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陕西省西安中学高 2025 届高三第一次质量检测考试
数学试题
（时间：120分钟 满分：150分 命题人：赵昕媛）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1. 已知集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先根据对数函数的单调性解不等式化简集合B，然后利用交集运算求解即可.
【详解】因为 ，所以 ，解得 或 ，
故 或 ，又 ，所以 .
故选：C
2. “ ”是“函数 在 上单调递增”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据对数函数和一次函数的单调性，再结合复合函数“同增异减”的判断法则求得对应的 的取
值范围即可得出结论.
【详解】易知 的定义域为 ，且函数 为单调递减函数；
根据复合函数单调性可知若函数 在 上单调递增，
可得 ，解得 ；
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学科网（北京）股份有限公司显然 是 的真子集，
所以“ ”是“函数 在 上单调递增”的必要不充分条件.
故选：B
3. 函数 在区间 的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用函数的奇偶性可排除A、C，代入 可得 ，可排除D.
【详解】 ，
又函数定义域为 ，故该函数为偶函数，可排除A、C，
又 ，
故可排除D.
故选：B.
4. 已知 ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】判断出 ， ， ，即可求解.
【详解】
，故 ；
，故 ，故 .
故选：B.
5. 已知定义在 上的函数 满足 ，且 ，则 （ ）
A. B. 1 C. D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】由条件推得函数的周期为4，结合函数的周期，即可求解.
【详解】由 ，可得 ，
所以 的周期为4，则 ．
故选：C.
6. 已知函数 ，若关于 的方程 有2个不相等的实数解，
则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】根据题意，转化为 与 的图象有2个交点，分 、 和 ，三种情
况讨论，结合导数的几何意义与函数的图象，即可求解.
【详解】由题意，关于 的方程 有2个不相等的实数解，
即 与 的图象有2个交点，如图所示，
当 ，直线 与 的图象交于点 ，
又当 时， ，故直线 与 （ ）的图象无公共点，
故当 时， 与 的图象只有一个交点，不合题意；
当 ，直线 与曲线 （ ）相切时，
此时 与 的图象有2个交点，
设切点 ，则 ，又由 过点 ，
所以 ，解得 ，所以 ；
当 时，若 ，则 ，由 ，可得 ，
所以当 时，直线 与 的图象相切，
由图得当 时，直线 与 的图象有2个交点．
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学科网（北京）股份有限公司综上所述，实数 的取值范围是 ．
故选：C．
.
7 已知函数 ，则（ ）
A. 有三个极值点 B. 有三个零点
C. 点 是曲线 的对称中心 D. 直线 是曲线 的切线
【答案】C
【解析】
【分析】求导后判断单调性，从而求得极值点即可判断A；利用单调性结合零点存在性定理即可判断B；
令 ，得到 是奇函数， 是 的对称中心，再结合图象的平移规律即可判断C；
由导数的几何意义求得切线方程即可判断D.
【详解】对于A，由题， ，
令 得 或 ，令 得 ，
所以 在 ， 上单调递增， 上单调递减，
所以 是极值点，故A不正确；
对应B，因 ， ， ，
所以，函数 在 上有一个零点，
当 时， ，即函数 在 上无零点，
综上所述，函数 有一个零点，故B错误；
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学科网（北京）股份有限公司对于C，令 ，该函数的定义域为 ， ，
则 是奇函数， 是 的对称中心，
将 的图象向上移动一个单位得到 的图象，
所以点 是曲线 的对称中心，故C正确；
对于D，令 ，可得 ，又 ，
当切点为 时，切线方程为 ，当切点为 时，切线方程为 ，故D错误.
故选：C
8. 已知函数 ， ，若方程 有且仅有5个不相等的整
数解，则其中最大整数解和最小整数解的和等于（ ）
A. B. 28 C. D. 14
【答案】A
【解析】
【分析】利用换元法结合一元二次方程根的分布，数形结合计算即可.
