1）的条件下，当该方程的两个根都是整数，求正整数 的值．
【答案】（1） 和 ；（2）1或3．
【解析】
【分析】（1）由题意可知关于x的一元二次方程得到m不为0，根据方程有两个不相等的实数根，得到根
的判别式大于0，列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可得到m的范围；
（2）根据（1）的条件，求出两个根并根据两个根都是整数，进行分析即可.
【详解】解： （1）由题意 ，
方程有两个不相等的实数根，
，
即 ，
解得 ，
的取值范围为 和 ．
（2） ，
， ，
当 是整数时，
可得 或 或 ，
为正整数，
的值为1或3．
【点睛】本题考查一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac，注意掌握当△＞0，方程有
两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
21. 如图，在△ABC中,AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，DG⊥CE于G, CD=AE.
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
(1)求证: CG=EG.
(2)已知BC=13, CD=5,连结ED,求 EDC 的面积.
【答案】（1）见解析；（2）7.5△
【解析】
【分析】（1）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，以及等腰三角形三线合一的性质即可得证；
（2）过点E作EF⊥BC于点F，首先求出BD，再根据等腰三角形三线合一得 DF=4，利用勾股定理求出
EF即可求出△EDC的面积.
【详解】（1）证明：连接ED，
∵AD⊥BC
∴∠ADB=90°
∵CE是AB边上的中线
∴E是AB的中点
∴DE= AB
又∵AE= AB
∴AE=DE
∵AE=CD
∴DE=CD
即△DCE是等腰三角形，
∵DG⊥EC，
∴CG=EG；
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
（2）如图，过点E作EF⊥BC于点F，
∵BC=13, CD=5
∴BD=13-5=8，DE=CD=5
∵DE= AB=BE，
∴△BDE为等腰三角形，
又∵FE⊥BD，
∴DF= BD=4
在Rt△DEF中，
∴S =
△EDC
【点睛】本题考查直角三角形与等腰三角形的性质，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和等腰
三角形三线合一的性质是解决本题的关键.
22. 在平面直角坐标系中，一次函数 的图象平行于直线 ，且经过点 ．
（1）求这个一次函数的表达式；
（2）当 时，对于 的每一个值，一次函数 的值都大于一次函数 的值，
直接写出 的取值范围．
【答案】（1） ；
（2） ．
【解析】
【分析】（1）根据一次函数图象平移时k不变可知 ，再把点 代入求出b的值，进而可得出
结论；
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
（2）由函数解析式 可知其经过点 ，由题意可得临界值为当 ，两条直线都过点 ，
将点 代入到一次函数 ，可求出m的值，结合函数图象的性质即可得出m的取值范围．
【小问1详解】
解：∵一次函数 的图象与函数 的图象平行，
∴ ，
∵一次函数 的图象过点 ，
∴ ，
∴ ，
∴这个一次函数的表达式为 ；
【小问2详解】
解：对于一次函数 ，当 时，有 ，可知其经过点 ．
当 时，对于x的每一个值，一次函数 的值大于一次函数 的值，即一次函
数 图象在函数 的图象上方，由下图可知：
临界值为当 时，两条直线都过点 ，
将点 代入到函数 中，
可得 ，解得 ，
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
结合函数图象及性质可知，当 ， 时，一次函数 的值大于一次函数
的值，
又∵如下图，当 时，根据一次函数的图象可知，不符合题意．
∴m的取值范围为： ．
【点睛】本题考查的是一次函数的图象与几何变换、待定系数法求函数解析式等知识，熟练掌握一次函数
的图象与性质，学会运用数形结合的思想思考问题是解题关键．
23. 门头沟区深挖区域绿水青山教育资源，以区域山水和历史人文资源为素材，开展跨学科实践活动．某
