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2023 年高考押题预测卷 01
文科数学·全解全析
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合
题目要求的．
1．若集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】确定 ， ，再计算交集得到答案.
【详解】 ，
，故 ，
故 .
故选：B
2．设复数 在复平面内对应的点关于虚轴对称，若 ，则 的虚部为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】先求出复数 ，再根据复数的模的计算公式求出 ，再根据虚部的定义即可得解.
【详解】因为 ，复数 在复平面内对应的点关于虚轴对称，
所以 ，
所以 ，
所以 的虚部为 .
故选：B.
3．设 ，向量 ， ，若 ，则 （ ）
A． B．1或 C． D．1或【答案】B
【分析】根据向量垂直求出 或 ，结合二倍角余弦公式分类讨论即可.
【详解】由 ，得 ,
所以 或 ,
若 ,则 ；
若 ，显然 ，则 ，
所以
综上， 的值为1或 .
故选：B.
4．某市甲、乙两个监测站在10日内分别对空气中某污染物实施监测，统计数据（单位：g/m3）如图所
示，以下说法正确的是（ ）
A．这10日内任何一天甲监测站的大气环境质量均好于乙监测站
B．这10日内甲监测站该污染物浓度读数的中位数小于乙监测站读数的中位数
C．这10日内乙监测站该污染物浓度读数中出现频率最大的数值是167
D．这10日内甲监测站该污染物浓度读数的平均值小于乙监测站读数的平均值
【答案】C
【分析】根据茎叶图数据逐个判断各个选项即可.
【详解】由茎叶图易知A错误；
甲监测站污染物浓度的中位数是 ，乙监测站污染物浓度的中位数是167，B错误；
这10日内乙监测站该污染物浓度读数中出现频率最大的数值，即众数是167，C正确；
甲监测站该污染物浓度的平均值
， ，D错误;
故选:C．
5．已知实数 满足约束条件 则 的最大值是（ ）A．3 B． C． D．
【答案】B
【分析】画出可行域，向上平移基准直线 到可行域边界位置，由此求得 的最大值.
【详解】
画出可行域如下图所示，向上平移基准直线 到可行域边界点 的位置，此时 取得最大值
为 .
故选：B.
6．已知抛物线 的焦点为 ，点 在抛物线上（异于顶点）， （点 为坐标原点），过
点 作直线 的垂线与 轴交于点 ，则 （ ）
A．6 B． C．4 D．
【答案】A
【分析】设 ，由 ，得 为 的中点, 表示 的方程，求出点 的坐标，结合抛物
线的定义求得结果.
【详解】法一：依题意，设 ，由 ，得 为 的中点且 ，
则 ，易得直线 的垂线 的方程为 .
令 ，得 ，故 ，由抛物线的定义易知 ，
故 ，
故选:A.法二：特殊值法.不妨设 ，则 ，则 ，易得直线 的垂线 的方程为
.令 ，得 ，故 ，又 ，故 .
故选:A.
7．在如图所示的程序框图中，若输入的a，b，c分别为 ， ， ，执行该程序框图，输出
的结果用原来数据表示为（ ）
A．b，a，c B．a，b，c C．c，b，a D．c，a，b
【答案】A
【分析】该程序的功能为从大到小输出原来输入的数据，通过比较输入数据的大小，即可求解．
【详解】解︰由程序框图可知，该程序的功能为从大到小输出原来输入的数据，
， ，即 ，
所以 ，则输出的结果用原来数据表示为b，a，c.
故选∶A．
8．函数 的图象大致是（ ）
A． B．C． D．
【答案】D
【分析】 ，排除BC，当 时， ，当 时， ，A不满足，排除，得到答案.
【详解】 ，排除BC；当 时， ，当 时， ，A不满足，排除.
故选：D
9．在正方体 中，M，N，P分别为 ， ， 的中点，则下列结论中错误的是
（ ）
A． B．平面 平面
C． D．平面 平面
【答案】D
【分析】求得 与 位置关系判断选项A；求得平面 与平面 位置关系判断选项B；求得
与 位置关系判断选项C；求得平面 与平面 位置关系判断选项D.
【详解】对A，在 中，因为 ， 分别为 ， 的中点，
所以 ．又 ，所以 ，A正确．
对B，在 中，因为 ， 分别为 ， 的中点，
所以 ．因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ．
因为 ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ．又因为 ， 平面 ，
所以平面 平面 ，B正确．
对C，因为 ， ，所以 ，C正确．对D，取 的中点 ，连接 ， ，则 是二面角 的平面角．
设正方体棱长为a，则 ，
又 ，则 ，所以平面 与平面 不垂直．
又平面 平面 ，所以平面 与平面 不垂直，D错误．
故选：D．
10．已知数列 是递增的等比数列， ，若 的前 项和为 ，则
，则正整数 等于（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】根据已知条件，结合等比数列的通项公式，以及等比数列前 项和公式，即可求解.