【详解】先作出 的大致图象，如下
令 ，则 ，
根据 的图象可知：要满足题意必须 有两个不等根 ，
且 有两个整数根， 有三个整数根，
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学科网（北京）股份有限公司结合对勾函数和对数函数 的图象与性质知，两函数 相切时符合题意，
因为 ，当且仅当 时取得等号，
又 ，易知其定义域内单调递减，
即 ，此时有两个整数根 或 ，
而要满足 有三个整数根，结合 图象知必有一根小于2，
显然只有 符合题意，当 时有 ，则 ，
解方程 得 的另一个正根为 ，
又 ，
此时五个整数根依次是 ，
显然最大 的根和最小的根和为 .
故选：A
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列导数运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用求导公式逐项判断即可.
【详解】对于A， ，故A正确；
对于B， ，故B错误；
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学科网（北京）股份有限公司对于C， ，故C正确；
对于D， ，故D正确.
故选：ACD
10. 甲乙丙等5人的身高互不相同，站成一排进行列队训练，则（ ）
A. 甲乙不相邻的不同排法有48种
B. 甲乙中间恰排一个人的不同排法有36种
C. 甲乙不排在两端的不同排法有36种
D. 甲乙丙三人从左到右由高到矮的不同排法有20种
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据排列和组合的定义、结合捆绑法逐一判断即可.
【详解】A：甲乙不相邻的不同排法有 种，所以本选项不正确；
B：甲乙中间恰排一个人的不同排法有 种，所以本选项正确；
C：甲乙不排在两端的不同排法有 种，所以本选项正确；
D：甲乙丙三人从左到右由高到矮的不同排法有 种，所以本选项正确.
故选：BCD
11. 已知 ，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】选项ABD，利用不等式的性质计算即可，选项 C，因为 可正可负，所以不容易化简解决，
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学科网（北京）股份有限公司一般当乘或除以一个不知正负的数，基本上错误，我们只需要找反例即可.
【详解】因为 ，所以 ，故A正确；
因为 ，所以 ，故B正确；
因为 ，不妨令 ，得 ，此时 ，故C错误；
因为 ，所以 ，故D正确.
故选：ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 某学校组织学生参加数学测试，成绩的频率分布直方图如下，数据的分组依次是
，则可估计这次数学测试成绩的第40百分位数是_________．
【答案】65
【解析】
【分析】利用百分位数的定义求解.
【详解】解：成绩在 的频率是 ，
成绩在 的频率为 ，
所以第40百分位数一定在 内，
所以这次数学测试成绩的第40百分位数是 ，
故答案为：65
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学科网（北京）股份有限公司13. 若曲线 在点 处的切线也是曲线 的切线，则 __________.
【答案】
【解析】
【 分 析 】 先 求 出 曲 线 在 的 切 线 方 程 ， 再 设 曲 线 的 切 点 为
，求出 ，利用公切线斜率相等求出 ，表示出切线方程，结合两切线方程相同即可
求解.
【详解】由 得 ， ，
故曲线 在 处的切线方程为 ；
由 得 ，
设切线与曲线 相切的切点为 ，
由两曲线有公切线得 ，解得 ，则切点为 ，
切线方程为 ，
根据两切线重合,所以 ，解得 .
故答案为：
14. 展开式中， 的系数为__________．
的
【答案】
【解析】
【分析】根据二项式的通项公式进行求解即可.
【详解】二项式 的通项公式为 ，
所以 的系数为 ，
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学科网（北京）股份有限公司故答案为：
四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16，17题15分，第18，19题17分，共
77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知函数 ．
（1）若 ，求函数 的极值；
（2）讨论函数 的单调性．
【答案】（1）极小值为 ，极大值为
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）对 求导，分析单调性，再根据极值定义即可求解；
（2） ，对 分 ， 和 讨论单调性即可.
【小问1详解】
.
所以x<1或x>2时， ， 时， ，
则 在 上递减，在 递增，
所以 的极小值为 ，极大值为 .