校为调研学生的学习成效．举办“跨学科综合实践活动”成果作品比赛．十名评委对每组同学的参赛作品
进行现场打分．对参加比赛的甲，乙，丙三组同学参赛作品得分（单位：分）的数据进行整理、描述和分
析，下面给出了部分信息．
a．甲．乙两组同学参赛作品得分的折线图：
b．丙组同学参赛作品得分：
9 4 9 9 10 9 10 8 8 10
c．甲，乙，丙三组同学参赛作品得分的平均数、众数、中位数如下：
平均数 众数 中位数
甲组 8.6 9 9
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
乙组 8.6 8.5
丙组 8.6 9
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表中 _____， ______；
（2）在参加比赛的小组中，如果某组同学参赛作品得分的 个数据的方差越小，则认为评委对该组同学
参赛作品的评价越一致．据此推断：在甲，乙两组同学中，评委对______组同学的参赛作品评价更一致
（填“甲”或“乙”）
（3）如果每组同学的最后得分为去掉十名评委打分中的一个最高分和一个最低分后的平均分，最后得分
越高，则认为该组同学的参赛作品越优秀．据此推断：在甲，乙，丙三组同学中，参赛作品最优秀的是
______组同学（填“甲”或“乙”或“丙”）．
【答案】（1）8，9 （2）乙
（3）丙
【解析】
【分析】（1）根据中位数、众数的定义，即可求解；
（2）分别计算甲、乙两组的方差，即可求解；
（3）根据题意，分别求出甲、乙、丙三组的最后得分，即可得出结论．
【小问1详解】
解：乙组的成绩中8分出现的次数最多，出现了5次，
故乙组的众数为8分，即 ，
丙组的得分从小到大排列为：
4 8 8 9 9 9 9 10 10 10
第5个与第6个得分都为9分，
故丙组得分的中位数为： ，
故答案为：8，9；
【小问2详解】
解：甲组得分的方差为：
，
乙组得分的方差为：
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
，
，
评委对乙组同学的参赛作品评价更一致，
故答案为：乙；
【小问3详解】
解：甲组最后得分为： ，
乙组最后得分为： ，
丙组最后得分为： ，
，
参赛作品最优秀的是丙组同学，
故答案为：丙．
【点睛】本题考查了折线统计图，加权平均数，众数，中位数，方差，理解平均数、方差的意义和计算方
法是正确解答的前提．
24. 如图， 为 的直径， 为弦，射线 与 相切于点A，过点O作 交 于点
D，连接 ．
（1）求证： 是 的切线；
（2）过点B作 交 的延长线于点E，连接 交 于点F．若 ， ，求
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连接 ，先利用切线性质得到 ，再利用平行线的性质、等腰三角形的性质
证得 ，进而证明 得到 ，然后利用切线的判定证
得结论；
（2）如图，过E作 于H，证明四边形 是矩形，得到 ， ，
设 ，则 ，根据切线长定理和勾股定理求得 ， ，证明
得到 求解即可．
【小问1详解】
解：连接 ，
∵射线 与 相切于点A，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，又 ， ，
∴ ，
∴ ，又 为 的半径，
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
∴ 是 的切线；
【小问2详解】
解：如图，过E作 于H，则 ，
∴四边形 是矩形，
∴ ， ，
设 ，则
∵ ，
∴ 与 相切，又射线 与 相切于点A， 是 的切线，
∴ ， ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得 ，
解得 ，即 ，
在 ，由勾股定理得 ，
∵ ， ，
∴ ，又 ，
∴ ，
∴ ，即 ，
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
解得 ．
【点睛】本题考查切线的判定与性质、圆周角定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、
等腰三角形的性质、平行线的性质、矩形的判定和性质、勾股定理、切线长定理等知识的综合应用，熟练
掌握相关知识的联系与性质是解答的关键．
25. 数学活动课上，老师提出一个探究问题：
制作一个体积为 ，底面为正方形的长方体包装盒，当底面边长为多少时，需要的材料最省（底面边
