文档内容
北京十四中 2021—2022 学年度第一学期 期中检测
初二数学 测试卷
注意事项：
1．本试卷共8页，共29道小题，满分100+10分．考试时间100分钟．
2．在答题卡上指定位置贴好条形码，或填涂考号．
3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．
4．在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．
5．答题不得使用任何涂改工具．
一、选择题（每小题2分，共20分）
1. 第24届冬季奥林匹克运动会，将于2022年02月04日~2022年02月20日在中华人民共和国北京市和张
的
家口市联合举行．在会徽 图案设计中，设计者常常利用对称性进行设计，下列四个图案是历届会徽
图案上的一部份图形，其中不是轴对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，
这条直线叫做对称轴，据此进行分析即可．
【详解】解：A、是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B、是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C、是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，故此选项符合题意；
故选：D【点睛】本题主要考查了轴对称图形的识别，解题的关键是掌握轴对称图形的概念．
2. 在平面直角坐标系 中，点 （ ，4）关于 轴的对称点的坐标是（ ）
A. （2，4） B. （4， ） C. （ ，2） D. （ ， ）
【答案】D
【解析】
【分析】利用关于x轴的对称点的坐标特点可得答案．
【详解】解：点 （ ，4）关于 轴的对称点的坐标是（ ， ）．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了关于x轴的对称点的坐标，解题的关键是掌握关于x轴的对称点的坐标特点：横
坐标不变，纵坐标互为相反数．
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分别计算后，判断即可．
【详解】解：A. ，故该选项计算错误；
B. ，该选项计算正确；
C. ，故该选项计算错误；
D. ，故该选项计算错误．
故选：B．
【点睛】本题考查幂的乘方，合并同类项，同底数幂的乘法，积的乘方．掌握相关运算法则是解题关键．
4. 下列条件中，不能判定三角形全等的是（ ）.
A. 三条边分别相等 B. 两边和其中一角分别相等
C. 两边和夹角分别相等 D. 两角和它们的夹边分别相等
【答案】B
【解析】
【分析】根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．
【详解】解：A、符合全等三角形的判定定理SSS，能推出两三角形全等，故本选项不符合题意；
B、若是一边的对角，则不符合全等三角形的判定定理，不能推出两三角形全等，故本选项符合题意；C、符合全等三角形的判定定理SAS，能推出两三角形全等，故本选项不符合题意；
D、符合全等三角形的判定定理ASA，能推出两三角形全等，故本选项不符合；
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等
三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．
5. 如图三角形纸片被遮住了一部分，小明根据所学知识画出了一个与原三角形完全重合的三角形，他画图
的依据是（ ）
A. SSS B. AAS C. ASA D. SAS
【答案】C
【解析】
【分析】图中三角形没被遮住的部分有两角及夹边，根据全等三角形的判定方法解答即可．
【详解】解：由图可知，三角形两角及夹边还存在，
∴根据可以根据三角形两角及夹边作出图形，
所以，依据是ASA．
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．
6. 若把一个正方形纸片按下图所示方法三次对折后再沿虚线剪开,则剩余部分展开后得到的图形是（
）A. B. C.
D.
【答案】A
【解析】
【详解】自己动手制作一个正方形纸片，再按题目进行操作，最后展开图形即可.
故选：A．
7. 下列命题中，不正确的是（ ）.