【小问2详解】
，
当 时， ，所以 在 上递增，
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学科网（北京）股份有限公司当 时， 或 时， ； 时， ，
所以 在 上递增，在 上递减，
当 时， 或 时， ； 时， ，
所以 在 上递增；在 上递减．
16. 为践行“更快更高更强”的奥林匹克格言，落实全民健身国家战略.某校高三年级发起了“发扬奥林匹克精
神，锻炼健康体魄”的年度主题活动，经过一段时间后，学生的身体素质明显提高.为了解活动效果，该年
级对开展活动以来近6个月体重超重的人数进行了调查，调查结果统计如图，根据上面的散点图可以认为
散点集中在曲线 的附近，请根据下表中的数据求出
月份x 1 2 3 4 5 6
体重超标人数y 98 77 54 48 32 27
（1）该年级体重超重人数y与月份x之间的经验回归方程 系数 的最终结果精确到 ；
（2）预测从开展活动以来第几个月份开始该年级体重超标的人数降至10人以下.
附：经验回归方程： 中， ， ；参考数据： ，
， ，
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学科网（北京）股份有限公司【答案】（1）
（2）从第十个月开始
【解析】
【分析】（1）由计算公式与参考数据，求出 则可得回归方程；
（2）根据经验回归方程建立不等式 ，解出不等式则可预测.
【小问1详解】
由 得 ，
由题意得 ， ，
所以 ，
，
所以 ，
即y关于x的经验回归方程为
【小问2详解】
令 ，
所以 ，
又由于 ，所以解得 ，且 ，
所以从第十个月开始，该年级体重超标的人数降至10人以下.
17. 已知函数 ， ， ，且
（1）当 且 时，求不等式 的解集；
（2）若函数 在区间 上有零点，求t的取值范围.
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学科网（北京）股份有限公司【答案】（1）
（2） 或
【解析】
【分析】（1）当 时，将不等式 转化为 ，利用对数函数的
单调性结合一元二次不等式求解即可；
（2）解法一：分离参数，将原函数的零点问题转化为 且 有根，设
且 ，则 ，利用对勾函数的单调性求解值域即可求解；
解法二：先判断 时，不合题意，当 时，根据二次函数零点分布分类讨论，列不等式组求解即可.
【小问1详解】
{x+1≥(2x−1) 2
当 时， ，又00
{4x2−5x≤0
1 5
∴ 1 ⇒ 2 4
2
不等式 的解集为 ；
【小问2详解】
解法一：由题设 ，
由 ，得 且 ，则 ，
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学科网（北京）股份有限公司设 且 ，则 ，
令 ，
当 时， 单调递减，当 时， 单调递增，
且 ，故 且
或 ，
t的取值范围为： 或
解法二： ，若 ，则 在 上没有零点．
下面就 时分三种情况讨论：
①方程 在 上有重根 ，则 ，解得 ，
又 ；
②F(x)在 上只有一个零点，且不是方程的重根，则 ，解得 或 ，
经检验 或 时，F(x)在 上都有零点，则 或
t>0 t<0
{ {
Δ>0 Δ>0
1 1
③方程 在 上有两个相异实根，则有
−1<− <2或 −1<− <2，解得
，
2t 2t
F(−1)>0 F(−1)<0
F(2)>0 F(2)<0
综上可知：t的取值范围为 或
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学科网（北京）股份有限公司18. 某企业对某品牌芯片开发了一条生产线进行试产.其芯片质量按等级划分为五个层级，分别对应如下五
组质量指标值： .根据长期检测结果，得到芯片的质量指标值
服从正态分布 ，并把质量指标值不小于80的产品称为 等品，其它产品称为 等品. 现从该品
牌芯片的生产线中随机抽取100件作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图.
（1）根据长期检测结果，该芯片质量指标值的标准差 的近似值为11，用样本平均数 作为 的近似值，
用样本标准差 作为 的估计值. 若从生产线中任取一件芯片，试估计该芯片为 等品的概率(保留小数点
后面两位有效数字)；
(①同一组中的数据用该组区间的中点值代表；②参考数据:若随机变量 服从正态分布 ，则
， .