【详解】联立 可得 或 ，
又因为数列 是递增的等比数列，所以 ，
则公比 ，
所以 ，
所以 .
故选：B.
11．若曲线 在 处的切线的倾斜角为 ，则 （ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用导数的几何意义求出 ，然后利用二倍角公式及弦切互化计算即可.
【详解】因为 ，所以 ，所以 ，
所以 .
故选：D
12．已知正三棱锥的侧棱长为 ，其各顶点都在同一球面上.若该球的表面积为 ，且 ，则该正
三棱锥体积的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由外接球表面积求出半径，设球心到底面距离为 ，由三角函数关系解出底面三角形面积，由此
可确定正三棱锥体积关于 的函数关系.
【详解】设球的半径为 ，
因为 ，
所以正三棱锥外接球半径 ，
设 的外接圆的圆心为 ，
因为 是正三棱锥，所以 平面 ，
设外接球球心为 ，则 平面 ，
所以 ，故点 在直线 上，
当球心 与点 在平面 的同侧，
如图所示，设
由已知 ， ,
因为 ， ，
解得 ，矛盾，
当球心 与点 在平面 的异侧时或球心在平面 内时，
如图所示，所以 ， ,
因为 ， ，
解得 ，
所以 ，
又因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
令 ， ，
由
所以 在 递减，
又 ， ，
所以当 时，即 时，
三棱锥 的体积取最大值，最大值为 ，
当 时，即 时，
三棱锥 的体积取最小值，最小值为 ，
所以正三棱锥体积的取值范围是 .
第Ⅱ卷
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．在公差不为 的等差数列 中， 为其前 项和，若 ，则正整数
___________.
【答案】【分析】利用等差数列通项公式和求和公式可直接构造等式求得 的值.
【详解】设等差数列 的公差为 ，
由 得： ，
即 ， ，解得： .
故答案为： .
14．已知 为正四棱锥，从O，A，B，C，D五点中任取三点，则取到的三点恰好在同一个侧面的
概率为_________．
【答案】 /0.4
【分析】利用古典概型的概率计算公式 ，分析出符合题意的基本事件总数和个数，即可求解.
【详解】解：从O，A，B，C，D五点中任取三点，
有 ， ， ， ， ， ， ， ， ，
，共10种不同取法，
取到的三点恰好在同一个侧面有 ， ， ， ，共4种情况，
由古典概型的概率计算公式知，所求概率为 ，
故答案为： 或0.4.
15．直线 分别与 轴､ 轴交于 两点，点 在圆 上，则 面积的取值范
围是___________.
【答案】
【分析】首先由直线方程求得 坐标，得到 ；利用点到直线距离公式求得圆心到直线 的距离
，从而得到点 到直线距离 的范围，利用三角形面积公式可求得结果.
【详解】因为直线 分别与 轴､ 轴交于 两点，
所以 ，
所以
圆 的圆心的坐标为 ，半径 ，
所以圆心到直线 距离 ，所以 到直线 距离 ，即 ，
.
故答案为： .
16．已知函数 ， 的定义域均为R， 是奇函数，且 ，
，则下列结论正确的是______．（只填序号）
① 为偶函数；
② 为奇函数；
③ ；
④ .
【答案】①④
【分析】结合已知条件和 是奇函数求出函数的周期，然后利用周期和已知条件得出 为偶函
数，进而判断选项A；根据函数 是奇函数是奇函数，周期为4即可判断选项B；根据 的性质
分析可得 ，再根据 的周期性即可判断选项C；再结合函数的周期即可判
断选项D.
【详解】因为 ，所以 ，
又因为 ，则有 ，
且 是奇函数，则 ，可得 ，即 ，
则 ，即 ，所以 是周期为4的周期函数，
因为 ，则 ，
可得 ，
故 也是周期为4的周期函数．
对于①：因为 ，则 ，即 ，
所以 ，所以 为偶函数．故①正确；
对于②：∵
，
∴ ，故②错误；
对于③：因为 ，令 ，即 ，则 ，
又因为 ，令 ，所以 ，
令 ，则 ，即 ，
即 ，
所以 ，所以③错误；
对于④：因为 ，
所以
，
所以 ，所以④正确．
故答案为：①④．
【点睛】方法定睛：函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中
根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问
题．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生
都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17．已知 的内角 的对边分别为 ，
(1)求 的值；
(2)若 ，求 面积 的最大值．
【答案】(1)2
(2)
【分析】（1）根据正弦定理角化边得到 ，再根据正弦定理求解即可.
（2）根据题意得到 ，再结合基本不等式求解即可.