A. 有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形
B. 一条线段可以看成是以它的垂直平分线为对称轴的轴对称图形
C. 等腰三角形的对称轴是底边上的中线
D. 等边三角形有3条对称轴
【答案】C
【解析】
【分析】根据等边三角形 的判定定理、轴对称图形的概念判断即可．
【详解】解：A、一个三角形的外角是120°，则内角为60°，
∴这个等腰三角形是等边三角形，本选项说法正确，不符合题意；
B、一条线段可以看成是以它的垂直平分线为对称轴的轴对称图形，本选项说法正确，不符合题意；
C、等腰三角形的对称轴是底边上的中线所在的直线，本选项说法错误，符合题意；
D、等边三角形有3条对称轴，本选项说法正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查的是命题的真假判断以及等边三角形的判定，轴对称图形的概念等知识，正确的命题叫
真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
8. 如图，将三角形纸片ABC沿直线DE折叠后，使得点B与点A重合，折痕分别交BC，AB于点D，E.如果 ， 的周长为17cm，那么BC的长为（ ）
A. 7cm B. 10cm C. 12cm D. 22cm
【答案】C
【解析】
【分析】利用翻折变换的性质得出AD＝BD，进而利用AD＋CD＝BC得出即可．
【详解】解：∵将△ABC沿直线DE折叠后，使得点B与点A重合，
∴AD＝BD，
∵AC＝5cm，△ADC的周长为17cm，
∴AD＋CD＝BC＝17−5＝12（cm）．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了翻折变换的性质，根据题意得出AD＝BD是解题关键．
9. 如图，∠BAC=130°，若MP和QN分别垂直平分AB和AC，则∠PAQ等于( )
A. 50° B. 75° C. 80° D. 105°
【答案】C
【解析】
【详解】∵∠BAC=130°，
∴∠B+∠C=180°-130°=50°，
∵MP和QN分别垂直平分AB和AC，
∴BP=AP，AQ=CQ，
∴∠BAP=∠B，∠CAQ=∠C，
∴∠BAP+∠CAQ=∠B+∠C=50°，
∴∠PAQ=∠BAC-(∠BAP+∠CAQ)=130°-50°=80°，
故选：C．
10. 如图，将Rt 过点 折叠，使直角顶点 落在斜边 上的点 处，折痕为 ，现有以下结论：① ；② ；③ 平分 ；④ 是等边三角形；⑤ 垂直平分 ；其中
正确的有（ ）
A. ①②③ B. ②③ C. ①②③④ D. ①②③⑤
【答案】D
【解析】
【分析】根据翻折的性质即可知 ，再根据全等三角形的性质即可判断①②③⑤正确，由于
不一定等于 ，故 不一定是等边三角形，故④错误，由此即可选择．
【详解】解： 将 过点 折叠，使直角顶点 落在斜边 上的点 处，
，
， ， ， ，
， 平分 ，故①②③正确，
， ，
垂直平分 ，故⑤正确，
不一定等于 ，
不一定是等边三角形，故④错误，
综上可知，①②③⑤正确．
故选：D．
【点睛】本题考查折叠的性质，全等三角形的性质，角平分线的判定，垂直平分线的判定以及等边三角形
的判定．理解折叠后的两个三角形全等是解答本题的关键．二、填空题（第11-18每题3分，第19题4分，共28分）
11. 计算： ______， _______， ______．
【答案】 ①. ②. ③.
【解析】
【分析】根据单项式乘单项式法则，积的乘方法则以及单项式乘多项式法则逐个计算即可求得答案．
【详解】解： ；
，
，
故答案为： ； ； ．
【点睛】本题考查了单项式乘单项式法则，积的乘方法则以及单项式乘多项式法则的应用，熟练掌握相关
运算法则是解决本题的关键．
12. 若等腰三角形的两边长分别是2cm和6cm，则这个三角形的周长是_________cm．
【答案】14
【解析】
【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为2cm和6cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，
还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【详解】解：当腰长是2cm时，因为2+2＜6，不符合三角形的三边关系，应排除；
当腰长是6cm时，因为6+6＞2，符合三角形三边关系，此时周长是14cm；
故答案为：14．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两
种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
13. 等腰三角形的一个外角是 ，则它的顶角的度数是______．
【答案】 或
【解析】
【分析】根据外角与相邻的内角的和为 求这个内角的度数，再分这个角是顶角与底角两种情况讨论求
解．【详解】解： 一个外角是 ，
与这个外角相邻的内角是 ，
当 角是顶角时，它的顶角度数是 ，
当 角是底角时，它的顶角度数是 ，
综上所述，它的顶角度数是 或 ．