长不超过3dm，且不考虑接缝）．
某小组经讨论得出：材料最省，就是尽可能使得长方体的表面积最小．
下面是他们的探究过程，请补充完整：
（1）设长方体包装盒的底面边长为 ，表面积为 ．
可以用含 的代数式表示长方体的高为 ．
根据长方体的表面积公式：长方体表面积 ．
得到 与 的关系式：___________________（ ）；
（2）列出 与 的几组对应值：
… 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
… 80.5 42.0 31.2 28.5 31.3
（说明：表格中相关数值精确到十分位）
表中 _____________．
（3）在下面的平面直角坐标系 中，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象：
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
（4）结合画出的函数图象，解决问题：
长方体包装盒的底面边长约为_________dm时，需要的材料最省；当长方体包装盒表面积为 时，底
面边长约为____________dm．
【答案】（1）
（2）28 （3）见解析
（4）2.2，1.7
【解析】
【分析】（1）根据长方体的表面积公式求解即可；
（2）求出 时，y的值即可；
（3）利用描点法画出函数图像即可；
（4）利用图象法判断即可．
【小问1详解】
由题意， ；
故答案为： ；
【小问2详解】
当 时， ；
故答案为：28；
【小问3详解】
函数图像如图所示：
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
【小问4详解】
观察图象可知，当x约为 时，需要的材料最省．当长方体包装盒表面积为 时，底面边长约
为
故答案为：2.2，1.7．
【点睛】本题考查了长方体的知识，函数图像等，解题的关键是理解题意，学会利用图象法解决问题．
26. 在平面直角坐标系中，抛物线 的顶点为点 ，且 ，
（1）若 ，
点 到 轴的距离为_____________；
已知点 ， ，若抛物线与线段 有且只有一个公共点，求 的取值范围；
（2）已知点 到 轴的距离为 ，此抛物线与直线 的两个交点分别为 ， ，
其中 ，若点 在此抛物线上，当 时， 总满足 ，求 的值和
的取值范围．
【答案】（1） ；
（2） ， ；
【解析】
【分析】（ ） 将 代入解析式求出顶点坐标即可得到答案；
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
令 解出方程的解，根据只有一个交点列方程即可得到答案；
（ ）根据点 到 轴的距离为 求出 ，结合当 时， 总满足 ，分类讨论
的值列式求解即可得到答案；
【小问1详解】
解： 将 代入解析式可得， ，
∴ ，
∴点 到 轴的距离为： ，
故答案为： ；
将 代入 得： ，
解得： 或 ，
当 时，点 关于对称轴的对称点为 ，在对称轴的右侧，
∴ 时，抛物线与 有两个交点，
将 代入 得： ，
解得： 或 ，
∴ 时，抛物线与线段 有且只有一个公共点；
【小问2详解】
解：∵点 到 轴的距离为 ，
∴ ，
解得 或， ，
∵ ， 总满足 ，
∴抛物线开口向下时，点 ， 在对称轴左侧，抛物线开口向上时，点 ， 在对称轴右侧，
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
当 时，抛物线开口向上， ，
令 ，整理得： ，
∴ ，
解得： ，
当顶点 在直线 上时， ，解得 ，
∵ ，
∴ ，不符合题意；
当 时，抛物线开口向下， ，
令 ，整理得： ，
∴
解得： ，
当顶点 在直线 上时， ，解得 ，
∴ ，
∵ ，
∴ 满足题意；
综上所述： ， ．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，与一函数的交点问题，熟练掌握二次函数的图象和性质，
并利用数形结合思想解答是解题的关键．
27. 如图，在每一个四边形ABCD中，均有AD//BC，CD⊥BC，∠ABC=60°，AD=8，BC=12．
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
(1)如图①，点M是四边形ABCD边AD上的一点，则 BMC的面积为__________；
(2)如图②，点N是四边形ABCD边AD上的任意一点，△请你求出△BNC周长的最小值；