)
（2）（i）从样本的质量指标值在 和[85，95]的芯片中随机抽取3件，记其中质量指标值在[85，
95]的芯片件数为 ，求 的分布列和数学期望；
（ii）该企业为节省检测成本，采用随机混装的方式将所有的芯片按100件一箱包装. 已知一件 等品芯片
的利润是 元，一件 等品芯片的利润是 元，根据(1)的计算结果，试求 的值，
使得每箱产品的利润最大.
【答案】（1）
（2）（i）分布列见解析， ；（ii）
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】（1）根据频率分布直方图求得样本平均数，然后利用正态分布的对称性求解概率.
（2）（i）先求出 的取值，然后求出对应的概率，即可求出分布列，代入期望公式求解即可；
（ ii ） 先 根 据 二 项 分 布 的 期 望 求 出 ， 然 后 构 造 函 数
，利用导数求出最大值时的 即可.
【小问1详解】
由题意，估计从该品牌芯片的生产线中随机抽取100件的平均数为：
．
即 ， ，所以 ，
因为质量指标值 近似服从正态分布 ，
所以
，
所以从生产线中任取一件芯片，该芯片为 等品的概率约为 .
【小问2详解】
（i） ，所以所取样本的个数为20件，
质量指标值在 的芯片件数为10件，故 可能取的值为0，1，2，3，
相应的概率为：
， ，
， ，
随机变量 的分布列为：
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学科网（北京）股份有限公司0 1 2 3
所以 的数学期望 .
（ii）设每箱产品中A等品有 件，则每箱产品中 等品有 件，
设每箱产品的利润为 元，
由题意知： ，
由（1）知：每箱零件中A等品的概率为 ，
所以 ，所以 ，
所以
.
令 ，由 得， ，
又 ， ， 单调递增， ， ， 单调递减，
所以当 时， 取得最大值.
所以当 时，每箱产品利润最大.
19. 已知函数
（1）当 时，求函数 的单调区间；
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学科网（北京）股份有限公司（2）当 时，证明：函数 在 上单调递增；
（3）若 是函数 的极大值点，求实数a的取值范围.
【答案】（1）答案见解析
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）代入 的值，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（2）对函数 二次求导，判断 导函数的单调性，求出导函数的最小值，即可证明；
（3）对 求导得， ，令 ，再求导，分 的不同取值
讨论 的性质，即可求出 的取值范围.
【小问1详解】
当 时， ，且知 ，
在 上， ， 在 上单调递增；
在 上， ， 在 上单调递减；
所以函数 的单调增区间为 ，单调减区间为
【小问2详解】
证明：因为 ，所以 ，且知 ，
要证函数 单调递增，即证 在 上恒成立，
设 ， ，则 ，
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学科网（北京）股份有限公司注意 ， 在 上均为增函数，
故 在 上单调递增，且 ，
于是 在 上单调递减，在 上单调递增，
，即 ，因此函数 在 上单调递增;
【小问3详解】
由 ，有 ，
令 ，有 ，
①当 时， 在 上恒成立，因此 在 上单调递减，
注意到 ，故函数 的增区间为 ，减区间为 ，
此时 是函数 的极大值点;
②当 时， 与 在 上均为单调增函数，
故 在 上单调递增，
注意到 ，若 ，
即 时，此时存在 ，使 ，
因此 在 上单调递减，在 上单调递增，又知 ，
则 在 上单调递增，在 上单调递减，此时 为函数 的极大值点，
若 ，即 时，此时存在 ，使 ，
因此 在 上单调递减.在 上单调递增，又知 ，
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学科网（北京）股份有限公司则 在 上单调递减，在 上单调递增，
此时 为函数 的极小值点.
当 时，由 可知 单调递增，因此 非极大值点，
综上所述，实数 a的取值范围为
【点睛】关键点点睛：已知函数的极大值点，求出函数的导数，根据导数的导数 分类讨
论，确定函数极值点是解题的关键，据此可得符合题意的参数取值范围.
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学科网（北京）股份有限公司