【详解】（1）因为 ，由正弦定理得，
由余弦定理得， ，
整理得 ；
（2）因为 ，因为 ，由（1）可得 ，则 .，
又 ，即 ，当且仅当 时等号成立.
于是
所以 的最大值为 .
18．如图，在三棱柱 中， 是边长为2的等边二角形， ，平面 平面
分别为棱 的中点.
(1)证明： 平面 ；
(2)若三棱柱 的体积为 ，求点 到平面 的距离.
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】（1）利用中位线得线线平行，进而可证平行四边形，由线面平行的判断定理即可求证.
（2）根据面面垂直可得线面垂直，利用体积公式可求解 ,进而根据等体积法即可求解.
【详解】（1）如图，取 的中点 ，连接 ，
则 ，所以 ，
所以四边形 为平行四边形，所以 .
因为 平面 平面 ，
所以 平面 .
（2）取 的中点 ，连接 .
因为 是等边三角形，所以 .
又平面 平面 ，且平面 平面 ，
所以 平面 .
因为 平面 ，所以 .
因为 ， 平面 ,
所以 平面 .
所以 ，得 .
因为 平面 ，所以 .在Rt 和Rt 中，由勾股定理可得 ，
所以 .
设点 到平面 的距离为 ，
由 ，得 ，解得 .
所以点 到平面 的距离为 .
19．下表是中国近年来人口数据（不包括香港、澳门特别行政区和台湾省）：
年份 2013 2014 2015 2016
人口数 13.61亿 13.68亿 13.75亿 13.83亿
(1)在平面直角坐标系内标出这四个点，再把这些点连接成线；
(2)选择其中合适的两个点，建立一次函数模拟，用模拟函数预测2017年中国人口数；
(3)能否用“更好”的直线 来模拟这组数据的变化？也就是说，能否确定 ， 的值，使式子
的值最小？（按如下步骤进行预测）
①化简S，使之成为字母 的二次三项式；
②当 取何值时（设为 ），二次三项式S取最小值（设为 ），这里 和 都应该是含字母 的式子，
且 是字母 的二次三项式；
③求 的值 ，使 取最小值；
④求出对应于上述 的 值；
⑤用一次函数 模拟数据的变化，用模拟函数预测2017年中国人口数．
(4)把所得到的两个预测数据和2017年中国实际人口数进行比较．
【答案】(1)图象见解析；
(2)选择见解析，预测2017年中国人口数为13.89亿；
(3)① ；② ，
；③ ；④ ；⑤ ，预测2017年中国人
口数13.9亿.
(4)答案见解析；
【分析】（1）根据所给数据，画出图象即可；
（2）选择两组数据，代入求解，即可求得模拟直线方程，进而可预测2017年人口数；（3）根据题意及数据，逐一求解各个参数，可得模拟方程，进而可预测2017年人口数；
（4）查阅2017年人数，分析比较，即可得答案.
(1)
如图所示：
(2)
不妨选择前两组数据建立一次函数模拟，设模拟方程为 ，
令2013年对应x为1，则2014年对应x为2，选取 两点进行模拟，
代入可得 ，
解得 ，所以 ，
2017年，即 时， ，
故预测2017年中国人口数为 亿（选其他数据，计算合理也正确）
(3)
①
②所以当 时，S有最小值，
所以 ，③由②可得当 时， 有最小值，即 ，
④当 时， ，
⑤ ，2017年对应x=5，代入可得 ，
所以预测2017年中国人口数为13.9亿.
(4)
查阅可得2017人口总数为13.9亿，比较可得第二种方法算的更准确，误差更小.
【点睛】解题的关键是读懂题意，根据所给数据，代入求解，考查分析理解，计算求值的能力，计算难度
大，属难题.
20．已知函数 在点 处的切线斜率为4，且在 处取得极值．
(1)求函数 的解析式；
(2)若函数 有三个零点，求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，列出方程组求得 ，求导，利用导数判断 的单调性与极
值；
（2）由题意得到原题意等价于 与 有三个交点，结合（1）中 的单调性与极值，列式
求解.
【详解】（1）∵ ，
由题意得 ，解得 ，
所以 ， ，
令 ，解得 或 ；令 ，解得 ；
则 在 上单调递增，在 上单调递减，
∴ 在 处取到极大值，在 处取到极小值，故 符合题意， .
（2）令 ，则 ，
原题意等价于 与 有三个交点，
由（1）可得： 在 上单调递增，在 上单调递减，
∴ 在 处取到极大值 ，在 处取到极小值 ，
故 ，解得 ，
所以 的取值范围为 ．
21．已知圆 ，直线 过点 且与圆 交于点B，C，BC中点为D，过 中点E且
平行于 的直线交 于点P，记P的轨迹为Γ
(1)求Γ的方程；
(2)坐标原点O关于 ， 的对称点分别为 ， ，点 ， 关于直线 的对称点分别为 ， ，过
的直线 与Γ交于点M，N，直线 ， 相交于点Q.请从下列结论中，选择一个正确的结论并给予
证明.