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查了等腰三角形的两底角相等的性质，要注意分两种情况讨论求解．学会分类讨论思想解
决数学问题是解题的关键．
14. 在 ABC中，AB＝AC，BC＝5，∠B＝60°，则 ABC的周长是_____．
【答案△】15 △
【解析】
【分析】根据等边三角形的判定和性质即可解决问题．
【详解】∵AB=AC，∠B=60°，
∴△ABC是等边三角形．
∵BC=5，
∴△ABC的周长为15．
故答案为15．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
15. 若 ，则 ______．若 ，则m的值为_______．
【答案】 ①. 4 ②. 2
【解析】
【分析】根据幂的运算公式即可依次求解．
【详解】∵
∴5+3y=17
解得y=4；
∵
∴1+5m=11解得m=2．
故答案为：4；2．
【点睛】此题主要考查幂的运算，解题的关键是熟知幂的运算公式的运用．
16. 如图， ，点 在 边上， 与 相交于点 ．若 ，
则 ___．
【答案】74°
【解析】
【分析】根据全等三角形的性质可得∠E=∠B=37°，再根据等边对等角可得∠PFB=∠B=37°，再由三角
形外角的性质可得∠APF的度数．
【详解】∵△ABC≌△DEF， ，
∴∠E=∠B=37°，
∵PB=PF，
∴∠PFB=∠B=37°，
∴∠APF=37°+37°=74°，
故答案为74°．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，解题的关键是掌握
全等三角形的对应角相等．
17. 如图， 中， 点在 上，将 点分别以 、 为对称轴，画出对称点 、 ，并连接
、 ．根据图中标示的角度，则 的度数为______．【答案】
【解析】
【分析】连接AD，根据三角形内角和性质，得 ；根据轴对称的性质，得 ，
；结合 ，通过计算即可得到答案．
【详解】如下图，连接AD
根据题意得： ，
∴
∵将 点分别以 、 为对称轴，画出对称点 、 ，并连接 、
∴ ，
∵
∴
故答案为： ．
【点睛】本题考查了三角形内角和、轴对称的知识；解题的关键是熟练掌握三角形内角和、轴对称的性质，
从而完成求解．
18. 如图， ， 平分 ， 于点 ， ，交 于点 ．若 ，
则 ________， ________．
【答案】 ①. 10 ②. 5【解析】
【分析】根据 平分 ， ，得到 ，得到 ，
，过点P作 ，结合 ，得到 ，计算即可．
【详解】如图，因为 平分 ， ，
所以 ，
所以 ， ，
过点P作 ，
因为 ，
所以 ，
故答案为：10，5．
【点睛】本题考查了角的平分线即过角的顶点的射线把角分成相等的两个角和性质，平行线的性质，等腰
三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握角的平分线的性质，平行线的性质，直角三角形的性
质是解题的关键．
19. 如图，在平面直角坐标系中，点 ， ， ，点D在第二象限，且
在坐标系中画草图分析可得：的
（1）点D 坐标为________；
（2）点Р在y轴上，且 是等腰三角形，则 的大小为_________．
【答案】 ①. （-3，2） ②. 22.5°或45°或67.5°或90°．
【解析】
【分析】（1）根据△AOB≌△OCD可得DC=BO，再根据B（0，3），C（0，2）可得D点坐标；
（2）由点A（2，0），C（0，2），得到OA=OC=2，求得∠ACO=∠CAO=45°，当AC=AP时，当CA=CP
时，当点O与点P重合时，根据等腰三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：（1）正确画出 COD，
∵△AOB≌△OCD， △
∴DC=BO，
∵B（0，3），C（0，2），
∴D（-3，2）；
（2）∵点A（2，0），C（0，2），
∴OA=OC=2，
∴∠ACO=∠CAO=45°，
当AC=AP时，∠CPA=∠ACP=45°；当CA=CP时， ，或 ；
当点O与点P重合时，PC=PA，∠CPA=∠COA=90°，
综上所述，∠CPA的大小为22.5°或45°或67.5°或90°
故答案为：（1）（-3，2）；（2）22.5°或45°或67.5°或90°．
【点睛】此题主要考查了全等三角形的性质以及等腰三角形的判定与性质，关键是掌握全等三角形的对应
边相等．
三、解答题（本大题共8道小题，共52分）
20. 计算：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ．
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
【解析】
【分析】（1）直接根据单项式与单项式的乘法法则计算即可；
（2）先算积的乘方，再算单项式的乘法；
（3）根据单项式与多项式的乘法法则计算即可；
（4）先算积的乘方，再根据单项式与多项式的乘法法则计算即可.
【小问1详解】
解：【小问2详解】
解：
【小问3详解】
解：
＝
＝ ．
【小问4详解】
解：
．
【点睛】本题考查了整式的运算，熟练掌握积的乘方法则、单项式与单项式的乘法法则、单项式与多项式
的乘法法则是解答本题的关键.