(3)如图③，在四边形ABCD的边AD上，是否存在一点P，使得cos∠BPC的值最小？若存在，求出此时
cos∠BPC的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1） ；（2） ；（3） ．
【解析】
【分析】（1）过点A作AN⊥BC，垂足为N． ABN利用锐角三角函数求出AN= ．
△
所以 BMC的面积为 ．
△
（2） BNC的边BC是定值，求出 BNC周长的最小值也就是在线段AD上找点N使求出BN+CN的最小．
根据两△点之间线段最短，所以点只需△找到C 和C1关于在直线AD的对称，所以CN1=C1N1连接C1B交
AD与点N1，这时 BNC周长的最小值为 BN1C周长．
（3）先找到使cos△∠BPC的值最小点P．△(P在 BPC的外接圆⊙O上)，根据勾股定理求出cos∠BPC的值．
△
【详解】解：（1）过点A作AN⊥BC，垂足为N． ABN利用锐角三角函数求出AN= ．
△
所以 BMC的面积为 ．
△
故答案为： ．
（2）如图：延长CD使CD=DC = ，则点C 和C 关于在直线AD的对称，所以CN =C N
1 1 1 1 1
连接C B交AD与点N ，这时 BNC周长的最小值为 BN1C周长．
1 1
△ △
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
在 BCC 中，BC = ，
1 1
△
∴ BNC周长的最小值为 ．
△
（3）如下图存在点P使得cos∠BPC的值最小．
作BC的中垂线PQ交BC与点Q，交AD与点P，连接BP、CP作 BPC的外接圆⊙O．
⊙O与直线PQ交与点N，则PB=PC，圆心O在PN上． △
∵AD∥BC
∴⊙O与AD正好相切与点P．
∵PQ=DC= >6．∴PQ>BQ． ∴∠BPC<90°圆心O在弦BC的上方．
在AD上任取一点 ．连接PB，PC，PB 交⊙O与点M，连接MC
∴∠BPC=∠BMC>∠B C． ∴这时∠BPC最大，cos∠BPC的最小．
连接OB，则∠BON=2∠BPN=∠BPC
∵OB=OP= -OQ．
在直角 BOQ中， 解得OQ= ∴OB=
△
∴cos∠BPC=cos∠BOQ=
∴此时cos∠BPC= ．
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
【点睛】单动点和动面问题、勾股定理、轴对称 的性质、两点之间线段最短的性质、分类思想、转换思
想和数形结合思想的应用．
28. 如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，直线EF经过点C，AD⊥EF于点D，∠DAC=∠BAC
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）求证：AC2=AD·AB；
（3）若⊙O的半径为2，∠ACD=30°，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3) .
【解析】
【分析】（1）连接OC，根据OA=OC推出∠BAC=∠OCA=∠DAC，推出OC∥AD，得出OC⊥EF，根据切
线的判定推出即可．
（2）证△ADC∽△ACB，得出比例式，即可推出答案．
（3）求出等边三角形OAC，求出AC、∠AOC，在Rt△ACD中，求出AD、CD，求出梯形OCDA和扇形
OCA的面积，相减即可得出答案．
【详解】解：（1）证明：连接OC，
∵OA=OC，
∴∠BAC=∠OCA．
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
∵∠DAC=∠BAC，
∴∠OCA=∠DAC．
∴OC∥AD．
∵AD⊥EF，
∴OC⊥EF．
∵OC为半径，
∴EF是⊙O的切线．
（2）证明：∵AB为⊙O直径，AD⊥EF，
∴∠BCA=∠ADC=90°．
∵∠DAC=∠BAC，
∴△ACB∽△ADC．
∴ ．
∴AC2=AD•AB．
（3）∵∠ACD=30°，∠OCD=90°，
∴∠OCA=60°.
∵OC=OA，
∴△OAC是等边三角形．
∴AC=OA=OC=2，∠AOC=60°．
∵在Rt△ACD中，AD= AC=1．
由勾股定理得：DC= ，
∴阴影部分的面积是S=S ﹣S = ×（2+1）× ﹣ ．
梯形OCDA 扇形OCA
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