① 的面积是定值；② 的面积是定值：③ 的面积是定值.
【答案】(1)
(2)结论③正确，证明见解析
【分析】（1）由几何性质知P到 ， 两点的距离之和为定值可得P的轨迹为椭圆；
（2）解法一、二：设直线 ， ， ，表示出直线 ， 的方程并联立求
得Q的横坐标为定值，因此 的面积是定值.
解法三：当直线 垂直于x轴时求得Q横坐标为4，当直线 不垂直于x轴时，设直线 ，
， ，表示出直线 ， 的方程并联立求得Q的横坐标为定值，因此 的面
积是定值.
解法四：设直线 ， ， ，表示出直线 ， 的方程，利用 在椭圆上得 ，将直线 的方程化为 ，与直线 联立求得Q的横
坐标为定值，因此 的面积是定值.
【详解】（1）由题意得， ， .
因为D为BC中点，所以 ，即 ，
又 ，所以 ，
又E为 的中点，所以 ，
所以 ，
所以点P的轨迹 是以 ， 为焦点的椭圆（左､右顶点除外）.
设 ，其中 ， .
则 ， ， ， .
故 .
（2）解法一：结论③正确.下证： 的面积是定值.
由题意得， ， ， ， ，且直线 的斜率不为0，
可设直线 ， ， ，且 ， .
由 ，得 ，
所以 ， ，
所以 .直线 的方程为： ，直线 的方程为： ，
由 ，得 ，
，
解得 .
故点Q在直线 ，所以Q到 的距离 ，
因此 的面积是定值，为 .
解法二：结论③正确.下证： 的面积是定值.
由题意得， ， ， ， ，且直线 的斜率不为0，
可设直线 ， ， ，且 ， .
由 ，得 ，
所以 ， ，
所以 .
直线 的方程为： ，直线 的方程为： ，
由 ，得
，
故点Q在直线 ，所以Q到 的距离 ，
因此 的面积是定值，为 .
解法三：结论③正确.下证： 的面积是定值.
由题意得， ， ， ， ，且直线 的斜率不为0.
（i）当直线 垂直于x轴时， ，由 ，得 或 .
不妨设 ， ，
则直线 的方程为： ，直线 的方程为： ，
由 ，得 ，所以 ，
故Q到 的距离 ，此时 的面积是 .（ii）当直线 不垂直于x轴时，设直线 ， ， ，且 ， .
由 ，得 ，
所以 ， .
直线 的方程为： ，直线 的方程为： ，
由 ，得
.
下证： .
即证 ，即证 ，
即证 ，
即证 ，
上式显然成立，
故点Q在直线 ，所以Q到 的距离 ，
此时 的面积是定值，为 .
由（i）（ii）可知， 的面积为定值.
解法四：结论③正确.下证： 的面积是定值.
由题意得， ， ， ， ，且直线 的斜率不为0，
可设直线 ， ， ，且 ， .
由 ，得 ，所以 ， .
直线 的方程为： ，直线 的方程为： ，
因为 ，所以 ，
故直线 的方程为： .
由 ，得
，
解得 .
故点Q在直线 ，所以Q到 的距离 ，
因此 的面积是定值，为 .
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点 为极点， 轴的正
半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ．
(1)设曲线 与曲线 交于 ， 两点，求 ；
(2)若 ， 是曲线 上的两个动点，且 ，求 的取值范围．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）首先将曲线 的参数方程化为普通方程，曲线 的极坐标方程化为直角坐标方程，再联立
两曲线方程，求出交点坐标，再由距离公式计算可得；
（2）首先求出曲线 的坐标方程，设 ， ，即可表示出 ，再利用二倍角
公式公式化简，最后结合正弦函数的性质计算可得.
【详解】（1）因为曲线 的参数方程为 （ 为参数），
所以 ，又 ，所以曲线 的普通方程为 ，
又曲线 的极坐标方程为 ，由 ，
所以曲线 的直角坐标方程为 ，
由 ，解得 或 ，所以 .
（2）又 ，所以 ，
所以 ，即曲线 的极坐标方程为 ，
因为 ，所以设 ， ，
所以，
所以当 时 取得最小值 ，
当 时 取得最大值 ，
所以 的取值范围为 .
23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知 ， ， ．
(1)证明： ．
(2)证明： ．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）根据已知条件及基本不等式即可求解；
（2）利用分析法及作差比较法即可求解.
【详解】（1）由基本不等式可得 可得
当且仅当 时，等号成立.
又由 ，得 ，
所以 当且仅当 时，等号成立.
故原不等式得证.
（2）要证 ，即证
即证
令 ，即证
因为 且
故 ，即原不等式得证.