21. 先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】-x2，
【解析】
【分析】根据积的乘方原则，单项式乘以多项式的法则，合并同类项原则，将原式化简，代入求值即可．
【详解】解：原式=当 时，原式=
【点睛】本题考查整式的运算，积的乘方等相关知识点，能够熟练应用相关知识点进行准确计算是解题关
键．
22. 已知 ， ， ．求证： ．
【答案】证明见解析．
【解析】
【分析】根据题意可以证得△ABC≌△DEF，从而可以解答本题．
【详解】证明：∵BE=CF，
∴BE+EC=CF+EC，
∴BC=EF，
在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴∠ACB=∠F，
∴AC∥DF．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利
用全等三角形的性质解答．
23. 如图，在4×4的正方形方格中，阴影部分是涂黑5个小正方形所形成的图案.将方格内空白的两个小正
方形涂黑，使得到的新图案成为一个轴对称图形，请在下面的图中至少画出四个不同的方案，并画出对称
轴．【答案】图见解析
【解析】
【分析】根据轴对称图形的性质画出图形即可．
【详解】解：方案如图所示，对称轴如图所示．
【点睛】本题考查利用轴对称设计图案，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
24. 如图，在平面直角坐标系中， 的三个顶点分别是 ， ， ．
（1）画出 关于x轴对称的 ，并写出点 的坐标： （_____，_____）．
（2） 的面积为_________．
（3）在x轴上有一点P，使得 的值最小，请直接写出点P的坐标：P（______，_____）．
【答案】（1）图见解析， （-3，-2）；（2）5.5；（3）（-2,0）
【解析】
【分析】（1）先根据轴对称的性质，描出对应点，再依次连接即可，根据所描的点可以出 坐标；（2）用矩形面积减去三个小三角形面积即可；
（3）连接 ，根据轴对称的性质可知 ，再结合图像可写出点P的坐标．
【详解】解：（1） 如图所示， （-3，-2）；
（2） ；
（3）连接 与x轴交于P,则此时 的值最小，点P的坐标为（-2,0）．
故答案为：（1）（-3，-2）；（2）5.5；（3）（-2,0）．
【点睛】此题主要考查了作图--轴对称变换，以及最短路线，解题的关键是利用好线段垂直平分线的性质
定理．
25. 尺规作图，不写作法，保留作图痕迹．
（1）已知 ，现将 绕点B逆时针旋转，使点A落在射线BP上，求作 ．
作法：在射线BP上截 ，以点B为圆心、BC长为半径作弧，以点 为圆心，AC长为半径作弧，
两弧在射线BP的右侧交于点 ，则 即为所求．
上述操作的作图原理是：___________________．
（2）如图，在直线MN上求作一点P，使点Р到射线OA，OB的距离相等．【答案】（1）图见解析；三边分别相等的两个三角形全等（2）图见解析
【解析】
【分析】（1）根据作图步骤可知BA＝B 、AC＝ 、BC＝B ，即可依据三边分别相等的两个三角
形全等得出 即为所求；
（2）作∠AOB的平分线交MN于点P，根据角平分线的性质定理可得点P到射线OA和OB的距离相等．
【详解】解：如图， 即为所求，
依据：在△ABC和△ B 中，
∵
∴△ABC≌△ B （SSS），
故答案为：三边分别相等的两个三角形全等．
（2）如图，点P为所作．【点睛】本题考查了作图−复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何
图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质
把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
26. 如图， 中， ， ，点D是AC的中点，过点D作 交BC于点E，
连接AE．若 ，求BC的长．
解：∵ .
∴ （_____________________________）
∵ ，∴
∴ ________________°
∵点D是AC的中点，且
∴ （_____________________________）
∴
∴ ________________°
∵在 中，
∴ ________________=________________
∴ ________________．
【答案】等边对等角；120°；垂直平分线上的点到线段两端距离相等；90°；AE；6；9
【解析】
【分析】根据已知的过程与等腰三角形的性质、垂直平分线的特点即含30°的直角三角形的性质即可求解．【详解】∵ .
∴ （等边对等角）
∵ ，∴
∴ 120°
∵点D是AC的中点，且
∴ （垂直平分线上的点到线段两端距离相等）
∴
∴ 90°
∵在 中，
∴ AE=6
∴ 9．
故答案为：等边对等角；120°；垂直平分线上的点到线段两端距离相等；90°；AE；6；9．
【点睛】此题主要考查等腰三角形、垂直平分线、含30°的直角三角形的性质，解题的关键是熟知各定理
的特点．
27. 如图，CN是等边 的外角 内部的一条射线，点A关于CN的对称点为D，连接AD，
BD，CD，其中AD，BD分别交射线CN于点E，P．
（1）依题意补全图形；
（2）若 ，直接写出 的大小__________（用含 的式子表示）；
（3）用等式表示线段PB，PC与PE之间的数量关系，并证明.（第（2）问中的结论可以直接使用）【答案】（1）作图见解析；（2） ；（3） ，证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意作图即可；
（2）根据等边三角形的性质求解即可；
（3）在PB上截取PF使 ，连接CF，证明 是等边三角形，在证明 即可
得解；
【详解】（1）根据题意作图如下：
（2）∵点A与点D关于CN对称，
∴CN是AD的垂直平分线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 是等边三角形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ；
故答案 是： ；
（3） ，证明过程如下：
在PB上截取PF使 ，连接CF，∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，轴对称作图，等边三角形的判定与性质，准确分析证
明是解题的关键．
四、附加题（本大题共2道小题，共10分）28. 如果 ，那么我们规定 ．例如：因为 ，所以 ．根据上述规定，
_______，若 ， ， ，且满足 ，则 ______．
.
【答案】 ① 3 ②. 80
【解析】
【分析】由 ，根据规定易得(2，8)=3；由规定可得 ，根据同底数幂的运算及
已知p+q=r，即可求得t的值．
【详解】∵
∴(2，8)=3
故答案为：3；
由规定得：
∴
∵p+q=r
∴
∴t=80
故答案为：80
【点睛】本题考查了同底数幂的运算，关键理解题意，能熟练进行同底数幂的运算．
29. （1）已知 ABC中，∠A＝90°，∠B＝67.5°，请画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形．
（请你选用下面△给出的备用图，把所有不同的分割方法都画出来．只需画图，不必说明理由，但要在图中
标出相等两角的度数）
（2）已知 ABC中，∠C是其最小的内角，过顶点B的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形，
△请探求∠ABC与∠C之间的关系．
【答案】(1)图形见解析(2) ∠ABC与∠C之间的关系是∠ABC＝135°－ ∠C或∠ABC＝3∠C或∠ABC＝180°
－3∠C或∠ABC＝90°，∠C是小于45°的任意锐角．
【解析】
【详解】试题分析：（1）已知角度，要分割成两个等腰三角形，可以运用直角三角形、等腰三角形性质
结合三角形内角和定理，先计算出可能的角度，或者先从草图中确认可能的情况，及角度，然后画上．
（2）在（1）的基础上，由“特殊”到“一般”，需要把直角三角形分成两个等腰三角形的各种情形列方
程，可得出角与角之间的关系．
试题解析：(1)如图①②(共有2种不同的分割法)．
(2)设∠ABC＝y，∠C＝x，过点B的直线交边AC于点D.
在△DBC中，
①若∠C是顶角，如图，则∠CBD＝∠CDB＝90°－ x，∠A＝180°－x－y.
故∠ADB＝180°－∠CDB＝90°＋ x＞90°，此时只能有∠A＝∠ABD，
即180°－x－y＝y－ ，∴3x＋4y＝540°，∴∠ABC＝135°－ ∠C.
②若∠C是底角，
第一种情况：如图，当DB＝DC时，∠DBC＝x.在△ABD中，∠ADB＝2x，∠ABD＝y－x.
若AB＝AD，则2x＝y－x，此时有y＝3x，
∴∠ABC＝3∠C.
若AB＝BD，则180°－x－y＝2x，此时有3x＋y＝180°，∴∠ABC＝180°－3∠C.
若AD＝BD，则180°－x－y＝y－x，此时有y＝90°，即∠ABC＝90°，∠C为小于45°的任意锐角．
第二种情况：如图，
当BD＝BC时，∠BDC＝x，∠ADB＝180°－x＞90°，此时只能有AD＝BD，∴∠A＝∠ABD＝ ∠BDC＝ ∠C
＜∠C，这与题设∠C是最小角矛盾．
∴当∠C是底角时，BD＝BC不成立．
综上所述，∠ABC与∠C之间的关系是∠ABC＝135°－ ∠C或∠ABC＝3∠C或∠ABC＝180°－3∠C或
∠ABC＝90°，∠C是小于45°的任意锐角．
点睛：本题考查了等腰三角形的性质；第（1）问是计算与作图相结合的探索．本问对学生运用作图工具
的能力，以及运用直角三角形、等腰三角形性质等基础知识解决问题的能力都有较高的要求．第（2）问
在第（1）问的基础上，由“特殊”到“一般”，“分类讨论”把直角三角形分成两个等腰三角形的各种情形并结合“方程思想”探究角与角之间的关系．本题不仅趣味性强，创造性强，而且渗透了由“特殊”
到“一般”、“分类讨论”、“方程思想”、“转化思想”等数学思想，是一道不可多得的好题．
